高中数学人教A版【精品习题】(必修2)配套练习 第三章3.1.1

第三章一、选择题．(·临沧高一检测)直线、的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直[答案][解析]设方程－－＝的两根为、，则＝－.∴直线、的斜率＝－，故与垂直．．(·盐城高一检测)已知直线的倾斜角为°，直线∥，直线⊥，则直线与的倾斜角分别是( )．°，°．°，°．°，°．°，°[答案][解析]∵∥，∴直线与的倾斜角相等，∴直线的倾斜角为°，又∵⊥，∴直线的倾斜角为°.．满足下列条件的直线与，其中∥的是( )①的斜率为，过点()、()；②经过点()、(－)，平行于轴，但不经过点；③经过点(－)、(－，－)，经过点(－，)、()．．①②．②③．①③．①②③[答案][解析]＝＝，∴与平行或重合，故①不正确，排除、、，故选．．已知直线和互相垂直且都过点()，若过原点()，则与轴交点的坐标为( )．() ．()．() ．()[答案][解析]设与轴交点为(，)，∵⊥，∴＝－.∴＝－.∴×＝－，解得＝，即与轴交点的坐标为()．．已知直线经过两点(－，－)，(－)，直线经过两点()、(，)，且⊥，则＝( ) ．．－．．[答案][解析]∵⊥且不存在，∴＝，∴＝.故选．．直线的斜率为，∥，直线过点(－)且与轴交于点，则点坐标为( )．() ．(－)．(，－) ．()[答案][解析]设(，)，∵∥，∴＝，∴＝，故选．二、填空题．经过点(－，－)和点(，)的直线与倾斜角是°的直线平行，则＝[答案][解析]由题意，得°＝，解得＝.．已知△的三个顶点分别是()、()、()，点()在边的高所在的直线上，则实数＝[答案][解析]由题意得⊥，则有＝－，所以有·＝－，解得＝.三、解答题．已知在▱中，()、()、()()求点的坐标；()试判定▱是否为菱形？[解析]()设(，)，∵四边形为平行四边形，∴＝，＝，∴错误!，解得错误!.∴(－)．()∵＝＝，＝＝－，∴·＝－.∴⊥．∴▱为菱形．．△的顶点(，－)、()、(，)，若△为直角三角形，求的值[解析]()若∠＝°，则⊥，·＝－，＝＝－，＝＝－.。

§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为() A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为() A．1 B．－1 C．2 D．－24．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为() A．－24 B．6 C．±6 D．以上答案均不对5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 6．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距的两倍的直线l的方程．二、能力提升9．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2015·西安高新一中月考)点(1,2)到直线y ＝2x ＋1的距离为( ) A.55 B.255C. 5D ．2 5 解析： 直线y ＝2x ＋1即2x －y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|2×1－2＋1|22＋(－1)2＝55，选A. 答案： A2．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( )A. 3B ．－ 3C ．－33 D.3或－33解析： |3＋3m －4|2＝1，解得m ＝3或－33，故选D. 答案： D3．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是( )A ．b 1－b 2B.|b 1－b 2|1＋k 2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析： 两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0，所以d ＝|b 1－b 2|1＋k 2.故选B.答案： B4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析： 所求为过A (1,2)，且垂直OA 的直线，所以k ＝－12，故所求直线为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2015·珠海希望之星月考)直线5x ＋12y ＋3＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析： 直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，所以两平行直线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3－5252＋122＝126. 答案： 126 6．一直线过点P (2,0)，且点Q ⎝⎛⎭⎫－2，433到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________． 解析： 当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°， 当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，由d ＝⎪⎪⎪⎪－2k －433－2k k 2＋1＝4， 解得k ＝33. 所以直线的倾斜角为30°.答案： 90°或30° 7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．解析： 如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2， 所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案： 2x ＋y －5＝0三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于2.解析： 设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 中点M 的坐标为(3，－2)，而AB 的斜率为k AB ＝－1－(－3)2－4＝－1. ∴线段AB 的垂直平分线方程为y －(－2)＝x －3.即x －y －5＝0.而点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，故将(a ，b )代入方程，得a －b －5＝0，①由P 到l 的距离为2，得|4a ＋3b －2|42＋32＝2.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧ a ＝277，b ＝－87.∴所求P 点为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解析： (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)， 整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3， 即|14＋C |5＝3， 解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( )A ．0＜d ≤3B ．0＜d ≤5C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析： 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5，故选B.答案： B11．已知x ＋y －3＝0，则(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为____________．解析： 设P (x ，y )在直线x ＋y －3＝0上，A (2，－1)，则(x －2)2＋(y ＋1)2＝|PA |.|PA |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 答案： 2 12．直线l 过点A (2,4)，且被两平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．解析： ∵线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，∴设中点坐标为P (a,3－a )． 又∵中点P 到两平行直线的距离相等，∴|2a －2|2＝|2a －4|2，∴a ＝32.即P ⎝⎛⎭⎫32，32.又∵直线l 过点A (2,4)，∴k l ＝4－322－32＝5， 故所求直线l 的方程为5x －y －6＝0.13．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解析： ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2. (1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0. ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.。

第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( )A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB 所在直线的斜率之和为( )A．－2 3 B．0 C. 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )A．[0°，90°] B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的 坐标． 二、能力提升9．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________． 12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f a a ，f b b ，f cc的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3. 8．解 设P (x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意， 由光的反射定律得k PA ＝－k PB ， 即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f xx可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f c c >f b b >f aa.。

椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学·选择性必修第一册》（人教A版）第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。

用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。

17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。

在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。

在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。

由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。

因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

二、教学目标：按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。

2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三、教学重难点：重点：椭圆定义的形成过程、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用四、教法分析：新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。

第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0 C. 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°] B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的 坐标． 二、能力提升9．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3.8．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a.。

3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−32)，求它的标准方程．解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．由椭圆的定义知c=2，2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，所以a=√10，所以b2=a2−c2=10−4=6．所以，所求椭圆的标准方程为x2 10+y26=1．例2 如图3.1-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？图3.1-5分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程．解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则点D的坐标为(x0,0)，由点M是线段PD的中点，得x=x0，y=y02．因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4．①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，即x24+y2=1．所以点M的轨迹是椭圆．例3如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为(−5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是−49，求点M的轨迹方程．图3.1-6分析：设点M的坐标为(x,y)，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是−49，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是(−5,0)，所以直线AM的斜率k AM=yx:5(x≠−5)．同理，直线BM的斜率k BM=yx;5(x≠5)．由已知，有y x:5×yx;5=−49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x2 25+y21009=1(x≠±5)．点M的轨迹是除去(−5,0)，(5,0)两点的椭圆．练习1．如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为____【答案】14【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，可得PF2的长.【详解】解：根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，又椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，∴6+|PF2|=20，故|PF2|=14，2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；（2）a=4，c=√15，焦点在y轴上；（3）a+b=10，c=2√5．【答案】（1）x216+y2=1；（2）y216+x2=1；（3）x236+y216=1或y236+x216=1.【分析】（1）根据已知直接得出方程；（2）根据已知求得b，即可得出方程；（3）由已知联立求得a,b即可得出方程.【详解】（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆方程为x216+y2=1；（2）由a=4，c=√15可得b2=a2−c2=1，又焦点在y轴上，所以标准方程为y216+x2=1；（3）联立{a+b=10 c=2√5a2=b2+c2，解得a=6,b=4，所以标准方程为x236+y216=1或y236+x216=1.3．已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.（1）求ΔAF1B的周长;（2）如果AB不垂直于x轴,ΔAF1B的周长有变化吗?为什么?【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析【分析】根据椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a求解.【详解】（1）由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10，所以ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.（2）不变，由椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.4．已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？【答案】点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0)【分析】设出点M的坐标，求出直线AM,BM斜率，由k AMk BM=2可求出.【详解】设点M的坐标为(x,y)，则k AM=yx:1(x≠−1)，k BM=yx;1(x≠1)，当y≠0时，k AMk BM =x;1x:1=2，整理得x=−3(y≠0)，所以点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0).3.1.2 椭圆的简单几何性质例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把原方程化成标准方程，得x2 52+y242=1，于是a=5，b=4，c=√25−16=3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e=ca =35，两个焦点坐标分别是F1(−3,0)和F2(3,0)，四个顶点坐标分别是A1(−5,0)，A2(5,0)，B1(0,−4)和B2(0,4)．练习5．你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？【答案】能. 依据见解析.【分析】根据椭圆中a2=b2+c2的几何表示，即原点、焦点、短轴端点构成直角三角形，且体现a2=b2+c2求解.【详解】能.如图，以点B2(或B1)为圆心, |OA2|(或|OA1|)为半径画圆弧，与x轴交于点F1,F2，则点F1,F2就是椭圆的两个焦点.依据：因为在Rt△B2OF2中，|OB2|=b,|B2F2|=|OA2|=a，所以|OF2|=c，同理有|OF1|=c.6．求下列椭圆的焦点坐标：（1）x2100+y236=1；（2）2x2+y2=8．【答案】（1）(8,0)和(−8,0)；（2）(0,2)和(0,−2)【分析】由椭圆方程得到a2，b2，根据c2=a2−b2求出c，即可得解；【详解】解：（1）因为椭圆方程为x2100+y236=1，焦点在x轴，所以a2=100，b2=36，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√100−36=8，所以椭圆的焦点坐标为(8,0)和(−8,0)（2）因为2x2+y2=8，所以y28+x24=1，焦点在y轴，所以a2=8，b2=4，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√8−4=2，所以椭圆的焦点坐标为(0,2)和(0,−2) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【答案】（1）x236+y232=1（2）y225+x216=1【详解】试题分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程试题解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P(−3,0)，Q(0,−2)两点；（2）长轴长等于20，离心率等于35．【答案】（1）x 29+y 24=1 （2）x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2),得出{a =3b =2 ,代入方程即可.（2）由条件可得{2a =20c a =35 ,则可得{a =10c =6b =8 ,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可. 【详解】解:（1）设椭圆方程为:x 2a 2+y 2b 2=1,因为椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2), A (−3,0),B (0,−2)分别为左顶点和下顶点, 所以得{a =3b =2,所以椭圆标准方程为x 29+y 24=1.（2）椭圆的长轴长等于20, 离心率等于35依题意: {2a =20c a =35 ,所以{a =10c =6，由b 2=a 2−c 2=64,即b =8所以椭圆标准方程为:x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.9．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）9x 2+y 2=36与x 216+y 212=1；（2）x 2+9y 2=36与x 26+y 210=1． 【答案】（1）x 216+y 212=1更接近于圆；（2）x 26+y 210=1更接近于圆.【分析】探究可得离心率e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果.【详解】因为椭圆的离心率e =ca =√1−(b a )2，所以e 越大，ba 越小，椭圆越扁；e 越小，ba 越大，椭圆越圆. （1）椭圆9x 2+y 2=36即x 24+y 236=1，其离心率e 1=√1−436=2√23，椭圆x 216+y 212=1的离心率e 2=√1−1216=12，因为e 2<e 1，所以椭圆x 216+y 212=1更接近于圆； （2）椭圆x 2+9y 2=36即x 236+y 24=1，其离心率e 3=√1−436=2√23，椭圆x 26+y 210=1的离心率e 4=√1−610=√105，因为e4<e3，所以椭圆x26+y210=1更接近于圆.例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）．图3.1-11解：建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0)．在Rt△BF1F2中，|F2B|=√|F1B|2+|F1F2|2=√2.82+4.52．由椭圆的性质知，|F1B|+|F2B|=2a，所以a=12(|F1B|+|F2B|)=12(2.8+√2.82+4.52)≈4.1；b=√a2−c2=√4.12−2.252≈3.4．所以，所求的椭圆方程为x2 4.12+y23⋅42=1．例6 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹．解：如图3.1-12，设d是点M到直线l:x=254的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合。

3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋 转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程． 三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)， 则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.13．解 已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.。