圆周运动向心加速度公式推导(向心加速度公式的推导方法ppt)

向⼼加速度的6个公式
向⼼加速度的公式：an=Fn/m=4π²R/T²=4π²f²R=v²/R=ω²R=vω。

向⼼加速度公式
an=Fn/m
=4π²R/T²=4π²f²R
=v²/R=ω²R=vω
上式中，an表⽰向⼼加速度，Fn表⽰向⼼⼒，m表⽰物体质量，v表⽰物体圆周运动的线速度（切向速度），ω表⽰物体圆周运动的⾓速度，T表⽰物体圆周运动的周期，f表⽰物体圆周运动的频率，R表⽰物体圆周运动的半径。

（ω=2π/T）
由⽜顿第⼆定律，⼒的作⽤会使物体产⽣⼀个加速度。

合外⼒提供向⼼⼒，向⼼⼒产⽣的加速度就是向⼼加速度。

可能是实际加速度，也可能是物体实际加速度的⼀个分加速度。

法向加速度
法向加速度⼜称向⼼加速度，在匀速圆周运动中，法向加速度⼤⼩不变，⽅向可⽤右⼿螺旋定则确定。

质点作曲线运动时，所具有的沿轨道法线⽅向的加速度叫做法向加速度。

数值上等于速度v的平⽅除曲率半径r，即v²/r;或⾓速度的平⽅与半径r的乘积，即ω²r。

其作⽤只改变物体速度的⽅向，但不改变速度的⼤⼩。

（于凤刚 推导整理） 向心加速度公式的推导两法
方法一：
加速度公式的推导关键注意：课本P 21“做一做”③如图5.5-4当角θ用弧度表示时，弧长QP 可以表示为。

当θ很小很小时（物理上定义为5o ），弧长与弦长没什么区别，所以此式也可以表示弦长。

这个关系也可以来计算矢量△v 的长度。

根据上述知识结合右图
设A B ==v v v
得： θ∆=v v （与QP=r θ同理） 根据a t ∆=∆v 及t
θω∆=∆ 得：
a t
θω∆=
=∆v v 又因为r ω=v 所以2a r ω=
方法二：
根据数学知识：当θ很小很小时（物理上定义为5o
），sin θθ≈（θ以弧度为单位的数值）。

在上图A B ∆、、v v v 矢量组成的三角形是等腰三角形，根据几何知识有， 2sin 2
θ∆∆=v v （设A B ==v v v ） 因为△θ很小很小，所以
sin
22
θθ∆∆= 故， θ∆=∆v v
根据a t ∆=∆v 及t
θω∆=∆ 得：
a t
θω∆=
=∆v v 又因为r ω=v 所以
2
a r ω=。

向心加速度公式的几种推导向心加速度公式的几种推导向心加速度是物体在做匀速圆周运动时所受到的加速度，它与物体的速度和半径有关。

向心加速度的公式可以通过不同的推导方法得出。

本文将介绍几种常见的推导方法，解释向心加速度的概念和公式。

第一种推导方法是通过定义力的方向来推导。

在物体做匀速圆周运动时，它受到一个向心力的作用，该力的方向指向圆心。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与受力成正比。

因此，我们可以得到向心加速度的方向是指向圆心的。

根据定义，向心加速度的大小等于速度的平方除以半径，表示为a = v^2 / r，其中a是向心加速度，v是速度，r是半径。

第二种推导方法是利用速度的变化率来推导。

在匀速圆周运动中，物体的速度大小是恒定的，但其方向在不断变化。

为了描述速度的变化率，我们引入一个新的物理量，即角速度。

角速度表示单位时间内物体在圆周运动中所转过的角度。

根据等速圆周运动的性质，角速度与速度的大小之间存在一定的关系。

我们可以将速度的大小表示为v = ωr，其中v是速度，ω是角速度，r是半径。

由于角速度的单位是弧度/秒，所以速度的单位是米/秒。

然后，我们对速度对时间求导，得到加速度的大小。

根据导数的链式法则，加速度大小的推导公式为a = d(v)/dt = d(ωr)/dt = r(dω/dt)。

因为匀速圆周运动中角速度不变，所以dω/dt = 0，即加速度的大小为零。

但由于速度的方向在不断变化，所以加速度的方向是向心方向。

第三种推导方法是使用几何关系来推导。

考虑一个物体在半径为r的圆周上运动，它在1秒内沿圆周运动一周。

我们知道圆周的周长等于2πr，所以物体运动的距离为2πr。

另外，我们知道速度的定义为单位时间内所运动的距离。

所以，速度的大小等于运动的距离除以时间，即v = 2πr / 1 = 2πr。

根据速度的定义和向心加速度的定义，我们可以得到a = v^2 / r = (2πr)^2 / r = 4π^2r。

关于向心加速度公式的推导方法（下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考）1、矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。

由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，.2 .运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α3、.位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4、类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。

现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.。

向心加速度公式的推导方法首先，我们假设一个物体在平面上做匀速圆周运动，其质量为m，速度为v。

这个物体受到一个向心力Fc的作用，该力指向物体所绕的圆心。

根据牛顿第二定律，物体所受的合力等于质量乘以加速度，即F = ma。

将合力拆分成两个分力：向心力Fc和切向力Ft。

1.向心力Fc：向心力Fc的方向指向物体所绕的圆心，大小为Fc = m•ac，其中ac为物体的向心加速度。

2.切向力Ft：切向力Ft的方向垂直于速度矢量v，大小为Ft = m•at，其中at为物体的切向加速度。

由于物体作匀速圆周运动，速度大小保持不变，所以at = 0。

根据向量加法，合力F等于向心力Fc和切向力Ft的矢量和。

由于切向力Ft为零，所以F=Fc。

现在我们来推导向心加速度公式。

根据牛顿第三定律，任何两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。

在这个圆周运动的例子中，物体对圆心施加向心力Fc，圆心对物体同样施加一个反向的力-Fc。

这个反向力-Fc实际上是质量为m的物体受到的合力F，即-Fc = F = ma。

根据向量的减法，力-Fc可以表示为-Fc = (-m•ac)。

再根据牛顿第二定律F = ma，我们有(-m•ac) = ma。

将方程两边除以-m，得到ac = a，即物体的向心加速度等于物体的加速度。

由于物体作匀速圆周运动，其速度方向始终垂直于加速度方向。

因此，速度v和加速度a的关系可以用速度的模长（大小）来表示，即v=，v，a=，a。

当物体作圆周运动时，其加速度a可以通过速度v的变化来计算。

由物体速度v的定义可知，v = ds/dt，其中ds表示质点在t时刻的位移矢量。

速度的变化可表示为dv = dv/dt。

将速度表示为位移的导数，我们有：dv/dt = d(ds/dt) / dt = d²s/dt²。

由于物体作匀速圆周运动，其速度大小，v，保持不变。

因此，dv/dt = 0，即加速度的时间变化率为零。

关于向心加速度公式的推导方法（下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考）1、矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。

由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，.2 .运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α3、.位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4、类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。

现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.-----精心整理，希望对您有所帮助!。

向心加速度公式的几种推导一、运用速度增量法推导如图，表示速度（率）v 作匀速圆周运动的物体，在时间Δt 内由A 点运动到B 点。

在这运动过程中，由于Δt 非常小，可以看成是过A 点切线方向速度为v 的匀速直线运动和在AO 方向初速度为零的匀加速直线运动的合运动。

物体过A 点沿切线方向的速度为v ，在AO 方向上的初速度v 0=0，当经过很短时间Δt 内，物体由A 点运动到B 点，线速度大小仍是v ，但方向改变了，由于方向的改变，使物体在AO 方向获得了分速度vt=vsin θ。

这时物体在AO 方向速度的增量应是：ΔV =V t-v0=vsin θ。

在这段时间内，物体沿切线方向匀速运动走过的距离可看成是由E 到B ，即EB=V ·Δt由此得到：v v θRsin EB t ==∆又根据加速度的定义式可得：Rv vv v2/Rsin sin ta ===∆∆θθ二、运用位移合成法推导1、如图（1）表示以速率v 作匀速圆周运动的物体经过很短时间Δt ，由A 点运动到B 点，于是有错误!未指定书签。

AB=V Δt当Δt 小到某种程度，即AB 弦与AB 弧几乎重合，则有：AB 弦=AB 弧=v Δt如果物体位于A 点时，力的作用消失，则物体将沿切线方向作匀速运动，在Δt 时间内经过位移v Δt 。

但实际上物体在Δt 时间内沿圆周运动到了B 点，这是由于物体还受到向心力的作用，加速离开了切线，其位移为AF ，它和过A 点切线方向的位移v Δt 合成起来，使物体由A 移动到B 。

由于时间Δt 很短，向心力可近似看成在过A 点的半径方向，从图中可以看出：由于： ΔABC ∽ΔABF所以 AC AB ABAF=于是ACAB AF 2=将式代入此式并注意AC=2R所以222t AF RV∆= 上式中v 、R 都是常量，此时表明位移AF 与时间Δt 的平方成正比，符合匀加速直线运动的规律。

与初速度为零的匀加速直线运动的位移公式221at S =相比较，可得出匀速圆周运动的向心加速度公式为：R v a 2=2、图（2）表示物体以速率v 作匀速圆周运动的情形，在很短时间Δt 内由A 点运动到B 点，与上题思考方法不同的是，现在把该运动过程看成是同时参与两个分运动的合运动。