三阶卡尔曼滤波数字锁频环设计及性能分析

卡尔曼滤波器设计卡尔曼滤波器是一种优化的、递归的滤波器，用于在含有噪声的输入数据中估计未知状态的值。

它通过组合测量值和先验信息来估计系统状态，并且在每个时刻都更新估计值。

在本文中，将详细介绍卡尔曼滤波器的设计原理和步骤。

1.定义系统模型：首先要确定系统的状态方程和测量方程。

系统的状态方程描述了状态变量如何根据控制输入和噪声的作用而演化，而测量方程则描述了如何根据状态变量和噪声来进行测量。

2.初始化：在开始使用卡尔曼滤波器之前，需要对滤波器的状态进行初始化。

通常可以使用系统的初始状态和初始协方差矩阵来进行初始化。

3.预测：在每个时刻，通过状态方程对系统的状态进行预测，同时计算预测状态的协方差矩阵。

预测的结果是根据先验信息得出的，不考虑测量值。

4.更新：在收到测量值后，根据测量方程和预测的状态，计算卡尔曼增益和估计误差协方差矩阵。

根据测量残差和卡尔曼增益的计算结果，更新状态估计值和协方差矩阵。

5.迭代：根据测量值和状态估计值的更新结果，再次进行预测和更新。

在卡尔曼滤波器设计过程中，需要确定以下几个参数：1.系统模型参数：包括状态方程中的状态转移矩阵和控制矩阵，以及测量方程中的测量矩阵。

2.协方差矩阵：包括初始状态的协方差矩阵、过程噪声的协方差矩阵和测量噪声的协方差矩阵。

协方差矩阵的选择与问题的性质有关，通常可以通过经验或分析来确定。

3.卡尔曼增益：卡尔曼增益描述了测量残差和状态估计值之间的关系。

根据测量噪声的大小和系统动态的可观测性来确定卡尔曼增益的大小。

在实际应用中，卡尔曼滤波器常用于处理连续时间的数据，例如追踪、定位和导航等领域。

它在估计系统状态时具有较低的计算复杂度和良好的性能。

然而，卡尔曼滤波器的设计需要对系统动态和噪声特性有一定的了解，且对参数的选择较为敏感。

综上所述，卡尔曼滤波器是一种优化的、递归的滤波器，在处理含噪声的输入数据时可以准确估计系统状态。

通过合理选择系统模型参数和协方差矩阵的大小，可以优化滤波器的性能。

3 卡尔曼滤波器的简介3.1 卡尔曼滤波器的概述卡尔曼滤波器[4]由一系列递归数学公式描述，它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。

卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。

根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。

假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。

我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise ），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution ）。

另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。

我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。

下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k 时刻的是实际温度值。

首先你要根据1k -时刻的温度值，来预测k 时刻的温度。

因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k 时刻的温度预测值是跟1k -时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果1k -时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。

然后，你从温度计那里得到了k 时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。

究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差来判断。

因为252(5242)Kg ∧∧∧∧=+，所以0.78Kg =，我们可以估算出k 时刻的实际温度值是：230.78(2523)24.56+*-=度。

卡尔曼，美国数学家和电气工程师。

1930年5月19日生于匈牙利首都布达佩斯。

1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。

1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。

1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。

1964～1971年到斯坦福大学任教授。

1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。

1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。

卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。

1960年卡尔曼还提出能控性的概念。

能控性是控制系统的研究和实现的基本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。

卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。

为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。

卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。

什么是卡尔曼滤波最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。

从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。

为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波精彩文档理论。

卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。

它适合于实时处理和计算机运算。

卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。

它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。

卡尔曼滤波器介绍
摘要
在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。

Kalman滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算(递归的)方法。

它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。

本文的目的是提供一种对离散的Kalman滤波器的实用介绍。

这些介绍包括对基本离散kalman滤波器、起源和与之相关的简单(有形)的带有真实数字和结果的描述和讨论。

1、离散的kalman滤波器
在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。

关于kalman滤波器一般方法的友好介绍可以在〔maybeck79〕的Chapter.1中找到，但是更完整部分的讨论能在〔Sorenson70〕中发现，它还包括许多有趣的历史解释。

在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多参考。

估值过程
Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态X∈R n的一般性问题，定义线性随机差分方程
1。

Kalman滤波算法的特点：（1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。

（2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。

系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。

（3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。

（4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。

在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。

另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。

Kalman滤波的应用领域一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。

Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。

（1）导航制导、目标定位和跟踪领域。

（2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。

（3）天气预报、地震预报。

（4）地质勘探、矿物开采。

（5）故障诊断、检测。

（6）证券股票市场预测。

具体事例：（1）Kalman滤波在温度测量中的应用；（2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用；（3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用；（4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用；（5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用；。

三次曲线卡尔曼滤波随着科学技术的不断发展，人们开始对各种数据进行更精准、更可靠的估计和预测。

在这个过程中，滤波算法是一个非常关键的技术手段。

卡尔曼滤波就是比较著名的一种滤波算法，而三次曲线卡尔曼滤波则是对传统卡尔曼滤波的改进。

传统的卡尔曼滤波算法是基于线性系统模型的，但是在许多实际应用中，这种线性模型并不能很好地适应实际情况。

例如，在机器人运动控制、飞行器导航、探测器定位等领域，非线性系统模型更为常见。

为了解决这个问题，三次曲线卡尔曼滤波被引入到滤波领域。

三次曲线卡尔曼滤波的基本思路是，用三次多项式来近似非线性系统模型。

这种方法的优点是既能够适应非线性系统，又能保证滤波结果的精度。

在实际应用中，三次曲线卡尔曼滤波主要用于曲线拟合、信号处理、运动轨迹估计、偏差补偿等方面。

下面我们来具体了解一下三次曲线卡尔曼滤波的原理和应用。

一、三次曲线卡尔曼滤波原理三次曲线卡尔曼滤波是非线性滤波算法，其基本原理是通过对系统模型进行多项式拟合，将非线性问题化为线性问题，然后利用卡尔曼滤波器来进行估计和预测。

三次曲线卡尔曼滤波器假设系统运动以三次多项式表示，即s(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3其中，s(t)为系统的状态（例如机器人位置、速度等），a0、a1、a2、a3是多项式系数，t为时间。

对于每个时刻t，系统的状态向量可以表示为x(t) = [s(t), s'(t), s''(t), s'''(t)]T其中，x(t)为系统状态向量，s'(t)、s''(t)和s'''(t)分别表示系统状态的一、二、三阶导数。

在三次曲线卡尔曼滤波中，系统模型可以表示为：x(t+1) = Fx(t) + Bu(t) + w其中，F为状态转移矩阵，B为输入控制矩阵，u(t)为外部输入控制向量，w为系统噪声。

观测方程可以表示为：y(t) = Hx(t) + v其中，y(t)为观测值，H为观测矩阵，v为观测噪声。

三状态卡尔曼滤波器的解析稳态解
钱健民
【期刊名称】《火控雷达技术》
【年(卷),期】1991(000)001
【摘要】对于只有位置测量值的离散卡尔曼——布西滤波器,本文给出了它的闭式稳态解。

通过对维纳和卡尔曼滤波算法的比较得到了本文所述的方法,所得出的结果可以给出先验的跟踪性能,从而在最初的设计中是有用的。

【总页数】13页(P39-51)
【作者】钱健民
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O211.64
【相关文献】
1.动力系统状态空间的数学描述：第2章线性稳态系统状态方程的解 [J], 里沃夫;丁明道
2.基于模糊卡尔曼滤波器的锂电池荷电状态与健康状态预测 [J], Daniil Fadeev; 张小周; 董海鹰; 刘浩; 张蕊萍
3.大流速渗透地层三管冻结稳态温度场解析解 [J], 张世琪;荣传新;王彬;施鑫;董艳宾;杨凡
4.基于H∞扩展卡尔曼滤波器模型不确定性的动态状态估计 [J], 范俊
5.基于并行卡尔曼滤波器的锂离子电池荷电状态估计 [J], 朱奕楠;吕桃林;赵芝芸;杨文
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