山东省高三数学人教A版选修2-1课时作业：3.1.3 空间向量的数量积运算 Word版含解析

量及其运算（2）教案 新人教A版选修2-1

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

神笛2005

神笛2005

第三章 3.1 课时作业26

一、选择题

1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，

∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)

＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.

答案：A

2．下列命题：①若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；②若a≠0且a·b＝a·c，则b＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：若a·b＝0⇒|a||b|cos〈a，b〉＝0⇒a＝0或b＝0，或cos〈a，b〉＝90°，故①不正确；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，尽管有a≠0，也不能得到b＝c，因为有可能a⊥(b－c)，故②不正确；③不正确，理由是(a·b)·c＝λc(即(a·b)·c∥c)，而a·(b·c)＝μa(即a·(b·c)∥a)，而a与c不一定共线，当然λc与μa不一定相等；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－6a·b＋6a·b－4b·b＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2，故只有④正确．

答案：B

3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0.AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD是( )

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形

C. 直角三角形 D. 不确定

解析：∵AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0.

∴AB，AC，AD两两垂直．

∴BC2＝AB2＋AC2，CD2＝AC2＋AD2，BD2＝AB2＋AD2， 神笛2005

神笛2005 ∴BC2

∴△BCD是锐角三角形．

答案：B

4．[2014·湖北省襄阳五中月考]在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量BA1→与向量AC→所成的角为( )

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第 1 页 共 2 页 第四课时3.1.3空间向量的数量积运算

教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

1.复习平面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.

二、新课讲授

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞． 当＜a、b＞＝０时，a与b同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b)

2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则''AB叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：''AB＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

3.1.3 空间向量的数量积运算

1.下列命题中,不正确的有( D )

①=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

解析:①②③正确,④不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.故选D.

2.正方体ABCDA′B′C′D′中,<,>等于( D )

(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°

解析:因为B′D′∥BD,所以A′B,B′D′的夹角即为A′B,BD的夹角.因为△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°.由向量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°.故选D.

3.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( A )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件

解析:若a·b=|a||b|,则=0°,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则=0°或180°,a·b=±|a||b|.故选A.

4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

解析:①,②均正确;③不正确,因为与夹角为120°.

5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为( B )

(A)- (B) (C) (D)

解析:如图,由图知直线AM与CN所成角等于<,>,=+, =+,

所以·=(+)·(+)=·+·+·+·

=,||===,

||==.

所以cos<,>===.

6.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( D )

(A)60° (B)30° (C)135° (D)45°