2011二十二届希望杯八年级数学模拟题(word版)

历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。

答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。

答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。

答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。

答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。

答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。

长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。

2. 一个数列的前三项是2，4，8。

如果这个数列是一个等比数列，求第四项。

答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。

这里，每一项都是前一项的2倍。

所以，第四项是8乘以2，等于16。

3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。

答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。

结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。

通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

希望杯竞赛初二试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 已知x+y=5，x-y=1，求2x+3y的值。

A. 12B. 11C. 10D. 92. 一个数的平方等于该数本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 1或-1D. 03. 如果一个三角形的两边长分别是5和12，第三边长x满足三角形的三边关系，那么x的取值范围是：A. 7 < x < 17B. 2 < x < 14C. 5 < x < 13D. 12 < x < 154. 一个圆的半径为3，求圆的面积。

A. 28.26B. 9C. 18D. 365. 若a^2 + b^2 = 13，且a + b = 5，求ab的值。

A. 6B. 2C. 12D. 无法确定6. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求第10项的值。

A. 27B. 29C. 21D. 227. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其体积。

A. 24B. 12C. 36D. 488. 一个数的绝对值是5，这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 09. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 810. 若a、b、c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-8，这个数是________。

12. 一个数的立方等于-27，这个数是________。

13. 一个数的平方根是4，这个数是________。

14. 一个数的倒数是2，这个数是________。

15. 一个圆的直径是10，这个圆的周长是________。

16. 若a、b互为倒数，则ab=________。

17. 一个数的平方是25，这个数是________。

18. 一个数的绝对值是3，这个数可能是________。

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

初二组希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的周长是直径的π倍B. 圆的周长是半径的2π倍C. 圆的周长是直径的2倍D. 圆的周长是半径的π倍答案：B2. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：C3. 以下哪个方程的解是x=2？A. x+2=4B. x-2=0C. 2x=4D. x^2=4答案：C4. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是？A. 1<x<7B. 1<x<7且x≠3.5C. 7<x<11D. 以上都不对答案：B5. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C6. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A7. 一个数的相反数是-3，这个数是？A. 3C. 0D. 以上都不对答案：A8. 以下哪个选项是正确的？A. 2x+3=7的解是x=2B. 3x-5=10的解是x=5C. 4x+6=18的解是x=3D. 以上都不对答案：C9. 一个等腰三角形的底边长为5，两腰长为6，那么这个三角形的周长是？A. 17B. 18D. 20答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. 一个数的立方根是它本身B. 一个数的平方根是它本身C. 一个数的立方根和平方根是同一个数D. 以上都不对答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个圆的半径是3，那么它的面积是________。

答案：9π12. 一个数的平方是16，那么这个数是________。

答案：±413. 一个三角形的两边长分别为4和5，第三边长x满足的条件是________。

答案：1<x<914. 一个数的绝对值是4，这个数可能是________。

答案：4或-415. 一个等腰三角形的底边长为6，两腰长为8，那么这个三角形的周长是________。

2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题一、选择题（共30小题，每小题4分，满分120分）1．（4分）如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若，则d的值是（）A．﹣3B．0C．1D．42．（4分）已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b3．（4分）下列各数中，最大的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式的值是（）A．2009B．2010C．2011D．20125．（4分）Given two non﹣zero real numbers a and b，satisfy，then the value of a+b is（）A．﹣1B．0C．1D．26．（4分）If the linear function y=ax+b passes through the point （﹣2，0），but not the first Quadrant，then the solution set for ax＞b is（）已知一次函数y=ax+b经过点（﹣2，0），且不经过第一象限，则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜27．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么它可能不经过点（）A．B．C．D．8．（4分）已知a是实数，关于x、y的二元一次方程组的解不可能出现的情况是（）A．x、y都是正数B．x、y都是负数C．x是正数、y是负数D．x是负数、y是正数9．（4分）If a and b are non﹣zero real numbers and （1﹣99a）（1+99b）=1，then the value for is（）A．1B．100C．﹣1D．﹣110．（4分）（2013•历城区三模）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）A．2B．﹣2C．D．11．（4分）在直角坐标系上，点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称点坐标是（）A．（x2﹣2x1，y2﹣2y1）B．（x1﹣2x2，y1﹣2y2）C．（2x1﹣x2，2y1﹣y2）D．（2x2﹣x1，2y2﹣y1）12．（4分）一个长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm．则盒子的体积可能是（）A．4500cm3B．180000cm3C．90000cm3D．360000cm313．（4分）若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”．四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点．那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）A．12B．24C．36D．4814．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，△BAC和△ACB的平分线相交于D点，△ADC=130°，那么△CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°15．（4分）Given△ABC with△ACB=90°，△ABC=15°，AC=1，then the length of BC is（）A．B．C．D．16．（4分）已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b=7，a＜b，则满足条件的三角形的个数是（）A．30B．36C．40D．4517．（4分）三角形三边的长分别为a，b，c，且，则三角形是（）A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形18．（4分）有4个命题：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．319．（4分）如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（）A．81B．C．D．20．（4分）如图，在四边形ABCD中，△B=135°，△C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．21．（4分）已知函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）A．4B．5C．6D．722．（4分）If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles，then how many non﹣congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure （）A．3B．4C．5D．623．（4分）若在1，2，3，…，2010前任意添加一个正号或者负号，则（）A．它们的和是奇数B．它们的和是偶数C．若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数D．若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数24．（4分）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）A．0B．1C．2D．多于225．（4分）将3，4，5，6，7，8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）A．6B．12C．18D．2426．（4分）某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）A．2B．2.4C．3D．3.527．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：128．（4分）12页书的页码用15个数码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．下面的数码的个数中，不能用来计算一本书的页数的是（）A．534B．1998C．1999D．201029．（4分）方程2u+v+x+y+z=3的非负整数解（u，v，x，y，z）有几组？（）A．10B．20C．24D．3030．（4分）老师问5个学生，昨天晚上你们有几个复习数学了张：没有人李：一个人王：两个人赵：三个人刘：四个人老师知道昨天晚上他们有人复习数学了，也有人没有复习数学，复习了的人说的是真话，那么这5个学生中复习了数学的人数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共45小题，每小题5分，满分225分）31．（5分）已知x为正整数，设A=x3+3x2﹣45x﹣175，若A为完全平方数，则A的最小值是_________．32．（5分）若58﹣1能被20至30之间的两个整数整除，则这两个整数分别是_________和_________．33．（5分）已知实数x，y满足，则x=_________，y=_________．34．（5分）计算=_________．35．（5分）若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16=0，则点P的坐标为_________．36．（5分）（2006•钦州）已知：，，，…，若（a，b为正整数），则ab=_________．37．（5分）若关于x的分式方程无解，则m=_________．38．（5分）当，化简=_________．39．（5分）若a＜0＜b，|a|＜|b|，且a2+b2=﹣8ab，则=_________．40．（5分）若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________41．（5分）已知6个数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，其中最多能选出_________个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．42．（5分）若x+y+z=6，xy+yz+zx=11，xyz=6，则=_________．43．（5分）如果（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n）（其中m，n均为整数），则a的值是_________．44．（5分）若a，b是实数，且，则ab=_________．45．（5分）方程的解是x=_________46．（5分）设正整数x≠y，且满足，则x2+y2的值是_________．47．（5分）已知，那么A2+B2=_________．48．（5分）已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是_________．49．（5分）先阅读材料：若整数a是整系数方程x3+px2+qx+r=0的解，则﹣r=a（a2+pa+q），说明a是r因数．根据以上材料，可求得x3+4x2﹣3x﹣2=0的整数解为x=_________．50．（5分）定义，那么=_________．51．（5分）（2003•重庆）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．52．（5分）已知a是正整数，若关于x的方程2x﹣a ﹣a+4=0至少有一个整数根，则a的值是_________．53．（5分）如果三角形三边的长分别为1，k，4，代数式的值为m，则m的取值范围是_________．54．（5分）若△ABC三边的长a，b，c均为整数，且，a+b﹣c=8，设△ABC的面积为S，则S的最大值是_________，最小值是_________．55．（5分）如图所示，要从80cm×160cm的长方形布料上裁下2个半径相等的半圆，那么裁下的半圆最大直径是_________cm．56．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知△ABC=45°，△APC=60°，则△ACB的度数是_________°．57．（5分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，△BAC=100°，延长AB到D，使AD=BC，连接DC，则△BCD的度数是_________．58．（5分）如图所示，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PE△AC交AB于E，PF△AB交BC于F，交AC于D，已知△ABC的周长是12cm，则PD+PE+PF=_________ cm．59．（5分）（2011•邯郸一模）如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是△BAC的平分线，MF△AD，则FC的长为_________．60．（5分）如图所示，在△ABC中，AC=BC，△ACB=80°，在△ABC内取一点M，使得△MBA=30°，△MAB=10°，那么△AMC的度数是_________．61．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于_________．62．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，AB△DC，AD=DB，AB=AC，△ACD=30°，则△BAD的度数是_________．63．（5分）如图所示，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连接AF，EC交于点G，则=_________．64．（5分）如图，在平面直角坐标系内，放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，CO=5，若点P在梯形内，且S△PAD=S△POC，S△PAO=S△PCD，那么点P的坐标是_________．65．（5分）直线上的点A的横坐标为2，线段AB在直线上，且AB=5，线段AB向右平移2个单位后，点B的坐标为_________．66．（5分）一次函数y=﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在线段AB 上，OP（O是坐标原点）将△OAB分成面积为1：2的两部分，则过点P的反比例函数解析式为_________．67．（5分）已知，则y2•y2011=_________．68．（5分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b 是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为_________．69．（5分）已知a，b，c都是﹣3到3之间的非零整数，且，则符合条件的a，b，c有_________组．70．（5分）若（x+2）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4=_________．71．（5分）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组有正数解的概率为_________．72．（5分）先将100个杯子排成一列，杯口朝上．从左向右从1数到100，数到3的倍数时把杯子翻过来；再从右向左从1数到100，数到7的倍数时把杯子翻过来，那么最后有_________个杯子杯口朝上．73．（5分）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是_________．74．（5分）若对于所有的实数x，都有f（2x）+xf（2﹣x）=x2，则f（2）=_________．75．（5分）博览会的门票每张50元，每人限购1张，现有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有100元的钞票1张，另外5个小朋友只有50元的钞票1张，售票员没有准备零钱，那么最多有_________种排队方法，使售票员总能找得开钱．三、解答题（共5小题，满分0分）76．某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共80件．生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品需要甲原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．（1）该化工厂现有原料能否保证生产？若能保证生产，有几种生产方案？（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低，最低生产总成本是多少？77．若方程组的解为．求方程组的解．78．已知：如图，在△ABC中，△ABC=3△C，△1=△2，BE△AE．求证：AC﹣AB=2BE．79．将编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下要求涂色：（1）涂色的球有2个；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有几种？80．直线y=kx+4分别于x轴、y轴相交于点A、B，O是坐标原点，A点的坐标为（4，0），P是OB上（O、B两点除外）的一点，过P作PC△y轴交直线AB于C，过点C作CD△x轴，垂足为D，设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）（1）求k的值；（2）如果点P在线段OB（O、B两点除外）上移动，求l于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P运动到线段OB的中点时，四边形OPCD为正方形，将正方形OPCD沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OPCD于△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式．2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题参考答案与试题解析一、选择题（共30小题，每小题4分，满分120分）1．（4分）如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若，则d的值是（）A．﹣3B．0C．1D．4解一元二次方程-因式分解法；实数与数轴．考点：计算题．专题：分根据题意可得=，则得出点D表示原点，则d=0．析：解解：△，答：△两式相减得，﹣=0，△=，△点D是线段AC的中点，△d=0．故选B．本题考查了实数与数轴，以及一元二次方程的解法．点评：2．（4分）已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b考分式的加减法．点：分类讨论．专题：本题只要把ab化成便于比较的形式，即可解答．分析：解答：解：△a==+，b==+，△a＞b，a＞c．△a最大．故选B．点评：本题主要考查分数大小的比较，分子相同时，分母大的反而小．3．（4分）下列各数中，最大的是（）A．B．C．D．考点：实数大小比较．分析：首先将每个数平方，比较平方后的结果即可．平方大的，则原数就大．解答：解：△（+）2=10+2（2+）2=10+2（）2=10+2（）2=10+2，又△21＜24＜＜25，△+＜2+＜＜，△最大的是：．故选C．点评：此题主要考查了实数的大小的比较，考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．4．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式的值是（）A．2009B．2010C．2011D．2012考点：分式的化简求值．专题：计算题；整体思想．分析：首先对已知条件进行变形，得到a2﹣2009a=a﹣4，a2+4=2010a的形式，代入所求的解析式，即可化简求值．解答：解：a2﹣2010a+4=0即：a2﹣2009a﹣a+4=0△a2﹣2009a=a﹣4，a2+4=2010a△原式=a﹣4++5=a﹣4++5=+5=+5=2011故选C．点评：本题主要考查了分式的化简求值，正确对所求的式子与已知的式子进行变形是解题的关键．5．（4分）Given two non﹣zero real numbers a and b，satisfy，then the value of a+b is（）A．﹣1B．0C．1D．2考点：二次根式的性质与化简；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．专题：推理填空题．分析：本题根据非负数、算术平方根的概念和性质，化简解答．解答：解：依题意++=2a﹣4，△2a﹣4≥0，2a﹣4++=2a﹣4，△+=0，△b=﹣2 a=3，△a+b=1．故选C．点评：本题主要考查了非负数、算术平方根的概念及性质，通过变形化简解答．正确理解非负数、算术平方根等概念和性质是解答问题的关键．6．（4分）If the linear function y=ax+b passes through the point （﹣2，0），but not the first Quadrant，then the solution set for ax＞b is（）已知一次函数y=ax+b经过点（﹣2，0），且不经过第一象限，则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2考点：一次函数与一元一次不等式．专题：计算题．分析：将（﹣2，0）代入y=ax+b求得b=2a；再根据该直线不经过第一象限知a＜0；然后再根据以上两个条件解不等式ax＞b即可．解答：解：△y=ax+b 经过点（﹣2，0），△0=﹣2a+b，△b=2a，△该直线不经过第一象限，△a＜0，ax＞b，即ax＞2a，△x＜2．故选D．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式．解答此题的关键是熟知一次函数y=ax+b 图象的特点：①当a＞0时，函数图象经过第一、二、三象限；②当a＜0时，函数图象经过第二、三、四象限．7．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么它可能不经过点（）A．B．C．D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题；推理填空题．分析：理解图象经过一个点即可得到k=﹣，假如每个答案正确，看看k的值是否相等，即可选出选项．解答：解：已知反比例函数的图象经过点，代入得：k=xy=﹣，A、假如过点，则k=﹣，故A选项错误；B、假如过点，则k=﹣，故B选项正确；C、假如过点，则k=﹣，故C选项错误；D、假如过点，则k=﹣，故D选项错误；故选B．点评：本题主要考查了一次函数上的点的坐标特点，解此题的关键是能根据已知判断k 值．8．（4分）已知a是实数，关于x、y的二元一次方程组的解不可能出现的情况是（）A．x、y都是正数B．x、y都是负数C．x是正数、y是负数D．x是负数、y是正数考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：利用加减法求出关于x、y的二元一次方程组的解（用含a的代数式表示），再根据A、B、C、D所述列出不等式组，解集不存在的即为正确答案．解答：解：，②×2﹣①得，7y=2﹣9a，y=③，③代入②得，x=1﹣2a﹣2y=1﹣2a﹣2×=．A、，解得﹣＜a＜，故本选项错误．B、，解得a＞，a＜﹣，无解，故本选项正确．C、，解得a＜﹣，故本选项错误．D、，解得a＞，故本选项错误．故选B．点评：此题考查了二元一次方程组的解，同时涉及方程组的解集，计算量大，解答时要仔细认真．9．（4分）If a and b are non﹣zero real numbers and （1﹣99a）（1+99b）=1，then the value for is（）A．1B．100C．﹣1D．﹣1考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先化简（1﹣99a）（1+99b）=1为b﹣a=99ab，然后再把它代入所求解答即可．解答：解：△（1﹣99a）（1+99b），=1+99b﹣99a﹣99×99ab，=1+99（b﹣a）﹣99×99ab，△1+99（b﹣a）﹣99×99ab=1，即b﹣a=99ab…①；又△（a≠0，b≠0），=+1，②将①代入②，得，=+1，=99+1，=100．故选B．点评：本题考查了分式的化简求值．根据已知条件，找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．10．（4分）（2013•历城区三模）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）A．2B．﹣2C．D．考点：反比例函数的性质；反比例函数的图象．专题：推理填空题．分析：先根据反比例函数的图象判断出k的符号，再根据x=﹣1时，y＜1即可判断出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．解答：解：△反比例函数的图象在第二象限，△k＜0，故可排除A、C；△x=﹣1时，y＜1，△＜1，△k＞﹣1，故可排除B．故选D．点评：本题考查的是反比例函数的图象，即当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．11．（4分）在直角坐标系上，点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称点坐标是（）A．（x2﹣2x1，y2﹣2y1）B．（x1﹣2x2，y1﹣2y2）C．（2x1﹣x2，2y1﹣y2）D．（2x2﹣x1，2y2﹣y1）考点：坐标与图形变化-对称．专题：计算题．分析：首先假设出所求点坐标，根据点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称，得出对称点坐标的特点x1+x=2x2，y1+y=2y2 ，即可得出所求点的坐标．解答：解：设所求点为（x，y）则，x1+x=2x2，y1+y=2y2 ，△x=2x2﹣x1，y=2y2﹣y1，△所求点为（2x2﹣x1，2y2﹣y1），故选：D．点评：此题主要考查了坐标与图形变化的性质，假设出所求点，得出x1+x=2x2，y1+y=2y2，是解决问题的关键．12．（4分）一个长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm．则盒子的体积可能是（）A．4500cm3B．180000cm3C．90000cm3D．360000cm3考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据长方形盒子的最短边长50cm，最长边长90cm和长方体的体积计算方法求出其体积的一个取值范围，从中找到可能的答案即可．解答：解：△长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm，△长方体盒子的高h满足：50≤h≤90，所以其体积V满足：22500≤V≤40500．故选D．点评：本题考查了长方体的面积的计算，学生们对此内容较为熟悉，但也很容易出错．13．（4分）若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”．四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点．那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）A．12B．24C．36D．48考点：同位角、内错角、同旁内角．专题：规律型．分析：先画图，每三条直线相交都有6对内错角，共有4组这样的三条直线相交，则有24对．解答：解：如图，先计算其中的一种情况，△1与△8，△2与5，△3与△4，△6与△8，△5与△9，△3与△7，共6对，△四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点，有4种情况，△4×6=24．故选B．点评：本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，是基础知识要熟练掌握．14．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，△BAC和△ACB的平分线相交于D点，△ADC=130°，那么△CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°考点：三角形内角和定理．专题：计算题．分析：设△CAB=x，根据已知可以分别表示出△ACD和△DAC，再根据三角形内角和定理即可求得△CAB的度数．解答：解：设△CAB=x△在△ABC中，AB=AC△△B=△ACB=（180°﹣x）△CD是△ACB的角平分线，AD是△BAC的角平分线△△ACD=（180°﹣x），△DAC=x△△ACD+△DAC+△ADC=180°△（180°﹣x）+x+130°=180°△x=20°故选D．点评：此题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和是180°．15．（4分）Given△ABC with△ACB=90°，△ABC=15°，AC=1，then the length of BC is （）A．B．C．D．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：先作辅助线，作AD=BD，然后根据等腰三角形的知识，解出BD的长度，然后根据直角三角形的知识，再解出CD的长度，最后可得出BC的长．解答：解在BC上截取一点D，连接AD，使AD=BD 则△DAB=△DBA=15°△△ADC=30°又△△ACB=90°△AD=2AC=2×1=2△AD=BD△BD=2△CD===△BC=BD+CD BC=2+故选A点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识．在解题时要注意作辅助线，这是解题的关键．16．（4分）已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b=7，a＜b，则满足条件的三角形的个数是（）A．30B．36C．40D．45考点：一元一次不等式组的应用；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：根据已知条件，先得出a的可能值是1，2，3，4，5，6，再结合三角形的三边关系，对应求得c的值即可．解答：解：△三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a＜b，b=7，△a=1，2，3，4，5，6．根据三角形的三边关系，得b﹣a＜c＜b+a，即7﹣a＜c＜7+a．当a=1时，6＜c＜8，则c=7，此时满足条件的三角形有1个；当a=2时，5＜c＜9，则c=6，7，8，此时满足条件的三角形有3个；当a=3时，4＜c＜10，则c=5，6，7，8，9，此时满足条件的三角形有5个；当a=4时，3＜c＜11，则c=4，5，6，7，8，9，10，此时满足条件的三角形有7个；当a=5时，2＜c＜12，则c=3，4，5，6，7，8，9，10，11，此时满足条件的三角形有9个；当a=6时，1＜c＜13，则c=2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，此时满足条件的三角形有11个．△满足条件的三角形一共有1+3+5+7+9+11=36（个）．故选B．点评：本题主要考查了三角形的三边关系，属于竞赛题型，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．17．（4分）三角形三边的长分别为a，b，c，且，则三角形是（）A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形考点：分式的加减法．专题：因式分解．分析：此题要先通分，再将式子进行因式分解，从而确定a=b或a=c，从而解得．解答：解：通分得+=，=，a（b+c）（b+c﹣a）=bc（b+c），a（b+c﹣a）=bc，ab+ac﹣a2﹣bc=0，a（b﹣a）+c（a﹣b）=0，（a﹣c）（b﹣a）=0，a﹣c=0或b﹣a=0．即a=c或b=a．此时三角形是等腰三角形且a一定是腰．故选C．点评：本题主要考查通分与因式分解的运用，熟练掌握通分与因式分解的方法是解题的关键．18．（4分）有4个命题：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：综合题．分析：根据平行四边形的判定定理可得一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；而由矩形的判定定理知若点O是四边形ABCD对角线的交点，且AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形．解答：解：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故（1）错误；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行，故（2）正确；（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形，只有点O是四边形ABCD对角线的交点时，故（3）错误；（4）若四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形，故（4）错误．故选B．点评：本题考查了矩形、菱形、平行四边形的判定，是基础知识要熟练掌握．19．（4分）如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（）A．81B．C．D．考点：正方形的性质；三角形的面积．专题：规律型．分析：观察题目不难发现，△P0BC、△P1BC、…、△P6BC，共底，高通过相似三角形比例依次是．那么即可求得△P6BC的面积与正方形面积间的比例关系．解答：解：过P0点作P0F△BC于点F，过P1点作P1E△BC于点E，则Rt△P0BF△Rt△P1BE，△P1E=P0F，△则…==故选C．点评：本题考查正方形的性质、三角形的面积、相似比．解决本题的关键是找到第六个三角形的面积与正方形的面积关系，通过观察规律即可得到．20．（4分）如图，在四边形ABCD中，△B=135°，△C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：作AE△BC，DF△BC，构建直角△AEB和直角△DFC，根据勾股定理计算BE，CF，DF，计算EF的值，并根据EF求AD．解答：解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF=，DF=2，于是EF=4+．过点A作AG△DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD=====．故选D．点评：本题考查了勾股定理的正确运用，本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．21．（4分）已知函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）A．4B．5C．6D．7考点：一次函数的性质；解一元一次不等式．专题：计算题；数形结合．分析：根据已知条件可得：1﹣a≥0且a+4≥0，解得：﹣4≤a≤1，即可得到所选选项．解答：解：△1﹣a=0时，a=1，函数为y=5，即平行线于x轴的直线，且不过第四象限，△函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，△1﹣a＞0且a+4≥0，即：﹣4≤a＜1，△﹣4≤a≤1，满足的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，共6个，故选C．点评：本题主要考查了函数的性质，解一元一次不等式等知识点，解本题的关键是根据图象性质确定1﹣a和a+4的值，用的数学思想是数形结合思想．22．（4分）If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles，then how many non﹣congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure （）A．3B．4C．5D．6考点：加法原理与乘法原理．专题：数形结合．分析：找到图形中所有全等三角形的交点为顶点的不同直角三角形的个数即可．解答：解：由图中可以看出，共有5个不同的直角三角形，故选C．点评：综合考查了学生的英语理解能力及数学直观理解能力；关键是根据所给图形找到形状不同的直角三角形的个数．23．（4分）若在1，2，3，…，2010前任意添加一个正号或者负号，则（）A．它们的和是奇数B．它们的和是偶数C．若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数D．若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数考点：奇数与偶数．专题：整体思想．分析：本题从1，2，3，…，2010共有2011个数字，由1+2010、2+2009…知它们相加和是2011×2005是奇数，若在1，2，3，…，2010前任意添加一个负号，即改了某个数k 的符号，由正变负，就等于S﹣2k还是奇数，所以无论怎么添加结果都是奇数．解答：解：首先S=1+2+3+…+2010==2011×1005，其积是奇数，如果改了某个数k的符号，由正变负，就等于S﹣2k还是奇数，所以无论怎么添加结果都是奇数．选A点评：本题考查了整数的奇偶性问题，注意正负号变化的本质对和值的影响问题．24．（4分）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）A．0B．1C．2D．多于2考点：二元一次不定方程的整数解．专题：计算题．分析：将原式化简，变为x+3y=，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾，得出此题无整数解．解答：解：显然，方程两边同时除以9，得到：3x+9y=1111等式的两边同时除以3，得到：x+3y=，要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾．因此整数解0组．故选A．点评：此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数组解，进行推理．25．（4分）将3，4，5，6，7，8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）A．6B．12C．18D．24考点：质数与合数．分析：首先分析那两个数在一起时是质数，如34，38，43，47，56，58，65，67，74，76，83，85，然后将它们排列组合即可．注意要按顺序求解．解答：解：有：347658，385674，438567，476583，567438，583476，658437，674385，743856，765834，834765，856743，△共12个．故选B．点评：此题考查了质数的定义与应用．解此题的关键是注意顺序，要做到不重不漏才行．26．（4分）某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）A．2B．2.4C．3D．3.5考点：二元一次方程的应用．专题：应用题．分析：等量关系为：鸡的总腿数+兔的总腿数=2.5×动物的总只数，把相关数值代入后整理即可．解答：解：设有鸡x只，兔y只．2x+4y=2.5×（x+y），x=3y，△鸡的数量与兔的数量的比等于3．故选C．点评：本题考查二元一次方程的应用；得到两种动物的腿的和是解决本题的关键．27．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第一试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程（ ）A ．()()()110%115%a a x -=+-B ．()10%15%a a x ⋅=+⋅C ．10%15%a x a ⋅+=⋅D ．()()110%115%a x -=-【解析】 选A ．加盐前后盐水中水的质量不变即可列式．2．一辆汽车从A 地均速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少%b ，则a b 、的关系是（ ） A ．1001%ab a =+B ．1001%b a =+C ．1a b a=+ D ．100100ab a=+【解析】 D ．由,A B 两地距离不变可以列式：()()1%1%1a b +-=，解之得：100100ab a=+．3．当1x ≥时，不等式12x m x ++--恒成立，那么实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原不等式可化为12m x x ++-≤，而由绝对值的几何意义知123x x ++-≥，于是1233x x ++-≥，当且仅当1x =时取等号．于是3m ≥，即最大值为3．4．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数21y x =-与y kx k =+的图象的交点是整点，则k 的值有（ ）个 A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】 C ．联立函数方程可知交点坐标为13,22k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭，仅需横坐标为整数即可．而13122k k k+=-+--，则21,3k -=±±，于是k 的值有4个．5．（英语意译）已知整数x 满足不等式2216x -≤≤，则x 的值是（ ） A ．8B ．5C ．2D ．0【解析】 C ．由21x -为奇数，有213,5x -=±±，仅有C 选项符合题意．此题x 的值有4个解．6．若三角形的三条边的长分别为a b c 、、，且22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 D ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】 A ．()()()()()2223220a b a c b c b a b b c a b a b b c -+-=--=-+-=，于是a b =或者b c =．于是为等腰三角形．7．如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果5AE =，3EF =，则FG =（ ） A ．163B ．83C ．4D ．5图1ABCDFE G53【解析】 A ．由ABE DEF △∽△，知53AB DF =．不妨设5,3AB x DF x ==，于是2FC x =． 又由FCG ABG △∽△，知216853FG FG FC x FG AG FG AB x ===⇒=+．8．1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】 C ．()()16882121213517257-=-+=⋅⋅⋅．于是4n =．9．若关于x y 、的方程组1020x ay bx y a ++=⎧⎨-+=⎩，没有实数解，则（）A ．2ab =-B ．2ab =-且1a ≠C ．2ab ≠-D ．2ab =-且2a ≠【解析】 A ．容易知道112a b a=≠-．于是2ab =-且22a ≠-，而后者显然成立．于是选A ．10．如图2，45AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥于点C ．若2PC =，则OC 的长是（ ）A ．7B ．6 C．2+ D．22图2OCP BA【解析】 C ．延长CP 交OA 于M，于是有PC OC PM PM AO ==⇒=于是2OC PC PM =+=+二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．【解析】2222==+12．若关于x y 、的方程组321232x y k x y +=-⎧⎨-=⎩的解使472x y +>，则k 的取值范围是___________．【解析】 3k >．由()()4723223242x y x y x y k +=⋅+--=->，知3k >．13．如图3，平行于BC 的线段MN 把等边ABC △分成一个三角形和一个四边形，已知AMN △和四边形MBCN 的周长相等，则BC 与MN 的长度之比是_____________．ABCM N 图3【解析】 4：3．不妨设1,MN BC x ==，于是AMN △的周长为3，四边形MBCN 的周长为()211x x -++．于是有()3221x x =-++，解得43x =．14．小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24．18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是__________________瓦．【解析】 130．已知冰箱的运转时间占工作时间的515154=+，于是8月份的运转时间为124311864⋅⋅=小时．于是功率为24.181000130186⋅=．15．已知自然数a b c 、、满足222424412a b c a b c +++<++和220a a -->，则代数式111a b c++的值是___________________．【解析】 1．由()()()2222262a b c -+-+-<知2,2,6a b c ---中之多有一个绝对值为1，其余绝对值为0．而()()210a a -+>，知2a >，于是21a -=，即3a =．于是2b =，6c =．则代数式的值为1111a b c++=．16．已知A B 、是反比例函数2y x=的图象上的两点，A B 、的横坐标分别是3，5．设O 为原点，则AOB △的面积是________________．【解析】 1615．易知223,,5,35A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．分别过点,A B 做x 轴的垂线，垂足为,M N ．由2216352215AOB ABMN S S +==⋅=△．17．设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是_________________． 【解析】 121．()()()()()22222543...45110A =-+-+-+++=．18．将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是__________________．【解析】 218．首尾两数的和与第38个数与第63个数的和相同．于是均为218．19．A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 地出发去B 地．甲先乘汽车到达A B 、之间的C 地，然后下车步行，乙全程骑自然车，结果两人同时到达．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，C 地与A 地相距_______________km ．【解析】 10．不妨设,C A 两地之间的距离为x ，,C B 之间的距离为15x -，乙全程自行车的速度为v ，于是利用两者时间相等可列式：151522x x v v v -+=，解之得10x =．20．已知b c a c a bk a b c+++===，则直线y kx k =+必经过点______________________． 【解析】 (10)-，．()1y k x =+，于是当1x =-时，0y =．于是答案为()1,0-．在条件下，当0a b c ++=时，直线表示1y x =--，否则直线表示22y x =+．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是____________或________．【解析】 75︒；100︒．当三角形三内角之比为2:2:5时，最大内角为51801009⋅=；当内角比为2:5:5时，最大内角为51807512⋅=．22．已知10个数12310x x x x ，，，，中，110x =，对于整数1n >，有1n n nx x -=，则12x x =____________，2310x x x =_______________．【解析】 2；384．由1n n x x n -=知：122x x =；344x x =；566x x =；．．．；91010x x =．于是()234101 (24681038410)x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅=．23．从甲、乙、两三名男生和A B 、两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能出现的结果有_____________种；恰好选中男生甲和女生A 的概率是____________． 【解析】 6；16．男生一共有3种选择，女生一共有2种选择，于是所有可能结果数为326⋅=．对于任何一种特定组合都是16的概率被选中．24．若关于x 的方程b b x a x a +=+的解是12b x a x a ==，，那么方程2211x a x a -=---的解是1x =___________，2x =__________________． 【解析】a ；31a a --．原方程可写为221111x a x a ---+=-+--，于是12211,11x a x a --=--=-．化简即可．25．若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然数是__________和____________．【解析】37；15．由于他们乘积为111的倍数，而111有质因数37，于是这两数至少有一数为37或者其倍数74．于是容易判断出两数只能是37,15．。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛 1试初二第_______________30 得分日上午8：30至11：2011年3月13以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字分)一、选择题(每小题4分，共40 母写在下面的表格总得2345678910题1DACACCC答CAA( ) 千克，则由此可列出方程为、将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x1%15%?(a?x)?a(1?10%)?(a?x)(1?15%)?10a、BA、%15?10%?x?a?a%)1510%)?x(1??a(1、C、 D( )的关系是则所用的时间减少b%，则a，b2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，a100100aa100?b?b?b?b、A C、、 D B、a?a1001?a%1?a%1?1x?|?2x?1|?x?1?m?|x|( )m、当3时，不等式的最大值是恒成立，那么实数4 3 D、、2 C、1 BA、kkx?1y?y?2x?与横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数4、在平面直角坐标系中，( )k的值有的图象的交点是整点，则个 D、5、2个 B、3个 C、4个A6??1|2?|2x is ( )The sum of all such integers x that satisfy inequality 5、0、2 D、A、8 B、5 C) 满足；inequality 不等式(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy32220b?c?bc?aab?( ) b，c，且，则这个三角形一定是6、若三角形的三条边的长分别为a， D、等腰直角三角形、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形Aintersects AG ABCD is a square. the 7、As shown in figure 1，point C is on segment BG and quadrilateralBD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( )8165 4 D、 BA、、 C、A D 33 E 5 ) 与…相交于…square 正方形；intersect…at… (英汉词典：F3 151?2( ) n能分解成n个质因数的乘积，8、的值是G34 D、A、6 B、5 C、BCfigure 10?x?ay?1?( )没有实数解，则、若关于x，y的方程组9?0??2ya?bx?2?2a?a?1ab??2ab?2?ab?2ab??且 DA、C且、 B、、于点C，AOB°，OP平分∠，PC⊥、如图10OB2，∠AOB=45A( )，则OC的长是若PC=22?2232?、A、7 B、6 C、 D P 2 ) 分4分，共40二、A 组填空题(每小题O BC 549?2图?2?5； 11、化简：5?23x?2y?k?1?k?32y?74x?；，则k的解使的方程组，、若关于12xy的取值范围是?2?3x2?y?1AABC分成一个的线段MN把等边△13、如图3，平行于BC的周长相AMN和四边形MBCN三角形和一个四边形，已知△；MN的长度之比是 4:3 等，则BC与M N 、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，14 8月份分钟，再停机停机15分钟，再运转515分钟，……，又知CB3图 )，则这台冰箱的压缩度=1千瓦时这台冰箱的耗电量是24.18度 (1 130 瓦；机运转时的功率是1112222??02a???4a?4b?12ca?a?b?c?42的，满足和，则代数式15、已知自然数a，b，c cba；值是 12?y的面AOBO为原点，则△3，5.16、已知A、B是反比例函数设B的图象上的两点，A、的横坐标分别是x16；积是15；的最小值是 121 是11个连续整数的平方和，则A17、设完全平方数A 218，则首尾两个数的和是38个数与第63个数的和为个连续的偶数从小到大排成一行，其中第18、将100 218 ；地，然后下车步行，之间的C。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内． 1．已知A B=A，C ，则,B C 之间的大小关系是（ ） A ．B C >B ．BC =C ．B C <D ．不能确定【解析】 A ．由AC==，于是6336320242933A A C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则B C >．2．已知27a a -=，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．5【解析】 D ．求值式()()()()()22211121a a a a a a a -+-=⋅⋅-⋅++-()()22125a a a a =-+=--=．3．一个凸四边形的四个内角可以（ ）A ．都是锐角B ．都是直角C ．都是钝角D ．有三个是直角，另一个是锐角或钝角【解析】 B ．由四边形的外角和为360，于是不能每个外角都是锐角或者钝角．选B ．4．如果直线2y x m =+与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m 的值是（ ）A ．3±B ．3C ．4±D ．4【解析】 C ．可知直角三角形的直角边长分别为,2mm ，于是有14422m m m ⋅⋅=⇒=于是4m =±，分别对应于三角形位于第二象限，第四象限的情形．5．若22120102011n +=+（ ） A ．2011B ．2010C ．4022D ．4021【解析】 D ．由222201020111201020102012n =+-=+⋅．于是22222212010201120102010201220102011220102011n +=+++⋅=++⋅⋅()220102011=+4021．6．有四个命题：①若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等． ②有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．③有一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等． ④两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中，正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【解析】 B ．正确的命题为④．①②③错误．7．如图1，Rt ABC △两直角边上的中线分别为AE 和BD ，则22AE BD +与2AB 的比值为（）A ．34B ．1C ．54D ．32图1ADC E B【解析】 C ．特殊值法：直接设1BC AC ==，可得AE AD AB ===54． 一般的，不妨设,BC a AC b ==，于是()222222225224a b AE BD b a a b ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222AB a b =+，于是可得出同样的结果．8．如图2所示，ABCD 为矩形，12,5AD AB ==，P 为线段AD 上的任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于F ．则PE PF +的值为（ ）A ．4813B ．6013C ．5D ．7013figure 2ABC DE FP【解析】 B ．利用面积相等解决此问题．由PBD PAC PCD PAC ACD S S S S S +=+=△△△△△，有()1122AC PE PF AD DC ⋅⋅+=⋅⋅，则有6013PE PF +=．9．如图3，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，(21)C ，，(11)D ，，反比例函数ky x=的图象与边BC 交于点E ，与边CD 交于点F ，已知:3:1BE CE =，则:DF FC 等于（ ）A ．4：1B ．3：1C ．2：1D ．1：1图3【解析】 D ．由2,,2k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭知32112kk =-，解得32k =．于是3,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，则12DF FC ==，于是比值为1．10．如图4，a b c d e ，，，，分别代表1，2，3，4，5中的一个数，若b a c ++及d a e ++除以3都余1，则不同的填数方法有（ ） A ．2种 B ．4种C ．8种D ．16种a bc ed图4【解析】 D ．由1234515a b c d e ++++=++++=，31a b c k ++=+，知32d e p +=+，于是32a q =+．则2a =（或5）．,b c 与,d e 分别为1,4与3,5（或2）．于是所有的填数法有222216⋅⋅⋅=种．二、填空题（每小题4分，共40分）11．下表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，以命中率（投进球数与投球次数的比值）来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩一样好，现有以下关系式：①5a b -=；②18a b +=；③:2:1a b =；④:182:3a =， 其中正确的是_________________（只填序号）． 【解析】 ②③④．由101518a=知12a =．于是6b =．只有①是错误的．12．已知方程组245x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解为.x m y n =⎧⎨=⎩，又知点()A m n ，在反比例函数k y x =的图象上，则k 的值是_________________．【解析】 6-．解得3,2m n ==-，于是6k m n =⋅=-．13．等腰三角形的两个内角的度数之比为:()a b a b <，若这个三角形是钝角三角形，则ba的取值范围是_____________．【解析】 2b a>．钝角三角形的三内角比必为::a a b ，由90,2902bb a a ><⇒>．14．定义1()(1)1f x x x =≠-，那么2011((((2011))))ff f f f 个=_________．【解析】 12100-．容易知道()()()f f f a a =，于是()20111((((2011))))20112010ff f f f f ==-个．15．函数y ax =与函数23y x b =+的图象如图5所示，则关于x y ，的方程组0323ax y y x b -=⎧⎨-=⎩，的解是________________．【解析】 12x y =⎧⎨=⎩．观察出函数图像的交点坐标为()1,2，于是方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩．16．若a b ，是自然数，且a b >，2011=(1)a a b -+．那么a =_____________；b =______________． 【解析】 45；31．由()222011a b a a =+-<，()()2201111a a b a =-+>-，知2245201144>>，有45,14445a a a -⇒=≥≤．代入原式解得31b =．17．一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．两次掷这个骰子，朝上一面的数依次记为m n ，．则关于x y ，的方程组123mx ny x y +=⎧⎨+=⎩，有解的概率为_______________．【解析】 1112．无解的情形当且仅当1213m n =≠，即21m n =⎧⎨=⎩或42m n =⎧⎨=⎩或63m n =⎧⎨=⎩．于是无解的概率为316612=⋅，有解的概率为11111212-=．18．如图6，边长为2的正方形ABCD 内有一点P ，且30PAB ∠=︒，2PA =，在正方形ABCD 的边上有一点Q ，且PAQ △为等腰三角形，则符合条件的点Q 有______________个．230°ABCD【解析】 4．PA 为底边或者腰．当PA 为底边时，做PA 的垂直平分线，交正方形的边于两点；当PA为腰时，分别以,P A 为圆心，2为半径做圆，交正方形的边于2点（不含A ），2点．这三种情形均包括DA 边上的同一个点．于是共有22224++-=个．19．已知a b c ，，为实数，并且对于任意实数x ，恒有23x a x b x c +++=+，则::a b c =____________． 【解析】 1：2：3．令13x c =-，有2033c a b c -+-=，于是2,33c a b c ==，即::1:2:3a b c =．20．一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000行米后报废；若安装在后轮，则行驶3000千米后报废，现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶，使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶______________千米．【解析】 3750．容易知道，若一轮作为前轮行驶路程为a ，作为后轮行驶路程为b ，则另一轮行驶路程为作为后轮a ，作为前轮b ，于是必须a b =才能使得同时报废．于是500050003000ba +⋅=，解得1875a b ==，于是3750a b +=．三、解答题每题都要写出推算过程． 21．（本题满分10分）平面直角坐标系中，正方形ABCD 四个顶点的坐标分别为（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1），设正方形ABCD 在y x a a =-+的图象以上部分的面积为S ，试求S 关于a 的函数关系式，并写出S 的最大值．【解析】 ⑴当1a ≥时，y x a a =-+的图象与正方形无公共部分，如图①，0S =．①②③④⑵当0a ≤≤1时，21(1)2(1)(1)2S a a a =-⨯-=-．如图②⑶当1a -≤≤0时，22(1)(1)22(1)2a a S a ++=-=-+．如图③⑷当1a <-时，2S =．如图④ 所以，S 的最大值为2．22．（本题满分15分）若直线:3l y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．坐标原点O 关于直线l 的对称点'O 在反比例函数ky x=的图象上． ⑴求反比例函数ky x=的解析式； ⑵将直线l 绕点A 逆时针旋转角(045)θθ︒<︒<，得到直线'l ，'l 交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数ky x=的图象交于点Q ，当四边形'APQO的面积为9θ的值．【解析】 ⑴直线l 与x 轴交于点(30)A -，，与y 轴交于点(03)B ，，ABO △是等腰直角三角形，则坐标原煤点O 关于直线l 的对称点'O 的坐标是(33)-，．点'O 在反比例函数ky x=的图象上，所以99k y x=-=-，．⑵设点P 的坐标为(0)P ，，PQ 和'AO 的延长线交于点G ． 因为PQ x ∥轴，与反比例函数图象交于点Q ，所以四边形AOPG 是矩形，9Q p p⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(3)G p -，因为913GP GQ p==-，，'3GO p GA p =-=，． 所以APG GQO APQO S S S ==四边形△△=11'22GA GP GQ GO ⋅-⋅=()11933322p p p ⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭=2792p -，已知9APQO S =四边形27992p -=解得p =p =符合题意．所以(0P ，，6AP ==，60PAO ∠=︒ 又因为45BAO ∠=︒，所以604515PAO BAO θ=∠-∠=︒-︒=︒23．（本题满分15分）给定(3)m m ≥个数字组成的一列数12m a a a ，，，，其中每一个数(12)i a i m =，，，只能是1或0，在这一列数中，如果存在连续的k 个数和另一组连续的k 个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k 阶可重复的”．例如，由7个数组成的一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为1234,,,a a a a 与4567a a a a ，，，按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”．⑴分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”？如果是，请写出重复的这5个数； ①0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； ②1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．⑵如果一列数12m a a a ，，，一定是“3阶可重复的”，求m 的最小值． ⑶假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数后再添加一个0或1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理由． 【解析】 ⑴在①中，因为23456a a a a a ，，，，与678910a a a a a ，，，，按次序对应相等，所以①是“5阶可重复的”，重复的这5个数是0，0，1，1，0； 在②中，因为连续的5个数分别为 1，1，1，1，1；1，1，1，1，0； 1，1，1，0，1；1，1，0，1，1；1，0，1，1，1；0，1，1，1，1．其中没有完全相同的，所以②不是“5阶可重复的”⑵因为这列数中的每一个数只能是0或1，所以连续的3个数共有228=（种）不同的情形，即分别为（0，0，0）；（0，0，1）；（0，1，0）；……；（1，1，1）．若11m =，则在这一列数中有9组连续的3个数，它们分别是123a a a ，，；234a a a ，，；345a a a ，，；…；51211a a a ，，，其中至少有两组按次序对应相等，这列数一定是“3阶可重复的”．若10m =，存在这样一列数； 0，0，1，0，1，1，1，0，0，0，它不是“3阶可重复的”（类似地还可以写出一些，只要写出一个即可）． 所以，要使一系数一定是“3阶可重复的”，m 的最小值是11．⑶假设这一列数共有m 个数，由于在最后一个数m a 后再添加0或1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，即存在两个不同的i 和(4)j i j m -，≤，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++ 与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，且1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等．此时考虑111,,i j m a a a ---这三个数，其中必有两个相同，这就导致这一列数中有两个连续的5个数恰好按次序对应相等．从而这一列数是“5阶可重复的”这和题设中这一列数不是“5阶可重复的”矛盾！所以1i =或1j =，从而41m a a ==．。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第一试2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分，共40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。

1、 将a 千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程（ ） （A ）()()().%151%101-+=-x a a （B ）()%.15%10∙+=∙x a a （C ）%.15%10∙=+∙a x a （D ）()().%151%101-=-x a2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a ﹪，则所用的时间减少b ﹪，则a 、b 的关系是（ ） （A ）%1100a a b +=（B ）%1100a b += （C ）a a b +=1 （D ）aab +=1001003、当1≥x 时，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是（ ）（A ）1． （B ）2。

（C ）3。

（D ）4。

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（ ）个（A ）2． （B ）3。

（C ）4。

（D ）5。

5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（ ） （A ）8． （B ）5。

（C ）2。

（D ）0。

6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形 7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ） （A ）316。

（B ）38。