关于反函数定理

rudin反函数定理（实用版）目录1.反函数定理的定义2.反函数定理的证明3.反函数定理的应用正文一、反函数定理的定义Rudin 反函数定理是指，在给定集合 X 和 Y 上，如果映射 f : X →Y 是单调的且在每个区间 [a, b] 上都是连续的，那么它的反函数 f^-1 : Y → X 也是单调的并在每个区间 [f(a), f(b)] 上都是连续的。

二、反函数定理的证明为了证明 Rudin 反函数定理，我们需要证明两个主要结论：第一，如果 f 是单调的，那么 f^-1 也是单调的；第二，如果 f 在每个区间 [a,b] 上都是连续的，那么 f^-1 在每个区间 [f(a), f(b)] 上也是连续的。

1.证明 f 是单调的，那么 f^-1 也是单调的：假设 f 是单调的，我们需要证明 f^-1 也是单调的。

考虑两个元素x1 和 x2 在 f(a) 和 f(b) 之间，即 f(a)≤ x1 < x2 ≤ f(b)。

由于 f 是单调的，我们有 f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b)。

由于 f^-1 是 f 的反函数，我们有 f^-1(f(a)) = a < x1 < x2 < f^-1(f(b)) = b。

因此，f^-1 也是单调的。

2.证明如果 f 在每个区间 [a, b] 上都是连续的，那么 f^-1 在每个区间 [f(a), f(b)] 上也是连续的：我们需要证明如果 f 在每个区间 [a, b] 上都是连续的，那么 f^-1 在每个区间 [f(a), f(b)] 上也是连续的。

考虑两个元素 x1 和 x2 在f(a) 和 f(b) 之间，即 f(a)≤ x1 < x2 ≤ f(b)。

由于 f 在 [a, b] 上是连续的，我们有 f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b)。

由于 f^-1 是 f 的反函数，我们有 f^-1(f(a)) = a < x1 < x2 < f^-1(f(b)) = b。

第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。

复变函数的罗尔定理及其推论
罗尔定理，也叫反函数定理，源于罗尔（Lloyd）在1932年第一次提出，是在数学上有关复变函数的一种重要定理，是函数的一种重要概念。

罗尔定理揭示了复变函数的对称性，主要用于解决复函数的特征和性质。

罗尔定理，一般用五个表达式定义如下：数学上x为复变函数关于直角坐标系的图像。

其中，定义域为：D={(x,y)},D是原函数的域，反函数关于X轴对称反函数为fY={(fx,y)},当fx在fX内，则fY为反函数。

那么根据罗尔定理，D=fY。

另外，罗尔定理也提出了反函数的两重性质。

一是反函数一定是复变函数，其次它在定义域的关系是反的，用文字来说就是反函数关系的映射是反的。

罗尔定理的定义为研究复变函数提供了重要的观点，给后续复变函数的理论提供了基础。

在推导复变函数关系时，要注意反函数定理中定义域和值域之间转换的关系。

如果把反函数定理的定义转变为复变函数的式子，可以解决许多复变函数的计算问题。

此外，罗尔定理还提供了复变函数的特殊性，如一个复变函数的反函数正好是另一个复变函数的反函数的情况。

罗尔定理是复变函数的重要定理，也是数学上一种有趣的概念。

对于复变函数的深入研究，它就非常重要，可以帮助我们更好地理解复变函数并给出解决问题的技巧。

反函数定理在数学中，反函数定理给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的充分条件。

该定理还说明了反函数的全导数存在，并给出了一个公式。

反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。

定义设M与N为n维光滑流形，U为M的开集，f:U→N为光滑映射。

若f在p∈U有极大阶，则存在p的邻域V，使得限制f:V→f(V)为微分同胚。

简介反函数定理说明如果从Rn的一个开集U到Rn的连续可微函数F 的全导数在点p可逆（也就是说，F在点p的雅可比行列式不为零），那么F在点p的附近具有反函数。

也就是说，在F(p)的某个邻域内，F的反函数存在。

而且，反函数F-1也是连续可微的。

在无穷维的情况中，需要弗雷歇导数在p附近具有有界的反函数。

最后，定理说明这个公式还可以从链式法则推出。

链式法则说明，如果G和H是两个函数，分别在H(p)和p具有全导数，那么：J(G∘H)(P)=JG(H(P))*Jh(P)设G为F，H为F-1，(G∘H)就是恒等函数，其雅可比矩阵也是单位矩阵。

在这个特殊的情况中，上面的公式可以对Jf-1(F(p))求解。

注意链式法则假设了函数H的全导数存在，而反函数定理则证明了F-1在点p具有全导数。

F的反函数存在，等于是说方程组yi = Fj(x1,...,xn)可以对x1,...,xn求解，如果我们把x和y分别限制在p和F(p)的足够小的邻域内。

这个公式还可以从链式法则推出。

链式法则说明，如果G和H是两个函数，分别在H(p)和p具有全导数，那么：J(G∘H)(P)=JG(H(P))*Jh(P)设G为F，H为F-1，(G∘H)就是恒等函数，其雅可比矩阵也是单位矩阵。

在这个特殊的情况中，上面的公式可以对Jf-1(F(p))求解。

注意链式法则假设了函数H的全导数存在，而反函数定理则证明了F-1在点p具有全导数。

F的反函数存在，等于是说方程组yi = Fj(x1,...,xn)可以对x1,...,xn求解，如果我们把x和y分别限制在p和F(p)的足够小的邻域内。

多元函数的反函数求导定理解释说明1. 引言1.1 概述在数学分析领域中，多元函数的研究是重要的内容之一。

而在多元函数的分析研究中，反函数求导定理是一个十分关键的定理。

它为我们提供了求解多元函数反函数导数的方法和工具，从而在实际问题中更好地应用和理解多元函数。

1.2 文章结构本文将对反函数求导定理进行详细介绍和说明。

首先，在第2节中，我们将介绍多元函数与反函数之间的关系，并探讨反函数的定义与性质。

接下来，在第3节中，我们将详细证明反函数求导定理，并对其证明步骤进行具体分析。

在第4节中，我们将通过举例应用来展示反函数求导定理的实际操作，并深入探讨复杂多元函数的应用情况。

最后，在第5节中，我们将总结反函数求导定理的要点和核心思想，并探讨可能存在的进一步研究和应用问题。

1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解并掌握反函数求导定理及其应用方法。

通过对该定理的介绍和证明过程的详细解释，读者能够更加深入地理解多元函数的反函数导数求解过程，并能够熟练应用于实际问题中。

同时，本文也将为读者展示反函数求导定理的广泛适用性和重要性，引发对相关领域更深入研究和探索的兴趣和思考。

2. 反函数求导定理的介绍2.1 多元函数与反函数的关系在数学中，我们常常研究多元函数，即以多个变量为自变量的函数。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们有时候希望找到一个与之对应的反函数，记作f^(-1)。

反函数可以看作是将自变量和因变量进行交换的操作。

具体而言，对于一个给定的y值，如果存在一组x值满足f(x) = y，则这组x值就唯一地对应着一个y值，并且可以称为f^(-1)(y)。

2.2 反函数的定义与性质给定一个单调连续可导的多元函数f，如果存在其反函数f^(-1)，则可以通过以下定义来确定它：对于任意y ∈值域(f)，若存在一组x ∈定义域(f) 使得f(x) = y，那么这组x 唯一地确定了一个与之对应的y值。

根据这个定义，我们可以得出以下性质：- f 和f^(-1) 是互逆函数：即f(f^(-1)(y)) = y 和f^(-1)(f(x)) = x 对于所有x 和y 成立。

反函数常用知识点总结一、函数的定义及性质回顾1. 函数的定义：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的每一个元素x，都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是从A到B的一个函数，记作f：A→B。

2. 反函数的定义：设f：A→B是一个函数，如果对于每个y∈B，都存在唯一的x∈A，使得f(x)=y，那么就称f的反函数。

二、反函数的求解方法1. 基本方法：设f(x) = y，则反函数为x = f^(-1)(y)。

2. 对称法则：交换x和y，即将f(x) = y改写为f^(-1)(y) = x。

三、反函数的性质1. 定理1：若f是从A到B的一对一函数，则它的反函数存在且也是从B到A的一对一函数。

证明：由f是一对一函数，对于每个y∈B，恰有一个x∈A使得f(x)=y。

令x=f^(-1)(y)，则有f(x)=y，由此可知f^(-1)(y)=x。

因此，f^(-1)(y)是从B到A的一对一函数。

2. 定理2：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一对一函数，则f是一个一对一函数。

证明：设f(x₁)=f(x₂)，则有f^(-1)(f(x₁))=f^(-1)(f(x₂))，即x₁=x₂。

因此，f是一个一对一函数。

3. 定理3：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一个一对一函数，则f^(-1)是从B到A的满射。

证明：设y∈B，由f^(-1)是一对一函数可知，存在一个唯一的x∈A使得f^(-1)(y)=x。

因此，f^(-1)是从B到A的满射。

四、反函数的图像及定义域、值域的关系1. 反函数的图像：反函数f^(-1)的图像是由函数f的图像关于直线y=x作镜像而成的。

2. 定义域和值域的关系：设f：A→B是一个函数，则f的定义域是A，值域是f(A)。

而f的反函数f^(-1)的定义域是B，值域是f^(-1)(B)。

五、反函数与反比例函数的关系1. 反比例函数的性质：反比例函数y=k/x的反函数是y=k/x。

反函数存在性定理
反函数存在性定理体现了数学界对函数的认知。

无论函数如何复杂，只要满足
一定函数定义，反函数就存在。

换句话说，所有函数都可以看作一个数学实体，只要改变这个实体的定义，它就成为另一个函数。

这种理论可以被称为反函数存在性定理。

反函数存在性定理在数学领域具有重要意义，它表明函数是一种相当有限的数
学实体，而不是一种什么都可以的实体。

从函数的定义和定理中可以看出，函数的变化和类型是有限的，而不是无限的，只有找到一种定义方式，才能使函数存在。

因此，反函数存在性定理可以说是建立在假定之上，它着力解决了函数存在性问题。

在高等教育领域，反函数存在性定理也发挥着重要作用。

高等教育的主要目的
是培养具有创新能力的人才。

此时，反函数存在性定理起着极为重要的作用，因为它使学生深入理解函数的变化规律，进而拓宽函数应用范围。

掌握反函数存在性定理，可以教会学生在某一范围内去寻找反函数，从而使学生在理解和运用函数方面有所突破。

另外，反函数存在性定理可以帮助学生理解函数的定义和规律，教会学生如何准确表达和描述函数，从而培养学生的创新能力。

总之，反函数存在性定理的重要性不言而喻，它的出现既加深了我们对函数的
理解，也有助于我们拓宽函数的应用，在高等教育领域中也发挥着不可忽视的作用。

x的反函数第一个反函数，就是把原来的函数写成反函数形式。

那么，下面我们就来谈谈反函数的定义：两个变量y=kx，它们的关系不是传递的，就称y是x的反函数。

7、向量值（ X， Y）=X^2-8X-Y。

或X^2-8X+Y=0（点乘后的两个值相等）（这里的意思是说：对于某一个向量x，当它的坐标值变为横坐标y时，所有原先的向量值也都要变为横坐标。

注意：两个向量并非就完全重合了！如向量与向量垂直，只是因为他们的方向相同）。

两向量垂直（即它们的坐标相等）时，它们的夹角为0度，设向量A 为（ X， Y），向量B为（ A， Y）。

而向量与向量垂直时，则其夹角为90度。

那么，向量与向量的夹角就可以从向量值和向量值的大小比较出来，在做题时，可根据向量值的大小找出相应的向量来进行计算，即可得出答案。

也可以通过这种方法来检查自己所作的题是否正确。

8、反三角形的底边长度定理，就是利用上述定理来求反函数的定义域。

9、实数集中，每一个非零数均可以用它的绝对值唯一地表示出来，这个性质称为“绝对值”定理。

10、设y=kx，则kx可以表示成x^2-4y-1或x^2-3y+5，其中k可以取0， 1， 2， 3，…。

11、定义域中包含零的任意有理数，它的绝对值都等于零，记为Q。

12、用实数集中的数表示的函数，叫做实数集的代数闭包。

13、由R的单调性所知，对任何x∈R，若a(x) > 0，则a(x)≥0，记为an≥0，即存在一个自变量a，使得a(x) ≥0，对x∈R成立。

14、实数集是代数闭包，记为R，代数闭包内的每一个点都是实数。

15、 R上的自然数N（ n）称为R的子数集， R的子数集中元素个数最多的，称为R的极大子数集；反之，称为R的极小子数集。

16、一个非空集合C和一个集合D，如果C关于D中任何一点x都有定义，那么这两个集合就叫做等价的。

17、如果n是任意自然数， N是任意整数，A是任意有限集合，则n是A的子集。