14.2.1乘法公式(一)平方差公式.2.1平方差公式

平方差公式一、课题：《14.2.1平方差公式》二、教学内容分析：《平方差公式》一课是人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第14章第2节的乘法公式的第一课时教学内容。

这一内容既是全章的重点,也是教学难点。

《平方差公式》是在学习了有理数运算、一元一次方程及二元一次方程组、不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位,是初中阶段的一个典型公式.三、教学目标分析:1.学生经历平方差公式的探索过程,会推导平方差公式,熟悉平方差公式的结构特征,理解公式的几何背景,并能灵活运用公式进行运算。

2.在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的认知规律;感悟数形结合的思想方法,培养学生归纳、概括等能力.3.通过自主探索平方差公式,营造主动探究与合作交流的学习氛围,培养学生主动探究,善于思考,积极进取的学习态度。

教学重点和教学难点：1.教学重点:平方差公式的推导和运用；2.教学难点:理解平方差公式的结构特征和灵活运用平方差公式进行计算.教学手段和方法1.教学手段:多媒体 2.教学方法:启发讲授、合作探究四、学生情况分析：在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。

五、教学过程:（一）激趣导入活动1.利用课前几分钟时间对学生进行一个速算演示：老师先出一个两位数乘法；27×23，让学生速算结果，当学生不能快速算出时。

作品编号：0115230988859532558954500001学校：秘强市景秀镇赛班家屯小学*教师：丽景春*班级：凤凰队参班*14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式【知识与技能】会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.【过程与方法】1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括的能力.【情感态度】在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.【教学重点】平方差公式的推导和应用.【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.一、情境导入，初步认识出示下列习题，由学生分组完成：1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.2.试用简便方法求结果：（1）2001×1999=_____；998×102=_______.【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999.要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.二、思考探究，获取新知由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.（1）推导：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.（2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）.（3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.（4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.（1）（2a-3b）(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a-3b)(-2a+3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b);【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.例2计算：（1）59.9×60.1；（2）102×98.【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2.【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子（或经转化后的式子）是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.例3利用平方差公式计算下列各题.（1）（2x+1）（2x-1）-3x2.（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）.【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.三、运用新知，深化理解1.计算下列各题.2.利用平方差公式计算下列各题：（1）499×501；（2）2002×2004-20032.3.请认真分析下面一组等式的特征：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.四、师生互动，课堂小结阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2.1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.。

14.2.1平方差公式教案一、内容和内容解析1.内容：平方差公式.2.内容解析平方差公式是以多项式乘法为基础知识，某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。

当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。

平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

平方差公式是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。

平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。

公式(a+b)(a−b)= a2−b2中的字母a,b可以是单项式也可以是多项式，乃至任何代数式。

平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算推导出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。

探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般形式，并通过推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题的方法。

在用图形说明平方差公式时，又蕴含了数形结合的思想。

综上所述，本课教学重点：平方差公式二、目标和目标解析1、目标（1）理解平方差公式的推导过程；（2）掌握平方差公式的结构特征并能运用公式进行计算；（3）经历平方差公式的探究过程中，体验从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维方法，感知数形结合的数学思想。

2.目标解析达成目标(1)的标志:学生知道平方差公式是多项式乘法的特殊形式，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式。

达成目标(2)的标志:理解平方差公式的结构特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数字、字母、单项式、多项式时能准确找出公式中的相同项和相反项，并能正确进行计算。

达成目标（3）的标志:在用多项式乘法推导平方差公式时感悟从具体到抽象、从一般到特殊的思想方法；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的数学思想。

三、教学问题诊断分析由于公式(a+b)(a−b)= a2−b2中的a，b本身可能为负数，而且a、b可以是具体的数、单项式、多项式等，情況比较复杂，对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，尤其是当第一个数a为负数时，如：(-x+2y)(-x-2y)，诸如此类题型容易混淆，学生感到会有困难。

14.2 乘法公式(第1课时)一、内容和内容解析1．内容平方差公式．2．内容解析某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式．当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果．平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征．公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的的整式乘法运算到特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法．探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点：平方差公式．二、目标和目标解析1．目标(1)理解平方差公式，能运用公式进行计算．(2)在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．2．目标解析达成目标(1)的标志：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算．达成目标(2)的标志：学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好的发现公式，体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想．三、教学问题诊断分析由于公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2中的a ，b 本身可能为负数，而且a ，b 可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a ，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b ，有时会有困难．作为平方差公式的应用，教材引入对两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度．解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来．本节课的教学难点：平方差公式的变式运用．四、教学支持条件分析为了利用图形面积验证公式，可用课件显示割补情形(图1)．图1长方形AMHG 的面积＝(a ＋b )(a －b )，割下长方形EFGH 添补到长方形MBCD 处，形成多边形ABCDEF ，而多边形ABCDEF 的面积＝a 2－b 2，由此得出(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2．五、教学过程设计1．单元导入，明确目标展示本节课的学习目标及学习重点.学习目标：1．理解平方差公式，能运用公式进行计算．2．在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊的数学思想，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．学习重点：平方差公式的应用．B C b bE H GD a - bM b a F A a2.复习回顾，铺垫新知问题1 在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(x＋1)(x－1)＝；(2)(m＋2)(m－2)＝；(3)(2x＋1)(2x－1)＝．师生活动：学生完成在导学卷上，师生共同分析结果．设计意图：(1)承前启后，为本节内容的引入作铺垫；(2)让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系“一般——特殊”；(3)三个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础．3.问题引领，合作探究问题2：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？追问1：相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？追问2：你能将发现的规律用式子表示出来吗？追问3：你能对发现的规律进行推导吗？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括．发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差．用一般化的式子可以表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2，运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式．设计意图：让学生经历由具体到抽象的过程，即经历观察(每个具体的算式及其结果的特点)、比较(不同算式及其结果间的异同)、抽象(不同算式及其结果的共同特征)、概括(可能具有的规律)、推理(论证概括的结果)的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法：“具体——抽象”．问题3 前面探究所得的式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2，称为乘法的平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？师生活动：学生回答问题，相互补充．设计意图：(1)让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；(2)学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解．问题4 你能根据图2中图形的面积说明平方差公式吗？图2(1)长方形AMHG 的长和宽分别是什么? 怎样求面积？(2)如果长方形AMHG 中的一部分长方形FEGH 被分割下来，并补到长方形MBCD 的位置，就形成多边形ABCDEF ，此时多边形ABCDEF 的面积又可以怎样表示？(3)上述两种方法表示的面积有什么关系？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题．设计意图：通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想．4.小组交流，应用新知例1 填表： ()()b a b a -+a b 22b a - ()()22-+x x()()2323+---a a()()m n n m 3223---()[]()[]c b a c b a +-++师生活动：师生共同分析解答，教师分析(1)，学生完成导学卷上的其它题．在解答的过程中，教师引导学生要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a ，b ，然后依照公式，BC b bE H GD a - bM b a F A a写出平方差，再化简得出结果；练习 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ）()()()()()()()().D. ;2C.;3443B. ;3232A.b a b a b a b a a b b a b a b a --++---+-+--例2运用平方差公式计算：(1)(3x ＋2)(3x －2)； (2)(－x ＋2y )(－x －2y )．在解答(2)的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法．解：(1)(3x ＋2)(3x －2)＝(3x )2－22＝9x 2－4；(a ＋b )(a －b ) ＝ a 2 －b 2(2)(－x ＋2y )(－x －2y )＝(－x )2－(2y )2＝x 2－4y 2．设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的“第一个数”a ，哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b ，并运用公式进行计算．5.巩固练习，拓展提高例3 计算：(1)( y ＋2)(y －2)－(y －1)(y ＋5)； (2)102×98．师生活动：师生共同分析，得出：(1)中的前两个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；(2)是两个数乘积的简便计算，这两个因数恰好可以分解成两个数(100与2)的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算．问题(2)对一部分学生来说，有一定难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数．设计意图：第(1)题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻理解平方差的结构特征，明白只有符合公式结构特征的乘法，才能运用公式简化运算；第(2)题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简便计算问题，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力．问题5 从例1和练习中，你认为运用平方差公式解决问题时应注意什么？师生活动：学生回答问题，并相互补充．可以总结出以下经验：(1)在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；(2)一定要找准哪个数或式相当于公式中的a ，哪个数或式相当于公式中的b；(3)总结规律：一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b的符号相反；(4)公式中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式等；(5)不能忘记写公式右边的“平方”．设计意图：引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确a，b的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键：找准哪个数或式相当于“第一个数”a，哪个数或式相当于“第二个数”b．通过此过程，突破本节课的难点．练习:1.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？(1)(2x＋3a)(2x－3b)＝(2x)2－(3a)2；(2)(2a－3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2；(3)(x＋2)(x－2)＝x2－2；(4)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4．师生活动：学生独立思考，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案．设计意图：通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算．2.运用平方差公式计算：(1)(a＋3b)(a－3b)；(2)(3＋2a)(－3＋2a)；(3)51×49；(4)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)．师生活动：学生在导学卷上完成，教师巡视、指导，师生交流．设计意图：通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算．6．课堂小结，分层作业（1）教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)平方差公式的结构特征是什么？(3)应用平方差公式时要注意什么?设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验．（2）布置作业必做题：教科书 P112 第1题；选做题：运用平方差公式计算.;201320152014)1(2⨯- ()()()()11112322++-+x x x x ）（ 六、目标检测设计1．下列各式中，不能运用平方差公式的是( ).A ．(m －n )(－m －n )B ．(x ³－y ³)(y ³＋x ³)C ．(－m ＋n )(m －n )D ．(2x －3)(2x ＋3) 设计意图：考查学生对平方差公式结构特征的理解．2．计算：(1)(mn ＋9)(9－mn )； (2)2x (x －1)－(2x ＋1)(1－2x )．设计意图：考查学生对平方差公式的理解及运用．3．计算：1998×2002．设计意图：考查学生对平方差公式的应用——两个数乘积的简便计算的掌握．。