广东省广州市2016年高考备考冲刺阶段训练材料数学(文)试题
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2016年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（文科）说明：1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共41题，请各校教师根据本校学生的实际情况选择使用．2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成． 3．本训练题与市高三质量抽测、一测、二测等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1．已知函数())cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1． （Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．2．某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 满足C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 若sinB=psinC ，且△ABC 是锐角三角形，求实数p 的取值范围．4．如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120o（I ）求A ,ω的值和M ，P 两点间的距离；（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？5．在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，AMC ∆的三边长是连续的三个正整数，且BAMC ∠=∠tan 1tan .（Ⅰ）判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）求BAC ∠的余弦值.6． 如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）如果3tan 4α=，B 点的横坐标为513，求()c o s αβ+的值；（Ⅱ）若角αβ+的终边与单位圆交于C 点，设角α、β、αβ+的正弦线分别为MA 、NB 、PC ，求证：线段MA 、NB 、PC 能构成一个三角形；（III ）探究第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？ 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.7．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()11n n q S qa -+=，且()10q q -≠． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22,n S n n n *=-∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22,21,2,2.(1)(1)n a n n n n k b n k a a +⎧ =-⎪=⎨=⎪--⎩（k *∈N ），求数列{}n b 的前n 2项和n T 2．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈，且满足21n n a S n +=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：21223111112223n n n a a a a a a ++++< ．11．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n ＝a n ·n a 2log ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ＋2n ＋2≥116的最大n 值．12．已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++（Ⅰ）求数列{}n b 的通项 ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
13．如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去A图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去B图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．x=，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅰ）如果7x=，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好（Ⅱ）如果9分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．14．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)60,70，…，第五组[90,100]．下图是按上述分组方法50,60，第二组[)得到的频率分布直方图．（Ⅰ）由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；（Ⅱ）从测试成绩在[)内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分50,60[90,100]别为,m n，求事件“||10->”概率．m n15．某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示．（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，高校决定在6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．16．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日10 11 13 12 8温差x/摄氏度发芽数y/颗23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断该线性回归方程是否可靠（若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的）。
17．随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰．今年新春伊始,某市各医院产科就已经是一片忙碌,至今热度不减．卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少都是“二孩”；在市第一医院,共有40个猴宝宝降生,其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生,其中10个是“二孩”宝宝．（I ）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询． ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；（II ）根据以上数据,能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？18．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。
纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：（Ⅰ）若2m n =，则从这60名抗战老兵中按照参加纪念活动的环节数分层抽取6人进行座谈，求参加纪念活动环节数为2的抗战老兵中抽取的人数；（Ⅱ）某医疗部门决定从（Ⅰ）中抽取的6名抗战老兵中随机抽取2名进行体检，求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率．19．已知E 是矩形ABCD （如图1）边CD 上的一点，现沿AE 将△DAE 折起至△D 1AE （如图2），并且平面D 1AE ⊥平面ABCE ，图3为四棱锥D 1—ABCE 的主视图与左视图．（Ⅰ）求证：直线BE ⊥平面D 1AE ； （Ⅱ）求点A 到平面D 1BC 的距离．20．如图，在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1=a ，AB=2a ，，E 、F 分别是AD 、AB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EFB 1D 1∥平面BDC 1；（Ⅱ）求证：A 1C ⊥平面BDC 1．21．如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点． (Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离．22．五边形11ANB C C 是由一个梯形1ANB B 与一个矩形11BB C C 组成的，如图甲所示，B 为AC 的中点，128AC CC AN ===． 先沿着虚线1BB 将五边形11ANB C C 折成直二面角1A BB C --，如图乙所示．（Ⅰ）求证：平面BNC ⊥平面11C B N ； （Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．24．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ．（Ⅰ）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（Ⅱ）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE 的距离．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点A (2，1)，离心率（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB AC ⊥，求直线l 的方程．26．已知抛物线2:4C y x = 的焦点为F ．（Ⅰ）点 A P 、满足2AP FA =-．当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; （Ⅱ）在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由．27．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．28．已知,A B 的坐标分别为(2, 0)-，(2, 0)．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为34-． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设Q 的坐标为()1,0,直线AP 与直线2x =交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PQ 的位置关系，并加以证明．29．已知函数()1ln f x x ax x=++． （Ⅰ）若函数()f x 在[)1,+∞上是单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）已知函数()1g x x x=+，对于任意[]11,x e ∈，总存在[]21,x e ∈，使得()()12f x g x ≤成立，求正实数a 的取值范围．30．已知函数f （x ）=xlnx+ax （a ∈R ）． （Ⅰ）若a=﹣2，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x ∈（1，+∞），f （x ）＞k （x ﹣1）+ax ﹣x 恒成立，求正整数k 的值．（参考数据：ln2=0．6931，ln3=1．0986）31．已知a 为常数，R ∈a ，函数x ax x x f ln )(2-+=，x x g e )(=．（其中e 是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，设切点为),(00y x P ，求证：10=x ；（Ⅱ）令)()()(x g x f x F =，若函数)(x F 在区间]1,0(上是单调函数，求a 的取值范围．32． 已知函数f （x ）=2lnx ﹣x 2+ax （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f （x ）≥2x+m 在上有解，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），且0＜x 1＜x 2，求证：（其中f′（x ）是f （x ）的导函数）．33．已知函数21()2ln ()2f x x x a x a R =-+∈． （I ）0a ≥若，讨论()f x 的单调性；（II ） 若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：2()2f x >-。
