中南大学高等数学下册试题全解

--○○○○………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………一、填空题（每小题分，总计分）、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为（ ）、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（ ）、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则(),,d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ）、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑⎰⎰可化为二重积分为（ ）、微分方程212y x y'=-满足初始条件()10y =的解为（ ）--=1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ）152=z ； （）154222=+-z y x ； 152=z ； （）()15422=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,f f f fx y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，则（ ） 2fy x∂∂∂； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）⎰⎰-+2122y yxydx dy ；⎰⎰-+412xx xydy dx （）⎰⎰-+2122y yxydy dx2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则=⎰( )（）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（）.（）12y y -也是方程的解（）122y y -也是方程的解三、（分）设平面∏:2450x y z---=,且直线0 :30x y blx ay z++=⎧⎨+--=⎩在平面∏上，求,a b的值.------…………评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………四、（分）已知函数(,)f x y x y xy =++，曲线22:3C x y xy ++=，C 上的最大方向导数.----五、（分）计算由旋转抛物面226z x y =--及锥面z =所围成的立体的体积.六、求解下列各题（每题分，共分）{},1d d xy x y ，其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤.sin )()y y dx x e dy +++，其中L 是从(1,0)A 沿y =到(1,0)B -的--七、（分）计算I xydydz yzdzdx xzdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是平面0,0,0,2x y z x y z ===++=所围空间区域整个边界曲面的外侧.--…………评卷密封线…………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………具有二阶连续导数，(cos )xz f e y =满足2cos )x xy e ，若(0)0,(0)0f f '==， ()f u 的表达式．(),()3y x b z x a x b =-+=-+-，代入平面∏方5,2a b =-=-.--解法二：过直线l 的平面束方程设为3()0x ay z x y b λ+--+++= （或(3)0x y b x ay z λ++++--=），即(1)()30x a y z b λλλ+++--+= （或(1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=）， 由题意知11241a λλ++-==--（或11241a λλλ++-==--）， 解得5,1a λ=-=，将5,1a λ=-=及平面∏上的点(1,2,5)-代入平面束方程，求得2b =-.四．解：最大方向导数即为梯度的模，(,)(1,1),(,)gradf x y y x gradf x y =++=令2222(,,)(1)(1)(3)F x y x y x y xy λλ=++++++-,由222(1)(2)02(1)(2)030x y F x x y F y y x x y xy λλ=+++=⎧⎪=+++=⎨⎪++-=⎩，解得1211,,,1112x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，比较：(1,1)gradf =(2,1)(1,2)3gradf gradf -=-=，(1,1)0gradf --=，所以(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为.五．解法一： 26222032(6)3xyr rD V dv rdrd dz d r r rdr πθθπ-Ω===--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 解法二：1226262120202832(6)833z zD D V V V dz dxdy dz dxdy z dz z dz πππππ=+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.六．解： .123D D D I dxdy dxdy xydxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰--12221110221x xdx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰19ln 24=+ .因为1P Q y x∂∂==∂∂，所以该曲线积分与路径无关， 选择积分路径从(1,0)A 沿x 轴到(1,0)B -，易得11(10)2I dx -=+=-⎰七．解法一：利用高斯公式，3222200()333 2.6xx yI xydydz yzdzdx xzdxdy y z x dvx zdv dx dy zdz dx ∑Ω---Ω=++=++-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性（2）解法二：在平面0,0,0x y z ===上，积分值为，只需计算:2x y z '∑++=（取上侧）上的积分.因cos cos cos αβγ===(()dS I xydydz yzdzdx xzdxdy xy yz xz xy yz xz dxdy '''∑∑∑=++=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]22220(2)(2)()2xyxD xy y x y x x y dxdy dx x y xy x y dy -=+--+--=---++=⎰⎰⎰⎰.解法三：在平面0,0,0x y z ===上，积分值为，只需计算:2x y z '∑++=（取上侧）上的积分.2202(2)(2)3xyxD xzdxdy x x y dxdy xdx x y dy -'∑=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得23xydydz yzdzdx xzdxdy '''∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以，2323I =⋅=.--八．解：（）因为2222(cos )cos ,(cos )cos (cos )cos ,x x x x x x zzf e y e y f e y e y f e y e y x x∂∂''''==+∂∂ 2222(cos )sin ,(cos )sin (cos )cos ,x x x x x x zzf e y e y f e y e y f e y e y yy∂∂''''=-=-∂∂ 所以,已知条件22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂化为22(cos )4(cos )cos x x x x xf e y e f e y e y e ''⎡⎤=+⎣⎦，所以函数()f u 满足方程()4()f u f u u ''=+.（）方程()4()f u f u u ''=+的特征方程为240r -=，得特征根1,22r =± 所以，其对应齐次方程的通解为2212()uu f u C eC e -=+，设非齐方程的特解为*y Au B =+，代入原方程，得1,04A B =-=得非齐方程的一个特解为*4uy =-，故方程的通解为 2212()u u f u C e C e -=+4u-，由(0)0,(0)0f f '==得1212012204C C C C +=⎧⎪⎨--=⎪⎩,得1211,1616C C ==-, 故221()(4)16u uf u e e u -=--．。

中南大学复习题及参考答案《高等数学》一、填空题1．函数1142-+-=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62-x 3．________________sin lim =-∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。

由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。

∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim0=-=---→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。

因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--=Λ21, 则()=+1n y (1)!n + 8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

1高等数学（下册）试题（含详细解答与点评）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面 D ．球面【答案】B【解析】考查了常见二次曲面的方程。

方程(,)0f x y =在空间表示母线平行于z 轴的柱面。

不难得到答案为B 。

注：一般来讲，关于x 、y 、z 的方程中不含哪一个字母，方程就表示母线平行于哪个轴的柱面。

2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π【答案】A【解析】考查了二元函数极限的计算。

由于函数2arcsin()x y +在定义区域内是连续的，从而在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处是连续的，所以 221201limarcsin()arcsin(0)26x y x y π→→+=+=。

3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y x f )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f drd θD ．⎰⎰⎰π12)(Rdz r f rdrd θ2【答案】B【解析】本题考查了在柱面坐标下二重积分的计算。

积分区域可表示为 :01,(,)z x y D Ω≤≤∈， 其中D 是上述区域在Oxy 平面上的投影，且 :0,02D r R θπ≤≤≤≤， 所以2122220()()()R ΩΩf xy dxdydz f r rdrd dz d rdr f r dz πθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y【答案】C【解析】考查了微分方程的解与特解的概念。

2020年中南大学期末考试高 等 数 学 A （下）（满分：100分 考试时间：100分钟）一、选择题：1~5小题，每小题3分，共15分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请将答案填写在对应的括号内。

1．已知向量a 、b 的模分别为22a b ==，，且10a b +=，则a b ⨯=（ ） （A ）2（B ）（C （D ）12．设可微函数(),f x y 在()00,x y 处取得极小值，下列结论正确的是（ ） （A ）()00,0y f x y = （B ）()00,0y f x y < （C ）()00,0y f x y > （D ）()00,y f x y 不一定存在3．设(),f x y 在D 域()()22211x y ρ-+-≤上连续,则()21lim,Df x y d ρσπρ→⎰⎰=（ ）（A ）()0,0f （B ）()0,1f （C ）()1,1f （D ）0 4．设()f x 为连续函数。

()()1ttyF t dy f x dx =⎰⎰，则()'2F =（ ）（A ）2()2f （B ）()2f （C ）()2f - （D ）05．设非齐次线性微分方程()()'y R x y Q x +=有两个不同的解()()12y x y x 、，则该方程的通解为（ ）（A ）()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()()212y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦ （C ）()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ （D ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ 二、填空题：6~10小题，每小题3分，共15分。

请将答案填写在对应的横线上。

6．已知直线L 的方程为1111x y z-==-，则将L 绕z 轴旋转一周得到的曲面∑的方 程_______________________________。

高等数学2一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b = ，则a b ⨯= (4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--.3．(,)(0,2)lim x y →=18. 4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ 1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==.6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y =()x e x C -+.8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e +.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.二．解答下列各题(每小题8分，本大题满分16分)1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。

（5分）2222(cos 1)2(sin )(cos 1)x z y z xy z z x z ∂+-⋅-⋅=∂+ 22232(cos 1)4sin (cos 1)y z x y z z ++=+. 。

（8分） 2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.解：解方程组2204620x yf x y f x y '=-=⎧⎪⎨'=--=⎪⎩， 得驻点(1,1)，(2,2). 。

一. 单选题（共25题,共100分）1. 若在为（）. （4分）2. 设（4分）C.D.3. 的值为（）. （4分）4. 下列无穷积分中收敛的是()。

（4分）A.B.C.D.5. 下列函数中为偶函数的是（）（4分）A.B.C.D.6. 下列说法正确的是（）（4分）A.若可导B.若不连续C.若极限不存在D.若不可导7. 若内（）. （4分）A.B.C.D.8. （4分）D.9. 设函数（4分）B.C.D.E.11. 设函数（4分）A.B.C.D.12. 若（4分）A.B.C.D.13. 设（4分）A.B.C.D.14. 设则（）. （4分）A.B.C.D.15. 二重极限（4分）C.等于16. 函数在点处（）．（4分）17. 函数处（）（4分）18. （4分）19. 函数（4分）20. 若函数（4分）A.B.C.D.21. 下列函数中，（）不是基本初等函数．（4分）A.B.C.D.22. 函数的连续区间是（）（4分）A.B.C.D.8af41950-b1bc-single23. 设可导的（）（4分）4459256a-f13b-single24. 设记，则有（）. （4分）A.B.C.D.1fd6c4b4-ecd9-single25. 已知（4分）第二套一. 单选题（共25题,共100分）ab25448a-4896-single1. 设齐次线性方程组的系数矩阵记为A，若存在3阶非零矩阵B，使AB=0，则（）（4分）A.B.C.D.084201bf-ec80-single2. 设向量组不能由线性表示，则对于任意常数k必有（）（4分）A.线性无关B.线性相关C.线性无关D.线性相关557467a0-4af9-single3. 向量组线性相关的充分必要条件是() （4分）A.中含有零向量B.中有两个向量的对应分量成比例C.中每一个向量都可由其余个向量线性表示D.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示fcd94325-e911-single4. 微分方程的通解为（）（4分）A.B.C.D.e063cd0e-b657-single5. A为3阶矩阵，（4分）A.B.2C.e8bc7257-565a-single6. 设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（）．（4分）d85d9502-509f-single7. 若的值为() （4分）7b5bb558-c1b2-single8. 设（4分）14f9b70c-b900-single9. 已知（4分）C.;D.-bdb4841d-7350-single10. M为n阶方阵，的一个特征值为(). （4分）设A、B均为n阶方阵，则必有（）. （4分）A.C.D.A是n阶正定矩阵的充分必要条件是（）. （4分）A.B.存在n阶矩阵C使094dae6c-371f-single13. 微分方程特解形式可设为（（4分）B.C.D.E.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有（）（4分）A.B.C.D.26c1c271-3ae6-single15. 方程是（）（4分）A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，则（）. （4分）A.D.f744a7dd-d0be-single17. ,则必有() （4分）A.B.C.D.0c63d9b9-2607-single18. 已知非齐次线性方程组是其导出组（4分）4a92f68a-ad91-single19. 二次型的矩阵表示为() （4分）A.B.C.D.5052f555-8f89-single20. 设级数（）. （4分）含s个向量的向量组线性无关的充要条件是() （4分）下列命题中正确的是（（4分）D.任何必然线性相关E.若只有才成立，且线性无关。

高等数学〔下册〕试卷〔一〕一、填空题〔每题3分，共计24分〕1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 那么弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的局部的外侧，那么=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题〔每题2分，共计16分〕1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是〔 〕 〔A 〕),(y x f 在),(00y x 处连续；〔B 〕),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域存在；〔C 〕y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；〔D 〕0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，那么2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于〔 〕〔A 〕y x +；〔B 〕x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 那么三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于〔 〕〔A 〕4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；〔B 〕⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；〔C 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；〔D 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。