2006—2007学年第一学期期末考试高等数学(A)试卷答案2022

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华东政法学院 2006-2007学年第一学期期末考试

商学院06年级所有专业

《高等数学》A卷标准答案

一、填空题（每题2分，共20分）

(1) 极限xxxx)23(lim=_______________；

(2) 极限xarcxxcot)11ln(lim_________________；

(3) dxx2sin06______________；

（4）设函数)(11,nnnnyaxaxy则 ；

（5）函数y=x2在闭区间〔1，2〕满足拉格朗日中值定理中的点＝＿＿＿＿＿；

（6）不定积分dxxfxfn)()]([ ____________________；

（7）若函数)(xf在[aa,]上连续，则aadxxfxf)]()([ ；

（8）设积分区域D：,4122yx则二重积分Ddxdyyx22= ；

(9) 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2 )的长度为＿＿＿＿；

（10）若z=),sin(xyyefx，其中f(x,y)可微,则xz= 。

二、选择题（每小题选出一个正确答案，每小题2分，共20分）

(1) 设的是则)(0,0,1cos,0,0,0,sin)(xfxxxxxxxxxxf___________。

（ ）

(A)连续点 (B)可去间断点

(C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 第 2 页 共 7 页 （2）设函数y＝f(x)在x＝0的某一邻域内有意义，已知f（0）＝0，）（＝0aaxf(x)lim0x，

那么函数y＝f(x)在x＝0点处___________。 （ ）

（A）连续并且可导 （B）连续不一定可导

（C）不连续并且不可导 （D）连续但不可导

（3）方程0133xx在区间),(内 。 （ ）

（A）无实根 （B）有唯一实根

（C）有两个实根 （D）有三个实根

（4）.___)("dxxxf

（ ）

(A)x;)()('cxfxf (B) x;)()(''cxfxf

(C) x;)()('cxfxf (D).)()('dxxfxxf

(5)设函数)(xfy，如果)(0xf存在，且)(0xf=A，则:xxfxxfx)()2(lim000

___________。

（ ）

(A) A (B) 2A (C) －A (D) 21A

(6) 若函数)(xfy在定义域内,0)(,0)('''xfxf则有 。

（ ）

(A))(xfy单调增加且曲线是凸的 （B）)(xfy单调减少且曲线是凸的

(C))(xfy单调增加且曲线是凹的 （D）)(xfy单调增加且曲线是凹的

（7）若使则至少存在一点且内任意两点是内可导在,,),(,,),()(2121xxbaxxbaxf

（ ）

（A）()()()(),;fbfafbaab其中

（B）111()()'()(),;fbfxfbxxb其中

(C) 212112()()'()(),;fxfxfxxxx其中

(D) ;),)((')()(222xaaxfafxf其中 第 3 页 共 7 页 (8) 改变积分次序，则100(,)ydyfxydx

（ ）（A）100(,)xdxfxydy （B）1100(,)dxfxydy

(C) 101(,)xdxfxydy (D) 110(,)xdxfxydy

(9)设),(},0,|),{(222yxfaayxyxD在D上连续，则Ddyxf),(化为二次积分是___________。

（ ）

（A）aaaadyyxfdx),( （B）2200),(4xaadyyxfdx

（C）220),(2xaaadyyxfdx （D）2222),(xaxaaadyyxfdx

(10) 设fzyxfz),,,(可微，则xz___________。

（ ）

（A）xf （B）yfxf

（C）)1(zfxf （D）)1()(zfxyyfxf

一、填空题（每小题2分，共20分）

① e5 ② 1 ③ 165 ④n!

⑤23 ⑥ cnxfn1)(1 ⑦ 0 ⑧314

⑨ 8a ⑩f1exsiny-f22xy

二、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）

① C ② D ③ D ④ A ⑤ B

第 4 页 共 7 页 ⑥ A ⑦ C ⑧ D ⑨ D ⑩ C

三、计算题 (每小题5分，共40分)

(1) 求极限 ]21[222222limnnnnnnnn

解：]21[222222limnnnnnnnn

）（2222211211111n1limnnnnn ―――2分

4|1110102arctgxdxx ―――3分

（2）求极限1arctanlim202xdttxx

解：1arctanlim202xdttxx=limx1)(22xxarctgx ―――3分

=42 ―――2分

（3）求函数43384)(xxxf的单调区间、极值、凸凹区间、拐点。

解：)(xf=24x2-12x3; 23648)(xxxf

)(xf的零点为x=0和;2x )(xf的零点为x=0和34x ――2分

增区间)2,(，减区间),2(

函数)(xf在x=2取得极大值，极大值为20

凸区间),34()0,(，凹区间)34,0(，

函数拐点为)4,0(和(34,27364) ――3分

第 5 页 共 7 页 （4）计算不定积分xdxcos2

解 作变换2tanxt 则有dttdx212 2211costtx ――2分

xdxcos222211212tttdtdtt2312

3)3(11322tdt

Ct3arctan32Cx)2tan31arctan(32 ――3分

（5）计算定积分053sinsindxxx

解：053sinsindxxx

=023sinx|cox|dx ――3分

=2023sinxcosxdx －223sinxcosxdx

=54 ――2分

(6) 设)(xf在[ba,]内上连续，在(ba,)内可导( ba0),应用柯西中值定理证明:

在(a,b)内存在一点，使 ))](()([)()(baffabfbaf]

证明：设函数：G（x）＝x1，F(x)=xxf)( 则F（x）和G（x）在〔a，b〕上连续，在（a，b）内可导，由柯西中值定理可得到： ――2分

)()(G(a)G(b)aFbFGF＝－）（）－（ (a<)b

即：bbf)( － aaf)(=(b1－a1)(f()()f)

方程两边同乘以ab得:

))](()([)()(baffabfbaf] ――3分

(7) 设z=z(x,y)由方程x2+y2+z2=y f(yz)确定，且f可微，

求证：(x2-y2-z2) xz+2xyyz=2xz 第 6 页 共 7 页 解：方程各项分别对x和y求导得:

zfxxz22 ―――2分

zffyzyzfyyz2)(2 ―――2分

所以: (x2-y2-z2) xz+2xyyz= 2xz ―――1分

（8）利用极坐标计算二重积分Ddxdyyxyx22，其中D为1,122yxyx所围成的闭区域。

解： 原式＝201sinxcosx12drdrr)sinr(cos〕〔 ――3分

＝20)1sin(cosd

＝[sin]cos|20＝2－2 ―――2分

四、综合题 （共为10分）

已知抛物线xy2与直线y=2x围成一平面闭图形

1、 求此平面图形面积；（3分）

2、 求此图形绕y轴旋转而成的旋转体体积yV；（3分）

3、 以此平面图形为积分区域D，求二重积分Dxydxdy。（4分）