2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A版选修

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教A 版选修111104[学生用书P109(单独成册)])[A 基础达标]1．动点P (x ，y )到点F (3，0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：选D.依题意可知动点P (x ，y )在直线右侧，设P 到直线x ＋2＝0的距离为d ，则|PF |＝d ＋1，所以动点P 到F (3，0)的距离与到x ＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D.2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.因为a 2＝6，b 2＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(2，0)，所以p2＝2，p ＝4.3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y解析：选A.因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .4．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选B.由题意可知准线方程为x ＝－p ， 所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.5．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b2，表示焦点在y轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________． 解析：由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p2＝4，所以p ＝2.答案：27．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知|PF |＝3－x .又|PF |＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)． 答案：(－6，62)，(－6，－62)8．若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，即|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋12.同理|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋12.故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝5，即x 1＋x 2＝4，得x 1＋x 22＝2，故线段AB 的中点的横坐标是2.答案：29．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)由双曲线方程得x 29－y 216＝1，其左顶点为(－3，0)． 因此抛物线的焦点为(－3，0)．设其标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则p2＝3.所以p ＝6.因此抛物线的标准方程为y 2＝－12x .(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝2px 0，x 0＋p2＝5. 解得p ＝1，或p ＝9.当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)， A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝－2px 0，p2－x 0＝5.解得p ＝1或p ＝9. 综上所述，所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .10.如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？解：如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为B 点在抛物线上，所以81＝－2p ·(－8)，所以p ＝8116，所以抛物线的方程为x 2＝－818y .当x ＝92时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.所以|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．[B 能力提升]11．(2019·德州检测)已知O 为坐标原点，A (0，2)，抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则△OFN 的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选A.抛物线C ：y 2＝mx 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m4，0，设点N 的坐标为(x N ，y N )，点M 在准线上的射影为点K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM |∶|MN |＝1∶3，可得|KM |∶|MN |＝1∶3，则|KN |∶|KM |＝2∶1，k FN ＝0－2m 4－0＝－8m .又k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，所以8m ＝2，即m＝42，所以y N ＝4，故△OFN 的面积为12·y N ·|OF |＝12×4×2＝2 2.故选A.12．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三个不同的点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________．解析：因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，所以A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.答案：613．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)． 又F (1，0)，所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 14．(选做题)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1，1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3，2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图(1)所示，连接AF ，交抛物线于点P ，则|PA |＋d 的最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±23，因为23>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图(2)所示)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.。

2.3.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1若方程y24−y2y+1=1表示双曲线,则实数y的取值范围是()A.-1<m<3B.m>-1C.m>3D.m<-1解析:∵方程y24−y2y+1=1表示双曲线,∴m+1>0,∴m>-1.答案:B2已知双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.(√22,0)B.(√52,0)C.(√62,0)D.(√3,0)解析:∵双曲线方程化为标准方程为x2−y212=1,∴a2=1,b2=12.∴y2=y2+y2=32.∴c=√62,故右焦点坐标为(√62,0).答案:C3已知双曲线的一个焦点坐标为(√6,0),且经过点(−5,2),则双曲线的标准方程为()A.y25−y2=1B.y25−y2=1C.y225−y2=1D.y24−y22=1答案:A4平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是()A.y216−y29=1(y≤-4) B.y29−y216=1(y≤-3)C.y216−y29=1(y≥4)D.y29−y216=1(y≥3)答案:D5已知双曲线C :y 29−y 216=1的左、右焦点分别为y 1,y 2,y 为双曲线y 的右支上一点,且|yy 2|=|y 1y 2|,则△PF 1F 2的面积等于( ) A.24B.36C.48D.96解析:由题意得,a=3,b=4,c 2=a 2+b 2=25,所以c=5.因为|PF 2|=|F 1F 2|=2c=10,P 为双曲线C 的右支上一点, 所以|PF 1|-|PF 2|=2a=6, 所以|PF 1|=16.过点F 2作F 2T ⊥PF 1于点T , 则T 为PF 1的中点. 且|PT|=8,所以|F 2T|=6,故y △yy 1y 2=12×16×6=48.答案:C6已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为F 1(−√5,0),点y 位于该双曲线上,线段yy 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是______________________. 答案:x 2−y 24=17过双曲线y 24−y 23=1左焦点y 1的直线交双曲线的左支于y ,y 两点,y 2为双曲线的右焦点,则|yy 2|+|yy 2|−|yy |的值为______________________. 解析:因为M ,N 两点在双曲线的左支上,所以由双曲线的定义得|MF 2|-|MF 1|=2a=4,|NF 2|-|NF 1|=2a=4,所以|MF 2|-|MF 1|+|NF 2|-|NF 1|=4a=8,又|MF 1|+|NF 1|=|MN|,所以|MF 2|+|NF 2|-|MN|=8. 答案:88已知双曲线的两个焦点F 1(−√5,0),y 2(√5,0),y 是双曲线上一点,且yy 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|yy 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为 . 解析:因为yy 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以PF 1⊥PF 2,所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,即(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|=|F 1F 2|2,又||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|=2c=2√5,|yy 1|·|PF 2|=2, 所以(2a )2+2×2=(2√5)2,解得a 2=4,b 2=1. 所以双曲线的标准方程为y 24−y 2=1.答案:y 24−y 2=19已知双曲线的实半轴长a=4,且经过点y (1,4√103),求双曲线的标准方程.解:若设所求双曲线方程为y 2y 2−y 2y 2=1(y >0,y >0),则将a=4代入,得y 216−y 2y 2=1.又点y (1,4√103)在双曲线上,∴116−1609y 2=1.由此得b 2<0,∴不合题意,舍去.若设所求双曲线方程为y 2y 2−y 2y 2=1(y >0,y >0), 则将a=4代入,得y 216−y 2y 2=1,代入点y (1,4√103),得b 2=9,故双曲线的标准方程为y 216−y 29=1.10已知F 1,F 2是双曲线y 29−y 216=1的两个焦点,若y 是双曲线左支上的点,且|yy 1|·|PF 2|=32.试求△F 1PF 2的面积.解:因为P 是双曲线左支上的点,所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36.所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理, 得cos ∠F 1PF 2=|yy 1|2+|yy 2|2-|y 1y 2|22|yy 1|·|yy 2|=100-1002|yy 1|·|yy 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°.所以y △y 1yy 2=12|yy 1|·|PF 2|=12×32=16.能力提升1若点P (x ,y )满足√(y -5)2+y 2−√(y +5)2+y 2=6,则点y 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的左支C.双曲线的右支D.一条射线解析:依题意,点P 到定点(5,0)的距离与到定点(-5,0)的距离之差等于6,且6<10,所以点P 的轨迹是以(5,0)与(-5,0)为焦点的双曲线的左支. 答案:B2“k>3”是“方程y 23-y +y 2y -1=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:当k>3时,3-k<0,k-1>0,此时方程y 23-y +y 2y -1=1表示双曲线.反之,若方程y 23-y +y 2y -1=1表示双曲线,则有(3-k )(k-1)<0,即k>3或k<1.故“k>3”是“方程y 23-y+y 2y -1=1表示双曲线”的充分不必要条件.答案:A3已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在双曲线C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )A .14B .35C .34D .45解析:由题意可知,a =√2=y ,则c=2. 设|PF 1|=2x ,|PF 2|=x , 则|PF 1|-|PF 2|=x=2a=2√2,故|PF 1|=4√2,|yy 2|=2√2,|y 1y 2|=4. 利用余弦定理, 得cos ∠F 1PF 2=|yy 1|2+|yy 2|2-|y 1y 2|22|yy 1|·|yy 2|=√2)2√2)22=34.答案:C4若双曲线y 2-5x 2=-m 的焦距等于12,则实数m 的值等于( ) A.30B.-30C.±30D.±120解析:当m>0时,方程化为y 2y 5−y 2y=1,焦点在x 轴上,a 2=y 5,y 2=y ,所以y 5+y =(122)2,解得m=30;当m<0时,方程化为y2-y −y2-y5=1,焦点在y轴上,a2=-m,b2=−y5,所以−y5−y=(122)2,解得m=-30,综上,m=±30.答案:C5已知点F1,F2分别是双曲线y2y2−y29=1(y>0)的左、右焦点,y是该双曲线上的一点,且|yy1|=2|yy2|=16,则△PF1F2的周长是. 解析:∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又∵b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:346★已知F是双曲线y24−y212=1的左焦点,y(1,4),y是双曲线右支上的动点,则|yy|+|yy|的最小值为______________________.解析:如图,已知F(-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A(1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.当且仅当A,P,F'三点共线时,取等号.答案:97动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:如图,由题意,得定圆圆心C1(-3,0),C2(3,0),半径r1=3,r2=1,设动圆圆心为C(x,y),半径为r,则|CC1|=r+3,|CC2|=r+1.两式相减,得|CC1|-|CC2|=2,则点C的轨迹为以C1,C2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b2=c2-a2=8.∴动圆圆心C的轨迹方程为x2−y28=1(y≥1).8已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=60°,求点P到x轴的距离.解:因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c=√y2+y2=√2,所以|F1F2|=2c=2√2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设点P到x轴的距离为|y0|,y△yy1y2=12|yy1||yy2|sin60°=12|y1y2|·|y0|,所以12×4×√32=12×2√2|y0|.所以|y0|=√32=√62,即点P到x轴的距离为√62.9★某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4 s,已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面内)解:如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340×4<|AB|.由双曲线的定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1020,故b2=10202-6802=5×3402.因此,双曲线方程为y2 6802−y25×3402=1(y≤-680).①又|PA|=|PC|,因此点P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x=-680√5.所以P(-680√5,680√5),|yy|=680√10(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心680√10m处.。

2.2.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升1.双曲线的方程为则它的焦点坐标是()A.(2,0),(-2,0)B.(4,0),(-4,0)C.(0,2),(0,-2)D.(0,4),(0,-4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以两焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.方程 双曲线则k的取值范围是()A.-1<k<1B.k>0C.k≤D.k>1或k<-1解析:因为方程 双曲线,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭圆与双曲线有相同的焦点则实数m的值为()A.1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故有解得m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它 的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆可知它 的是焦点在y轴上的双曲线.解析:原方程可变形为即--答案:C5.与双曲线共焦点且过点2)的双曲线的标准方程为()AC解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线的方程为a>0,b>0),则a2+b2=20,且解得a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程为.答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则符合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解.即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,故a=2,c=4,∴b2=c2-a2=16-4=12且焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程为.答案★7.已知F是双曲线的左焦点点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设右焦点为F1,依题意,|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+ ≥|AF1|+4=5+4=9.答案:9★ .已知双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足∠F1PF则△F1PF2的面积是.解析:设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,则②-①2,得r1r2=2.△r2=1.答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程为a>0,b>0),又知c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程为a>0,b>0),则有-解得故所求的双曲线的标准方程为.★ .已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:由于不知道焦点在哪个轴上,所以应先分两种情况来讨论,然后把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1,然后把两点代入求解.解:方法一:当焦点在x轴上时,设所求的双曲线方程为a>0,b>0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所以---解得a7b2=7.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为a>0,b>0),同理,有---解得a2=-7,b2=7不合题意,舍去.故所求的双曲线的标准方程为77.方法二:设所求的双曲线方程为Ax2+By2=1.因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程有解得77.故所求的双曲线的标准方程为77.。

2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。

2.1曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是()A.一个圆B.两条直线C.一个点D.两个点解析由已知得解得所以方程表示一个点.答案C2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+2xy=1(x≠±1)C.y=D.x2+y2=9(x≠0)解析设P(x,y),因为k PA+k PB=-1,所以=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).答案B3.方程x-1=表示的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半个圆解析∵方程x-1=等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),∴表示的曲线是半个圆.故选D.答案D4.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2,但当点M的坐标满足方程y=-2时,则点M一定在曲线y2=4x上.答案B5.在直角坐标系中,方程|x|y=1的曲线是()解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=,a=.解析由题意知解得a=2,m=.答案 27.已知定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x,y),由|PA|=2|PB|得=2,整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M(x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为.解析由题意知=1,∴3x+4y+1=±5.∴点M的轨迹方程为3x+4y+6=0和3x+4y-4=0.答案3x+4y+6=0和3x+4y-4=09.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.解以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,得O1(-2,0),O2(2,0).连接PO1,O1M,PO2,O2N.由已知|PM|=|PN|,得|PM|2=2|PN|2,又在Rt△PO1M中,|PM|2=,在Rt△PO2N中,|PN|2=,即得-1=2(-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化简得(x-6)2+y2=33.因此所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.10.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.能力提升1.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A. B.π C. D.解析将点P坐标代入曲线方程,得(cosα-2)2+sin2α=3,cosα=.又因为0≤α<2π,所以α=或α=π.答案C2.设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的是()A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0解析“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C.即一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,故应选D.答案D3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析设P(x,y),x>0,y>0,M(-2,0),N(2,0),||=4,则=(x+2,y),=(x-2,y),又由||·||+=0,则4+4(x-2)=0,化简整理得y2=-8x.故选A.答案A4.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案25.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是.解析圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径r=1,则|PB|2=|PA|2+r2,所以|PB|2=2.故P的轨迹方程为:(x-1)2+y2=2.答案(x-1)2+y2=26.若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a)(a∈R),则k的取值范围是.解析由曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a),所以(-a)2=a·(-a)+2·a+k,即k=2a2-2a=2.所以k≥-.答案7.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:如图,设点M的坐标为(x,y),∵M为线段AB的中点,∴A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),∴PA⊥PB,即k PA·k PB=-1,而k PA=(x≠1),k PB=,∴=-1(x≠1),整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.法二:设点M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM(如图).∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=,∴2,化简得x+2y-5=0,即为所求的点M的轨迹方程.8.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.解如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分,所以,从而有由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:.。

2．3.1 双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26]用待定系数法求双曲线方程[例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点，求双曲线的标准方程． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(－3)2b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b2＝1，(2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1532b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2，得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. [一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.曲线方程的讨论[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4. 因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要 4．若方程x 22－m＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)双曲线的定义及其标准方程的应用[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF－PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r|＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r.∴|1MF u u u u r |2＋|2MF u u u u r |2＝40.∴(|1MF u u u u r |－|2MF u u u u r |)2＝|1MF u u u u r |2－2|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＋|2MF u u u u r |2＝40－2×2＝36.∴||1MF u u u u r |－|2MF u u u u r||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝| (414)2－ (94)2| ＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5， 由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

3.1 双曲线及其标准方程1.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线解析:将方程化为=1,由mn<0,知->0,所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.答案:D2.椭圆=1和双曲线=1有相同的焦点,则实数n的值是()A.±5B.±3C.5D.9解析:由题意知,34-n2=n2+16,∴2n2=18,n2=9,∴n=±3.答案:B3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为,动点P的轨迹方程为()A.+y2=1B.-y2=1C.+y2=1(x≠±2)D.-y2=1(x≠±2)解析:依题意有k PA·k PB=,即(x≠±2),整理得-y2=1(x≠±2).答案:D4.设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于()A.22B.16C.14D.12解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为22.答案:A5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.=1解析:由双曲线定义知,2a==5-3=2,∴a=1.又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.答案:A6.(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b= .解析:由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b>0,所以b=.答案:7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是. 解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则解得故双曲线的标准方程为=1.答案:=18.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线方程为=1(a>0,b>0).由=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=19.导学号01844023双曲线C与椭圆=1有相同焦点,且经过点(,4).(1)求双曲线C的方程;(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.解(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),设双曲线的方程为=1,则a2+b2=32=9.①又双曲线经过点(,4),所以=1,②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27(舍去),所以所求双曲线C的方程为=1.(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得m2-2mn+n2=16.①在△F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mn cos 120°=m2+n2+mn=36.②由①②得mn=,所以△F1PF2的面积为S=mn sin 120°=.10.导学号01844024设双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.解法一设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,于是有解得所以双曲线的标准方程为=1.解法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),所以2a=||=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为=1.。

2.3.1 双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程为则它的焦点坐标是A.(± , )B.(±4, )C.( ,± )D.( ,±4)c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).表示双曲线则的取值范围是2.若方程-A.-1<k<1B.k>0C.k≤D.k>1或k<-1表示双曲线,-所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.与双曲线有相同的焦点则实数的值为3.若椭圆4A.1B.1或3C.1或3或-2D.3m>0,于是焦点都在x轴上,故有4-解得m=1.4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆可知它表示焦点在y轴上的双曲线.即--共焦点且过点的双曲线的标准方程为★5.与双曲线4AC.,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程为则a2+b2=20,且4解得a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程为6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程为47.已知F是双曲线4的左焦点点4是双曲线右支上的动点则的最小值为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.★8.已知双曲线4的两个焦点分别为点在双曲线上且满足∠F1PF2则△F1PF2的面积是.P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,则-4,,①②②-①2,得r1r2=2.所以△9.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.,焦点在y轴上,可设方程为又知c=6,再把点代入即可求得.则有-4 ,,解得 ,4故所求的双曲线的标准方程为★10.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.x轴上时,设所求的双曲线的标准方程为因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所以- , (- )- ,解得,当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为同理,有- ,-(- ) ,解得- ,-,舍去.故所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程有,4 ,解得, -故所求的双曲线的标准方程为。

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2.3。

1 双曲线及其标准方程跟踪训练4.讨论方程错误!＋错误!＝1(m<3)所表示的曲线类型．课后作业1．（2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0），N（2，0）,|PM|－|PN｜＝4,则动点P的轨迹是( ）A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为( ）A．（±5，0） B．（0，±5） C．(±7，0) D．(0，±错误!)3．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，则k的取值范围是（) A．－1〈k<1 B．k〉0 C．k≥0 D．k〉1或k<－14．椭圆x24＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则m的值是（)A．±1 B．1 C．－1 D．不存在5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8,那么△ABF2的周长是（)A．16 B．18 C．21 D．26思考:已知定点A（－3,0)和定圆C：（x－3）2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．答案牛刀小试1 A C D B例一解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2｜＝2m，①由双曲线的定义得||PF 1|－｜PF 2｜｜＝2a ， ②由①2减去②2的差再除以4得｜PF 1|·｜PF 2|＝m －a .跟踪训练1。

2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义的点的轨迹叫|)2F 1F |小于(的定值0的绝对值为大于距离之差的2F ，1F 平面上到两个定点焦距．叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的2F ，1F 定点作双曲线．这两个2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x22－y26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y2a2－x2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52，∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝6， ①|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36.∴|PF 1||PF 2|＝32.在直角三角形PF 1F 2中，|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－15b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.所以双曲线方程为y24－x25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|15－＋＋－15－＋－|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y24－x25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴所求双曲线的方程为y24－x25＝1.1．若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)． 答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x216－y29＝1(x ≤－4) B.x29－y216＝1(x ≤－3)C.x216－y29＝1(x ≥4) D.x29－y216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x29－y216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1.答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x21k －y28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x225－y224＝1 或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－ －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.答案：C2．已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C.3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x2＋y2＝54＋14＝62.答案：A4．已知双曲线C ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16. 答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________． 解析：法一：利用双曲线定义．2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝1214＋1－ 14＋1＝552－52＝25，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1，则有254a2－19－a2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0.∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9．若方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解：∵方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1.∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝3＋5－32×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。

2.2.1 双曲线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故其右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 答案：C2．若方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5，10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.答案：A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中c a ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得c ＝5，c a ＝54，所以a ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 答案：C4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1D.x 23－y 22＝1 解析：据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 答案：B5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．5B ．5＋4 3C ．7D ．9 解析：如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4，0)．由双曲线的定义及标准方程，得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.答案：D二、填空题6．设m 是大于0的常数，若点F (0，5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________． 解析：由题意可知m ＋9＝25，所以m ＝16.答案：167．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离为________．解析：因为||PF 2|－12|＝2a ＝10，所以|PF 2|＝12±10，即|PF 2|＝2或|PF 2|＝22.答案：2或228．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， 所以 |AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.答案：18三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)经过两点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5； (3)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解：(1)由题意得双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 因为a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，代入方程得，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，2520－4b 2＝1， 所以b 2＝16.所以所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (2)设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 把(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(3)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点坐标分别为F 1(0，－3)，F 2(0，3)． 由已知得双曲线与椭圆的交点坐标为(±15，4)， 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.所以所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 10．已知k 为实常数，命题p ：方程(k －1)x 2＋(2k －1)y 2＝(2k －1)(k －1)表示椭圆，命题q ：方程(k －3)x 2＋4y 2＝4(k －3)表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求实数k 的取值范围；(2)若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数k 的取值范围．解：(1)若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞0，k －1＞0，2k －1≠k －1，解得k ＞1，即实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，k ≥3，解得k ≥3， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ＜3，解得k ≤1， 故实数k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B 级 能力提升1．k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：k ＜2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)＜0⇒k ＜2或k ＞4，故k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：A2．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3，0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．解析：由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3，0)，所以|OQ |＝12|PF ′|. 若P 在双曲线的左支上，则|OQ |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |＋2a ) ＝12×(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.答案：1或53．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF →1·MF →2＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解：(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，所以12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，所以h ＝255.即M 点到x 轴的距离为255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．因为双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． 所以所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

2.3.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升1.已知平面上定点F1,F2及动点M.命题甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数);命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲乙,只有当0<m<|F1F2|时,其轨迹才是双曲线.答案B2.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为()A.y29−y27=1 B.y29−y27=1(y<0)C.y29−y27=1或y27−y29=1 D.y29−y27=1(y>0)解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,∴曲线方程为y29−y27=1(y<0),故选B.答案B3.已知双曲线y29−y2y2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=()A.9B.3C.16D.4解析∵双曲线y29−y2y2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9.∵m>0,∴m=4,故选D. 答案D4.如图,已知双曲线的方程为y2y2−y2y2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.答案B5.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为()A.y29−y216=1 B.y216−y29=1C.y29−y225=1 D.y225−y29=1解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3;∴b2=c2-a2=16.∴该双曲线的标准方程是y29−y216=1.故选A.答案A6.若曲线y2y +y2y-1=1表示双曲线,则k的取值范围是.解析依题意应有k(k-1)<0,解得0<k<1.答案(0,1)7.已知双曲线y2y2−y232=1(a>0)的一个焦点为F1(5,0),设另一个为F2,点P是双曲线上的一点,若|PF1|=9,则|PF2|=.(用数值表示)解析由题意知,双曲线y2y2−y232=1(a>0)的一个焦点为F1(5,0),∴c=5,又由a2=c2-b2=25-9=16,所以a=4,因为点P为双曲线上一点,且|PF1|=9,根据双曲线的定义可知||PF2|-|PF1||=2a=8,所以|PF 2|=17,或|PF 2|=1,故答案为17或1.答案17或18.经过点P (-3,2√7)和Q (-6√2,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 解析设双曲线方程为Ax 2-By 2=1(AB>0),则{9y -28y =1,72y -49y =1,解得A=-175,B=-125, 故双曲线的标准方程为y 225−y 275=1. 答案y 225−y 275=19.若k 是实数,试讨论方程kx 2+2y 2-8=0表示何种曲线.解当k<0时,曲线方程化为y 24−y 2-8y =1,表示焦点在y 轴的双曲线; 当k=0时,曲线方程化为2y 2-8=0,表示两条垂直于y 轴的直线;当0<k<2时,曲线方程化为y 28y +y 24=1,表示焦点在x 轴的椭圆; 当k=2时,曲线方程化为x 2+y 2=4,表示一个圆;当k>2时,曲线方程化为y 24+y 28y =1,表示焦点在y 轴的椭圆. 10.(选做题)双曲线y 2y 2−y 2y 2=1(a>0,b>0)满足如下条件:①ab=√3;②过右焦点F 的直线l 的斜率为√212,交y 轴于点P ,线段PF 交双曲线于点Q ,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.解如图所示,设右焦点F (c ,0),点Q (x ,y ),直线l :y=√212(x-c ).令x=0,得P (0,-√212y ). 由题意知yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴Q (23y ,-√216y ), 且Q 在双曲线上, ∴(23y )2y 2−(-√216y )2y 2=1.∵a 2+b 2=c 2,∴49(1+y 2y 2)−712(y 2y 2+1)=1, 解得y 2y 2=3或y 2y 2=-716(舍去). 又由ab=√3,得{y 2=1,y 2=3.∴所求双曲线方程为x 2-y 23=1.。

3.2双曲线的简单性质1.已知双曲线=1的一条渐近线为y=x,则实数a的值为()A. B.2 C. D.4解析:由题意,得,所以a=4.答案:D2.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于()A. B. C. D.解析:在△ABP中,由正弦定理知.答案:A3.已知双曲线=1(b>0)的离心率等于b,则该双曲线的焦距为()A.2B.2C.6D.8解析:设双曲线的焦距为2c,由已知得b,又c2=4+b2,解得c=4,则焦距为8.答案:D4.已知双曲线=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,]C.(,+∞)D.[,+∞)解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2.所以e=.答案:C5.已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则双曲线的方程为()A.x2-=1B.x2-y2=1C.=1D.-y2=1解析:由题意可得双曲线=1的一个焦点为(,0),所以c=,又?a=3,所以b2=c2-a2=1,故双曲线的方程为-y2=1,故选D.答案:D6.双曲线=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是.?解析:双曲线方程可变为=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=,又因为e∈(1,2),则1<<2,解得-12<k<0.答案:(-12,0)7.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,-1),则它的离心率为.?解析:由题意得,∴离心率e=.答案:8.导学号01844025过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为.?解析:双曲线的左焦点为F1(-2,0),将直线AB方程y=(x+2)代入双曲线方程,得8x2-4x-13=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|==3.答案:39.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)过点(3,-),离心率e=;(2)中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等,且过点P(4,-).解(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0).因为双曲线过点(3,-),则=1.①又e=,故a2=4b2.②由①②得a2=1,b2=,故所求双曲线的标准方程为x2-=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0).同理可得b2=-,不符合题意.综上可知,所求双曲线的标准方程为x2-=1.(2)由2a=2b,得a=b,所以e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点P(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.所以双曲线的标准方程为=1.10.导学号01844026已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.(1)解∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6,即=1.(2)证明由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴,=-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.故=-1,∴MF1⊥MF2,∴=0.(3)解△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴·|F1F2|·|m|=6.。

2.3.1 双曲线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2，0)、N (2，0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支D ．一条射线解析：由双曲线的定义知动点P 的轨迹是双曲线右支． 答案：C2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于( )A ．22B ．16C ．14D ．12解析：由双曲线定义知|PF 2|－|PF 1|＝6， 又|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，由两式得|PF 1|＝3， |PF 2|＝9，进而易得周长为22. 答案：A3．平面内动点P (x ，y )与A (－2，0)，B (2，0)两点连线的斜率之积为14，动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24＋y 2＝1(x ≠±2) D.x 24－y 2＝1(x ≠±2) 解析：依题意有k PA ·k PB ＝14，即y x ＋2·y x －2＝14(x ≠±2)，整理得x 24－y 2＝1(x ≠±2)．答案：D4．若k ∈R，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或k ＞－2D ．k ＞－2解析：由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.答案：A5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF →1·MF →2＝0，|MF →1|·|MF →2|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 答案：A 二、填空题6．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a ＞0，且焦点在x 轴上．根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1或a ＝－2(舍去)，故实数a ＝1. 答案：17．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：98．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________．答案：7或－2 三、解答题9．双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b2＝1，②解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1.(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，C ＝3. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4， 平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.①在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.② 由①②得mn ＝203，所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin 120°＝533.10．如图，已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， 所以|MC 1|－|MC 2|＝22， 又C 1(－4，0)，C 2(4，0)， 所以|C 1C 2|＝8.所以22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4，0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． 因为a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14. 所以点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2)． B 级 能力提升1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞1C ．k ＜－1D ．k ＞1或k ＜－1答案：A2．已知曲线x 2－y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|＋|PF 2|＝________．解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(22)2＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4.所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.所以|PF1|＋|PF2|＝2 5答案：2 53．已知双曲线的方程为x2－y24＝1，如图，点A的坐标为(－5，0)，B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：设点D的坐标为(5，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，5)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝10－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10＋1.。

2.2.1 双曲线及其标准方程[学生用书P105(单独成册)])[A 基础达标]1．已知平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：选D.由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16. 故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，0. 3．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D ．y 23－x 24＝1解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1.4．(2019·绍兴高二检测)已知双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1上有一点M 到Γ的右焦点F 1(34，0)的距离为18，则点M 到Γ的左焦点F 2的距离是( )A ．8B ．28C ．12D ．8或28解析：选D.因为双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1的右焦点F 1(34，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：x 225－y 29＝1.根据双曲线的定义，可知||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝10，又|MF 1|＝18，则|MF 2|＝8或28.故选D.5．(2019·邯郸高二检测)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1 C.12D ．2解析：选A.易知F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 不妨设P (x 0，y 0)(x 0，y 0>0)， 由12×2c ×y 0＝1，得y 0＝55， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2305，55，所以PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫5－2305，－55，所以PF 1→·PF 2→＝0.6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)， 将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15.所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为（4－3）2＋（±15）2＝4. 答案：48．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4， 可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 39．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.10．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解：(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2， 故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12×32＝16.[B 能力提升]11．(2019·保定检测)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|， 所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.12．(2019·西安高二检测)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为点A ，B ，线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.连接QF 1，QF 2.因为线段MN 的中点为Q ，点F 2为MB 的中点，所以|QF 2|＝12|BN |，同理可得|QF 1|＝12|AN |.因为点Q 在双曲线C 的右支上，所以|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以12(|AN |－|BN |)＝2a ，所以12×12＝2a ，解得a ＝3.故选A.13．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，①所以c 2＝8－2＝6.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2.设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a2＝1(0＜a 2＜6)．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23.由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形， 其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝83 a 2（6－a 2）≤83·a 2＋（6－a 2）2＝8， 当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号． 所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1. 14．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

2.2.1 双曲线及其标准方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点的只有A 、D 两项，又因为Q 点在x 22－y 2＝1上．故应选A. 答案：A2．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1， 又由中点坐标公式可得P (5，4)， ∴5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1. 答案：B3．(2015·高考福建卷)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3解析：由题意知a ＝3，b ＝4，c ＝5，由双曲线定义知，|||PF 1|－|PF 2|＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9答案：B4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14 B.35 C.34 D.45解析：双曲线的方程为x 22－y 22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2， 因为|PF 1|＝2|PF 2|， 所以点P 在双曲线的右支上， 则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， 所以根据余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝22＋22－162×22×42＝34. 答案：C5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( ) A.32 B.62C. 3D. 6 解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4＋2|PF 1||PF 2|， 由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°， 又∵a ＝1，b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝2， ∴|F 1F 2|＝2c ＝22，∴4＋2|PF 1||PF 2|－8＝|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4， 设P 到x 轴的距离为|y 0|，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12|F 1F 2||y 0|， ∴12×4×32＝12×22|y 0|， ∴y 0＝32＝62. 故选B. 答案：B6．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． 解析：方程化为标准形式是y 2－8k－x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，即k ＝－1. 答案：－17．若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________．解析：根据焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，得满足题意的m 需满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1，∴m ＞5，∴m 的取值范围为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)8．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________． 解析：由x 29－y 216＝1知c ＝5，∴|F 1F 2|＝2c ＝10， 由双曲线定义知， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝6＋|PF 2|＝16，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝256＋100－1002×16×10＝45.∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16×10×35＝48.答案：489．动圆M 与两定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x －24＝0都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：将圆的方程化成标准式：F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1， F 2：(x －5)2＋y 2＝72，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝7.由于动圆M 与定圆F 1，F 2都外切， 所以|MF 1|＝r ＋1，|MF 2|＝r ＋7， ∴|MF 2|－|MF 1|＝6，∴点M 的轨迹是双曲线的左支，且焦点F 1(－5,0)，F 2(5，0)， ∴c ＝5，且a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x <0)．10．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积； (2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？ 解析：(1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13. 设|MF 1|＝r 1， |MF 2|＝r 2(r 1>r 2)． 由双曲线定义， 有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°.在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2， 解得r 1r 2＝36.求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.[B 组 能力提升]1．“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由mn <0⇔m <0，n >0或m >0，n <0，所以mx 2＋ny 2＝1表示焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上的双曲线； 而mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴的双曲线则有m >0，n <0， 故mn <0. 故应选B. 答案：B2．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26解析：由题意结合双曲线定义得|AF 2|＝2a ＋|AF 1|， |BF 2|＝2a ＋|BF 1|. 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5,2a ＝8，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋4a ＋|AB |＝16＋2|AB |＝26. 答案：D3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有共同的焦点F 1，F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 解析：如图，由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝4m .① 由双曲线定义知， |PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a ，②①－②得，|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 答案：m －a4．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32， 2)，求双曲线C 的方程． 解析：(1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8， ∵12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.5．在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．解析：∵△MPN 的周长为48，且tan ∠P MN ＝34，∴设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ， 则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48得k ＝4.∴|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示． 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由|PM |－|PN |＝4得2a ＝4，a ＝2，a 2＝4. 由|MN |＝20得2c ＝20，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝96. ∴所求双曲线方程为x 24－y 296＝1(x ≠±2)．。