高中数学人教A版选修2-1模块综合检测(B).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的() 【导学号：18490031】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.7．命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ；命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R .记命题p 为真命题时c 的取值集合为A ，命题q 为真命题时c 的取值集合为B ，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{c |c <－1}C ．{c |c ≥－1}D ．R【解析】 命题p 为真命题，即x 2＋2x －c >0恒成立，则有Δ＝4＋4c <0，解得c <－1，即A ＝{c |c <－1}；令f (x )＝x 2＋2x －c ，命题q 为真命题，则f (x )的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c ≥0，求得c ≥－1，即B ＝{c |c ≥－1}．于是A ∩B ＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0是真命题，则k 的取值范围是( )A ．－4≤k ≤0B ．－4≤k ＜0C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0【解析】 由题意知kx 2－kx －1＜0对任意x ∈R 恒成立，当k ＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】 很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件． 【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】 因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)【解析】 因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)． 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝3－m ≤0，f （2）＝8－m >0，∴3≤m <8. 【答案】 [3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x30>x20”；③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】【解析】①②④是假命题，③是真命题．【答案】③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q：所有的矩形都是正方形；(2)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(3)s：至少有一个实数x0，使x30＋3＝0.【解】(1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s：∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－33时，x3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⇒/ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎨⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎨⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎨⎧m <13，m >0⇔ 0<m <13.所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围. 【导学号：18490033】【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3.因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3，即m 的取值范围为(1，3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】 当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 所以有m ＜－ 2.当命题q 是真命题时，由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，－2＜m ＜2， 解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52.(2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二 令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0，所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现，x 1＝x 3，∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ②由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)． 代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.∴∠A ＝90°.∴结论成立．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学选修2-1综合测试卷B （含答案）一、选择题1．平面α 外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α 内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m ＇⊥n ＇；③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合；④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合，其中不正确的命题个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．抛物线y 2＝4x 上的点A 到其焦点的距离是6，则点A 的横坐标是( ) (A)5(B)6(C)7(D)83．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( )(A)45(B)25 (C)23 (D)45 4．若向量(1，0，z )与向量(2，1，2)的夹角的余弦值为32，则z 等于( ) (A)0(B)1(C)－1(D)25．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α 为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α 的取值范围是( )(A)}2π{(B)}2π6π|{≤≤αα(C)}2π4π|{≤≤αα(D)}2π3π|{≤≤αα 6．已知α 是三角形的一个内角，且51cos sin =+αα，则方程x 2sin α －y 2cos α ＝1表示( ) (A)焦点在x 轴上的双曲线 (B)焦点在y 轴上的双曲线 (C)焦点在x 轴上的椭圆(D)焦点在y 轴上的椭圆7．如图，在正四棱锥P －ABCD 中，23=PA AB ，E 是AB 的中点，G 是△PCD 的重心，则在平面PCD 内过G 点且与PE 垂直的直线有( )(A)0条 (B)1条 (C)2条(D)无数条8．设p ：f (x )＝e x ＋ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件9．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x 的值为( ) (A)－4(B)1(C)10(D)1110．命题p ：函数1)6π2sin()(+-=x x f 满足)3π()3π(x f x f -=+，命题q ：函数g (x )＝sin(2x ＋θ )＋1可能是奇函数(θ 为常数)．则复合命题“p 或q ”“p 且q ”“非q ”为真命题的个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)311．如图所示，已知正四面体A －BCD 中，AE ＝41AB ，CF ＝41CD 则直线DE 和BF 所成角的余弦值为( )(A)134 (B)133 (C)134-(D)133-12．设抛物线y 3＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) (A)]21,21[- (B)[－2，2] (C)[－1，1] (D)[－4，4]二、填空题13．已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，A C ．M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基向量OC OB OA ,,表示向量OG ，并设OC z OB y OA x OG ++=，则x ，y ，z 之和为______．14．已知椭圆x 2＋2y 2＝12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3144，则点A 的坐标是______． 15．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为______．16．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为______．三、解答题17．设命题p ：函数xxa x f -+=1ln)(是奇函数，命题q ：集合A ＝{x ‖x ｜≤1，x ∈R }，B ＝{x ｜｜x ＋2a ｜≥a ，a ＞0}满足A ⊆B ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．18．如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF 与CG 所成角的余弦值； (3)求CE 的长．19．在直角坐标平面上给定一曲线y 2＝2x ．设点A 的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离｜P A ｜．20．已知椭圆12550:22=+y x D 与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R )，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．21．如图，四面体P－ABC中，P A，PB，PC两两垂直，P A＝PB＝2，PC＝4，E是AB的中点，F是OE的中点．(1)建立合适的直角坐标系，写出B，C，E，F的坐标；(2)求BF与底面ABP所成的角的余弦值．22．如图，曲线G的方程为y2＝2x(y≥0)，以原点为圆心，以t(t＞0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴交于点A与点B．直线AB与x轴相交于点C．(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(2)设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值．参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．A5．A 点拨：取C 1D 1中点E ，连结ME ，DE ，AM ，则四边形AMED 为矩形，PM ⊂面AMED ，可证D 1N ⊥DE ，D 1N ⊥AD ，故D 1N ⊥面AMED ，又PM ⊂面AMED ，所以D 1N ⊥PM ，故PM 与D 1N 所成角为90°．故选A ． 6．D 点拨：由sin α＋cos α＝51，得1＋sin2α＝251，所以sin2α＝2524-，所以2π2π<<α，所以π2π<<α，所以sin α ＞0，cos α ＜0，－cos α ＞0，因此方程1cos 1sin 122=-+ααy x 表示椭圆．又由sin α+αcos ＝51 知，sin α ＞｜cos α ｜，所以4π32π<<α，所以sin α ＞－cos α ＞0，所以ααcos 1sin 1-<,所以椭圆的焦点在y 轴上．应选D ． 7．D 点拨：取CD 的中点F ，设AB ＝1，则PE ＝PF ＝22，EF ＝1，所以PE ⊥PF ．又PE ⊥DC ，DC ∩PF ＝F ，所以PE ⊥平面PCD ． 8．A 点拨：p 中041e )(≥+++='m x x x f x在(0，＋∞)上恒成立．m ≥－(x xx41e ++)，设a ＝x xx41e ++54e >+≥x 则－a ＜－5．所以m ≥－a ，所以{m ｜m ≥－a }{m ｜m ≥－5}，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A ．9．D 点拨：因为A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，P (x ，－1，3)，所以AP ＝(x －4，－2，0)AB (－2，2，－2)AC (－1，6，－8)由于点P 在平面ABC 内，所以P ，A ，B ，C 四点共面．所以AP ，AB ，AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC 即(x －4，－2，0)＝m (－2，2，－2)＋n (－1，6，－8)，所以⎪⎩⎪⎨⎧--=+=---=-n m n m n m x 820622,24解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.11,1,4x n m 所以选D ．10．C 点拨：1)6π2s i n ()(+-=x x f 的一条对称轴是直线3π=x ，则f (x )满足)3π()3π(x f x f -=+，故命题p 为真命题；g (x )＝sin(2x ＋θ )＋1不可能是奇函数，命题q 为假命题，则“p 或q ”“非q ”均为真命题，故选C ． 11．A 点拨: CD Br CF BC BF h A BA AD EA ED 41,41+=+=+=+=， >=<BF ED ,cos 134)41()41()41()41(||||22=+++⋅+=⋅CD BC AD BA CD BC AD BA BF ED BF ED ． 12．C 点拨：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，则Q 的坐标为(－2，0)，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)与抛物线方程联立得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，①，当k ＝0时，l 即为x 轴，与抛物线只有一个交点(0，0)；②当k ≠0时，要使直线l 与抛物线只有一个公共点，需∆＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝0，解得k ＝±1．所以k 的取值范围是[－1，1]． 二、填空题 13．65 点拨：)2121(32213221CB OC OA OA MN OA MG OM OG ++-+=+=+=OA 21=OC OB OA OC OB OC OA 31316131313231++=-++-.所以,31,61==y x 31=z ．所以65=++z y x ． 14．(2，0) 点拨：设A (x 0，0)(x 0＞0)，则直线l 的方程为y ＝x －x 0，设直线l 与椭圆相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，由y ＝x －x 0可得3x 2－4x 0x ＋220x －12＝0，由根与系数的关系，有3122,342021021-==+⋅x x x x x x ，则|x 1－x 2|＝=-+212214)(x x x x22020236323488916x x x -=--．所以||13144212x x k -⋅+=，即=3144 322⋅·2236x -．所以420=x .又x 0>0，所以x 0＝2，所以A (2，0)．15．515点拨：如图所示建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，2，1)，BD (－2，－2，0)，1BB (0，0，2)，BE (－2，0，1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为n BD ⊥，n 1BB ⊥所以⎪⎩⎪⎨⎧===--=⋅⋅,02,0221z BB y x BD n n所以⎩⎨⎧=-=.0,z y x 令1=y ，则n ＝(－1，1，0)，510||||,cos =⋅>=<BE BE BE n n n ， 设BE 与平面B 1BD 所成角为θ ，则515,sin cos >=<=BE n θ， 即BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为515． 16．112422=-y x三、解答题17．解：函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0．所以01ln 1ln=+-+-+x x a x x a ，解得a ＝±1．当a ＝1时，应满足011>-+xx，得－1＜x ＜1，此时函数f (x )为奇函数；当a ＝－1时，应满足011>-+-xx，不等式无解．故a ＝－1舍去．综上知，a ＝1时，f (x )为奇函数，因为A ＝{x ｜－x ≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{x ｜x ≤－3a 或x ≥－a }且A ⊆B (a ＞0)，所以－a ≤－1，即当a ≥1时，A ⊆B ．若p 正确，q 不正确，这样的a 不存在．若p 不正确，q 正确，则a ＞1，故a ＞1时，p 和q 有且仅有一个正确．18．(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，E (0，0，21)，C (0，1，0)，F (21，21，0)，G(1，1，21) 所以EF ＝(21，21，－21)，CF (21，－21，0)，CG (1，0，21)，CE (0，－1，21)．因为CF EF ⋅00)21()21(212121=⨯-+-⨯+⨯=，所以CF EF ⊥，即EF ⊥CF ．(2)解：因为4121)21(021121(=⨯-+⨯+⨯=⋅CF EF ， 23)21()21()21(||222=-++=EF ，25)21(01||222=++=CG ．所以151525.2341||||,cos ==⋅>=<CG EF CG EF CG EF (3)解：25)21()1(0||222=+-+=CE ．19．解：设M (x ，y )为曲线y 2＝2x 上任意一点，则=++=+-=9432)32(||2222x x y x MA 31)31(2++x 因为x ∈[0，＋∞)，当x ＝0时，9431)31(||2m i n 2=+=MA ，即32||m i n =MA ．所以距点A 最近的点P 的坐标为(0，0)，这时32||=PA ．20．解：椭圆12550:22=+y x D 的两焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则G 的渐近线方程为x aby ±=，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25．当m ＝5时，圆心为(0，5)，半径为r ＝3．所以⇒=+3|5|22ba a a ＝3，b ＝4所以双曲线G 的方程为116922=-y x ．21．解：(1)以P A 所在直线为x 轴，PB 所在直线为y 轴，PC 所在直线为z 轴，P 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则B 点坐标为(0，2，0)，C 点坐标为(0，0，4)，A 点坐标为(2，0，0)，因为E 为AB 中点，所以E (1，1，0)．因为F 为CE 的中点，所以)2,21,21(F ．(2)连结PE ，设G 为PE 中点，连结FG 、BG ，则21,21(G 0)．因为P A 、PB 、PC 两两互相垂直，所以PC ⊥面ABP ，因为F 、G 分别为CE 、PE 的中点，所以FG ∥PC ，所以FG ⊥面ABP ．故∠FBG 为BF 与面ABP 所成的角． 所以cos ∠FBG ＝><BG BF ,cos ，)2,23,21(-=BF ，)0,23,21(-=BG .所以26525||||,cos =>=<⋅BG BF BGBF BG BF 1365=， 即BF 与底面ABP 所成的角的余弦值为1365． 22．(1)解：由题意知，)2,(a a A ，因为｜OA ｜＝t ，所以a 2＋2a ＝t 2．由于t ＞0，故有t＝a a 22+①，由点B (0，t )，C (c ，0)的坐标知，直线BC 的方程为1=+tyc x 又因点A 在直线BC 上，故有12=+t a c a ，将①代入上式，得1)2(2=++a a a c a ，解得c ＝a ＋2＋)2(2+a ．(2)证明：因为D (a ＋2，)2(2+a )，所以直线CD 的斜率为=-++=ca a k CD 2)2(21)2(2)2(2))2(22(2)2(2-=++-=+++-++a a a a a a ，所以直线CD 的斜率为定值．马鸣风萧萧。

模块综合测评(教师用书独具)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“∉或∉”的否定形式是( )．若∉，则∉．∈或∈．∉且∉．∈且∈【解析】“或”的否定为“綈且綈”，正确．【答案】．已知∈，则“＜”是“＜”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】∵＜⇔(－)＜⇔＜＜.∴“＜”是“＜”的必要不充分条件．【答案】．若椭圆＋＝(＞＞)的离心率为，则双曲线－＝的离心率为( )【导学号：】．．【解析】由题意，－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率＝＋＝＋＝，∴＝.【答案】．已知空间向量＝(，)，＝(－，)，则－的最小值为( )．．．【解析】－＝≥，故选.【答案】．椭圆＋＝与椭圆＋＝有( )．相同短轴．相同长轴．相同离心率．以上都不对【解析】对于＋＝，因>或<，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此，，均不正确，故选.【答案】．长方体-中，＝，＝＝，则二面角--为( )．．【解析】以为原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为＝()，平面的一个法向量为＝(，－)，∴〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角--为锐角，即π－π＝，故选.【答案】．命题“∀∈[]，－≤”为真命题的一个充分不必要条件是( )．≥．≤．≥．≤【解析】∵∀∈[]，≤≤，∴要使－≤为真，则≥，即≥，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有符合，故选.【答案】．已知：<，：(＋)有意义，则綈是的( )．充分不必要条件．充要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件【解析】不等式<的解集为{<－}，则綈：≥－：>－.故綈，⇒綈，故选.【答案】．如图，过抛物线＝(>)的焦点的直线，分别交抛物线的准线、轴、抛物线于，，三点，若＝，那么直线的斜率是( )图。

模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“存在实数，使＞”的否定是( )．对任意实数，都有＞．不存在实数，使≤．对任意实数，都有≤．存在实数，使≤解析：利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数，使＞”的否定是“对任意实数，都有≤”．故选.答案：．在命题“若∈，()＝，则函数()是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( ) ．．．．解析：原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题．答案：．已知直线⊥平面α，直线⊂平面β，则“∥”是“α⊥β”的( )．充要条件．必要条件．充分条件．既不充分也不必要条件解析：⇒⇒α⊥β，∴“∥”是“α⊥β”的充分条件，⇒∥.答案：．已知命题：若＋＝(，∈)，则，全为；命题：若>，则<.给出下列四个复合命题：①且；②或；③¬；④¬.其中真命题的个数是( )．．．．解析：命题为真，命题为假，故或真，¬真．答案：．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且＝，＝－＋－，则点的坐标为( )．(－，－) ．(－，，－)．(，－，－) ．(－)解析：设点的坐标为(，，)，则有＝(，，－)＝(－，－)，∴(\\(＝－，＝，－＝，))解得(\\(＝－，＝，＝.))故选.答案：．如下图所示，正四棱柱－中，＝，则异面直线与所成角的余弦值为( )解析：连接，则∥，∠为与所成角，不妨设＝，则＝∠＝＝＝.答案：．以－＝－的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：双曲线－＝－，即－的焦点为(，±)，顶点为(，±)．所以对椭圆＋＝而言，＝，＝.∴＝，因此方程为＋＝.答案：．如图，在锐二面角α－－β的棱上有两点，，点，分别在平面α、β内，且⊥，∠＝°，＝＝＝，与所成角为°，则的长度为( )－．解析：＝＝＝＝＝－.答案：．设，是双曲线－＝(>)的两个焦点，点在双曲线上，且满足：·＝，·＝，则的值为( )．．解析：双曲线方程化为－＝(>)，∵·＝，∴⊥.。

模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －52．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]，(0,1) D ．[－1,0)，(0,1]3．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m (x ∈R )有两个零点，并且不等式f (1－x )≥－1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]5．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B.12 C ．－12D ．－2 7．设a 、b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1，1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．09．已知函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (|x |)|的图像可能是( )11．若z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．－1－2i 或1＋2i D ．2＋i12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．15．若a ≥b >0，则a ＋4(2a －b )b的最小值为________．16．复数z ＝x －2i (x ∈R )与其共轭复数z 对应的向量相互垂直，则x ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值，并讨论f (x )的单调性；(2)证明：当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．(12分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.19.(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i (a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．20．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．21.(12分)由下列各式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋ax )－x 2 (a >0，x ∈(0,1])． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若不等式1＋n 2λ≥n 2ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n 对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围． 答案1．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3， ∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)， ∴y ＝－3x ＋2.]2．A [∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，∴0<x ≤1时，f ′(x )≤0.] 3．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图像上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图像，只有A 满足．]4．B [∵f (x )＝x 2－2x ＋m 有两个零点，∴4－4m >0，∴m <1，由f (1－x )≥－1得(1－x )2－2(1－x )＋m ≥－1， 即x 2＋m ≥0，∴m ≥－x 2，∵－x 2的最大值为0，∴0≤m <1.]5．B [由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .]6．D [y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1.∴y ′|x ＝3＝－2(x －1)2|x ＝3＝－12. ∴－a ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1.∴a ＝－2.] 7．A [∵a 2＋b 2<1，∴|a |<1，|b |<1.∴ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0成立． 反之：(a －1)(b －1)>0，推不出a 2＋b 2<1.]8．A [(1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3， f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7， f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1) 得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8， f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18， 则f (5,6)＝26.]9．C [根据函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)·(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．]10．A [该题考查函数的图像变换，显然从f (x )→f (|x |)的图像是保留原函数y 轴右侧的图像，再根据偶函数的性质处理即可；从f (x )→|f (x )|的图像是保留原函数在x 轴上方的图像，把下方的图像翻折到x 轴上方去，结合原函数的特征．]11．C12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5. 由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.]13．(－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1<m ≤0.14. 2解析 设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.15．3解析 a ＋4(2a －b )b ＝⎝⎛⎭⎫a －b 2＋b 2＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2·b2≥3，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 16．±2解析 ∵z ＝x －2i ，∴z ＝x ＋2i ，又两对应向量垂直，∴x 2－4＝0，∴x ＝±2.17．(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)． 由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0， ∴a ＝－1.于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2)＝－e x (x ＋2)(x －1)． 故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0.从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增． (2)证明 由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增， 故f (x )在[0,1]的最大值为f (1)＝e ， 最小值为f (0)＝1.从而对任意x 1，x 2∈[0,1]，有 |f (x 1)－f (x 2)|≤e －1<2.而当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos θ，sin θ∈[0,1]． 从而|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．证明 ∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1.从而有2＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 即⎝⎛⎭⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎫b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4.∴a ＋12＋b ＋12≤2. 19．解 ∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离， 所以|z 1－z 2|>32，即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞. 20．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立； ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(1)≤0得－14≤a ≤14.(2)当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0， 在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增， 在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0. ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14<a <14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．21．解 观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，13，17，115，…，猜想第n 个不等式左边的最后一项为12n －1，又由各不等式的右边可分别写成12，1＝22，32，2＝42，所以第n个不等式应为n2.猜想：第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n2 (n ∈N ＋)． 用数学归纳法证明如下(1)当n ＝1时，1>12，猜想正确．(2)假设当n ＝k 时猜想正确，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k2(k ∈N ＋)，那么，当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 ＝k 2＋2k2k ＋1 ＝k 2＋12＝k ＋12. ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上可知，对于任意n ∈N ＋，不等式成立．22．解 (1)由题意得，f ′(x )＝a1＋ax －2x ＝－2ax 2－2x ＋a 1＋ax ，由－2ax 2－2x ＋a ＝0，得x ＝－1±2a 2＋12a.∵a >0，∴－1－2a 2＋12a <0，－1＋2a 2＋12a>0.又∵－1＋2a 2＋12a ＝a 2a 2＋1＋1<1，而x ∈(0,1]，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2＋1－12a .(2)不等式1n2＋λ≥ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n ， 即为λ≥ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n －1n2① 令1n＝x ，当n ∈N ＋时，x ∈(0,1]． 则不等式①即为λ≥ln(1＋2x )－x 2. 令g (x )＝ln(1＋2x )－x 2，x ∈(0,1]， 由(1)知，在f (x )的表达式中， 当a ＝2时，f (x )＝g (x )，又∵a ＝2时，－1＋2a 2＋12a ＝12，∴函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减． 函数g (x )在x ＝12时，取得最大值ln 2－14.因此，对一切正整数n ，当n ＝2时，ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n －1n 2取得最大值ln 2－14.∴实数λ的取值范围是λ≥ln 2－14.模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h等于( )A ．f ′(x 0)B ．－2f ′(x 0)C ．2f ′(x 0)D ．0 2．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A ．2B ．1 C.233D ．03．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有( )A ．f (x )<g (x )B ．f (x )>g (x )C ．f (x )≥g (x )D ．f (x )≤g (x )5．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若 △BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3537．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H8.lim x →1 x x －x x －1等于( ) A.12 B.14 C.32 D.34 9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 009)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．210．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J11．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.11212．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________． 14．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解是______________．15．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为________万元．16．a >b >c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．18．(12分)求定积分ʃ3－4|x＋a|d x.19.(12分)已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．20．(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率P与日产量x的函数关系是：P＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？21.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC，求顶点C所对应的复数z.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋c 在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求a ，c 的值．答案1．C [lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)．]2．A [f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x .又∵x ＝π3为最值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即a 2＝1，∴a ＝2.]3．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.故选D.]4．C [∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增．∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )＝0，即f (x )－g (x )≥0.]5．C [如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.] 6．C [由图形分析阴影部分的面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝323.]7．D [由图可知，z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，∴2－i 对应的点为(2，－1)．]8．A [lim x →1 x x －x x －1＝lim x →1 x (x－1)(x ＋1)(x －1)＝lim x →1 x x ＋1＝12.]9．C [当x >0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x >0时，函数f (x )的周期是6.又∵f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)，∴由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝0－(－1)＝1， f (5)＝f (4)－f (3)＝1.]10．C [W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．]11．C [∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，∴n 2＝m 2，即n ＝m ，即(1,1)，(2,2)，…，(6,6)共6种．∴所求概率P ＝66×6＝16.] 12．A [令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.] 13.⎣⎡⎭⎫13，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 14．(－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴ F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.∴f (x )·g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．15．45.6解析 设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m )＝－0.15m 2＋3.06m ＋30，所以y ′＝－0.3m ＋3.06.令y ′＝0，得m ＝10.2.当0≤m <10.2时，y ′>0；当10.2<m ≤15时，y ′<0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值．又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6；当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．16．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立． 即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立．a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c＝4. ∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号．∴n 的最大值为4.17．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x2， ∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x<1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.18．解 (1)当－a ≤－4，即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ax |3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3，即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax |－a －4＋⎝⎛⎭⎫x 22＋ax |3－a＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3，即a ≤－3时， 原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax |3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).19．证明 假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0 (x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2. 这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．解 (1)由题意可知次品率P ＝日产次品数÷日产量，每天生产x 件，次品数为xP ，正品数为x (1－P )．因为次品率P ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32件正品，所以T ＝200x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8. (2)T ′＝－25·(x ＋32)·(x －16)(x ＋8)2， 由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)当0<x <16时，T ′>0；当x >16时，T ′<0；所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图．∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧ 21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝(－3)2＋42，解出⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4. ∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.22．解 显然，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝4(舍去)．(1) 当a >0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 －f (x ) －7a ＋c 单调递增 单调递减 －16a ＋c所以当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以c ＝3.因为f (2)＝－16a ＋c ，f (－1)＝－7a ＋c ，所以f (－1)>f (2)，故当x ＝2时，函数f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2) 当a <0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) － 0 ＋f (x ) －7a ＋c 单调递减 单调递增 －16a+c所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，所以c ＝－29.因为f (2)＝－16a ＋c ，f (－1)＝－7a ＋c ，所以f (－1)<f (2)，故当x ＝2时，函数f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上所述，a ＝2，c ＝3或a ＝－2，c ＝－29.。

第一章 常用逻辑用语(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．a ＋b ＝0C ．a ＝bD ．a 2＋b 2＝02．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的( )A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．在下列结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则( )A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假6．条件p ：x >1，y >1，条件q ：x ＋y >2，xy >1，则条件p 是条件q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )A ．－12<x <3B ．－12<x <0 C ．－3<x <12D ．－1<x <6 8．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >010．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．下列命题中为全称命题的是()A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行12．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________________________，这是________(填“真”或“假”)命题．15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．16．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于∀x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．21.(12分)下列三个不等式：①25242axx+-->1；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；③a>x2＋1x2.若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．第一章常用逻辑用语(B)1．D [若a 2＋b 2＝0，即a ＝b ＝0时，f (－x )＝(－x )·|－x ＋0|＋0＝－x |x |＝－f (x )，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的充分条件．又若f (x )为奇函数即f (－x )＝－x |(－x )＋a |＋b ＝－(x |x ＋a |＋b )，则必有a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的必要条件．]2．B [由a ≥b ⇒c >d 可得c ≤d ⇒a <b ，又a <b ⇒e ≤f ，所以c ≤d ⇒e ≤f ；而e ≤f ⇒c ≤d 显然不成立，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分非必要条件．]3．B4．B [∵a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，∴a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2.]5．B [由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真．]6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p ⇒q ，但x ＝100，y ＝0.1满足q ：x ＋y >2，xy >1，但不满足q ，故选项为A.]7．D8．A [tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝tan π4＝1，所以充分； 但反之不成立，如tan 5π4＝1.] 9．C10．A [举例：a ＝1.2，b ＝0.3，则a ＋b ＝1.5<2，∴逆命题为假．]11．C12．D [∵“负数的平方是正数”即为∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确； 又∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定为“∃x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确；又∵f (x )＝sin 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π，∴|a |＝1⇒ a ＝1. 故“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]13．②④解析 ①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出A B ，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假15．(－∞，－1)解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m )<0，得m <－1.16．①③17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．18．解 (1)p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假．(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形． p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形． 非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真．19．证明 充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)，∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.20．解 |f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]．①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x在x ∈(0,1]上恒成立． 设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)， 则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥(－t 2－t )max ＝－2a ≤(t 2－t )min ＝0⇒－2≤a ≤0， 又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)． 21．解 对于①，25242ax x +-->1，即－x 2＋ax －254>0，故x 2－ax ＋254<0，Δ＝a 2－25，所以不等式的解集为空集，实数a 的取值范围是－5≤a ≤5.对于②，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x >1}，不是空集；当a ≠3时，要使不等式(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0的解集为空集．则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，(a －2)2＋4(a －3)≤0，解得－22≤a ≤2 2. 对于③，因为x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2， 当且仅当x 2＝1，即x ＝±1时取等号．所以，不等式a >x 2＋1x2的解集为空集时，a ≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－22≤a ≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是{a |a <－22或a >2}．22．解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝m 且x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8，当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立可得：a 2－5a －3≥3， ∴a ≥6或a ≤－1.所以命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，当a >0时，显然有解；当a ＝0时，2x －1>0有解；当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0有解，∴Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又命题q为假命题，∴a≤－1.综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.。

模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．2．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1,0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：选B A 中命题是全称命题，易知2x －1>0恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题；C 中命题是特称命题，当x ＝1时，lg x ＝0，故是真命题；D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析：选A 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋16＋x 2＝6，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，∴x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 先证“α⊥β ⇒a ⊥b ”．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角α-m -β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选B 由离心率为2可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意可知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1，故选B.7．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,3]D ．[－1,1]解析：选B 根据题意可得∀x ∈R ， 都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y 25＝1.9．设F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫33，1解析：选D 由垂直平分线的性质知|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线x ＝a 2c 与x 轴的交点为M ，则|PF 2|≥|F 2M |，即|F 1F 2|≥|F 2M |，则2c ≥a 2c －c ，即3c 2≥a 2，所以e 2＝c 2a 2≥13，又0<e <1，所以33≤e <1. 10．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有ba >2， 故e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.11．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP ―→＝12BA ―→－12BC ―→＋BD ―→，则|BP ―→|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94解析：选D 由题可知|BA ―→|＝1，|BC ―→|＝1，|BD ―→|＝ 2. 〈BA ―→，BD ―→〉＝45°，〈BD ―→，BC ―→〉＝45°，〈BA ―→，BC ―→〉＝60°.∴|BP ―→|2＝⎝⎛⎭⎫12 BA ―→－12 BC ―→＋BD ―→ 2＝14BA 2―→＋14BC 2―→＋BC 2―→－12BA ―→·BC ―→＋BA ―→·BD ―→－BC ―→·BD ―→＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.12．过M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D 设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1，得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0， 整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12. 设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21.∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于． 答案：对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠014．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________． 解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32， B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，∴sin 〈n ，OA ―→〉＝255.答案：25515．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.答案：233 16．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设点C (－1，t )，t >0，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －t )2＝1，因为∠FAC ＝120°，CA ⊥y 轴，所以∠OAF ＝30°，在△AOF 中，OF ＝1， 所以OA ＝3，即t ＝3，故圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14. 由－1<x <1，得m ∈⎣⎡⎭⎫－14，2，故M ＝⎣⎡⎭⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫94，＋∞. 18．(本小题12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－12(m 2－2)＞0，－3＜m ＜3， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝1，解得m ＝±53.19．(本小题12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠ABC ＝120°.点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证：AB ∥EF;(2)若PA ＝PD ＝AD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．解：(1)证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ， 又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD . ∴AB ∥平面PCD .∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD ＝EF ，∴AB ∥EF . (2)如图，取AD 的中点G ，连接PG ，GB ，∵PA ＝PD ， ∴PG ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥GB .在菱形ABCD 中，∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，G 是AD 的中点，∴AD ⊥GB .以G 为坐标原点，GA ，GB ，GP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系G -xyz ，∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴G (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)， ∵AB ∥EF ，点E 是棱PC 的中点， ∴点F 是棱PD 的中点， ∴E ⎝⎛⎭⎫－1，32，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，0. 设平面AFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AF ―→＝0，n ·EF ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝3x ，y ＝33x ，不妨令x ＝3，则n ＝(3，3，33)，为平面AFE 的一个法向量． 易知BG ⊥平面PAD ，∴GB ―→＝(0，3，0)是平面PAF 的一个法向量． ∵cos n ， GB ―→＝n ·GB ―→|n |·|GB ―→|＝339·3＝1313，∴平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值为1313. 20．(本小题12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ， 所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝90°.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE . 因为BD ⊂平面BDEF ， 所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ，又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ， 故以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0，0，3)，F (0，3，3)， 所以AE ―→＝(－1,0，3)，AC ―→＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)，为平面AEC 的一个法向量． 因为AF ―→＝(－1，3，3)，所以cos n ，AF ―→＝n ·AF ―→|n |·|AF ―→|＝4214，所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 21．(本小题12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P (2,1)在直线l 的左上方．若∠APB ＝90°，且直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求线段MN 的长度．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2ab ＝8，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设直线l ：y ＝12x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立，得⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y ，化简整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.则由Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0，得－2<m <2.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4， 因为k PA ＝y 1－1x 1－2，k PB ＝y 2－1x 2－2，所以k PA ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝(y 1－1)(x 2－2)＋(y 2－1)(x 1－2)(x 1－2)(x 2－2)，上式中，分子＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1(x 2－2)＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1(x 1－2) ＝x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)－4(m －1) ＝2m 2－4＋(m －2)(－2m )－4(m －1)＝0. 所以k PA ＋k PB ＝0.因为∠APB ＝90°，所以k PA ·k PB ＝－1， 则k PA ＝1，k PB ＝－1.所以△PMN 是等腰直角三角形， 所以|MN |＝2x P ＝4.22．(本小题12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6. 又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)， 与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0， 于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233.。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈R,x2+2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.4以双曲线x 24−y212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.x 2+y2=1B.x 2+y2=1C.x 2+y2=1D.x 2+y2=1由x 24−y 212=-1,得y 212−x 24=1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,2√3),(0,-2√3).∴椭圆方程为x 24+y 216=1.5如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为A 1B 1,CC 1的中点,P 为AD 上一动点,记θ为异面直线PM 与D 1N 所成的角,则θ的集合是( ) A.{π2}B.{θ|π6≤θ≤π2} C.{θ|π4≤θ≤π2}D.{θ|π3≤θ≤π2}C 1D 1的中点E ,PM 必在平面ADEM 内,易证D 1N ⊥平面ADEM.D 1N 总是垂直PM.6若向量a =(1,0,z )与向量b =(2,1,2)的夹角的余弦值为23,则z=( ) A.0B.1C.-1D.2<a ,b >=a ·b |a ||b |=2=23,解得z=0.7已知向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),若a ≠b ,设|a-b |=k ,则a-b 与x 轴上的单位向量的夹角的余弦值为( ) A.x 1-x2k B.x 2-x1kC.|x 1-x 2|kD.±(x 1-x 2)ka-b =(x 1-x 2,y 1-y 2,z 1-z 2),x 轴上的单位向量可设为n =(1,0,0)或(-1,0,0),∴(a-b )·n =±(x 1-x 2).又|a-b |=k ,|n |=1,∴夹角的余弦值为±(x 1-x 2)k.8如果命题“( p )∨( q )”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为( )①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧q ”是假命题 ③命题“p ∨q ”是真命题 ④命题“p ∨q ”是假命题A.①③B.②④C.②③D.①④“( p )∨( q )”是假命题,知 p 和 q 均为假命题⇒p 为真,q 为真,则p ∧q 为真,p ∨q 为真,则①③正确,故选A.9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( ) A.√1010B.√1717C.2√1313D.√37372c ,短轴长为2b ,由已知,得2c=2b3,故b=3c.又∵a 2=b 2+c 2=9c 2+c 2=10c 2,∴e=c =√10.10以双曲线x 24−y 25=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是()A.y 2=12xB.y 2=-12xC.y 2=6xD.y 2=-6x由x 2−y 2=1,得a 2=4,b 2=5,∴c 2=a 2+b 2=9.∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0).故p=3.∴抛物线方程为y 2=12x.11设F 1,F 2是双曲线x 2-4y 2=4a (a>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足:PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a 的值为( ) A.2B.√52C.1D.√5双曲线方程可化为x 2−y 2=1(a>0),∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4c 2=20a.① 由双曲线定义,知|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=±4√a , ② 又已知|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,③由①②③,得20a-2×2=16a ,∴a=1.12过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P.设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A.2B.-2C.12D.-12m :y=k 1(x+2)代入x 22+y 2=1,得x 2+2k 12(x+2)2-2=0,整理,得(1+2k 12)x 2+8k 12x+8k 12-2=0. Δ=(8k 12)2-4(1+2k 12)(8k 12-2)>0, 解得k 12<12.设P 1P 2的中点P 0(x 0,y 0),则x 0=x 1+x22=-4k 121+2k 12,y 0=k 1(x 0+2)=2k 11+2k 12. ∴k 2=yx 0=2k 11+2k 12-4k 121+2k 12=-12k 1, ∴k 1·k 2=-12.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 24−y 212=1上一点M 的横坐标为3,则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 .M 的横坐标可求得M (3,±√15),双曲线的右焦点的坐标为F 2(4,0).由两点间的距离公式,得 |F 2M|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =√(3-4)2+(±√15-0)2=4.14“三角形任意两边之和大于第三边”的否定是 .,存在两边,其和小于或等于第三边15在四面体OABC 中,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b ,c 表示)=12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +14b +14c .+14b +14c16曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中,正确结论的序号是 .曲线C 经过原点,则当曲线C 上点P 为原点时,|PF 1||PF 2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C 关于原点对称,设曲线C 上点P 关于原点的对称点为P',则|PF 1|=|P'F 2|,|PF 2|=|P'F 1|,满足|P'F 1||P'F 2|=a 2,所以②正确;③由三角形面积公式S=12ab sin C ,得S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤1|PF 1|·|PF 2|=a 2,所以③正确.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知椭圆D :x 250+y 225=1与圆M :x 2+(y-m )2=9(m ∈R ),双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M 相切.当m=5时,求双曲线G 的方程.D :x 2+y 2=1的两个焦点为F 1(-5,0),F 2(5,0),故双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,且c=5.设双曲线G 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),则G 的渐近线方程为y=±b ax ,即bx ±ay=0,且a 2+b 2=25.当m=5时,圆心为(0,5),半径为r=3,于是|5a |√a 2+b =3⇒a=3,b=4.故双曲线G 的方程为x 29−y 216=1.18(12分)已知命题p :不等式|x-1|>m-1的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x 是减函数,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数m 的取值范围.|x-1|>m-1的解集为R ,所以m-1<0,m<1.又因为f (x )=-(5-2m )x 是减函数, 所以5-2m>1,m<2. 即命题p :m<1,命题q :m<2. 因为p ∨q 为真,p ∧q 为假, 所以p 和q 一真一假.当p 真q 假时应有{m <1,m ≥2,m 无解.当p 假q 真时应有{m ≥1,m <2,1≤m<2.故实数m 的取值范围是[1,2).19(12分)已知点P (1,3),圆C :(x-m )2+y 2=92过点A (1,-3√22),点F 为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,直线PF 与圆相切.(1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点B (2,5),点Q 为抛物线上的一个动点,求BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.把点A 代入圆C的方程,得(1-m )2+(-3√22)2=92,∴m=1.圆C :(x-1)2+y 2=92.当直线PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线PF 的斜率存在时,设为k , 则PF :y=k (x-1)+3,即kx-y-k+3=0.∵直线PF 与圆C 相切,∴√k +1=3√22.解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当k=-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4,∴p2=4.∴抛物线方程为y 2=16x.(2)BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2), 设Q (x ,y ),BQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-5),则 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x-2)+(-2)(y-5) =-x-2y+12=-y 216-2y+12 =-116(y+16)2+28≤28.∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-∞,28]. 20(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC=2,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角. 求证:(1)CM ∥平面PAD. (2)平面PAB ⊥平面PAD.C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,因为PC ⊥平面ABCD ,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角. 所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2√3,PB=4.所以D (0,1,0),B (2√3,0,0),A (2√3,4,0),P (0,0,2),M (√32,0,32).所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32). (1)令n =(x ,y ,z )为平面PAD 的法向量, 则{DP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-y +2z =0,2√3x +3y =0, 所以{z =12y ,x =-√3y ,令y=2,得n =(-√3,2,1).因为n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0, 所以n ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CM ⊄平面PAD ,所以CM ∥平面PAD. (2)取AP 的中点E , 则E (√3,2,1),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).因为PB=AB , 所以BE ⊥PA.又因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以BE ⊥DA.又因为PA ∩DA=A ,所以BE ⊥平面PAD. 又因为BE ⊂平面PAB , 所以平面PAB ⊥平面PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD , AD=√2,DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°. (1)求证:M 是侧棱SC 的中点; (2)求二面角S-AM-B 的余弦值的大小.D 为坐标原点,射线DA ,DC ,DS 为x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A (√2,0,0),B (√2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2).设SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0), 则M (0,2λ1+λ,21+λ), 所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,21+λ,-21+λ).又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),<MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°, 故MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°, 即41+λ=√(√2)2+(21+λ)2+(-21+λ)2, 解得λ=1,即SM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以M 为侧棱SC 的中点.M (0,1,1),A (√2,0,0),得AM 的中点G (√22,12,12).所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,32,-12),MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,1,1),则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此,<GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >等于二面角S-AM-B 的平面角, 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-√63, 故二面角S-AM-B 的余弦值为-√6.22(13分)已知椭圆x 22+y 24=1与射线y=√2x (x ≥0)交于点A ,过A 作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B 和点C.(1)求证:直线BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求△ABC 面积的最大值.{x 22+y 24=1,y =√2x (x ≥0)得A (1,√2).设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为-k. 直线AB 的方程为y=k (x-1)+√2, ① 直线AC 的方程为y=-k (x-1)+√2, ②将①代入椭圆方程并化简得 (k 2+2)x 2-2(k-√2)kx+k 2-2√2k-2=0.∵1和x B 是它的两个根, ∴x B =k 2-2√2k -2k 2+2,y B =kx B +√2-k=-√2k 2-4k+2√2k 2+2.同理可得x C =k 2+2√2k -2k 2+2,y C =-√2k 2+4k+2√2k 2+2∴k BC =y B -yC x B -x C=√2.BC 的方程为y=√2x+m ,代入椭圆方程并化简得4x 2+2√2mx+m 2-4=0,|BC|=√3|x 1-x 2|=√3√16-2m 22.∵A 到BC 的距离为d=|m |√3, ∴S △ABC =√m 2(16-2m 2)4≤4√2·2m 2+(16-2m 2)2=√2,当且仅当2m 2=16-2m 2,即m=±2时,上式等号成立. 故△ABC 面积的最大值为√2.。

选修2-1综合检测（A 卷）时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 圆心(a ，b)，半径r ＝2，若a ＝b ，则圆心(a ，b)到直线y ＝x ＋2的距离d ＝2＝r.∴直线与圆相切；若直线与圆相切，则|a －b ＋2|2＝2，此时a ＝b 或a －b ＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A .2．设直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则直线l 1、l 2的夹角是( )A ．arccos 1515 B ．π－arcsin 21015 C ．arcsin 21015D ．arccos(－1515) [答案] A[解析] a ·b ＝－4，|a |＝23，|b |＝25， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－1515，∴l 1与l 2夹角为arcocs1515. 3．(2010·陕西文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系． 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p2＝4，p ＝2.4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，又有|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213∵(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90° ∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.5．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B 是A 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[3，＋∞)C ．[0,3]D ．(－∞，3][答案] D[解析] A ＝{x |－2≤x ≤5}，由条件知B ⊆A ， 当B ＝∅时显然适合题意，即m ＋1>2m －1得m <2 当B ≠∅时需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5解得2≤m ≤3，故m ∈(－∞，3]，选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[答案] A[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→ ＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→＝－(DB →＋DD 1→)－DD 1→＝－DB 1→－DD 1→＝－(DB 1→＋DD 1→)≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝(B 1D 1→＋B 1B →)＋DD 1→ ＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→.7．(2010·上海文，16)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了任意角的三角函数值及充要条件问题． ∵tan(2k π＋π4)＝1，而tan x ＝1⇒x ＝k π＋π4k ∈Z ，故选A.8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55.9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.10．设有语句p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，则下面给出的命题中是真命题的一个是( )A ．若p 则qB ．若綈p 则綈qC ．若q 则綈pD ．若綈p 则q[答案] C[解析] p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0， 即綈q ：x ＝1或x ＝－9. ∴p ⇒綈q ，即q ⇒綈p .11．如图，在正三棱锥P —ABC 中，D 是侧棱P A 的中心，O 是底面ABC 的中点，则下列四个结论中正确的是( )A ．OD ∥平面PBCB ．OD ⊥P AC ．OD ⊥AC D ．P A ＝2OD [答案] D[解析] PO ⊥底面ABC ，即△P AO 为直角三角形．又D 为P A 中点，则P A ＝2OD . 12．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F 1，点P 在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF 1的斜率为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] B[解析] 如图l 1与渐近线平行，l 2与x 轴垂直，当过F 1的直线由l 1逆时针转到l 2时，与左下支相交，此时k >1；当过F 1的直线逆时针由l 2转到x 轴时，与左下支相交，此时k <0，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．[答案] ②[解析] ①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1B 1C 1D 1四点共面．所以①中逆命题不真．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点． 由异面直线的定义可知，成异面直线的这两条直线不会有公共点． 所以②中逆命题是真命题．14．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案]24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠CBE ＝60°.连结CE ，如图所示，设正方形的边长为1， ∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1. 连结CF ，∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角． 又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2. 又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2， ∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2， ∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24，即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24. 15．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，……，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100的等差数列，则n 的最大值为________．[答案] 200[解析] 欲使n 取最大值，则|P 1F |应取最小值|P n F |应取最大值，∴|P 1F |＝a －c ＝1，|P n F |＝a ＋c ＝3，|P n F |＝|P 1F |＋(n －1)·d ， 当d ＝1100时，n ＝201.而d >1100，∴n 的最大值为200. 16．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ， 故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)，∴2λ＝5，∴λ＝52.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解析] 设△ABC 重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)由重心坐标公式得 ⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x13y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz . (1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°. ∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)， 又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)， ∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设CM →＝λDP →＋μDA →， 则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32， ∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . (2)作BE ⊥P A 于E ，|PB |＝|AB |＝4， ∴E 为P A 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0， ∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面P AD ，由于BE ⊂平面P AB ，则平面P AB ⊥平面P AD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将几何证明方法与代数证明方法结合使用．19．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 2＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2， 即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713.20．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B .使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[解析] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1.令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题的假命题．[点评] 只要使P Q 的a 的值都满足题设要求，∴⎩⎨⎧1－a 5≤121＋a 5≥1，(等号不同时成立)∴a ≥4.因此选取的a 的值满足a ≥4的都可以．21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，面A 1ACC 1⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的锐二面角的大小．[解析] 过A 1作A 1O ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OC 、OA 1分别为y 轴、z 轴建立坐标系，易证A (0，－3，0)，B (263，33，0)，A 1(0,0，3)，则AB →＝(263，433，0)，AA 1→＝(0，3，3)，则平面ABC 的法向量n 1＝(0,0，3)．则平面A 1ABB 1的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·AB →＝(263，433，0)·(x ，y ，z )＝263x ＋433y ＝0，∴x ＝－2y .∵n 2·AA 1→＝(0，3，3)·(x ，y ，z )＝3y ＋3z ＝0， ∴y ＝－z .令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n 2＝(2，－1,1)． 又设平面A 1ABB 1与平面ABC 所成的二面角的大小为θ， 则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12，∴θ＝60°.∴面ABC 与面A 1ABB 1所成的锐二面角的大小为60°.22．(本小题满分14分)(2010·安徽理，19)已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；[解析] 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式．点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识．解题思路是：(1)利用待定系数法求标准方程．(2)利用向量法或角平分线的性质求直线方程．(3)利用平方差法或代数法判定是否存在这样一点．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)由e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆的方程具有形式x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)解法1：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为：y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为：x ＝2.由点A 的椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则 |3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10得2x －y －1＝0， 所以直线l 的方程为：2x －y －1＝0. 解法2：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)．∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)．∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.。

模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R)，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析：若l ∥α，则b ·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．答案：D4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 答案：B5．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657答案：D6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：因为|a |＝|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos 60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6答案：C10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105答案：D11．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1) B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1) C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0) D ．x 2－y 210＝1(x ＞1) 解析：如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)． 答案：A12．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知命题p ：∀x ∈R(x ≠0)，x ＋1x≥2，则綈p ：_____________． 解析：首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x＜2. 答案：∃x ∈R(x ≠0)，x ＋1x＜2 14．给出下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0，则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.答案：①③15．在四面体O -ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．答案：116．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析：依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 答案：x 23－y 212＝1 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0的解集只有一个子集，若“p ∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”也为真，求实数a 的取值范围．解：当p 为真时，应有a ＞1；当q 为真时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解， 所以Δ＝4－4log a 32＜0，解得1＜a ＜32. 由于“p ∨q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真．又“(綈p )∨(綈q )”也为真，所以綈p 和綈q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.18．(本小题满分12分)已知两点M (－2，0)、N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．所以|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)， 代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即（x ＋2）2＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x ，故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .19．(本小题满分12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ＞0，即－6＜a ＜6且a ≠±3.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.所以(a2＋1)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0，所以a＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a＝±1.20.(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A-A1D­B的余弦值．(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，C (－1，0，0)，所以AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)． 因为AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0，AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD 与BA 1交于点B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)解：连接AD ，设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0)．因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0， 即⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量．由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→为平面A 1BD 的法向量．cos 〈n ·AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32×22＝－64， 故二面角A -A 1D ­B 的余弦值为64. 21．(本小题满分12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎨⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎨⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，所以||CF 1|－|CF ||＝4.因为|F 1F |＝25＞4，所以圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1. (2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，所以当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255. 所以当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255. 22．(本小题满分12分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②.图①图②(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成的角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD，所以A1C⊥平面BCDE.(2)解：如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(0，0，23)，D(0，2，0)，M(0，1，3)，B(3，0，0)，E(2，2，0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3，0，－23)，BE →＝(－1，2，0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，所以n ＝(2，1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM →＝(0，1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM →|＝ 48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)解：线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ，0，0)，其中p ∈[0，3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP→＝0.又A 1D →＝(0，2，－23)，DP →＝(p ，－2，0)，所以⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p 3，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0. 解得p ＝－2，与p ∈[0，3]矛盾． 所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )A.π3B.2π3C.3π4 D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1­AB ­C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C. 【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b 2a 2＋b 2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】 31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，3)，2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.∴c＝2，a＝3＋1，b2＝a2－c2＝2 3.∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.图3(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．【解】(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33.故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2， 又F 1为(－c ，0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.。

模块综合检测一、选择题1．命题“∃x 0∈R ，2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R ，2x －3>1 C ．∀x ∈R ，2x －3≤1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－3>12．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 5．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真6．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝07．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，3] B ．[－1，3] C ．[－3，3] D ．[－1，1] 8．下列结论中，正确的为( )①“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ②“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；③“p 或q 为真”是“为假”的必要不充分条件；④“为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.8310．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)11．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.9412．过M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12二、填空题13．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“”中是真命题的有________．15．已知A (0，－4)，B (3，2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．三、解答题17．已知命题p ：方程x 22－m ＋y 2m －1＝1所表示的图形是焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p ∨q 为真，綈q 为真，求实数m 的取值范围．18．已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．19．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∠ABC ＝60°，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC ′D ′(如图)．(1)求证：AC ⊥平面ABC ′； (2)求证：C ′N ∥平面ADD ′； (3)求二面角A -C ′N -C 的余弦值．20．已知点P 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1，1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．21．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB ＝1，MD ＝2.(1)求证：AM ∥平面BCN ；(2)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(3)E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值．22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．答 案1. 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2. 解析：选D ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3. 解析：选A 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．4. 解析：选A 由题意，得⎩⎨⎧4＋16＋x 2＝6，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，∴x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.5. 解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.6. 解析：选A 椭圆右焦点F (5，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则焦点F 到y ＝43x的距离为4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.7. 解析：选B 根据题意可得∀x ∈R ， 都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0，∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.8. 解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由为假⇒p 为真⇒p∨q 为真，故③正确．9. 解析：选A 抛物线y 2＝4x的焦点为F (1，0)，故双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.10. 解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有ba>2， 故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.11.＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 12. 解析：选D 设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1，得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0， 整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0， Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12. 设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21. ∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12. 13. 解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4，2c ＝8. 答案：814. 解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“”为真．答案：p ∨q ，15. 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t2－2t＋45＝（t－1）2＋35≥35＝355.答案：35516.解析：设A(m，n)，则B(－m，－n)，k＝nm，因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M为AF1的中点，所以OM∥BF1，同理ON∥AF1，所以OMF1N是矩形，即AF1⊥BF1，所以(1－m)(1＋m)－n2＝0，即m2＋n2＝1.又m2a2＋n2b2＝1，于是有m2a2＋n2b2＝m2＋n2，从而1a2－11－1b2＝n2m2＝k2≤3，即1a2＋3b2≥4，将b2＝a2－1代入，并整理得4a4－8a2＋1≤0，解得2－32≤a2≤2＋32.又a>c＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e<1.答案：[3－1，1)17.解：因为方程x22－m＋y2m－1＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m<0，m－1>0，即m>2.故命题p：m>2；因为方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 所以Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0， 即m 2－4m ＋3<0，所以1<m <3.故命题q ：1<m <3. 因为p ∨q 为真，为真，所以p 真q 假．即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，此时m ≥3. 综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≥3}． 18. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－12(m 2－2)＞0，－3＜m ＜3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝1，解得m ＝±53. 19. 解：(1)证明：因为AD ＝12BC ，N 是BC 的中点，所以AD ＝NC ，又AD ∥BC ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN ＝DC ，又因为四边形ABCD 是等腰梯形， ∠ABC ＝60°，所以AB ＝BN ＝AN ，所以NC ＝AN ，所以四边形ANCD 是菱形，所以∠ACB ＝12∠DCB＝30°，所以∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由已知可知平面C ′BA ⊥平面ABC ，因为平面C ′BA ∩平面ABC ＝AB ，所以AC ⊥平面ABC ′.(2)证明：因为AD ∥BC ，AD ′∥BC ′，AD ∩AD ′＝A ， BC ∩BC ′＝B ，所以平面ADD ′∥平面BCC ′，又因为C ′N ⊂平面BCC ′，所以C ′N ∥平面ADD ′.(3)连接BD 交AN 于点O .由(1)知AC ⊥平面ABC ′，同理，AC ′⊥平面ABC .建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1，0，0)，C (0，3，0)，C ′(0，0，3)，N ⎝⎛⎭⎫12，32，0，设平面C ′NC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，得平面C ′NC 的一个法向量为n ＝(3，1，1)，因为AC ′⊥平面ABC ，所以平面C ′AN ⊥平面ABC ，又易知BD ⊥AN ，而平面C ′AN ∩平面ABC ＝AN ，所以BD ⊥平面C ′AN . 因为BD 与AN 交于点O ，则O 为AN 的中点，O ⎝⎛⎭⎫14，34，0，所以平面C ′AN 的一个法向量为＝⎝⎛⎭⎫34，－34，0，又由图形知二面角A -C ′N -C 为钝角，所以二面角A -C ′N -C 的余弦值为－55. 20. 解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0，0)，＝(x －x 0，y )，＝(0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，∵点P 在⊙O 上，故x 20＋y 20＝9， ∴x 29＋y 24＝1，∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足，则E (1，1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）9＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）4＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0， ∴椭圆上存在点M ，N 满足，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.21. 解：因为NB ∥MD ，MD ⊥平面ABCD ， 所以NB ⊥平面ABCD ， 因为ABCD 为正方形，所以分别以DA ，DC ，DM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，0，2)，N (2，2，1)．(2)设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，故AN 与平面MNC 所成角的正弦值为255.所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，λ－22λ，1，由(2)知，平面MNC 的法向量n ＝(1，－2，－2)， 所以m·n ＝0，所以－2·λ－22λ－2＝0，所以λ＝23， 所以|ME |＝2，|MN |＝3，所以|ME ||MN |＝23.22. 解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，高中数学-打印版精心校对完整版 得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)， 与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0， 于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233.。

模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p :若θ=150°,则sin θ=12,则在命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax 2的焦点坐标为(0,2),则a 的值为 ( )A.18B.14C.8D.4解析抛物线的标准方程为x 2=1ay ,因为抛物线y=ax 2的焦点坐标为(0,2),所以14a=2,所以a=18,故选A. 答案A3.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.(13,1,1) B.(-1,-3,2) C.(-12,32,-1)D.(√2,-3,-2√2)解析因为1-12=-332=2-1=-2,即a =-2(-12,32,-1),所以(-12,32,-1)与a 平行.答案C4.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为( ) A.x 2-y 2=1B.x 2-y 2=1C.2√3-y 2=1 D.x 2-y 29=1解析双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1.又e=c=2,两式联立得a=1,c=2,∴b 2=c 2-a 2=4-1=3,∴方程为x 2-y 2=1.答案A5.若命题s :∃x 0>2,x 02-3x 0+2>0,则( )A. s :∃x>2,x 2-3x+2≤0B. s :∀x>2,x 2-3x+2≤0C. s :∃x ≤2,x 2-3x+2≤0D. s :∀x ≤2,x 2-3x+2≤0解析原命题s 是特称命题,其否定应为全称命题. 答案B6.已知三棱锥O-ABC ,点M ,N 分别为边AB ,OC 的中点,P 是MN 上的点,满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.16a +16b -13cB.16a +13b +16c C.13a +16b +16cD.16a +16b +13c解析∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a +16b +13c , 故选D.答案D 7.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A 1,A 2,直线x=2a 与一条渐近线交于点P ,若|A 1A 2|=|PA 2|,则双曲线的离心率为( ) A.√5B.√2C.√7D.2√3解析A 1(-a ,0),A 2(a ,0),不妨设点P 在渐近线y=bax 上,则P (2a ,2b ),由|A 1A 2|=|PA 2|可得4a 2=a 2+4b 2,又b 2=c 2-a 2,所以7a 2=4c 2,e=c a =√72. 答案C8.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( ) A.√5B.2√2C.√14D.√17解析因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+9+2(0+1×3×cos120°+1×3×cos 120°)=5,故A 1C 的长为√5. 答案A9.若点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-1,-14] B.[-12,-14] C.[-1,0]D.[-12,0]解析以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C 1(0,1,1),设P (x ,y ,1)(0≤x ≤1,0≤y ≤1). 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,-y ,-1),PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,1-y ,0),于是PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-x+y 2-y=(x -12)2+(y -12)2−12.因为0≤x ≤1,0≤y ≤1, 所以0≤(x -12)2≤14,0≤(y -12)2≤14,故-12≤(x -12)2+(y -12)2−12≤0. 答案D10.已知点P 在抛物线y 2=4x 上,点A (5,3),F 为该抛物线的焦点,则△PAF 周长的最小值为( ) A.9B.10C.11D.12解析由题意,画出图象(见下图),F (1,0),|AF|=√(5-1)2+32=5,过A 点作准线l 的垂线AD 交直线l 于D ,设P 到准线的距离为d ,则|PF|=d ,则△PAF 周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P 、A 、D 三点共线时,d+|PA|取得最小值,△PAF 周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1,且与椭圆在第二象限的交点为M ,与y轴的交点为N ,F 2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF 2|,则椭圆的方程为( )A.x 240+y 24=1B.x 25+y 2=1C.x 210+y 2=1D.x 210+y 26=1解析直线3x-y+6=0与x 轴、y 轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F 1(-2,0),N (0,6),于是c=2.又因为2a=|MF 1|+|MF 2|=|MN|+|MF 1|=|NF 1|=√22+62=2√10,于是a=√10,从而b 2=10-4=6,故椭圆方程为x 210+y 26=1. 答案D12.如图,四面体ABCD 中,AB ,BC ,BD 两两垂直,BC=BD=2,点E 是CD 的中点,异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为√10,则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A.√2B.2C.2√2D.1解析以B 为原点,BC ,BD ,BA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=a ,则A (0,0,a ),E (1,1,0),B (0,0,0),C (2,0,0),D (0,2,0),于是AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-a ),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), 则|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√10, 于是√2·√a 2+4=√1010,解得a=4或a=-4(舍).这时AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4), 设平面ACD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{2x -4z =0,2y -4z =0,取n =(2,2,1),于是sin θ=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√2×3=2√23. 答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点M ,N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点,P 为线段MN 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗ +γOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ+μ+γ= . 解析如图,连接ON ,在△OMN 中,点P 是MN 中点,则由平行四边形法则得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ+μ+γ=34.答案3414.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A ,M 是抛物线C 上的点,且MF ⊥x 轴.若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2,则p= . 解析由题意可得大致图形如下:由y 2=2px 可得:A (-p2,0),F (p 2,0),M (p 2,±p),由抛物线的对称性可知,取M (p2,p)与M (p2,-p)结果一致,不妨令M (p2,p),∴以AF 为直径的圆的方程为x 2+y 2=p2;直线AM 方程为x-y+p=0. 设圆心到直线距离为d ,则d=|p 2√1+1|=√2p4, ∴直线AM 被圆截得弦长为2√p 24-p 28=2⇒p=2√2.答案2√215.已知p :x -2mx+m <0(m>0),q :x (x-4)<0,若p 是q 的既不充分也不必要条件,则实数m 的取值范围是 .解析由x -2mx+m <0(m>0),解得-m<x<2m ,由x (x-4)<0,解得0<x<4.若p 是q 的充分不必要条件,则有{-m ≥0,2m <4,m >0,或{-m >0,2m ≤4,m >0,解得m 无解;若p 是q 的必要不充分条件,则有{-m <0,2m ≥4,m >0,或{-m ≤0,2m >4,m >0,解得m ≥2或m>2.因此当p 是q 的既不充分也不必要条件时,实数m 的取值范围是(0,2). 答案(0,2)16.椭圆x 25+y 2m =1的离心率e=√155,则m= . 解析若0<m<5,则e 2=5-m5=1525=35,∴m=2,若m>5,则e 2=m -5m =35,∴m=252.∴m 的值为2或252.答案2或252三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知命题p :方程x 2+y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,命题q :关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根,若“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题,求实数m 的取值范围.解∵方程x 2+y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,∴m>2.∵关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根, ∴4m 2-4(2m+3)<0,解得-1<m<3.“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题⇔p ,q 恰有一真一假. ①若“p 真q 假”,则{m >2,m ≤-1或m ≥3,即m ≥3;②若“p 假q 真”,则{m ≤2,-1<m <3,即-1<m ≤2.综上,实数m 的取值范围是(-1,2]∪[3,+∞).18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD 为菱形,AB=2,∠DAB=60°,ED ⊥面ABCD ,EF ∥DB ,EF=1,异面直线AF ,CD 所成角的余弦值为√6.(1)求证:面ACF ⊥面EDB ; (2)求二面角B-AF-E 的余弦值.(1)证明∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∵ED ⊥面ABCD ,AC ⊂面ABCD ,∴ED ⊥AC , ∵BD ∩ED=D ,∴AC ⊥面EBD , ∵AC ⊂面ACF ,∴面ACF ⊥面EDB.(2)解∵四边形ABCD 是菱形,AB=2,∠DAB=60°,∴DB=2,DO=1,∵EF ∥DB ,EF=1,∴EF ∥DO ,EF=DO , ∴四边形EFOD 是平行四边形,∴ED ∥FO , ∵ED ⊥面ABCD ,∴FO ⊥面ABCD ,以O 为原点,OA ,OB ,OF 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (√3,0,0),D (0,-1,0),C (-√3,0,0),设F (0,0,t ),则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,t ),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3+t ·2=√6(t>0),解得t=√3,则F (0,0,√3),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), ∵B (0,1,0),E (0,-1,√3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3), 设平面AFB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-√3x +y =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-√3x +√3z =0,取x=1,得m =(1,√3,1),设平面AFE 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-√3x +√3z =0,取x=1,得n =(1,0,1), 设二面角B-AF-E 的平面角为θ,由图形得θ为钝角,则cos θ=-|m ·n ||m ||n |=-√5×√2=-√105. ∴二面角B-AF-E 的余弦值为-√10.19.(本小题满分12分)已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.解(1)直线AB 的方程是y=2√2(x -p 2),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p=9,所以p=4.从而抛物线的方程是y 2=8x. (2)因为p=4,所以4x 2-5px+p 2=0可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3,即[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面ABCD ⊥平面PAD ,AD ∥BC ,AB=BC=AP=12AD ,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E 是PD 的中点.(1)证明:PD ⊥PB ;(2)设AD=2,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为√10,求二面角M-AB-P 的余弦值.解(1)证明:∵平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ∩平面PAD=AD ,∠BAD=90°,所以AB ⊥AD.由面面垂直的性质定理得AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PD ,在△PAD 中, ∵AP=12AD ,∠ADP=30°, ∴∠APD=90°,即PD ⊥AP , ∴PD ⊥平面PAB ,∴PD ⊥PB.(2)以P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,1,1),C √32,12,1,E √32,0,0,设M√32a ,12a ,a (0≤a ≤1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a ,12a-1,a-1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-12,-1, ∴cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32-54a23a+2×√52=√105,得a=23,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,-23,-13),而AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),设平面ABM 的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{√3x -2y -z =0,z =0,令x=2,则n =(2,√3,0),取平面PAB 的法向量m =(1,0,0),则cos <m ,n >=m ·n |m ||n |=√7=2√77,故二面角M-AB-P 的余弦值为2√77.21.(本小题满分12分)已知CD 是等边三角形ABC 的AB 边上的高,E ,F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC 与平面DEF 所成角的余弦值;(2)在线段BC 上是否存在一点P ,使AP ⊥DE ?证明你的结论.解(1)以点D 为坐标原点,直线DB ,DC ,DA 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC 的边长为a ,则A (0,0,a2),B (a2,0,0),C (0,√32a ,0),E (0,√34a ,a 4),F (a 4,√34a ,0),设平面EDF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{ax +√3ay =0,√34ay +az 4=0,取n =(3,-√3,3).又因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a 2,√32a ,0), 于是cos <BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=a ·√21=-√217, 因此直线BC 与平面DEF 所成角的余弦值等于√1-(-√217)2=2√77. (2)假设在线段BC 上存在一点,使AP ⊥DE ,令BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(-a 2,√32a ,0)=(-λa 2,√3λ2a ,0), 则P (a 2-λa 2,√3λ2a ,0), 于是AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2-λa 2,√3λ2a ,-a 2). 因为AP ⊥DE , 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(a 2-λa 2,√3λ2a ,-a 2)·(0,√34a ,a4)=0, 则38λa 2-18a 2=0,解得λ=13.故线段BC 上存在一点P ,使AP ⊥DE. 22.(本小题满分12分)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,过A ,Q ,F 2三点的圆恰好与直线l :x-√3y-3=0相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在点P (m ,0),使得以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m 的取值范围;如果不存在,说明理由.解(1)设椭圆C 的焦距为2c (c>0),则点F 1的坐标为(-c ,0),点F 2的坐标为(c ,0),设点Q 的坐标为(x 0,0),且x 0<0,如下图所示,F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,0),F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2c ,0),∵F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则x 0+c+2c=0,所以,x 0=-3c ,则点Q 的坐标为(-3c ,0),∵直线AF 2与直线AQ 垂直,且点A (0,b ),所以,AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,-b ),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3c ,-b ),由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2-3c 2=0,得b 2=3c 2,则b=√3c ,a=√b 2+c 2=2c.△AQF 2为直角三角形,且F 2Q 为斜边,线段F 2Q 的中点为F 1(-c ,0),△AQF 2的外接圆半径为2c.由题意可知,点F 1到直线x-√3y-3=0的距离为|c+3|2=c+32=2c , 所以,c=1,a=2c=2,b=√3c=√3,因此,椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知,直线l 的斜率k ≠0,并设t=1k ,则直线l 的方程为x=ty+1,设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{x =ty +1,x 24+y 23=1, 消去x 得(3t 2+4)y 2+6ty-9=0,由韦达定理得y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4. ∴y 1+y 22=-3t 3t 2+4,x 1+x 22=t ·y 1+y 22+1=43t 2+4. 所以,线段MN 的中点为点E -3t 3t 2+4,43t 2+4.由于以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形,则PE ⊥MN ,则k PE ·k MN =-1,所以,k PE =-t. 由两点连线的斜率公式可得k PE =3t 3t 2+4m -43t 2+4=-t ,得m=13t 2+4. 由于k ≠0,则t=1k ≠0,所以,t 2>0,所以,m=13t 2+4∈0,14.因此,在x 轴上存在点P (m ,0),使得以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形, 且实数m 的取值范围是0,14.由Ruize收集整理。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程C ．根据经验选定回归方程的类型D ．估计回归方程的参数【解析】 散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4， 所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“否”)．【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】 是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．【解析】 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z ＝1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】 学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病 患其他病 总计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得 k ＝110×20×50－10×30230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ， 这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾． 故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】 综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)． 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －.【解】 (1)散点图如图，(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）综合测评(B)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,真命题是( ).A.∃x∈R,≤0B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分条件答案:D解析:∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1⇒ab>1.2.已知命题p:∀x∈R,x2-x+>0,则┐p为( ).A.∀x∈R,x2-x+≤0B.∃x∈R,x2-x+≤0C.∃x∈R,x2-x+>0D.∀x∈R,x2-x+≥0答案:B3.双曲线=1的焦距是( ).A.4B.2C.8D.与m有关答案:C解析:依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c==4.所以焦距2c=8.4.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( ).A. B. C. D.答案:D解析:由已知可得2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).又(2a-b)⊥b,∴-8+2n-1+4=0.∴2n=5,n=.∴|a|=.5.椭圆=1上一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.答案:A解析:依题意d1+d2=2a.而d1,2c,d2成等差数列,所以d1+d2=4c.而2a=4c,所以e=.6.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6+2+3,则( ).A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面答案:B解析:由已知得,而=1,∴四点P,A,B,C共面.7.若命题“∃x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为( ).A.1≤a≤3B.-1≤a≤3C.-3≤a≤3D.-1≤a≤1答案:B解析:根据题意可得∀x∈R,都有x2+(a-1)x+1≥0,∴Δ=(a-1)2-4≤0,∴-1≤a≤3.8.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ).A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案:B解析:∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p.∴=p=2.∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.9.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足,则||2的值为( ).A. B.2 C. D.答案:D解析:由题可知||=1,||=1,||=.<>=45°,<>=45°,<>=60°.∴||2==···+2-×1×1×+1×-1×.10.已知命题p:“若a>b>0,则lo a<lo b+1”,则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ).A.0B.1C.2D.4答案:B解析:对于命题p,当a>b>0时,有lo a<lo b,则必有lo a<lo b+1,因此原命题正确,逆否命题也正确;但当lo a<lo b+1时,得lo a<lo,得a>>0,不一定有a>b>0,因此逆命题不正确,故否命题也不正确,故选B.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( ).A. B. C. D.答案:C解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1(0,1,1). ∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1). 设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·=0,n ·=0.∴令x=1,则n =(1,-1,-1), ∴cos <n ,>=.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为.12.过M(-2,0)的直线m 与椭圆+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ). A .2 B .-2 C . D .- 答案:D解析:设直线m:y=k 1(x+2),代入+y 2=1得:x 2+2(x+2)2-2=0,整理,得(1+2)x 2+8x+8-2=0,Δ=(8)2-4(1+2)(8-2)>0,解得.设P 1P 2的中点P(x 0,y 0),则x 0=,y 0=k 1(x 0+2)=.∴k 2=-.∴k 1k 2=-.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.在四面体OABC 中,=a ,=b ,=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则= .(用a ,b ,c 表示)答案:a +b +c 解析:)==a +b +c .14.命题p :若a ,b ∈R ,则ab=0是a=0的充分条件,命题q :函数y=的定义域是[3,+∞),则“p ∨q”“p ∧q”“┐p”中是真命题的有 .答案:p ∨q,┐p解析:依题意可知p 假,q 真,所以“p∨q”为真,“p∧q”为假,“┐p”为真. 15.设F 1,F 2是椭圆=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|-|PF 2|=1,则cos ∠F 1PF 2= . 答案:解析:椭圆焦点在y 轴上,a 2=4,b 2=3,c=1,又P 在椭圆上,所以|PF 1|+|PF 2|=4,因为|PF 1|-|PF 2|=1,所以|PF 1|=,|PF 2|=.又|F 1F 2|=2c=2,所以cos ∠F 1PF 2=.16.如图,已知A(-3p,0)(p>0),B,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,并且满足=0,,则动点Q 的轨迹方程为 .答案:y2=4px(p>0)解析:设Q(x,y),因为,所以B.又A(-3p,0),所以.由已知·=0,所以3px-y2=0,即y2=4px(p>0).三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.解:由于不等式|x-1|>m-1的解集为R,所以m-1<0,m<1;因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,所以5-2m>1,m<2.即命题p:m<1,命题q:m<2.因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假.当p真q假时应有m无解.当p假q真时应有1≤m<2.故实数m的取值范围是1≤m<2.18.(12分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解:(1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).(2)由(1)得(a+c)=(5,2,3),(b+c)=(1,-6,1),因此(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为cosθ==-.19.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值. 解:(1)由题意得解得所以b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0==-,y=x+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=±3.20.(12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)解:直线MN∥平面OCD;(2)求异面直线AB与MD所成的角的大小.解:作AP ⊥CD 于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N. (1),设平面OCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·=0,n ·=0,即 取z=,解得n =(0,4,). ∴·n =·(0,4,)=0.又MN ⊄平面OCD,∴MN ∥平面OCD.(2)设异面直线AB 与MD 所成的角为θ, ∵=(1,0,0),, ∴cos θ=.∴θ=,即异面直线AB 与MD 所成的角的大小为.21.(12分)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=.过F 1的直线交椭圆于A,B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.解法一:(1)因为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8,即|AF 1|+|F 1B|+|AF 2|+|BF 2|=8, 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, 所以4a=8,a=2.又因为e=,即,所以c=1. 所以b=.故椭圆E 的方程是=1.(2)由得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0),所以m ≠0且Δ=0, 即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*) 此时x 0=-=-,y 0=kx 0+m=, 所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上. 设M(x 1,0),则·=0对满足(*)式的m,k 恒成立. 因为=(4-x 1,4k+m), 由·=0,得--4x1++3=0,整理,得(4x1-4)-4x1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M. 解法二:(1)同解法一.(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y),所以m≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y=kx+m=,所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M 1(1,0),M2(3,0);取k=-,m=2,此时P,Q(4,0),以PQ为直径的圆为,交x轴于点M 3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则点M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以=(3,4k+m),从而·=--3++3=0,故恒有,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.22.(14分)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.(1)证明AD⊥CE;(2)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C-AD-E的余弦值.(1)解:作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系Oxyz.①设A(0,0,t).由已知条件知C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),=(-2,,0),=(1,,-t),所以·=0,得AD⊥CE.(2)解:作CF⊥AB,垂足为F,连结FE,如图②所示.②设F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,,0),·=0,故CF⊥BE.又AB∩BE=B,所以CF⊥平面ABE,故∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°.由CE=,得CF=.又CB=2,所以∠FBC=60°,所以△ABC为等边三角形,因此A(0,0,).作CG⊥AD,垂足为G,连结GE.在Rt△ACD中,求得|AG|=|AD|.故G,.又=(1,,-),·=0,·=0,所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.故二面角C-AD-E的余弦值cos<>==-.。