第6章 刚体的平面运动分析
6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。
解：cos)(rRxA （1）
sin)(rRyA （2）
为常数，当t = 0时，0=0= 0
221t
（3）
起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过
A
因动齿轮纯滚，故有CPCP0，即
rR
rR， rrRA （4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：
222212sin)(2cos)(trrRtrRytrRxAAA
6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。
解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为
hvACvAPvAB2000coscos
6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。
解：RvRvAA
RvRvBB22
BA2
6－4 直径为360mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度
由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点
的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加
速度合成定理求出。设已知某瞬时图形内A点的加速度aA，
图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。以A点为
基点，分析图形上任意一点B的加速度aB。因为牵连运动为
动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度ae=aA。相对运动是
点B绕基点A的转动，故相对加速度ar=aBA，其中aBA是点B
绕基点A的转动加速度。由式 (5.3.7)可得 图6-13 加速度分析的基点法
α (6.3.1) BAABαα+=
由于B点绕基点A转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a，故式(6.3.1)可写为 tBAanBA a (6.3.2) ntBABAABaaa++=
即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加
速度的矢量和。
当基点A和所求点B均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度
的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为
(6.3.3) ntntntBABAAABBaaaaaa+++=+
在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A和B连线方向垂直，相对法向加速度沿点A和B
连线方向从B指向A；仅当点A和B的运动轨迹已知时，才可以确定点A和B的切向加速度a
和及法向加速度和a。 tBAanBAatAtBanAanB在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要
素。因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面
直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R的车轮沿直线滚动，
某瞬时轮心O点的速度为vO，加速度为aO，
如图a所示。若轮作纯滚动，求图示瞬时车轮
上A、B、C三点的加速度。 解：轮作纯滚动，其瞬心为轮上与地面的
第6章 刚体的平面运动分析
6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。
解：cos)(rRxA （1）
sin)(rRyA （2）
为常数，当t = 0时，0=0= 0
221t
（3）
起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过
A
因动齿轮纯滚，故有CPCP0，即
rR
rR， rrRA （4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：
222212sin)(2cos)(trrRtrRytrRxAAA
6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。
解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为
hvACvAPvAB2000coscos
6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。
解：RvRvAA
习题6-1图
A B
C
v0 h
习题6－2图 P
AB
vC
A B
C
vo h
习题6－2解图
习题6-3解图 习题6-3图 vA = v vB = v RvRvBB22 BA2
6－4 直径为360mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。
第三章力学基础知识
学习力学基础知识的目的在于了解吊索具的受力特点，掌握简单静力计算方法。
第一节 力的性质
一、力的概念
力的概念是人们在长期的生活和生产实践中经过观察和分析，逐步形成和建立的。当人们用手握、拉、掷、举物体时，由于肌肉紧张而感受到力的作用。这种作用广泛地存在于人与物及物与物之间。例如用手推小车，小车受了“力”的作用，由静止开始运动，用锤子敲打会使烧红的铁块变形等。人们从大量的实践中，形成力的科学概念，即力是物体间相互的机械作用。这种作用一是使物体的机械运动状态发生变化，称为力的外效应；另一个是使物体产生变形，称为力的内效应。
二、物体重力
物体所受的重力是由于地球的吸引而产生的。重力的方向总是竖直向下的，物体所受重力大小C和物体的质量m成正比，用关系式G＝mg表示。通常，在地球表面附近，f取值为9．8N／kg，表示质量为lkg的物体受到的重力为9．8N。在已知物体的质量时，重力的大小可以根据上述的公式计算出来。
例：起吊一质量为5³103kg的物体，其重力为多少?
解：根据公式：G＝mg
＝5³103³9．8
＝49³103 (N)
答：物体所受重力为49³103N。
在国际单位制中，力的单位是牛顿，简称“牛”，符号是“N”。
在工程中常冠以词头“kN”、“dan”，读作“千牛”、“十牛”。与以前工程单位制采用的“公斤力(kgf)”的换算关系：
1公斤力(kgf)＝9．8牛(N)≈10牛(N)
三、力的三要素
实践证明，力作用在物体上所产生的效果，不但与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关。我们把力的大小、方向和作用点称为力的三要素。改变三要素中任何一个时，力对物体的作用效果也随之改变。
例如用手推一物体，如图3—1所示，若力的大小不同，或施力的作用点不同，或施力的方向不同都会对物体产生不同的作用效果。
