北师版九年级数学上册《期末提分练案》6.2 方法训练 巧作平行线构造相似三角形的三种常用方法

阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

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第四章：图形的相似们今天要学习的内容:平行线分线段成比例定理。

课中作业在下图中,小方格的边长均为1，直线l1∥ l2∥ l3,分别交直线m，n与格点A1，A2,A3，B1,B2，B3。

(1）计算的值，你有什么发现？（2）将2l向下平移到如图3—7的位置,直线m，n 与2l的交点分别为21,BA你在问题(1）中发现结论还成立吗？如果将2l平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线，截得的线段成比例吗?12122323B BB BA AA A与环节二活动二。

分析探索,新知学习1.三条平行直线L1//L2//L3截直线AE上的线段AC、CE长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF上的线段BD、DF长度之间存在着什么关系呢？引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

观察上图我们容易发现下面结论成立.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等(或成比例)。

变式思考: 1.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段的比相等（或成比例），那么这条直线平行于三角形的第三边。

思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一 作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF.图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E .(1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出ADAB的值；(2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出ADAB 的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中ADAB的值．图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AFAE的值．图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BMDM ＝______；(2)若n ＝2，如图②，求证：BM ＝6DM ；(3)当n＝________时，M为BD的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S－66．2017·朝阳已知：如图11－S－7，在△ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F.(1)猜想证明：如图①，在△ABC中，若AB＝BC，学生们发现：DF＝EF.下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可通过证△DFG≌△EFC得出结论；思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可通过证△ADF≌△HEF得出结论．……请你参考上面的思路，证明DF＝EF(只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图①)，过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图②，在△ABC中，若AB＝AC，∠ABC＝2∠BAC，ABBC＝m，请你用尺规作图在图②中作出AD的垂直平分线交AC于点N(不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FNAC的值．图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BCAC；(2)若BC ＝6，AC ＝8, CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图①，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值，并说明理由．图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图②，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF ∥CA ，求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．图11－S－10详解详析1．解：如图，过点O 作OM ∥BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ， ∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ，∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b .∵OM ∥BC ， ∴△BEF ∽△MEO ， ∴BF MO ＝BEME， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点， ∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF .∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AFBF.3．解：(1)甲同学的想法：如图①，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF . ∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CFCB .∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图②，过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG . ∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CFCB.∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF .∵E 为DF 的中点， ∴ED ＝EF ， ∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13.∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图④，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝EDEF .∵DEEF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DG BC. ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG . ∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG ∥AF .又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点， ∴EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA . ∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°. 又∵∠AMD ＝60°， ∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC －∠MAD ＝30°， 即∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BECE＝1.在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)．∵∠BAM ＝∠ABM ＝30°，∴AM ＝BM ， ∴BM DM＝2. (2)证明：∵∠AMD ＝∠ABD ＋∠BAE ＝60°， ∠CAE ＋∠BAE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CAE . 又∵BA ＝AC ，∠BAD ＝∠ACE ＝60°， ∴△BAD ≌△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF ∥BD 交AE 的延长线于点F ， ∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②， 由①×②得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM .(3)∵M 为BD 的中点，∴BM ＝MD . ∵△BAD ≌△ACE ， ∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ， ∴AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·MEBM④，由③×④得CD＝5－12DA，∴n＝5－12.6．解：(1)思路1：如图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG.∵AD＝CE，∴DG＝CE.又∵∠DFG＝∠EFC，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF.思路2：如图②，过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵EH∥AB，∴∠A＝∠H.∵∠ECH＝∠BCA，∴∠H＝∠ECH，∴CE＝EH.∵AD＝CE，∴AD＝EH.又∵∠AFD＝∠HFE，∴△DF A≌△EFH，∴DF＝EF.(2)结论：MF＝AM＋FC.证明：如图③，由思路1可知：DA＝DG，△DFG≌△EFC，∴FG＝FC.∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM . ∵MF ＝FG ＋GM ， ∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图④所示．连接DN ，过点D 作DG ∥CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2∠BAC ，设∠BAC ＝x ，则∠B ＝∠ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝∠ADN ＝36°.∵∠ADG ＝∠B ＝72°，∴∠NDG ＝∠A ＝36°. 又∵∠DGN ＝∠AGD ，∴△GDN ∽△GAD ， ∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG ∶FC ＝DG ∶DA ＝1∶m . ∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )，∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1，∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝∠DPN ＝90°.又∵∠C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即∠MDQ ＋∠MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即∠MDP ＋∠NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝∠NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQDP.∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN ＝BCAC .(2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1， DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4.∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43.又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53.8．解：(1)1∶2 BD ∶BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD ∶AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ， ∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE ∶AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ，∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE ∶AF ＝OD ∶AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值是1.理由如下：由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1.9．解：(1)∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF . ∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝∠BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5.(2)连接AM 交EF 于点O ，如图①，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠MFE ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ， ∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ， ∴四边形AEMF 为菱形． 设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x . ∵四边形AEMF 为菱形， ∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ， ∴CM CB ＝CE CA ＝EMAB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103.∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ，∴EF ＝2×43×2094103＝4109.(3)如图②，过点F 作FH ⊥BC 于点H ， ∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ，∴CN ∶NH ＝CE ∶FH ，即1∶NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4∶7.设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH ∶AC ，即(4－7x )∶3＝4x ∶4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。

九年级数学上册第四章图形的相似2 平行线分线段成例平行线的作法素材（新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似 2 平行线分线段成例平行线的作法素材(新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平行线的作法1、已知:如图，△ＡBC 中,Ｄ为ＢC 的中点,过D 作任意直线交AC 于E ，交BA 的延长线于F ，求证:FBFAEC AE = 过A 作AG∥BＣ交FD 于G,可得两个基本图形２、已知：Ｅ是△ABC 的边AC 的中点,D 是A Ｂ边上任意一点，DE 与ＢＣ的延长线交于点F求证:FBFCDB AD =证法介绍：(1) 过A 作平行线)(FC FG FBFGDB AD == )(FC AG BFAGDB AD ==（2）过Ｂ作平行线BFCFEG EC EG AE DB AD ==,(3)过C 作平行线：C Ｇ=ＡD A Ｄ=GD(4）过E 作平行线BDABBD EG FB FG AB EG 2121===方法同前BCCE 21=BFBG BD ABBF GC FG FB FC -=-=21 =112-=-⋅=--BD ABBF FG BF FG BF BF FG =BDAD因此，选择最佳的求解方法,依赖于对知识的理解,对基本图形的识别和对解题规律的总结和归纳.3、已知，如图,△ABＣ中,E 、F 分别为ＢC 的三等分点，Ｄ为AC 的中点，ＢD 分别与A Ｅ、ＡF 交于点Ｍ、Ｎ，求BM:ＭN:N Ｄ （５:3：２)解法一:过Ａ作A G∥ＢＤ交CB 延长线于G 解法二：过E 、F 作BD 的平行线 解法三：过E 、F 作AC 的平行线解法四:连DF,过D 作DG∥BＣ４、△AＢC 中，AD 平分∠BAC，求证：DCBDAC AB = 过C 作CE∥AD 过D 作D Ｅ∥ＡC 利用面积关系 过C 作ＣE∥AB5、如图,四边形A ＢCD 中，对角线AC 、B Ｄ相交于点Ｏ，过点O 作ＥＧ∥BC 交AB 于E ，交CD 于Ｆ,交A Ｄ的延长线于G求证:OG 2=CF·GECM OG BM EG = ∴CM BMOG EG = BM OGDB DO MC GF DC DF === ∴CMBMGF GO =以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

2018-2019学年九年级数学上册第四章图形的相似《平行线分线段成比例及相似多边形》巩固练习（含解析）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第四章图形的相似《平行线分线段成比例及相似多边形》巩固练习（含解析）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平行线分线段成比例及相似多边形【巩固练习】 一、选择题1。

下列四组图形中,一定相似的是（ ） A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形 D ．正五边形与正五边形 2．如图,若AB∥CD∥EF,则下列结论中，与ADAF相等的是（ )A ．AB EF B ．CD EF C ．BO OE D ．BCBE3．如图,在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，F ，则EFBF的值是（ ）A ．2—1B ．2+2C ．2+1D ．24．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点,过点P 作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ )5．如图,已知AB∥CD∥EF，AD ：AF=3：5,BE=12，那么CE 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．524 D ．536 6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4,则BFBD的值是( )A ．43B ．34C ．73D ．74二、填空题7．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形;⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 (填序号)． 8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是 ．9．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3,则AC 的长为 ．10．如图,在△ABC 中,若DE∥BC,21DB AD ，DE=4cm ，则BC 的长为 ．11．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=31AC,DE=4，那么EF 的值是 ．12．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE 交AB于点E ，交AD 于点F ．若BC=2,则EF 的长为 ．三、解答题13。

相似三角形整理与复习【考点分析】①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． ②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比． ③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．一、比例线段1. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条 线段叫做成比例线段，简称比例线段.2. 第四比例项：若d cb a =，则d 叫a 、b 、c 的第四比例项. 3. 比例中项：若cb b a =，即ac b =2，则b 叫a 、c 的比例中项.针对练习：1、下列说法中正确的是（ ）A.两条线段的比总是整数B.两条线段的比总是正数C.两条线段的比可能为0D.两条线段的比与所采用的长度单位有关 2、下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1二、比例的性质1 基本性质：ac b cbb a bc ad d c b a =⇔==⇔=2;（a 、b 、c 、d 都不为零） 2 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．温馨提示：(1)此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b三、黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC, 如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点, AC 与AB 的比叫做黄金比.四、相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形。

4.4探索三角形相似的条件典型题汇总第1课时三角形相似的判定定理1【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对2．如图，D是直角三角形ABC直角边AC上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1＝S2＋S3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC如：证明：∵∠EDC＋∠BDC ＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠EDC.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.(答案不唯一)课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似．2．下列说法中正确的个数是(C)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A .12B ．2C ．3D ．4 自学互研 生成能力知识模块一 探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容，然后解答下列问题： 1．两角对应相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． (2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P 91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P 91页的例2. 2．完成教材P 92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD ∽△ACE .求证：△ABC ∽△ADE .分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD ＝∠CAE ，因此∠BAC ＝∠DAE ，再进一步证明BA AD ＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE .又∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE .∵△ABD ∽△ACE ，∴AB AD ＝AC AE .在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC ＝∠DAE ，AB AD ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE .对应练习：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADEC .AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB ·CE .求证：△ADB ∽△EAC .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE .∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB ，即AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三角形相似的判定定理2 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用检测反馈 达成目标1．下列条件能判断△ABC 和△A ′B ′C ′相似的是( C ) A .AB A′B′＝AC A′C′B .AB A′B′＝AC A′C′且∠A ＝∠C ′ C .AB BC ＝A′B′A′C′且∠B ＝∠A ′ D .AB A′B′＝AC A′C′且∠B ＝∠B ′2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC相似的是(B) ,A),B),C) ,D)3．已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BF A＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB，∴AEAC＝AFAB，∴AEAF＝ACAB，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第3课时三边成比例的两个三角形相似【学习目标】1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法．2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”．【学习难点】会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．下列说法正确的是(C)A．有一个角相等的两个等腰三角形相似B．所有的直角三角形相似C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D．所有的等腰三角形相似3．已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是图中的(C),),A),B),C),D)自学互研生成能力知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似师：我们上两节课学过什么定理？师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．画△ABC与△A′B′C′，使ABA′B′、BCB′C′和CAC′A′都等于给定的值k.(1)设法比较∠A与∠A′的大小．(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．改变k值的大小，再试一试．生：按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值．内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A＝∠A′，△ABC∽△A′B′C′，理由是：∠A＝∠A′，ABA′B′＝CAC′A′.根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC∽△A′B′C′.师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法．师：(演示课件)判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．知识模块二判定定理3的应用1．自学自研教材P94页的例3.2．完成教材P94的随堂练习．师：幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？生：先独立思考，然后小组合作交流． 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.判断方法有：1.三边成比例的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；4.定义法．目的：巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课：相似三角形的判定定理1、2，与本课知识：相似三角形的判定定理3的内容系统的掌握．对应练习：1．教材P 95页习题4.7第1题．解：∵86＝43，107.5＝43，129＝43.∴86＝107.5＝129，∴这两个三角形相似．2．教材P 95页习题4.7第2题． 答：△ABC ∽△EFG .利用判定定理3.交流展示 生成新知1．将阅读教材时 “生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三边成比例的两个三角形相似 知识模块二 判定定理3的应用检测反馈 达成目标1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( D )A .AE AC ＝ADAB，∠CAE ＝∠BAD B ．∠B ＝∠ADE ，∠CAE ＝∠BAD C .AD AB ＝AE AC ＝DE BC D .DE BC ＝ADAB，∠C ＝∠E2．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是( B ),A ) ,B ),C) ,D)3．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试用三边对应成比例的方法说明△ABC∽△DEF.证明：计算得AC＝2，BC＝10，AB＝4，DF＝22，EF＝210，ED＝8，∴ACDF＝BCEF＝ABDE＝2，∴△ABC∽△DEF.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题（附答案）一综合题1．在如图的方格纸中△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(−2，−1)，B(−1，−3)△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为．( 2 )以原点O为位似中心在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2使它与△OAB的位似比为2：1；( 3 )△OAB的内部一点M的坐标为(a，b)直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为．2．（2022九上·济南期末）如图1 长宽均为3cm 高为8cm的长方体容器放置在水平桌面上里面盛有水水面高为6cm 绕底面一棱进行旋转倾斜后水面恰好触到容器口边缘图2是此时的示意图将这个情景转化成几何图形如图3所示．（1）利用图1 图2所示水的体积相等求DE的长；（2）求水面高度CF．3．（2022九上·济南期末）如图点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF=1：2，AE=√2①求AB的长；②求△EBC的面积．4．（2022九上·济南期末）如图直线y=k1x+b与双曲线y=k2x交于A B两点已知点A的横坐标为−3点B的纵坐标为−3直线AB与x轴交于点C 与y轴交于点D(0，−2)，tan∠AOC=13．（1）求双曲线和直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点△OCP的面积是△ODB的面积的3倍求点P的坐标．（3）若点E在x轴的负半轴上是否存在以点E C D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在求出点E的坐标；若不存在请说明理由．5．如图AD、BE是ΔABC的高连接DE．（1）求证：ΔACD∽ΔBCE；（2）若点D是BC的中点CE=3，BE=4求AB的长．6．（2022九上·平阴期中）如图在直角三角形ABC中直角边AC=3cm，BC=4cm．设P Q分别为AB BC上的动点在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动它们移动的速度均为每秒1cm 当Q点到达C点时P点就停止移动．设P Q移动的时间t 秒．（1）当t为何值时△PBQ是以∠B为顶角的等腰三角形？（2）△PBQ能否与直角三角形ABC相似？若能求t的值；若不能说明理由．7．（2022九上·济南期中）（1）[问题背景]如图①已知△ABC∽△ADE求证：△ABD∽△ACE．（2）[尝试应用]如图②在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F 点D在BC边上ADBD=√3．①填空：AEBD=；②求DFCF的值．8．（2022九上·章丘期中）如图在正方形ABCD外取一点E 连接DE AE CE过点D作DE的垂线交AE于点P 交AB于点Q DE=DP=1，PC=2√5．（1）求证：①△APD≌△CED；②求∠AEC的大小；（2）求正方形ABCD的面积；（3）求线段PQ的长．9．如图Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=8cm．点P从点C出发以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动同时点Q从点B出发以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动设点P Q运动时间为t 当一个点到达终点时另一个点随之停止．（1）求经过几秒后△PCQ的面积等于16cm2？（2）经过几秒△PCQ与△ABC相似？（3）①是否存在t 使得△PCQ的面积等于20cm2？若存在请求出t的值若不存在请说明理由；②设四边形APQB的面积为S 请直接写出．．．．S的最大值或最小值．10．（2022九上·济南期中）小明和几位同学做手的影子游戏时发现对于同一物体影子的大小与光源到物体的距离有关．因此他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是他们做了以下尝试．（1）如图1 垂直于地面放置的正方形框架ABCD边长AB为30cm在其上方点P处有一灯泡在灯泡的照射下正方形框架的横向影子A′B D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度PM为多少．（2）不改变图1中灯泡的高度将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放请计算此时横向影子A′B D′C的长度和为多少？11．（2022九上·长清期中）如图一路灯AB与墙OP相距20米当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D 处时影长DG为1米．（1）求路灯B的高度；（2）若点P为路灯请画出小亮位于N处时在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）12．（2022九上·长清期中）如图△ABC的三边长分别为a b c（a>b>c）△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．已知△ABC∽△A1B1C1相似比为k(k>1)．（1）若c=a1=2a=5求c1的值．（2）若c=a1求证：a=kc；（3）若c=a1试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1使得a b c和a1、b1、c1都是正整数；（4）若b=a1，c=b1是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？并请说明理由．13．（2021九上·槐荫期中）在平面直角坐标系中∽ABC的顶点坐标分别为A（0 2）B（1 3）C （2 1）．（1）以点O为位似中心在给定的网格中画出∽A'B'C' 使∽A'B'C'与∽ABC位似且相似比为2；（2）求出∽A'B'C'的面积．14．（2021九上·槐荫期中）请阅读以下材料并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理如图1 在∽ABC中AD平分∽BAC 则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2 过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…（1）任务：请按照上面的证明思路写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3 已知Rt∽ABC中AB＝3 BC＝4 ∽ABC＝90° AD平分∽BAC 求∽ABD的周长．15．已知点E在∽ABC内∠ABC=∠EBD=α∽ACB＝∽EDB＝60° ∽AEB＝150° ∽BEC＝90°．（1）当α=60°时（如图1）①判断∽ABC的形状并说明理由；②求证：AEBD=tan∠CED；（2）当α=90°时（如图2）②的结论还成立吗？若成立说明理由；若不成立求出AEBD的比值．16．（2021九上·商河期末）如图已知点C D在线段AB上且AC=4 BD=9 ∽PCD是边长为6的等边三角形．（1）求证：∽PAC∽∽BPD；（2）求∽APB的度数．17．在△ABC中AB=AC，∠BAC=90°点D E分别是AC，BC的中点点P是射线ED上一点连接AP将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM连接AM，CM．（1）问题发现如图（1）当点P与点D重合时线段CM与PE的数量关系是∠ACM=．（2）探究证明当点P在射线ED上运动时（不与点E重合）（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．（3）问题解决若AC=√2+√6连接PC当△PCM是等边三角形时直接写出PE的长度．18．（2022九上·章丘期中）如图1四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A（1）如图2 若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形当正方形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）时BM和DN的数量关系是位置关系是；（2）如图3 若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形且ABAD=AMAN=1√3判断BM和DN的数量关系和位置关系并说明理由；（3）在（2）的条件下若AB=2AM=1矩形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）当MN∥AB时求线段DN的长．19．（2022九上·济南期中）如图在平面直角坐标系中C(8，0)B(0，6)是矩形ABOC的两个顶点点D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合) 双曲线y=kx(k>0)经过点D 与矩形ABOC的边AC相交于点E．（1）如图①当点D为AB中点时k的值为点E的坐标为；（2）如图②当点D在线段AB上的任意位置时(不与A、B重合) 连接BC、DE求证：BC∥DE；（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F 满足：△ODF为直角三角形∠ODF=90°且tan∠DOF=13若存在请直接写出满足以上条件时点D的横坐标若不存在请说明理由．20．（2022九上·济南期中）如图①已知在正方形ABCD中点E是边BC的中点以BE为斜边构造等腰直角△BEF将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转．（1）如图②当∠EBC=30°时若CG=√2则BG=；AG=；（2）如图③延长BE与AC、DC分别相交于点G、N延长BF与AC、AD分别相交于点H、M求证：△AMH∽△CGN；（3）如图④连接CE、DE请直接写出当√2DE+4CE取得最小值时∠ECB的正切值．21．如图RtΔABC中∠C=90°AB=10BC=6D是AB的中点动点P从点A出发沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动设点P的运动时间为t秒．（1）当t为多少秒时以点A D P为顶点的三角形与ΔABC相似？（2）若ΔAPD为钝角三角形请直接写出t的取值的范围．22．（2022九上·历城期中）如图：（1）【问题初探】如图1 ΔABC中∠BAC=90°AB=AC点D是BC上一点连接AD以AD为一边作ΔADE使∠DAE=90°AD=AE连接BE BE与CD的数量关系位置关系．（2）【类比再探】如图2 ΔABC中∠BAC=90°AB=AC点M是AB上一点点D是BC上一点连接MD以MD 为一边作ΔMDE使∠DME=90°MD=ME连接BE求∠EBD的度数．（3）【方法迁移】如图3 RtΔABC中∠BAC=90°∠ACB=30°BC=6点M是AB中点点D是BC上一点且BD=1连接MD以MD为一边作ΔMDE使∠DME=90°MD=√3ME连接BE求BE的长．23．在∽ABC中∽ACB＝90° ∽BAC＝60° 点D在斜边AB上且满足BD＝13AB 将线段DB绕点D逆时针旋转至DE 记旋转角为α 连接AE BE 以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF 且∽AFE＝90° ∽EAF＝60° 连接CF．（1）如图1 当α＝180°时请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时①如图2 （1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；②如图3 当B E F三点共线时连接CE 判断∽CEF的形状并证明．24．如图（1）问题如图1 在四边形ABCD中点P为AB上一点当∠DPC=∠A=∠B=90°时求证：AD⋅BC= AP⋅BP．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2）其他条件不变上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3 在△ABC中AB=2√2∠B=45°以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上点E在AC上点F在BC上且∠EFD=45°若CE=√5求CD的长．25．如图（1）如图1 正方形ABCD与调研直角∽AEF有公共顶点A ∽EAF＝90° 连接BE DF 将∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的角为β 则BEDF＝；β＝；（2）如图2 矩形ABCD与Rt∽AEF有公共顶点A ∽EAF＝90° 且AD＝2AB AF＝2AE 连接BE DF 将Rt∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的角为β 请求出BEDF的值及β的度数并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与∽AEF有公共顶点A 且∽BAD＝∽EAF＝α(0°＜α＜180°) AD＝kAB AF＝kAE(k≠0) 将∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的锐角的度数为β则：①BEDF＝；②请直接写出α和β之间的关系式．26．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中 已知OA ＝10cm OB ＝5cm 点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以2cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动．如果P Q 同时出发 用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤5）（1）用含t 的代数式表示：线段PO ＝ cm ；OQ ＝ cm ．（2）当t 为何值时∽POQ 的面积为6cm 2？（3）当∽POQ 与∽AOB 相似时 求出t 的值．27．如图（1）感知：数学课上 老师给出了一个模型：如图1 ∠BAD =∠ACB =∠AED =90° 由∠1+∠2+∠BAD =180° ∠2+∠D +∠AED =180° 可得∠1=∠D ；又因为ACB =∠AED =90° 可得△ABC ∽△DAE 进而得到BC AC= ．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．（2）应用：实战组受此模型的启发 将三等角变为非直角 如图2 在△ABC 中 AB =AC =10 BC =12 点P 是BC 边上的一个动点（不与B C 重合） 点D 是AC 边上的一个动点 且∠APD =∠B ．①求证：△ABP ∽△PCD ；②当点P 为BC 中点时 求CD 的长；（3）拓展：在（2）的条件下如图2 当△APD 为等腰三角形时 请直接写出BP 的长．28．如图1 在Rt∽ABC 中 ∽BAC=90° ∽ACB=60° AC=2 点A 1 B 1为边AC BC 的中点 连接A 1B 1 将∽A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．（1）如图1 当α=0°时BB1AA1=BB1AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为；（2）将∽A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时（1）中结论是否仍然成立？若成立请给出证明；若不成立请说明理由；（3）当∽A1B1C绕点C逆时针旋转过程中①请直接写出∽ABA1面积的最大值；②当A1B1B三点共线时请直接写出线段BB1的长．答案解析部分1．【答案】解：∽如图 点P 为所作；故答案为：(−5，−1)；∽如图 △OA 2B 2为所作；∽(2a ，2b)．2．【答案】（1）解：如图所示设DE=xcm 则AD=（8－x ）cm根据题意得：12（8－x+8）×3×3=3×3×6 解得：x=4 ∴DE=4（cm ）（2）解：∵∽E=90° DE=4 CE=3∴CD=5∵∽BCE=∽DCF=90°∴∽DCE+∽DCB=∽BCF+∽DCB∴∽DCE=∽BCF∵∽DEC=∽BFC=90°∴∽CDE∽∽CBF∴CE CF =CD CB 即3CF =58∴CF=245（cm ）答：CF 的高是245cm 3．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD 中 AB ∥CD∴AE ∥CD∴∠E =∠FCD ∠EAF =∠D∴△AEF ∽△DCF ．（2）解：①∵△AEF ∽△DCF∴AE DC =AF DF∵AF ：DF =1：2∴CD =2√2∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD∴AB =CD =2√2．②∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD∴AD ∥BC∴△EAF ∽△EBC∴S △EAF S △EBC =(EA EB )2=(√2√2+2√2)2=19 ∵S △AEF =23∴△EBC 的面积为6．4．【答案】（1）解：如图 过点A 作AF∽x 轴于点F∵tan∠AOC =13=AF OF 且点A 的横坐标为-3 ∴OF =3∴AF =1∴A(−3，1)∵双曲线y =k 2x过A 点 ∴1=k 2−3解得 k =−3 ∴双曲线的解析式为y =−3x将A(−3，1) D(0，−2)代入直线y =k 1x +b 得{1=−3k 1+b −2=b 解得{k 1=−1b =−2∴直线AB 的解析式为：y =−x −2（2）解：如图 连接OB PO PC当y =−x −2=0时∴C(−2，0)∴OC =2∵D(0，−2)∴OD =2∵点B 的纵坐标为−3∴−3=−x −2∴x =1∴B(1，−3)∵△OCP 的面积是△ODB 的面积的3倍∴12⋅OC ⋅y P =3⋅12⋅OD ⋅x B即12×2⋅y P=3×12×2×1解得yP=3即y=−3x=3∴x=−1∴P(−1，3)（3）解：由（2）得OC=OD∴∠OCD=∠ODC∴∠ECD=∠ODB∵D(0，−2)B(1，−3)BD=√12+(−3+2)2=√2∴ΔECD与△ODB相似有两种情况讨论如下：①△ODB∼△ECD∴OD CE=BDCD即2CE=√22√2∴CE=4∴E(−6，0)②△ODB∼△DCE∴OD CD=BDCE即22√2=√2CE∴CE=2∴E(−4，0)综上点E的坐标为(−6，0)或(−4，0)．5．【答案】（1）证明：∵AD BE是ΔABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°∵∠C=∠C∴ΔACD∽ΔBCE；（2）解：∵点D是BC的中点AD⊥BC∴AB=AC在RtΔBEC中∵CE=3BE=4∴BC=√CE2+BE2=√32+42=5∴CD=12BC=52∵ΔACD ∽ΔBCE∴AD CD =BE EC∴AD =4×523103∴AC =√AD 2+CD 2=√（103）2+（52）2=256∴AB =AC =256． 6．【答案】（1）解：∵直角边AC =3cm BC =4cm∴由勾股定理可得 AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5∴AP =t BP =5−t BQ =t∵△PBQ 是以∠B 为顶角的等腰三角形∴BP=BQ 即5-t=t 解得t =52秒 ∴当t =52秒 △PBQ 是以∠B 为顶角的等腰三角形； （2）解：能．理由：当∽PBQ∽∽ABC 时BQ BC =BP AB 即t 4=5−t 5 解得：t =209秒； 当∽PBQ∽∽CBA 时 BQ AB =BP BC 即t 5=5−t 4 解得：t =259秒 ∴当t =209或259秒时 △PBQ 与直角三角形ABC 相似． 7．【答案】（1）证明：∵△ABC ∽△ADE∴∠BAC =∠DAE AB AD =AC AE∴∠BAC −∠CAD =∠DAE −∠CAD即∠BAD =∠CAE∴△ABD ∽△ACE ；（2）解：①1②连接CE ∵∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE ∴△BAC ∽△CAE ∴AB AD =AC AE ∴AB AC =AD AE∵∠BAD =∠CAE =90°−∠CAD ∴△BAD ∽△CAE ∴∠ABC =∠ACE ∴∠ADE =∠ACE ∵∠AFD =∠EFC ∴△AFD ∽△EFC ∴DF CF =AD CE由①得AD =√3AE ，AD =√3BD ∴BD CE =AD AE =√3 ∴BD =√3CE ∴AD =√3×√3CE =3CE ∴AD CE =3∴DFCF=ADCE=3．8．【答案】（1）解：①∵DP⊥DE∴∠PDE=∠PDC+∠CDE=90°∵在正方形ABCD中∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=90°AD=CD∴∠CDE=∠ADP在△APD和△CED中{AD=CD ∠ADP=∠CDE PD=DE∴△APD≌△CED；②∵△APD≌△CED∴∠APD=∠CED又∵∠APD=∠PDE+∠DEP∠CED=∠CEA+∠DEP∴∠AEC=90°（2）解：过点C作CF⊥DE交DE延长线于点F∵DE=DP=1∠PDE=90°∴PE=√DP2+DE2=√2∴∠DPE=∠DEP=45°∵∠CEA=90°∴∠CEF=45°∵∠EFC=90°∴∠FCE=45°∴∠CEF=∠FCE在Rt△PCE中CE=√PC2−PE2=√20−2=3√2∴CF=EF=√22CE=3∴在Rt △CDF 中 CD 2=CF 2+DF 2=32+(1+3)2=25 ∴正方形ABCD 的面积为：CD 2=25．（3）解：∵△APD ≌△CED∴∠ADQ =∠CDF∵∠DAQ =∠DFC∴△DAQ ∽△DFC∴DQ DC =DA DF∵DA =DC∴DQ =DC 2DF=DC 2DE +EF =251+3=254 ∴PQ =DQ −DP =254−1=214． 9．【答案】（1）解：由题意知 PC =2tcm BQ =tcm ∵AC =10cm BC =8cm∴CQ =(8−t)cm 0<t ≤5∵△PCQ 的面积等于16cm 2∴12PC ·CQ =16 ∴12×2t ·(8−t)=16 即(t −4)2=0 ∴t 1=t 2=4即经过4秒后 △PCQ 的面积等于16cm 2（2）解：∵∠ACB =∠PCQ =90°∴①当△PCQ ∽△ACB 时∴2t 10=8−t 8解得：t =4013； ②当△PCQ ∽△BCA 时∴2t 8=8−t 10 解得：t =167； 由①②可得：当经过4013秒或167秒△PCQ 与△ABC 相似． （3）①不存在 理由：假设存在t 使得△PCQ 的面积等于20cm 2∴12PC·CQ=20∴12×2t·(8−t)=20∴t2−8t+20=0而Δ=64−4×1×20=−16<0∴此方程无实数根∴不存在t 使得△PCQ的面积等于20cm2②S的最小值是24cm210．【答案】（1）解：∵AD∥A′D′∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．∴ADA′D′=PNPM∴3036=PM−30PM解得PM=180；∴灯泡离地面的高度PM为180cm；（2）解：设横向影子A′B D′C的长度和为xcm 同理可得△PAD∽△PA′D′．∴ADA′D′=PNPM即6060+x=150180解得：x=12cm∴横向影子A′B D′C的长度和为12cm．11．【答案】（1）解：∵AB⊥BO CD⊥BO ∴∠ABG=∠CDG∵∠CGD=∠AGB∴△ABG∽△CDG∴BGDG=ABCD∵OB=20米OD=17米DG=1米∴BD=OB−OD=20−17=3米BG=BD+DG=3+1=4米∴41=AB1.6解得：AB=6.4．∴路灯高6.4米．（2）解：如图所示：12．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A1B1C1c=a1=2a=5∴aa1=cc1即：52=2c1解得：c1=45；（2）证明：∵△ABC∽△A1B1C1相似比为k(k>1)∴aa1=k∴a=ka1又∵c=a1∴a=kc．（3）解：取a=8，b=6，c=4同时取a1=4，b1=3，c1=2此时aa1=bb1=cc1=2∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1（4）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1理由如下：假设存在则a=2a1，b=2b1，c=2c1．又∵b=a1c=b1∴a=2a1=2b=4b1=4c∴b=2c∴b+c=2c+c<4c=a与三角形的三边关系b+c>a不符∴不存在△ABC和△A1B1C1使得k=2．13．【答案】（1）解：如图∽A'B'C'为所作；（2）解：∽A'B'C'的面积＝4×4﹣12×2×4﹣12×2×2﹣12×2×4＝6． 14．【答案】（1）证明：如图2 过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ∵CE ∥AD∴BD CD =BA EA∽2＝∽ACE ∽1＝∽E ∵∽1＝∽2∴∽ACE ＝∽E∴AE ＝AC∴AB AC =BD CD． （2）解：如图3 ∵AB ＝3 BC ＝4 ∽ABC ＝90°∴AC =√BC 2+AB 2=√42+32=5∵AD 平分∽BAC∴AC AB =CD BD 即53=CD BD∴BD =38BC =38×4=32∴AD =√BD 2+AB 2=√(32)2+32=32√5 ∴∽ABD 的周长=32+3+32√5=9+3√52． 15．【答案】（1）解：①判断：∽ABC 是等边三角形．理由如下： ∵∽ABC=∽ACB=60°∴∽BAC=180°-∽ABC-∽ACB=60°=∽ABC=∽ACB∴∽ABC 是等边三角形．②∽EBD 也是等边三角形 理由如下：如图1 连接DC则AB＝BC BE＝BD ∽ABE＝60°－∽EBC＝∽CBD ∴∽ABE∽∽CBD∴AE＝CD ∽AEB＝∽CDB＝150°∴∽EDC＝150°－∽BDE＝90°∴在Rt∽EDC中tan∠CED=CDED=AEBD．（2）解：如图2：连接DC∵∽ABC=∽EBD=90° ∽ACB=∽EDB=60°∴∽ABC∽∽EBD∴ABEB=BCBD即ABBC=EBBD又∵∽ABE=90°-∽EBC=∽CBD∴∽ABE∽∽CBD∴∽AEB=∽CDB=150°∴∽EDC=150°-∽BDE=90° ∽CED=∽BEC-∽BED=90°-（90°-∽BDE）=60°设BD=x在Rt∽EBD中DE=2x BE=√3x在Rt∽EDC中CD=DE×tan60°=2√3x∴AE=CD·BEBD=2√3x⋅√3xx=6x=6BD即BDAE=16．16．【答案】（1）证明：∵等边∽PCD的边长为6∴PC=PD=6 ∽PCD=∽PDC=60°又∵AC=4 BD=9∴PCBD=69=23=46=ACPD∵等边∽PCD中∽PCD=∽PDC=60°∴∽PCA=∽PDB=120°∴∽ACP∽∽PDB；（2）解：∵∽ACP∽∽PDB∴∽APC=∽PBD∵∽PDB=120°∴∽DPB+∽DBP=60°∴∽APC+∽BPD=60°∴∽APB=∽CPD+∽APC+∽BPD=120°．17．【答案】（1）(1)CM=√2PE；45（2）解：结论成立证明如下：如图（2）中连接AE．∵AB=AC，BE=EC∴AE平分∠BAC∴∠CAE=12∠BAC=45°∵DE∥AB∴∠ADE=180°−∠BAC=90°∵AD=DC∴AE=√2AD∵AM=√2AP∴ACAE=AMAP∵∠PAM=∠CAE=45°∴∠CAM=∠EAP∴△CAM∽△EAP∴CMPE=AMAP=√2∠ACM=∠AED=45°∴CM=√2PE．（3）解：√2或2√2+√618．【答案】（1）相等；垂直（2）解：数量关系：DN=√3BM位置关系：BM⊥DN．理由如下：如图：∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形∴∠BAD=∠MAN=90°∴∠BAD−∠MAD=∠MAN−∠MAD∴∠BAM=∠DAN∵ABAD=AMAN=1√3∴△ADN∽△ABM∴BMDN=ABAD=√3∴DN=√3BM．延长BM交AD于点O 交DN于点H∵△ADN∽△ABM∴∠ABM=∠AND又∵∠AOB=∠DOH∴∠OHD=∠OAB=90°即BM⊥DN．（3）解：∵AB=2AM=1ABAD=AMAN=1√3∴AN=√3分类讨论：连结MN．①如图：当MN位于AB上方时在Rt△MAN中由勾股定理得MN=√AN2+AM2=√(√3)2+12=2∴AB=MN又∵MN∥AB∴四边形ABMN是平行四边形∴BM=AN=√3∵DN=√3BM∴DN=3．②如图：当MN位于AB下方时连结BN同理可得四边形ABNM是平行四边形∴BN=AM=1BN∥AM∴∠ANB=∠MAN=90°又∠ANP=90°∴B N P在一条直线上∴∠BPM=90°∴BP=BN+NP=2MP=AN=√3∴在Rt△BPM中BM=√BP2+MP2=√7∵DN =√3BM∴DN =√21．综上所述 DN 的长为3或√21．19．【答案】（1）24；（8 3）（2）证明：设点D 的横坐标为m∴点D 的坐标为(m ，6)∴k =6m∴反比例函数的解析式为：y =6m x点E 的坐标为(8，3m 4)∴AD =8−m ，AE =AC −CE =6−3m 4=3(8−m)4∴AB AC =86=43，AD AE =43∴AB AC =AD AE即AD AB =AE AC∴BC ∥DE ；（3）存在 点D 的横坐标为√37+1或√37−120．【答案】（1）2；√6（2）证明：∵∠EBF =∠ACB =45°∴∠CGN =45°+∠CBN =∠MBC∵AD ∥BC∴∠AMH =∠MBC∴∠AMH =∠CGN∵∠MAH =∠GCN =45°∴△AMH ∽△CGN ；（3）1721．【答案】（1）解：在RtΔABC 中 ∠C =90° AB =10 BC =6∴AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8∵ D 是AB 的中点∴AD =12AB =5∵动点P 从点A 出发 沿线段AC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动设点P 的运动时间为t 秒∴AP =2t 0≤t ≤4若以点A D P 为顶点的三角形与ΔABC 相似 而∠A =∠A 分两种情况：①当∠APD =∠C =90°时 ΔAPD ∽ΔACB 如图1∴AP AC =AD AB 即2t 8=510解得t =2；②当∠ADP =∠C =90°时 ΔADP ∽ΔACB 如图2∴AP AB =AD AC 即2t 10=58解得t =258；故当t 为2或258秒时 以点A D P 为顶点的三角形与ΔABC 相似 （2）解：由（1）知：当t =2时 ∠APD =90° 当t =258时 ∠ADP =90° 而∠A 是锐角∴当0<t <2时 ∠APD 为钝角 ΔAPD 为钝角三角形； 当258<t ≤4时 ∠ADP 为钝角 ΔAPD 为钝角三角形； 故若ΔAPD 为钝角三角形 则t 的取值的范围是0<t <2或258<t ≤4．22．【答案】（1）BE=CD ；BE∽CD（2）解：过点M 作MF ∥AC 交BC 于点F 如图2所示∴∠BMF =∠A =90° ∠MFB =∠C =45°∴MB=MF∵∠DME=∠BMF=90°∴∠BME=∠FMD又∵ME=MD，MB=MF∴ΔMBE≌ΔMFD(SAS)∴∠MBE=∠MFD=45°∴∠EBD=∠MBE+∠MBF=90°故∠EBD=90°（3）解：取BC中点G 连接MG如图3所示∵点M是AB中点∴MG为ΔABC的中位线∴MG∥AC∴BMG=90°，∠MGB=30°∴BM=12BG=14BC=32MG=32√3DG=3−1=2∴BM MG=√3又MD=√3ME∴ME MD=√3∴MEMD=BMMG又∵∠EMD=∠BMG=90°∴∠EMB=∠DMG∴ΔMEB∽ΔMDG∴BEDG=BMMG=√3∴BE =√33×2=2√33故BE 的长为2√33． 23．【答案】（1）解：BE ＝2CF 理由如下： ∵∽ACB ＝90° ∽BAC ＝60°∴∽ABC ＝30°∴AC ＝12AB ∵BD ＝13AB 将线段DB 绕点D 逆时针旋转至DE ∴BD ＝DE ＝13AB BE ＝23AB ∴AE ＝13AB ∵∽AFE ＝90° ∽EAF ＝60°∴∽AEF ＝30°∴AF ＝12AE ＝16AB ∴CF ＝AC ﹣AF ＝13AB ∴BE ＝2CF ；（2）解：①结论仍然成立 理由如下： ∵∽BAC ＝∽EAF ＝60°∴∽BAE ＝∽CAF又∵AC AB =12=AF AE∴∽ABE∽∽ACF∴CF BE =AF AE =12∴BE ＝2CF ；②∽CEF 是等边三角形 理由如下： ∵B E F 三点共线∴∽AEB+∽AEF ＝180°∴∽AEB ＝150°∵∽ABE∽∽ACF∴∽AEB ＝∽AFC ＝150°∴∽EFC ＝150°﹣90°＝60°如图3 过点D作DH∽BE于H∵BD＝DE DH∽BE∴BH＝HE∵BE＝2CF∴BH＝HE＝CF∵DH∽BE AF∽BE∴DH∥AF∴BHHF=BDAD=12∴HF＝2BH∴EF＝HE＝BH∴EF＝CF∴∽EFC是等边三角形．24．【答案】（1）证明：如题图1∵∽DPC=∽A=∽B=90°∴∽ADP＋∽APD=90° ∽BPC＋∽APD = 90°∴∽ADP = ∽BPC∴∽ADP∽∽BPC∴ADBP=APBC∴AD⋅BC = AP⋅BP（2）解：结论仍然成立理由如下∵∠BPD=∠DPC+∠BPC又∵∠BPD=∠A+∠ADP∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP∵∠DPC=∠A设∠DPC=∠A=α∴∠BPC=∠ADP∴△ADP∽△BPC∴ADBP=APBC∴AD⋅BC = AP⋅BP（3）解：∵∠EFD=45°∴∠B=∠ADE=45°∴∠BAD=∠EDF∴△ABD∽△DFE∴ABDF=ADDE∵△ADE是等腰直角三角形∴DE=√2AD∵AB=2√2∴DF=4∵∠EFD=45°，∠ADE=45°∴∠EFC=∠DEC=135°∴△EFC∽△DEC∴FCEC=ECCD∵EC=√5CD=DF+FC=4+FC∴EC2=FC⋅CD=FC⋅(4+FC)=5∴FC=1∴CD=5．25．【答案】（1）1；90°（2）解：如图2 延长DF交EB于点H∵AD=2AB AF=2AE∴ADAB=AFAE=2∵∽BAD=∽EAF=90°∴∽FAD=∽EAB∴∽FAD∽∽EAB∴DF BE =AF AE =2∴DF=2BE∵∽FAD∽∽EAB∴∽AFD=∽AEB∵∽AFD+∽AFH=180°∴∽AEH+∽AFH=180°∵∽EAF=90°∴∽EHF=180°-90°=90°∴DF∽BE∴BE DF =12 β=90°；（3）1k ；α+β=180°26．【答案】（1）2t ；（5﹣t ）（2）解：由（1）知 OP=2t cm OQ=（5-t ）cm ∵∽POQ 的面积为6cm 2∴6=12×2t×（5-t ）∴t=2或3∴当t=2或3时 三角形POQ 的面积为6cm 2； （3）解：∵∽POQ 与∽AOB 相似 ∽POQ=∽AOB=90° ∴∽POQ∽∽AOB 或∽POQ∽∽BOA∴OP OA =OQ OB 或OP OB =OQ OA当OP OA =OQ OB 则2t 10=5−t 5∴t=52；当OP OB =OQ OA 时 则2t 5=5−t 10∴t=1∴当t=52或1时 ∽POQ 与∽AOB 相似． 27．【答案】（1）AE DE（2）解：①∵∽APC=∽B+∽BAP ∽APC=∽APD+∽CPD ∽APD=∽B∴∽BAP=∽CPD∵AB=AC∴∽B=∽C∴∽ABP∽∽PCD ；②BC=12 点P 为BC 中点 ∴BP=PC=6·∵∽ABP∽∽PCD∴AB PC =BP CD 即106=6CD解得：CD=3.6；（3）解：BP 的长为2或113． 28．【答案】（1）2；60°（2）解：（1）中结论仍然成立 证明：延长AA 1 BB 1相交于点D 如图2由旋转知 ∽ACA 1=∽BCB 1 A 1C=1 B 1C=2∵AC=2 BC=4∴AC A 1C =2 BC B 1C =2 ∴AC A 1C =BC B 1C ∴∽ACA 1∽∽BCB 1∴BB 1AA 1=BC AC =2 ∽CAA 1=∽CBB 1 ∴∽ABD+∽BAD=∽ABC+∽CBB 1+∽BAC-∽CAA 1 =∽ABC+∽BAC=30°+90°=120°∴∽D=180°-（∽ABD+∽BAD ）=60°； （3）解：①∽ABA 1面积的最大值=12×2√3×3=3√3； ②线段BB 1的长为√15+√3或√15−√3．。

探索相似三角形相似的条件(提高)【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BCAB AC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释：512AC AB-=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？【思路点拨】通过选西瓜的方法学会分析解决生活中简单的实际问题，将西瓜沿球心所在直线切开，得到瓤和皮两个圆，根据相似形的性质，计算其半径的比，得到面积比，从而得出正确结果．【答案与解析】解：如图，设西瓜外径为R，西瓜内径为r，瓜皮厚度为a，于是两圆面积比为22()rRS rS r a=+，当r越大时，S r：S R越接近与1，故西瓜越大越合算．与此类似，买鸡蛋也应挑大个的．【总结升华】此题是一道材料分析题，通过题目信息所给出的研究方法，进行探究是解答此类题目的基本思路．类型二、相似三角形的三个判定定理2.（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用，解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．【答案】解：在△ABC 中，∠B=180°-∠A-∠C=79°，在△ABC和△DEF中，B EA D∠∠∠∠⎧⎨⎩＝＝，∴△ABC∽△DEF．3、（2015•大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？【答案与解析】解：∵D为AB的中点，∴BD=AB=，∵∠DBE=∠ABC，∴当∠DBE=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF=∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴=，即=，解得DE=，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在本题的应用，避免漏解．举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．【答案】∠B=∠E．4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）【思路点拨】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．（2）只要构成的三角形与△ABC的三边比相等即可（答案不唯一）．【答案与解析】解：（1）△ABC和△DEF相似；根据勾股定理，得AB=2 5，AC= 5，BC=5；DE=4 2，DF=2 2，EF=2 10；∵2510442AB AC BCDE DF EF====,∴△ABC∽△DEF．（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．【总结升华】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（SSS）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）【答案】B.由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．类型三、黄金分割折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）【思路点拨】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=12，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变列出关于AG的方程，解方程求出AG的长，即可说明点G 是AD 的黄金分割点． 【答案与解析】证明：如图，连接GF ，设正方形ABCD 的边长为1，则DF=12． 在Rt △BCF 中，BF=2252BC CF +=， 则A ′F=BF-BA ′=52-1． 设AG=A ′G=x ，则GD=1-x ，在Rt △A ′GF 和Rt △DGF 中，有A'F 2+A'G 2=DF 2+DG 2， 即(52-1)²+x 2=(12)2+(1-x)2， 解得x=512-， 即点G 是AD 的黄金分割点（AG ＞GD ）．【总结升华】本题考查黄金分割的概念：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 举一反三：【变式】（2012•恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B ′，因而EB ′=EB ．类似地，在AB 上折出点B ″使AB ″=AB ′．这时B ″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．【答案】设正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点， ∴BE=1∴AE=225AB BE +=，又∵B ′E=BE=1，∴AB ′=AE-B ′E=51-， ∴AB ″：AB=(51-)：2∴点B ″是线段AB 的黄金分割点．【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．（2014•黄浦区一模）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC 是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d =．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．（2015•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P 在平行四边形ABCD 的CD边上，连接BP 并延长与AD 的延长线交于点Q ． （1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP 的长．14（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC 中，AB=，AC=，BC=6，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C；【解析】∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C．2.【答案】D;【解析】A、有条件∠ADE=∠C，∠A=∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED 和△ABC相似；B、有条件∠AED=∠B，∠A=∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；D、不能证明△AED和△ABC相似；故选：D．3.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，∴△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），∴共有6对．故选：C．4.【答案】B；【解析】观察可以发现AC=，BC=2，AB=，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，第4个图形中，有两边为，2，且为直角三角三角形，∴只有第1，4个图形与左图中的△ABC相似．故选：B．5．【答案】B．【解析】根据黄金分割的概念得：AP BP AB AP=，则212×PBS APS AB===1，即S1=S2．故选B．6．【答案】B．【解析】①、根据第四比例项的概念，显然正确；②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；③、根据黄金分割的概念，正确；④、根据黄金分割的概念：AC=51-，错误．故选B．二、填空题7．【答案】∠ADE=∠ACB；【解析】由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB．8．【答案】3；【解析】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，∴∠ACP=∠PAC=36°，∴∠PCB=36°，∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3．9．【答案】3；【解析】设AP为x，∵AB=10，∴PB=10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，解得x=5，所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．10．【答案】3;【解析】①∵∠ABC=∠EFC=70°，∴HF∥DB；∴△GBD∽△△GFH；②∵在△BDG中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°；在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°；∴△ABC∽△GFH．③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC为公共角∴△EFC∽△GFH；综上所述，图中与△GFH相似的三角形的个数是3．故答案是：3．11.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．12.【答案】K2007（K+2）.【解析】第一个三角形的周长为K+2；第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）…所以第2008个三角形的周长为K 2007（K+2）.三、解答题13.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AQ∥BC，∴∠QDP=∠BCP，又∠QPD=∠CPB，∴△DQP∽△CBP；（2）解：∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD ，∵AB=CD=8，∴DP=4．14.【解析】解：①图1，作MN ∥BC 交AC 于点N ，则△AMN ∽△ABC ，有，∵M 为AB 中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B ，则△ANM ∽△ABC ，有，∵M 为AB 中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN 的长为3或．15.【解析】（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h ．则S △ADC =12AD •h ，S △BDC =12BD •h ，S △ABC =12AB •h ，∴ADC ABC S S V V =AD AB ，BDCADCSS V V =BDAB ．又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴ADAB =BDAD ，∴ADCABC S S V V =BDC ADCS S V V ．故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s 1=s 2=12s ，即121S S S S ≠， 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC =S △DFE ，∴S △ADC =S △ADF +S △DFC =S △ADF +S △DFE =S △AEF ，S △BDC =S 四边形BEFC ．又∵ADC ABC S S V V =BDC ADCS S V V ， ∴AEF ABCS S V V =BEFC AEF S S V 四边形． 因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥NE 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．。

2018-2019学年九年级数学上册第四章图形的相似《平行线分线段成比例及相似多边形》知识讲解及例题演练（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第四章图形的相似《平行线分线段成比例及相似多边形》知识讲解及例题演练（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平行线分线段成比例及相似多边形【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2。

平行线分线段成比例及其推论的应用.3. 相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1）.对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. (2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度。

要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于".相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2）“全等"是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同"时,两个图形是全等。

“平行线”——判定三角形相似的捷径我们知道，判定三角形相似的三个条件分别是：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 一般情况下要判定两个三角形是否相似时，首选的条件是（1），特别是当图形中出现了平行于三角形一边的直线时，我们可直接得出“这条直线截原三角形所得的三角形与原三角形相似”. 下面举例给同学们说明.一、 平行线与判定（1）的内在联系如图1所示，在△ABC 中，如果DE ∥BC ，在△ABC 和△中有∠A ＝∠A ，∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED.所以△ADE ∽△ABC. 从图1中可知，由于DE ∥BC ，根据公共角A 相等，同位角相等，平行的条件就转化为两个三角形的三个对应角相等，所以两个三角形必定全等 . 由于图1近似与一个大写字母“A ”，我们可将这种形状的平行称为“A ”型 .如图2所示，在△ABC 中，如果DE ∥BC ，在△ABC 和△中有∠BAC ＝∠DAE，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E.所以△ADE ∽△ABC. 从图2中可知，由于DE ∥BC ，且截△ABC 中BA 与CA 的延长线，根据对顶角相等，内错角相等，平行的条件就转化为两个三角形的三个对应角相等，所以两个三角形必定全等 . 由于图1近似与一个大写字母“X ”，我们可将这种形状的平行称为“X ”型 .二、 运用平行线判定复杂图形中的相似三角形的方法例1 如图3所示，在□ABCD 中AC 是对角线，AE 、CF 的延长线，则图中共有多少对相似三角形？分析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，DE ∥BF ，根据图中的平行线观察能分离出多少个“A ”型的图形和多少个“X ”型的图形，即可知道共有多少对相似三角形.解：图中△EAN 和△EDC 、△FMC 和△FAB 构成“A ”型的图形，所以△EAN ∽△EDC 、△FMC ∽△FAB ；△ANG 和△CMG 、△EGA 和△FGC 、△EAN 和△FBN 、△FMN 和△EMD 分别构成“X ”型的图形，所以△ANG ∽△CMG 、△EGA∽△FGC、△EAN∽△FBN、△FMN∽△EMD；另外还有△ADC∽△CBA、△EAN ∽△FCM，所以图中共有8对相似三角形.方法说明：在寻求复杂图形中的相似三角形时，如果图形中含有平行线，可抓住平行线的位置特征，根据上述所总结的“A”型的图形和多少个“X”型的图形的基本形状分离出所寻求的形似三角形.。