反函数与反三角函数

第十五讲 反函数与反三角函数一、 知识要点1．反函数的定义设定义在数集A 到数集B 上一个函数()y f x =,如果对于B 的任意一个元素x ,在对应关系g 下,A 中都有唯一存在的元素y 与之对应,则称函数()y g x =是函数()y f x =的反函数,同时也称()y f x =是函数()y g x =的原函数．2．反函数的表示：一般地，反函数()y g x =记作: 1()y f x -= (读作f 逆x )．3．由反函数的定义，我们可以知道一些重要结论：(1)原函数的定义域应该是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域；(2)数集A 到数集B 的映射必然为双射；(3)1(())f f x x -=；1(())f f x x -=；(4)互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称；(5)若连续函数()y f x =存在反函数，则必然是单调函数；(6)互为反函数的两个单调函数，单调性相同．4．求反函数步骤：(1)先计算函数()y f x =的值域；（2）反解；（3）替换字母．5．三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以研究三角函数的反函数了．(1)反正弦函数①定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数,记为：arcsin y x =([]1,1x ∈-)这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ,即②反正弦函数的性质：(a) 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2]． (b) 在定义域上单调增；(c) 是[－1，1](d)y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2])的图象关于y ＝x 对称； (e)arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：(2)．反余弦函数 (仿反正弦函数的情况可以得到)①定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1,1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ,即 cos(arccos x )＝x ， x ∈[－1，1]②反余弦函数的性质：(a) 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]；(b) 在定义域上单调减；(c)是[－1，1] arccos(－x )＝π－arccos x ， x ∈[－1，1](d)y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称．(e)arccos(cos x )的值及 arccos(cos x )＝x ， x ∈[0，π] ．(3)反正切函数①定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2))的反函数就是反正切函数， 记为y ＝arctan x (x ∈R)．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2)内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即tan(arctan x )＝x ， x ∈R②反正切函数的性质：(a) 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )； (b)在定义域上单调增；(c) 是R arctan(－x )＝－arctan x ， x ∈R(d)y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2))的图象关于y ＝x 对称； (e) arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：arctan(tan x )＝x ， x ∈(-π2 ，π2) （3）反余切函数 请根据上面的内容自己写出．二、习题演练例1．已知3sin ()2x x ππ=<<，求x (用反三角函数符号表示).例2．已知tan 2α=-，(1),22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(2) ()0,2απ∈；求α．例3．求适合下列关系的x (或者x 的取值集合) (1)21cos ,(,0)9x x n π=∈-+；(2)1sin 12x +=,[]0,2x π∈；(3) 1cos(),262x x R π+=-∈．例4．计算：(1)arccos(cos3)；(2)arccos(cos(4))-；(3) arcsin(cos3)；(4)arctan(cot(4))-．例5．比较各角的大小.(1)18；(2)12arcsin(),arctan(arccos 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭．例6．求值：(1)32cos arctan arccos()43⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦；(2)111arccos()arccos 147--．例7．已知arcsin(sin sin )arcsin(sin sin )2παβαβ++-=；求：22sin sin αβ+的值．例8．求证：1111arctanarctan arctan arctan 35784π+++=．例9．求证: 21111arctanarctan arctan arctan 37131n n ++++++．例10．求证：arcsin arccos 2x x π+=．例11．若12,x x 是方程2670x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值；探究：若12,x x 是方程2230x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值；探究：若12,x x 是方程2(1)0(0)x mx m m +++=>的两根，求12arctan arctan x x +的值．例12．若12,x x 是方程2sin cos 0x x αα-+=的两根，且0απ<<，求12arctan arctan x x +的值．例13．求函数2()2arccos()2x x f x -=的定义域与值域，单调区间．三、习题演练1．计算：(1)513tan(2arcsin )tan(arctan )1324+；(2)34sin(arcsin arccos )55+ ； (3)33arcsin(sin )arccos(cos )44ππ+；(4)111arctan arctan arctan 258++．2．证明：(1)cos(arcsin )y x =(2)sin(arccos )y x == (3)1tan(arccot )y x x ==,并作它们的图象．3．证明： (1)[]arcsin arccos ,1,12x x x π+=∈-；⑵arctan arccot ,2x x x R π+=∈．4．若arctan tan arctan x arc y z π++=,证明：(1)x ＋y ＋z ＝xyz ；⑵证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．5．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－ 54),试比较()()()(),,,f f f f αβγδ的大小．6.求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．7．求函数2()arcsin()f x x x =-的定义域，最值，单调区间．8．求函数cos(2arccos )4sin(arcsin )2x y x =+，求最值．。

高中数学反函数有哪些反三角函数的所有公式
为了方便大家复习，小编整理了高中数学反三角函数的所有公式供大家
参考。

1反三角函数公式:1、arcsin(-x)=-arcsinx
2、arccos(-x)=π－arccosx
3、arctan(-x)=-arctanx
4、arccot(-x)=π－arccotx
5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
7、当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x
8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x
9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x
10、x∈(0,π),arccot(cotx)=x
11、x〉0,arctanx=arctan1/x,
12、若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 1高中数学反函数：1、反正弦函数：正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

2、反余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[- 1，1]，值域[0，π]
小编推荐:三角函数的8个诱导公式。

三角函数的反函数与反三角函数三角函数是数学中非常重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

而与三角函数紧密相关的概念就是反函数与反三角函数。

本文将详细介绍三角函数的反函数以及反三角函数的性质和应用。

一、三角函数的反函数我们知道，三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

当我们给定一个角度时，三角函数可以计算出该角度对应的值。

而反过来，反函数的作用就是给定一个函数值，计算出对应的角度。

1.1 正弦函数的反函数正弦函数的反函数被称为反正弦函数，记作arcsin或sin^-1。

反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。

对于给定的正弦值x，反正弦函数可以计算出对应的角度sin^-1(x)。

1.2 余弦函数的反函数余弦函数的反函数被称为反余弦函数，记作arccos或cos^-1。

反余弦函数的定义域也是[-1, 1]，但值域是[0, π]。

给定一个余弦值x，反余弦函数可以计算出对应的角度cos^-1(x)。

1.3 正切函数的反函数正切函数的反函数被称为反正切函数，记作arctan或tan^-1。

反正切函数的定义域是(-∞, +∞)，值域是(-π/2, π/2)。

对于给定的正切值x，反正切函数可以计算出对应的角度tan^-1(x)。

二、反三角函数的性质反三角函数具有一些特殊的性质，这些性质对于解决一些三角方程和三角关系式非常有用。

2.1 反函数与原函数的关系正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数与它们的关系如下：sin^-1(sin(x)) = x，其中x为[-π/2, π/2]的范围内的任意值；cos^-1(cos(x)) = x，其中x为[0, π]的范围内的任意值；tan^-1(tan(x)) = x，其中x为(-π/2, π/2)的范围内的任意值。

2.2 同角三角函数的关系对于同一个角度，不同的三角函数之间有一些特殊的关系：sin(x) = cos(π/2 - x)cos(x) = sin(π/2 - x)tan(x) = 1/tan(π/2 - x)这些关系可以大大简化三角函数之间的计算。

三角函数的反函数与反三角函数计算在数学中，三角函数是非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

而三角函数的反函数与反三角函数计算则是在解决各种三角函数相关问题时不可或缺的工具。

本文将详细介绍三角函数的反函数和反三角函数的概念，以及如何进行计算。

一、三角函数的反函数三角函数的反函数是指，通过将三角函数的值作为输入，计算出与之对应的角度。

以正弦函数为例，正常情况下我们通过给定一个角度，计算出其对应的正弦值。

而反函数则是给定一个正弦值，计算出其对应的角度。

以正弦函数sin(x)为例，其反函数记为arcsin(x)或者sin^(-1)(x)。

表示为sin^(-1)(x)=y，其中x为正弦函数的值，y表示对应的角度。

当x∈[-1,1]时，arcsin(x)存在唯一的解。

二、反三角函数的计算反三角函数包括反正弦函数（arcsin），反余弦函数（arccos），反正切函数（arctan）等。

它们的定义和使用方法如下：1. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数arcsin(x)的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。

我们可以通过输入正弦函数的值，来计算对应的角度。

例如，如果要计算sin^(-1)(0.5)，即要求正弦函数为0.5时，对应的角度。

我们可以使用计算器或查表得到结果，arcsin(0.5)≈π/6，即30°。

2. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数arccos(x)的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。

与反正弦函数类似，我们可以通过输入余弦函数的值，计算对应的角度。

例如，要计算cos^(-1)(0.5)，即要求余弦函数为0.5时，对应的角度。

可以得到arccos(0.5)≈π/3，即60°。

3. 反正切函数（arctan）：反正切函数arctan(x)的定义域为实数集，值域为[-π/2,π/2]。

我们可以通过输入正切函数的值，计算对应的角度。

例如，要计算tan^(-1)(1)，即要求正切函数为1时，对应的角度。

三角函数的反函数与反三角函数在数学的广袤领域中，三角函数与反三角函数是一对重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。

让我们先来聊聊三角函数。

三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等等。

以正弦函数为例，对于一个给定的角度，它会给出一个对应的数值。

比如，sin 30°＝ 05。

那什么是反函数呢？简单来说，如果函数 f 将 x 映射到 y，那么反函数 f^（－1) 就会将 y 映射回 x。

对于三角函数，当我们限制其定义域和值域，就能得到相应的反函数，也就是反三角函数。

反三角函数主要有反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。

反正弦函数 arcsin 的定义域是-1, 1，值域是π/2, π/2。

这意味着，当我们知道一个数 y 在-1, 1范围内，通过反正弦函数 arcsin(y)，就能得到一个角度 x，使得 sin(x) ＝ y，并且这个角度 x 在π/2, π/2之间。

反余弦函数 arccos 的定义域也是-1, 1，但值域是0, π。

同样，对于给定的 y 在-1, 1内，arccos(y)会给出一个角度 x 在0, π范围内，使得cos(x) ＝ y。

反正切函数 arctan 的定义域是 R（全体实数），值域是(π/2, π/2)。

也就是说，对于任意实数 y，arctan(y)会给出一个角度 x 在(π/2, π/2)之间，满足 tan(x) ＝ y。

反三角函数在解决很多数学问题中都非常有用。

比如在几何问题中，已知一个三角形的某些边长或角度，我们常常需要用到反三角函数来求出其他的边长或角度。

在物理学中，反三角函数也有广泛的应用。

例如在力学中，当我们知道一个物体的位移和速度，要计算它的运动时间，就可能会用到反三角函数。

另外，在工程学中，反三角函数在信号处理、控制系统设计等方面也不可或缺。

三角函数的反函数与反三角函数三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在三角函数中，存在着一种特殊的函数关系，即反函数与反三角函数。

本文将就三角函数的反函数和反三角函数进行详细讨论。

一、三角函数的反函数首先，我们先了解一下什么是函数的反函数。

在数学中，如果函数f(x)的定义域为D，值域为R，且对于任意的x∈D和y∈R，满足f(x)=y当且仅当f^(-1)(y)=x，则称函数f^(-1)(y)为函数f(x)的反函数。

反函数是指从函数的输出得到输入的一种映射关系。

对于三角函数来说，由于其周期性和多值性，存在着不同的反函数。

以正弦函数sin(x)为例，其反函数通常称为反正弦函数或arcsin(x)，记作y=arcsin(x)。

其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

通过反正弦函数，我们可以求得给定值的角度，即sin(x)=y，则x=arcsin(y)。

同样地，余弦函数cos(x)的反函数为反余弦函数或arccos(x)，正切函数tan(x)的反函数为反正切函数或arctan(x)，以此类推。

二、反三角函数与三角函数的反函数不同，反三角函数是指将给定的三角函数值作为输入，求解相应的角度值。

反三角函数可以帮助我们解决三角函数方程以及在实际问题中的应用。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

以反正弦函数arcsin(x)为例，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

通过反正弦函数，我们可以求得给定值的角度，即arcsin(x)=y，则x=sin(y)。

类似地，反余弦函数arccos(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]，反正切函数arctan(x)的定义域为R，值域为(-π/2, π/2)。

三、三角函数的性质与应用除了反函数和反三角函数的定义和性质，我们还需要了解三角函数的一些基本性质和应用。

1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)和cos(x+2π)=cos(x)；而正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。