随机过程考试题及答案
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K
fc=l 解：先求X（r）的均值函数：町X（r）卜E工“
t=i
而：4\~左（広2怎），则: 2JT *
£[严3）]二J"讪厶如=（）
=0 2010级硕士生《随机过程》考试题
212设随机过程xJt中少为常瓶 人为第k牛信号的隣机振幅，中出是在
上一’
{a加）上均匀分命的随机相位「所以随机变星如 ①上仕“2…川）以及它们2间都足相互独
粧的，求*（『）的均值和协方差瞬数.
因九 5（—12…用）之间相互独立*则；E x（t）\ = XE[ME
[
所以：£[x ⑴]二 X E[A ]E[严5 几=0
当“j吋，q与込相互独立，则蛊
1 /巩q %）+（ % ®） d =严 g 7 y [严
当&=/时，£（严-恥宀）1匸严 E
N
则X⑴的协方差函数Bx匕山）=严r）£ E（出）"『）的协方差函数心（片 加）=心（也）"[5）*（胡
=e t\e^ E £州严叫）=ttE\
1=] >1 壮奸勺w』#（&4） 解：状态转移概率如下图所示:
集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为 1
（2）
（i） 1 fii 2
⑷ 12 11112 1 2
fii — — — —— — — — 23332333 27
（3）
由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求
解。 平稳分布的计算公式为：ipij
1,
对 C1: {1 ,2,3}
13 3
1 匚， 2 — , 3 —
解得： 488
对 C2: {4 ,5}
1
4 5 _
解得： 2
对 C3: {6}
易得：6 1
(4) C1: {1 ,2,3}中， 各状态的平均返回时间分别是: 1 1 8 1 8 1 4 2 亠 3 亠
1 2 3 3 3
C2: {4 ,5}中，
1 1
4 2 5 — 2
4 5
C3: {6}中，
1 ,
6 1
6
1.
设有随机过程 X(“ = Acos((wt) + Bsin(^/),
r~i ■ 其中⑵为常数，A,B^和互独立且服从
匸态分舟/V(0tr72)的随机变Lb求随机过程的均值和柿关函数。
解因 A, B 独立.
所以,E[A] = E[B] = O,D[A] = D[B] = a2
均值 叫 0) = E[ Jf (r)] = E[A cos(6JT) + B sin(^)]
=cos(rjf)E[Al + sin(fwr)E[fil = 0
相关函数
尺丫(帚匚)=E[X(f = E[(ACOS((D/1)+ Bsi 11(^] ))(A cos((z?r.) + B\
=E\A' cos cos(ot2 + B' sin ajty sin MZ + AB cos sin/wr2 + AB cos/
=cos o)^ cosM: E[A2 ] + sin cMx sjn(y/3E[B2]
=cr^cos^, cos + sin 凶匚 sin )
=(y~ cDSftX/j -r2)
5.设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达 0点或 者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概 率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移 概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。
解：
1/3 1/3 1/3
步槻率转移爪阵为 1
、
JZ o
o
O
—
- 3
1 o
U
1-31-30 01-31 (1 0 0 0 (P (1 0 0 0 (I 0 0
1 1 1 0 0 ] 1 1 0 0 4 2 1 0
—
3 3 3 3 3 3 9 9
pm _ 1 1 1 I 1 1 1 2 1
0 0 i) 0 = g —
3 3 3 3 3 9 9
0 0 ] 1 I
0 0 1 1
0 1 4
3 3 3 3 3 9 9
0 0 0 U 屮 0 0
2 0 1>
二步概率转移矩阵为
10. 有0亍黑球和—［个F"氏把这六严球任童等分给甲、乙曲个袋屮，井把甲褒中的白球數 定又为诲过杵的状蛊■则ff四种状応：队】，2,為现再氓从甲*乙两険中齐电-球.然麻 制兰交规，即把从甲垣収鸣的球放入乙毁，把从乙換取出的球放入甲袋+经过口欢交换*过
程的狀态为員讨上= 1,22…*
仃）试问该过程址杏为气尔可光链：
<2）讣算它的•步轧移概率祁网也
解⑴：
该过程足马尔可犬疑：
解⑵$
% %二唱产。
岛产仲袋全为黑J驰乙袋全为白球）=1
占曰甲袋2个黑球』个白玖 取白垠 乙蛍2个白球d个黑球，取卑球｝
£严仲袋2个冬」乳1个白球，取鳖丄矢乙袋2牛白球J个黑般，取曝球｝
/甲妓2个熬球』个白球,取白球’乙療2个口球』个舉球,取白球｝
2 112 1
二一x — H— x —=— 3 3 3 3 9
耳=仲袋2个庶球,1个门球，取黑球：乙庚2个门球，W球，取门球｝ = 2
3
& =0
5-0
只I二曲俄2令门球，収白球：乙轻2个黑球,1个门開 取矍球｝ = W二 3 3
&二即袋2个白球订个奧臥 啦協球：乙袋2个黑球,1个白琳 取黑球｝ u｛甲袋2个白球」个供球，収白球：乙袋2个黑球J个白球，収白球｝ 12 2 14 ——X ——I——X-—— 3 3 3 3 9
& 刃卩袋2个片球让个黑球*取黑球,乙袋2个黑球,1个片球，取白球｝=丄 3
^0=^1 二。
乌=1
0 3 .设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2分钟内到 达的顾客不超过 3人的概率。
解，设> 0}是顾容到达数的泊松过程，乂"，
故 P{N(2)=k} = ^e-4s 则
P{N(2) <3}= P{N(2)=0}+P{N(2)=l}^P{N(2>=2}+P{N(2)=3} 乂 4 岳 4 32 j 71
=e +4 亡 +8e +—e =—e 3 3
1.设在［0,t］内事件 A已经发生n次，且0 P{X(s) k|X(t) n}. 解：利用条件概率及泊松分布，得 P{X(s) k|X(t) n} P{X(s) 5)n} P{X(t) n} P{X(s) k,X(t) X(s) n k} P{X(t) n} t( t)n n! 2.设电话总机在(0,t］内接到电话呼叫数 X(t)是具有强度(每分钟)为 的 泊松分布，求： (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率； (2) “第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。 es』e k! (t s)[ (t s)]n k (n k)! 解： (1) (2 )3 2 4 3 2 P{X(t 2) X(t) 3} e2 - 3e2 3! 3 (2) 2 P P{X(1) X(0) k,X(2) X(1) 3 k} k 0 达的顾客不超过 3人的概率。 解，设> 0}是顾客到达数的泊松过程，A = 2, 故 P{N(2)=k} = ^e-4s 则 P{N(2) <3}= P{N(2)=0}+P{N(2)=l}-bP{N(2)=2}+P{N(2)=3} 4 . 4 4 I A 71 斗 =亡 +4e +8e +—e =—e 3 3 k 0 P{X(1) X(0) k}P{X(2) X(1) 3 k} 2 2 e (1 e e e ) e 2 (1 e e ) e (1 e ) 2 e [(1 2 2) e (1 2 2 2)] 2 3.设顾客以每分钟 2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2分钟内到
