二次型和二次型的化简

附件3

佳木斯大学（ 2014 ）届毕业论文（设计）开题报告

毕业论文（设计）题目 二次型的化简

学院 理学院 学号 1001014214 班级 数学（2）班 开题日期

专业 数学与应用数学 学生姓名 郑智荣 指导教师 康兆敏 教师职称 副教授

本课题的研究意义 二次型讨论的对象是多元二元齐次函数，这种函数在屋里，统计，规划，极值等的问题中有广泛的应用。

本课题的基本内容简介 本课题主要介绍了二次型及其标准型的定义及其表示方法，以及简单介绍了几种对二次型化简的方法。最后谈及二次型在其他学科上的应用。

论文提纲 第1章 绪论

第2章 二次型与它的标准型

第3章 化简二次型的方法

3.1 化简二次型的正交基变换法

3.2 化简二次型的初等变换法

3.3 化简二次型的配方法

3.4 化简二次型的偏导法

3.5 化简二次型的雅克比法

第4章 二次型的应用

结论

主要参考文献

论文进度安排 序号 工作任务 起止日期 序号 工作任务 起止日期

1 5

2 6

3 7

4 8

意见审阅 指导教师(签名)： 年 月 日

注：学生查阅资料的参考文献应在10篇及以上，其中外文参考文献不少于2篇。

举例说明将二次型化成标准型的方法

1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。

2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。对于二次型x^2 - 2xy +

3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。

3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。

4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。

7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。

10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。

化二次型为标准型的方法

二、 二次型及其矩阵表示

在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax2bxycyf. （1）

为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴） ''''xxcosysinyxsinycos （2）

把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P是一数域，一个系数在数域P上的12nx,x,...,x的二次齐次多项式22212n11112121n1n2222n2nnnnf(x,x,...,x)ax2axx...2axxax...2axx...ax

称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12nx,x,...,x；12ny,y,...,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

11111221nn22112222nn33113223nnnn12n22nnnxcycy...cyxcycy...cyxcycy...cy...........xcycy...cy （4）

称为由12nx,x,...,x到12ny,y,...,y的一个线性替换，。如果ijc0，那么线性替换（4）就称为非退化的。

2012年 和田师范专科学校学报 Jul.2012第31卷第一期 总第75期

110化二次型为标准形的几种方法

张钊

（驻马店职业技术学院 河南驻马店 463000）

[摘 要]对于日益呈现数字化社会的今天，高等代数是一门应用最广的学科之一，而二次型是高等代数中的重要部分。二次型理论与矩

阵密切相关。二次型的化简方法是对其进行研究与应用的重要基础。 本文给出了化二次型为标准形的一些方法。

[关键词]二次型；标准形；化简

二次型是高等代数中比较重要的一个知识点，但同时

也是难点，很多同学对此掌握得都不怎么好，结合自己的

教学实践与经验，总结出几种将二次型化为标准型的几种

方法这几种方法各有其特点，解题时可根据其特点和要求

采取最佳方法，以达到简明快速的目的。特别是偏倒数法

和顺序主子式法，只要按公式计算即可。

1.配方法

用配方法化二次型为标准形的关键是削去交叉项，分

如下两种情形处理：

情形1 如果二次型123(,,,,)

nfxxxx含某文

字，例1x的平方项，而

110a，则集中二次型中含1x

的所有交叉项，然后与2

1x配方，并做非退化线性变换为：

1111122

22

1nnn

j

nnycxcxcx

yx

cP

yx









得2

112,...,nfdygyy其中

2,...,ngyy是

2,...,

nyy的二次型。对于

2,...,ngyy重复上述方法直

到化为二次型f为标准形为止。

例1

222

123412412

14232434,,,344

2262fxxxxxxxxx

xxxxxxxx



用配方法化将上式为标准形，并写出所做的非退化线性。

解：22

1124242(2)(2)fxxxxxx

22

242(2)3xxx

令1124

22

33

442yxxx

yx

yx

yx





 (6)

则222

1242324343222fyyyyyyyyy