2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

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2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章

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§3。1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量的线性运算

学习目标 1。了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念。2。会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律。3。掌握数乘向量运算的意义及运算律．

知识点一 空间向量的概念

1．在空间中,把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B,则向量a也可记作错误!，其模记为｜a｜或|错误!｜。

2．几类特殊的空间向量

名称 定义及表示

零向量 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0

单位向量 模为1的向量称为单位向量

相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

共线向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

或平行向量 的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

知识点二 空间向量的加减运算及运算律

1．类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算．

错误!＝错误!＋错误!＝a＋b，

错误!＝错误!－错误!＝a－b.

2．空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a，

空间向量加法结合律

(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．

知识点三 数乘向量运算

1．实数与向量的积

与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)｜λa｜＝|λ｜|a｜.

(2)当λ〉0时，λa与向量a方向相同；当λ〈0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．空间向量数乘运算满足以下运算律

（1）λ(μa）＝（λμ)a;

（2)λ(a＋b）＝λa＋λb。

1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．（ √ ）

2．零向量没有方向．（ × )

3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ）

4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × ) 2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

题型一 空间向量的概念理解

例1 （1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ）

A．空间向量不满足加法结合律

B．若|a｜＝|b｜,则a，b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量错误!，错误!满足｜错误!｜＞|错误!｜，则错误!＞错误!

D．相等向量其方向必相同

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量

答案 D

解析 A中,空间向量满足加法结合律；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定;C中，向量作为矢量不能比较大小,故选D。

(2)给出以下结论:

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；

②在正方体ABCD－A1B1C1D1中,必有错误!＝错误!；

③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p,则m＝p。其中不正确的个数是( ）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 B

解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确;在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有错误!＝错误!成立,故②正确;③显然正确．故选B。

反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

跟踪训练1 （1)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对向量:①错误!与错误!；②错误!与错误!；③错误!与错误!；④错误!与错误!。其中互为相反向量的有n对，则n等于( ) 2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 B

解析 对于①错误!与错误!，③错误!与错误!长度相等,方向相反,互为相反向量；对于②错误!与错误!长度相等，方向不相反;对于④错误!与错误!长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．

（2)如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中,AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？

②试写出模为5的所有向量．

③试写出与向量错误!相等的所有向量．

④试写出向量错误!的所有相反向量．

解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量错误!，错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!，错误!，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为错误!，故模为错误!的向量有错误!,错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.

③与向量错误!相等的所有向量(除它自身之外)有错误!，错误!及错误!。

④向量错误!的相反向量有错误!，错误!，错误!，错误!。

题型二 空间向量的加减运算

例2 如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量． 2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

(1）错误!－错误!；

(2)错误!＋错误!＋错误!.

解 （1）错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!.

（2）错误!＋错误!＋错误!＝(错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

向量AD′-→，错误!如图所示．

引申探究

利用本例题图,化简错误!＋错误!＋错误!＋错误!.

解 结合加法运算

错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＝0.

故AA′-→＋错误!＋错误!＋错误!＝0.

反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧

（1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．

(2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证:错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。

证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

∴错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!，

∴错误!＋错误!＋错误! 2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

＝（错误!＋错误!）＋(错误!＋错误!)＋（错误!＋错误!）

＝2（错误!＋错误!＋错误!)．

又∵错误!＝错误!，错误!＝错误!,

∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!

＝错误!＋错误!＝错误!。

∴错误!＋错误!＋错误!＝2错误!.

题型三 数乘向量运算

例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量:

(1)错误!;（2)错误!；（3)错误!＋错误!。

解 (1）错误!＝错误!＋错误!

＝（错误!＋错误!)＋错误!错误!

＝a＋c＋错误!b.

（2)错误!＝错误!＋错误!

＝－错误!＋错误!＋错误!错误!

＝－a＋b＋错误!c。

(3)错误!＋错误!＝(错误!＋错误!＋错误!)＋（错误!＋错误!）

＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!

＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!

＝错误!a＋错误!b＋错误!c。

引申探究

若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且错误!＝错误!”，其他条件不变，如何表示错误!？

解 错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!错误!＝a＋c＋错误!b。 2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1）数形结合：利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量．

（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质．

跟踪训练3 如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记OA→＝a，错误!＝b,错误!＝c，试用向量a，b，c表示向量错误!.

解 错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!)＝错误!a＋错误!［－错误!a＋c＋错误!(b－c)]

＝错误!a＋错误!b＋错误!c.

对空间向量的有关概念理解不清致误

典例 下列说法中，错误的个数为（ )

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量错误!，错误!满足|错误!｜＝|错误!｜，错误!与错误!同向，则错误!>错误!；

③若两个非零向量错误!，错误!满足错误!＋错误!＝0，则错误!，错误!互为相反向量；

④错误!＝错误!的充要条件是A与C重合，B与D重合．

A．1 B．2 C．3 D．4

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量

答案 C

解析 ①错误，两个空间向量相等,其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．