随机过程试题及解答
- 格式：doc
- 大小：312.50 KB
- 文档页数：5
2016随机过程(A）解答
1、（15分）设随机过程VtUtX)(,),0(t，U，V是相互独立服从正态分布(2,9)N的随机变量。
1) 求)(tX的一维概率密度函数；
2) 求)(tX的均值函数、相关函数和协方差函数。
3) 求)(tX的二维概率密度函数；
解：
由于U，V是相互独立服从正态分布(2,9)N的随机变量，所以VtUtX)(也服从正态分布，
且: ()()22mtEXtEUtVtEUEVt
22()()99DtDXtDUtVtDUDVt
故： （1） )(tX的一维概率密度函数为：222218(1)21(),321xtttfxext
(2） )(tX的均值函数为:()22mtt；相关函数为：
(,)()()()()RstEXsXtEUsVUtV
22()13()413stEUstEUVEVstst
协方差函数为：(,)(,)()()99BstRstmsmtst
（3）相关系数：
2222(,)991(,)()()999911BststststDsDtstst
)(tX的二维概率密度函数为：
22112222222(22)(22)(22)(22)1292(1)9(1)4(1)11,122221(,)18111xsxsxtxtstststfxxest
2、（12分)某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10：00—14：00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10：00-14：00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少?
解：
到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。
将8时至15时平移到0-7时，则顾客的到达速率函数为:
419,04()80,47tttt
在10:00-14：00之间到达商店顾客数(6)(2)XX服从泊松分布，其均值：
646224(6)(2)()(419)80282mmtdttdtdt 在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为:
0282282(282)(6)(2)00!PXXee
在10:00-14：00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：
(6)(2)282mm
3、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居,如果一户4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0。3,一户1人的概率为0.2,并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。
解：
已知移民到某地区定居的户数)(tN是一个强度8的泊松过程，第i户的人口数）（,2,1iYi是相互独立同分布的随机变量,在t周内移民到该地区人口数:
)t(N1iiY)t(X是一个复合泊松过程，iY的分布为：12340.20.30.30.2iYP
22.57.3EYEY
由公式：2tEY)t(XD,tEY)t(XE
可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为:
(5)882.5160,(5)887.3467.2EXDX
4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
0.20.30.50.10.50.40.60.20.2P
（1） 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。
（2） 求两步转移概率矩阵)2(P及当零时刻初始分布为:
000{1}0.2,{2}0.2,{3}0.6,PXPXPX
时,经两步转移后的绝对分布。
解：
(1)此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布123{,,}T满足：
1123212331231230.20.10.60.30.50.20.50.40.21
解得：123323437,,103103103
故平稳分布323437{,,}103103103T
各状态的平均返回时间：123123110311031103,,323437
（1）(2)0.20.30.50.20.30.50.370.310.320.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.260.320.42PPP
已知初始分布:(0)(0.20.20.6)TP,所以经两步转移后的绝对分布为：
(2)0.370.310.32(2)(0)(0.20.20.6)0.310.360.33(0.2920.3260.382)0.260.320.42TTPPP
5、（10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间.
解:
设红灯为状态1,绿灯为状态2，可以求出其转移概率矩阵为：0.10.90.40.6P
此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态,存在平稳分布12{,}T满足：
112212120.10.40.90.61
解得:1249,1313
故平稳分布49{,}1313T
路口遇红灯的极限概率为1413
红灯和绿灯状态的平均返回时间:1212113113,49
6、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{I，转移概率矩阵为：
0.00.30.00.70.00.10.20.30.20.20.00.00.40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.00.8P
(1)试对状态进行分类，并说明各状态的类型；
（2）求各常返闭集的平稳分布,及各状态的平均返回时间.
解：
马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{I可以分解为1{1,2,4}C和2{3,5}C的并。其中1C为非常返状态;2C为不可约、非周期、正常返闭集，从而存在平稳分布。
对于2{3,5}C,转移概率矩阵为：0.40.60.20.8，其平稳分布满足：
335535350.40.20.60.81
解得：3513,44
故2{3,5}C的平稳分布13{0,0,,0,}44T
各常返状态的平均返回时间：35351144,3
7、（10分)一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在),[htt内,它都以概率)(5hoh 分别转移到其它两点之一.试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(tpji及平稳分布。
解：
质点随机游动t时刻的位置()Xt是一个马尔科夫过程,其状态空间：{1,2,3}I，
Q矩阵元素为:00()5()limlim5,()ijijhhphhohqijhh
,1,1()10iiiiiiqqq，（其中约定状态：0=3，4=1）
即： 105551055510Q
柯尔莫哥洛夫向前微分方程为:
,,1,1,()5(()())10()ijijijijptptptpt
由于：,1,,1()()()1ijijijptptpt
得到：,,,,()5(1())10()15()5ijijijijptptptpt
解此一阶线性微分方程得：15,1()3tijptCe，C为待定常数。
又因：,0,(0)1,ijijpij
故转移概率)(tpji为：15,1511,33()21,33tijteijpteij 平稳分布为：1lim(),(1,2,3)3jijtptj
8、（10分)设随机过程tttX,)(sin)(2，其中是服从区间],0[上的均匀分布的随机变量。试回答：)(tX是否为（宽）平稳过程？研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性.
解：
22011()sin()sin()2EXtEttd
222201()(-)sin()sin()sin()sin()11cos(2)48EXtXtEttttd故所以，)(tX是（宽）平稳过程。
211()sin()22..TTTXttdtTlim
故)(tX的均值函数具有各态历经性.
221()(-)sin()sin()211cos(2)48..TTTXtXtttdtTlim
故)(tX的相关函数具有各态历经性。
