线性代数测试题一

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数测试试卷及答案线性代数（A 卷）⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??= ? ?-的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??=5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.2. 求⾏列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数（A 卷）答案⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于110111011A I ?? ?-= ? ???(4分)⽽1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??. (7分)所以10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????. (9分)2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= (4分) 123401131000440004-=-- (8分) 160= (9分) .3. 解由于3112341234011301131301053307330733r r ------ - ------324212345011300212700424r r r r -??---+ ?--?? 43123401132002120000r r -??-- +(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。

测试题一（行列式）一. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x x x的根为（ B ）. （A ）1，2，3; （B ）1，2，-2; （C ）0，1，2; （D ）1，-1，2. 2. 已知3阶行列式ij a ,ij ij a b =,,3,2,1,=j i 则行列式=ij b （ B ）. （A ）ij a ; （B ）0; (C)ij a 的绝对值; （D ）ij a - .3. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（ A ）.（A ）0≠λ且1≠λ; （B ）0=λ或1=λ; （C ）0=λ; （D ）1=λ.4.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a （ D ）.（A ）0; （B ）1; （C ）-4; （D ）4.5.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n 二. 填空题1. 排列134782695的逆序数为 10 .2. 已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4 .3. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i （8，3） .4. =5678901201140010300020001000 120 .5. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 . 三. 判断题（正确打V ，错误打×）1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为n .( × )2. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( V )3. 若V 为范德蒙行列式,ij A 是代数余子式，则V A nj i ij =∑=1,.( V )4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ,2,1.=,则0>ij a .( × )5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × )四. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++. 五. 计算行列式(1)600300301395200199204100103 (2) 1111111111111111--+---+---x x x x (3) ccb ba a------1111111(4)3833262290432231---- (5)ba a a a a ab a a a a a b a n nn+++321321321 (6) n2222232222222221。

4 1 2 ⎪⎪ ⎝ ⎭⎪ 《线性代数》单元测试试题（一）姓名学号 专业 班级一、填空题（共 10 题，每空 3 分，共 30 分）。

-a 11 a 12 3a 13 a 11 a 12 a 131. 已知三阶行列式 -a 21 a 22 3a 23 =9 ，则 a 21 a 22 a 23 =.-a 31a a a 32 3a 33 a 12 2a 11 a 31 0 a 32 a 332. 若二阶行列式 11 a 12= 1 ，则 a a 22 2a 21 0 =.21 220 6 10 0 13. 三阶行列式 D = 0 2 0 ，则 D = .5 0 01 4. 三阶行列式 D =2 4 2 13 0 中元素a 21 的代数余子式 A 21 = .5 3⎛ 1 5. 矩阵 A = 1 ⎝ 1 1⎫⎪ 2 3⎪ 的秩是 .3 ⎭6. 设二阶矩阵 A = ⎛ 1 3 ⎫是可逆矩阵，则一定有k ≠ .2 k ⎪ ⎝ ⎭ 7. 二阶矩阵 A = ⎛ 23 ⎫ 的逆矩阵A -1= . ⎝ ⎭ ⎛ 1 2 0 ⎫8. 已知 A = 1 3 0 ⎪ ，则 A -1 =.0 0 1 ⎪9. 设 A , B 均为三阶可逆矩阵，且 A = 4, B = 1，则 2A -1B T = .10.如果 X 1 , X 2 都是方程 A n ⨯n X = O 的解，且 X 1 ≠ X 2 ，则 A n ⨯n = .2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 二、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分）。

1. 若 a 11 a 12 = a ，则 ka 12 a 11 = .(A) a 21 k 2aa 22 (B) ka 22 - k 2a a 21 (C) ka(D)- ka1 2 32. 位于行列式D = 1 1 1 第一行第二列元素的代数余子式为.2 1 3(A) -1(B) 1(C) 3(D) -33. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 .(A ) ( AB )T = A T B T (B) (A + B )T = A T + B T (C) (AB )-1 = A -1B -1(D) (A + B )-1 = A -1 + B -14. 设A ,B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不正确的是 .(A) ( A T )-1 = ( A -1 )T(B) (2A )-1 = 2A -1(C) ( AB )-1 = B -1 A -1(D) AB ≠ 05. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式不成立的是.(A) A -1B -1= A -1 B-1(B) A T B T= A B(C) [( A B )T ]-1 = [B T ]-1[ A T ]-1 (D) AB ≠ 06. 设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB = AC ，则必有 .(A) A = 0(B ) B ≠ C 时 A = 0 (C ) A ≠ 0 时 B = C(D ) A ≠ 0 时 B = C7. 设 A 为三阶矩阵，且 A = 3 ， A * 是 A 的伴随矩阵，则 A * 为.(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 27 8. 下列矩阵中不是初等矩阵的是.(A) ⎛ 1 0 3 ⎫ 0 1 0 ⎪(B) ⎛ 1 0 0 ⎫0 1 1 ⎪(C) ⎛ 1 0 0 ⎫0 2 0 ⎪(D) ⎛ 1 0 0 ⎫0 1 0 ⎪0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 1 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭9. 已知 A 为3⨯ 4 矩阵，且 R ( A ) = 3 ，则 .(A) A 的所有二阶子式都为 0 (B) A 的所有三阶子式都为 0 (C) A 的所有二阶子式都不为 0(D) A 有三阶子式不为 010. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， C 为n 阶可逆矩阵， AC = B ，则 .(A) (C) R ( A ) = R (B ) R ( A ) < R (B )(B) (D) R ( A ) > R (B )R ( A ) 与 R (B ) 的关系依矩阵C 而定⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ 5 三、计算题（共 4 题，每题 10 分，共 40 分）。

线性代数测试题（线性代数测试题（--）一、单项选择题（每小题3分，共15分。

）1.1.已知已知B A ,是同阶方阵，下列等式中正确的是 【【 】 A. ||||||B A AB = ； B. T T T B A AB =)(； C.111)(---=B A AB ； D. kk k B A AB =)(.2.2.设设A 是n m ´矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 【 】A.n A r =)(；B.n A r <)(；C.0||=A ；D.n m > .3.3.设设A 是45´矩阵矩阵,,则下列命题正确的是 【 】A.A 的行向量组线性无关；B.A 的行向量组线性相关；C.A 的列向量组线性无关；D.A 的列向量组线性相关的列向量组线性相关..4.4.设设A 是n 阶可逆矩阵，l 是A 的一个特征值，则*A 的一个特征值是 【 】 A.n A ||1-l ； B.||1A -l ； C.||A l ； D.n A ||l .5.5.设设n 阶方阵A 与B 相似，则下列命题不正确的是 【 】A.A 与B 有相同的特征值；B.)()(B r A r =；C.||||B A =；D.A 与B 有相同的特征向量有相同的特征向量. .二、填空题（每小题3分，共15分。

） 1.1.已知已知)1,3,2(),1,1,1(),,2,1(321=-==a a a t ，当t t 时，时，321,,a a a 线性无关线性无关.. 2.yy y y y y f 212112)(---=中3y 的系数是的系数是 .3. .3. .3.设设A 为3阶方阵，A 的特征值为的特征值为-1-1-1，，1，2，则|3|1-A = . 4.设321,,a a a 是三元线性方程组b Ax =的三个解，且2)(=A r ，÷÷÷øöçççèæ=+40221a a ，÷÷÷øöçççèæ=-11132a a ，则b Ax =的通解为 5.设二次型31212322212224x x x tx x x x f ++++=是正定的，则t 的范围是的范围是三、（本题10分）已知÷÷÷øöçççèæ-=221011324A ，矩阵X满足X A AX 2+=，求矩阵X四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组求下列向量组的秩和一个最大无关组. .)3,4,3,4(,)3,2,1,1(,)1,1,3,2(,)1,1,1,1(4321-=-=--==a a a a . 五、（本题14分） 已知线性方程组ïïîïïíì=+-=-=-=-.,,,41433221k kx x k x kx k x kx k x kx (1)(8分)k 为何值时，方程组有惟一解为何值时，方程组有惟一解? ? ? 无解？无穷多解？无解？无穷多解？无解？无穷多解？(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.六、（本题10分）已知三阶方阵A 的特征值为的特征值为-1-1-1，，1，2.2.设设3223A A I B +-=. (1)(5分)求矩阵A 的行列式及A 的秩；的秩；(2)(5分)求矩阵B 的特征值及其相似对角矩阵的特征值及其相似对角矩阵. .七、（本题14分）设úúúûùêêêëé=011101110A ，求正交矩阵P 使得L =-AP P 1为对角矩阵为对角矩阵. . 八、证明题（本大题2小题，每小题6分，共12分）分）1.1.向量组向量组321,,a a a 线性无关，试证向量组32121132,2,a a a a a a +++ 线性无关线性无关.. 2.2.设设A 为n m ´矩阵矩阵,,B 为m n ´矩阵矩阵,,且n m >. . 证明：证明：.0||=AB线性代数测试题答案线性代数测试题答案((一)一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.A 1.A；； 2.B 2.B；； 3.B 3.B；； 4.B 4.B；； 5.D. 二、填空题（每小题3分，共15分）1.2¹t； 2.-4 2.-4；； 3.227-； 4.)()1,1,1()2,0,1(R k k T T Î+； 5.22<<-t .三、（10分）解：由X A AX 2+=得A X I A =-）（2 （（1分）分）30210113222=--=-|I A | （（2分）所以A I A X 12--=）（ （2分）分）÷÷÷øöçççèæ--=--3423111012021//I A ）（ （（3分）故÷÷÷øöçççèæ--=35432230241//X . . （（2分）分） 四、（10分）解：对A 进行初等行变换进行初等行变换÷÷÷÷÷øöçççççèæ-@÷÷÷÷÷øöçççççèæ----=00001100011041213311421131314121A （（5分）此向量组的秩为：分）此向量组的秩为：3 3 3 （（2分）分） 它的一个最大无关组为.,,321a a a （（3分）分）五、（14分）解：解：(1)(1)(1)系数矩阵系数矩阵A 的行列式为的行列式为10011000100014-=----=k kk k k |A | （（5分）当1±¹k 时，方程组有惟一解；时，方程组有惟一解； （（1分）分） 当1=k 时，4)(,3)(==Ab r A r ，方程组无解；，方程组无解； （1分）当1-=k 时，3)()(==Ab r A r ，方程组有无穷多解；（1分）分）(2)(2)对增广矩阵进行行初等变换：对增广矩阵进行行初等变换：÷÷÷÷øöççççèæ-@÷÷÷÷øöççççèæ------------=0000011100010101100111001111001011010011)Ab （ （（3分）分） \原方程组的通解为：)R k (),,,(k ),,,(x T T Î--+=11110101 （（3分）分）六、（10分）解：解：(1)(1)2-=A （3分）3=)A (r （（2分）分） (2)(2)设设l 为A 的特征值，x 为A 的对应于l 的特征向量，则：的特征向量，则： x x A A I Bx )231()23(3232l l +-=+-=B \的特征值为的特征值为-4-4-4，，0，5 5 （（4分）分）B 的相似对角矩阵为：÷÷÷øöçççèæ-504 . . （（1分）分） 七、解：0)2()1(1111112=+-+=---=-l l l l l l I A 得到特征值2,121=-=l l （3分）11-=l 时，÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ=+000000111~111111111I A ，对应于11-=l 的两个正交的特征向量为÷÷÷øöçççèæ-÷÷÷øöçççèæ-101,121 ，单位化得÷÷÷øöçççèæ-÷÷÷øöçççèæ-10121,12161 （6分）22=l 时，÷÷÷øöçççèæ--÷÷÷øöçççèæ---=-000110101~2111211122I A ，对应于22=l 的一个特征向量为÷÷÷øöçççèæ111，位化得÷÷÷øöçççèæ11131（3分）正交阵÷÷÷÷øöççççèæ--=3/12/16/13/106/23/12/16/1P . . （（2分）分）八、（共 12分）1.1.证：令证：令0)32()2(321321211=+++++a a a a a a x x x （（2分）分）整理得：03)22()(332321321=+++++a a a x x x x x x(1分) 由于321,,a a a 线性无关，所以有：.0,0,0321===x x x （2分）则向量组32121132,2,a a a a a a +++线性无关线性无关. . . （（1分）分） 证：A 为n m ´矩阵，B 为m n ´矩阵，且n m >，n AB r n B r n A r £££\)(,)(,)( （4分）分） 又AB 为m 阶方阵，则0||=AB . （2分）分）。

第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵：(1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B)P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明：3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明： |A *|=|A |n-1，(n ≥2)．..8. 设A ,B 都是三阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵，且|A |=2，|B |=1，计算 |-2A *B -1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1. 复习题二1．设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*=B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．..4．设A ,B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A BE -=．第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ，计算3α1-2α2+α3．2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ；(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β， 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r ...3．设有三个n 维向量组A ：α1, α2, α3；B ：α1, α2, α3, α4；C ：α1, α2, α3, α5．若A 组和C 组都线性无关，而B 组线性相关，证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关．4．设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明：A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基；(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关．复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a =.2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a , b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax=β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵．..3. 设A 是n 阶正交矩阵，且|A |=-1，证明：-1是A 的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1)λA是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ，求矩阵A ．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是．2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |=．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足． 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+, α2，则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9． 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值X 围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A T A ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n .2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3．3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵． 测试题二一、填空题:１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为；２、已知A 为三阶正交矩阵，且A ＜０，则*AA =；３、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ，若A 不可逆，则=x ； ４、设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001，则6A =； ５、“若向量组321,,ααα线性无关，向量组432,,ααα线性相关，则4α一定能由32,αα线性表示”．该命题正确吗？ 。

线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。

答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。

答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。

答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。

答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。

答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。

2. 请解释什么是矩阵的转置。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。

四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。

答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。

答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。

第一章 行列式测试题一、填空题1. 排列134782695的逆序数为 .2. 已知2413201xx的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A . 3、________9124943332212441002700001300=--；4、设方程0111111211122221121112=-------n n n n n n n a a a a a a a a a xxx，其中()1,,2,1-=n i a i 互不相等，则方程的全部解为________；5、设3256411222245233355554321=D 则________333231=++A A A ；________3534=+A A ； ________3534333231=++++A A A A A ；二、选择题1、 n 阶行列式D 非零的充要条件是________；（a ）D 的所有元素非零； （c ）D 的任意两列元素之间不成比例 （b ）D 至少有n 个元素非零；（d ）以D 为系数行列式线性方程组有唯一解；2.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111cb a （ ）. （a ） 0 （b ） 1 （c ） -4 （d ） 4 3、 ______=xyyy x yyy x； （a ）()3y x - ； （b ）()()22y x y x ++； （c ）()()22y x y x -+ ； （d ）()()22y x y x +-4、若111213212223313233a a a D a a a a a a =，1112131212223313233222222222a a a D a a a a a a =，则1D =（ ）. （a ）2D ； （b ）-2D ； （C ）8D ； （d ）-8D三. 计算行列式1、6003003013952001992041001032、6142302151032121----3、yy x x -+-+1111111111111111 4、aa a a a a a a a ---------1111000110001100015、11111111111121+++n a a a，021≠n a a a四、证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑=ni i n n a a a a a a a a a D 102121010100101111；五.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-=-+-=+-+44637232232432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x六、问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？第二章 矩阵与向量测试题一. 填空题:1.设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα--- 的秩=r .2.向量组γβα,,线性相关的充分必要条件为 .3.设21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα 的极大无关组为 .4.已知)8,,6,2(),4,2,3,1(21k ==αα线性相关,则=k .5.已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量组γβα,,的秩为 .二. 判断题1.如果向量组,,αβγ只有一个极大无关组，则,,αβγ一定线性无关. ( )2.设,αβ线性相关，0γ≠，则α+γ与β+γ也线性相关. ( )3.如果20α-β+γ≠,则,,αβγ线性无关. ( )4.向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数. ( )5.如果向量组12(,),(,)a b c d α=α=线性无关，那么向量组1(,)a c β=,2β=(,)b d 一定线性无关. ( )三. 设向量(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0),α=β=γ=求α-β及32α+β-γ.四.判断下列向量组的线性相关性:1.)7,4,2(1=α,)5,2,0(2=α,)1,1,1(3=α2.),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β五. c 取何值时，向量组111111(,,),(,,),(,,)222222c c c ------线性相关?六.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把剩余向量用最大无关组线性表示：1.1(1,2,1,4)=-α，2(9,100,10,4)=α，3(2,4,2,8)=---α2.123(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7)==---=---βββ七. .已知向量组123(1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)'''α=-α=α=-与向量组1(0,1,1)'β=- ，23(,2,1),(,1,0)a b ''β=β=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值.八. 已知321ααα,,是3R 的一组基,证明,21αα+,32αα+13αα+线性无关.九. 求矩阵310211211344⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩.十.对于λ的不同取值，矩阵11221511061Aλ-⎡⎤⎢⎥=-λ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩为多少？第三章 矩阵的运算测试题一． 判断题1．2222)(B AB A B A ++=+ （ ） 2．22))((B A B A B A -=-+ （ ） 3．若A A =2，则E A =或0=A （ ） 4．若AY AX =，且A 可逆，则Y X = （ ）二．填空题1．n 阶方阵A 可逆的充要条件是 _______________________________。