一．实数的基本概念
1．无理数的概念：
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解读：
1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.
2）无理数的常见类型：
①具有特定意义的数。如π等；
②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；
③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢
3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.
2．实数的概念及分类：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数.
（2）分类：
①按定义分：整数有理数实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数
②按性质分：0正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 知识点睛 实数、二次根式的基本概念 （3）实数的性质：
①相反数：a与b互为相反数0ab.
②绝对值：,00,0,0aaaaaa或,0,0aaaaa或,0,0aaaaa
（4）实数和数轴上的点是一一对应的.
π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质：
形式：①0a；②20a；③0a（0a）；④a中0a.
性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
（7）实数中无理数的常见类型：
一．实数的基本概念
1．无理数的概念：
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解读：
1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.
2）无理数的常见类型：
①具有特定意义的数。如π等；
②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；
③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢
3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.
2．实数的概念及分类：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数.
（2）分类：
①按定义分：整数有理数实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数 知识点睛 实数、二次根式的基本概念 ②按性质分：0正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数
（3）实数的性质：
①相反数：a与b互为相反数0ab.
②绝对值：,00,0,0aaaaaa或,0,0aaaaa或,0,0aaaaa
（4）实数和数轴上的点是一一对应的.
π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质：
形式：①0a；②20a；③0a（0a）；④a中0a.
性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
（7）实数中无理数的常见类型：
知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”．如3，16等都有“”，虽然16=4，但是4是二次根式16的计算结果，因此16，121，1.44，94等也都是二次根式.
(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证a有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：2a，因为无论 a取什么实数，都有a2≥0，所以2a是二次根式．而21x，221x都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．
(3)“”的根指数为2，即“2”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如32就不是二次根式，因为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：223与5相乘，要写成853的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.
知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使a有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如21x，只有当2x+1≥0，即x≥12时，二次根式21x才有意义. 再如，对于式子31xx来说，只有当30,10,xx即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.
拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.
知识点3 二次根式的性质
二次根式的双重非负性: a≥0，a≥0，因为a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知a≥0，如3，32等都是非负数.
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模块一 二次根式的概念及性质
二次根式的概念：形如a（0a）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
二次根式的基本性质：（1）0a（0a）双重非负性；（2）2()aa（0a）；（3）2 (0) (0)aaaaaa．
一、对二次根式定义的考察
【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、4、33、1x、(0)xx、0、42、1xy、xy（x≥0，y≥0）．
【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A．7 B．38 C．x D．x
【例2】 当x是多少时，31x在实数范围内有意义？
【例3】 当x是多少时，1231xx在实数范围内有意义？
【巩固】使式子2(6)x有意义的未知数x有（ ）个 ．
A．0 B．1 C．2 D．无数
【例4】 已知336yxx，求xy的值．
【巩固】已知a、b为实数，且522105aab，求a、b的值．
二次根式
二次根式 Page 2 of 9 二、对二次根式性质的考察
【例5】 计算
（1） 23()4 （2） 2(34) （3）2(5) （4） 23()2
【巩固】若-3≤x≤2时，试化简222(3)1025xxxx．
模块二 二次根式的乘除运算
一、二次根式的乘法法则：abab（0a，0b）
【例6】 如果93xyxy成立，那么x，y必须满足条件 ．
【例7】 化简：（1）4981＝______；（2）0.360.25＝______；（3）31872aa＝______．
【例8】 如果)3(3xxxx，那么（ ）．
