第27章_相似三角形总复习课
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第27章《相似三角形》总复习页数:36
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《第27章相似三角形》复习(教学设计)页数:5
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第27章 相似 全章教案页数:19
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第27章_相似三角形测试题(人教版)页数:2
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第27章相似三角形全章教案(共10份)页数:24
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第27章《相似三角形》复习课
等）
最好能由学生回答： 由于不易确定 AF 与△ABE 中的其他线
段的比例关系，
活动概述
故选择思路①。
由于∠AEB=∠FEA，故只需证∠EAF=∠EBA 或 者 证 另 外 一 对 角相等。
以下先试一试证明∠EAF=∠EBA，（教师启发：联系题目条件， 可以把求证∠EAF=∠EBA 转化成求证什么？
A
⑴证明△AEF 与△ABE 相似。
⑵猜一猜 BD、AD、DF 有什么关
系？请证明你的猜想
E F
B
C
D
技术资源 常规资源
PPT，投影 黑板、讲学稿
图⑩
教师引导学生共同探讨思路，注重分析，教师画分析图：
⑴分析: 要证明△AEF 与△ABE 相似
只需要证明
或者
（①两组对应角分别相等，②两组对应边分别成比例夹角相
教学管 理(10 分）
适度，有利于教学目标的实现；课堂环节效果落实。（10 分） 能有效地组织和开展学生的独立思考、合作交流活动，培养学生自主、 合作、探究学习的态度和习惯；对突发情况处理及时、恰当，能根据 反馈信息及时调整教学活动。（10 分）
1.达到预期目标：时间利用有效，落实教学任务，不同层次学生 语文学科收获大。（10 分）
略
题，达到学以致用的目的。
反馈评价 很好
教学活动 3：典型例题
活动目标 解决问题
此题是探索结论题，体现了层次性，逐步加深、加难，通过对结论
的探索复习全等与相似的判定，培养学生的合作意识，推理能力及
几何语言的表达能力.)
如图⑩，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，
且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 F.
第27章《相似三角形》复习课
第27章《相似三角形》复习课相似三角形是中学数学中的一个重要概念，它与三角形的形状以及边长的比值有关。
在本章的复习课中，我们将回顾相似三角形的定义、性质以及相关的解题方法。
通过本节课的学习，我们将进一步巩固对相似三角形的理解，提高解题的能力。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形在形状上相似的性质。
对于两个三角形来说，若它们的对应角相等，对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，若有三角形ABC与三角形DEF，若它们的角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE的比值等于边AC与边DF的比值，边BC与边EF的比值等于边AC与边DF的比值，则这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边比值相等。
在相似三角形中，对应边的比值相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似三角形的对应角相等。
在相似三角形中，对应角是相等的，即角A=角D，角B=角E，角C=角F。
3. 相似三角形的对应高线比值相等。
在相似三角形中，对应高线的比值等于边长比值的倒数，即h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
三、相似三角形的解题方法在解题过程中，我们常常需要运用相似三角形的性质来求解未知量。
下面是几个常见的解题方法：1. 利用相似三角形的边长比值。
当我们已知一个三角形的边长比值，并且两个三角形是相似的时候，我们可以利用这个比值来求解另一个三角形的边长。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知AB/DE = 2/3，AC/DF = 4/5，我们可以利用这些已知比值来计算出BC与EF的比值。
如此一来，我们就可以通过已知的EF的长度，求出BC的长度。
2. 利用相似三角形的角度比值。
当我们已知一个三角形的角度比值，并且两个三角形是相似的时候，我们可以利用这个比值来求解另一个三角形的角度。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知∠A/∠D = 2/3，∠B/∠E = 4/5，我们可以利用这些已知比值来计算出∠C与∠F的比值。
九年级数学《相似-复习课》教案
《第27章相似》复习课教学设计1.教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第27章相似的全章复习。
2.知识背景分析本章隶属于“空间与图形”领域，本章共有三节内容第1节图形的相似主要介绍相似图形，相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质；第2节相似三角形主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用及相似三角形的周长和面积；第3节位似研究了一种特殊的相似－位似，研究了位似图形的画法及平面直角坐标系中的位似变化。
本节课是在学习前三节的基础上进行的，通过对一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。
3.学情背景分析教学对象是九年级学生，学生的逻辑思维能力得到了一定的发展。
本章正处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高阶段，要求学生能熟练运用综合法证明命题，熟悉探索法德推理过程，因此在教学中要注意多帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧，新旧结合。
要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知，简单与复杂，特殊与一般在一定的条件下可以转换的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法。
通过小结对于学生推理证明的训练，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
4.学习目标4.1知识与技能目标（1）通过复习,梳理本章知识,构建知识网络.（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边的比的平方。
（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，使学生综合运用图形的相似解决一些实际问题。
（5）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化特点。
4.2过程与方法目标经历小结的过程，使学生学会建立本章的知识结构图。
九年级数学下册第27章《相似》复习课教学设计
（2）运用实际问题，激发学生学习兴趣，提高学生将相似知识应用于实际情境的能力；
（3）采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学步骤：
第一步：复习相似图形的基本概念，引导学生总结相似图形的性质；
第二步：通过典型例题，讲解相似三角形的判定方法，并让学生进行练习；
第三步：引入实际问题，让学生运用相似三角形解决高度、角度等问题；
4.引导学生关注相似在实际生活中的应用，培养学生的应用意识和创新精神，使其认识到数学在现实生活中的重要性。
总字数：1005字
本教学设计针对九年级数学下册第27章《相似》复习课，围绕相似图形的概念、性质、判定及应用展开，旨在帮助学生巩固相似知识，提高解决问题的能力，培养学生的数学素养。在教学过程中，注重理论与实践相结合，充分调动学生的积极性，引导学生在合作探究中提高数学思维能力。
（3）小组合作：评价学生在小组合作中的表现，包括团队协作、沟通交流等；
（4）课后反馈：了解学生对本节课知识的掌握情况，针对学生反馈进行教学调整。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的相似图形，如建筑物的立面、摄影作品中的景物等，引导学生观察并思考这些图形之间的关系。
2.提问：“同学们，你们知道这些图形有什么共同特点吗？”通过这个问题，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似图形的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）相似三角形的性质和判定在实际问题中的灵活运用；
（2）相似多边形的性质和应用；
（3）相似关系在函数图像中的应用。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生自主探索相似图形的性质和判定方法，培养学生的自主学习能力；
（3）采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学步骤：
第一步：复习相似图形的基本概念，引导学生总结相似图形的性质；
第二步：通过典型例题，讲解相似三角形的判定方法，并让学生进行练习；
第三步：引入实际问题，让学生运用相似三角形解决高度、角度等问题；
4.引导学生关注相似在实际生活中的应用，培养学生的应用意识和创新精神，使其认识到数学在现实生活中的重要性。
总字数：1005字
本教学设计针对九年级数学下册第27章《相似》复习课，围绕相似图形的概念、性质、判定及应用展开，旨在帮助学生巩固相似知识，提高解决问题的能力，培养学生的数学素养。在教学过程中，注重理论与实践相结合，充分调动学生的积极性，引导学生在合作探究中提高数学思维能力。
（3）小组合作：评价学生在小组合作中的表现，包括团队协作、沟通交流等；
（4）课后反馈：了解学生对本节课知识的掌握情况，针对学生反馈进行教学调整。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的相似图形，如建筑物的立面、摄影作品中的景物等，引导学生观察并思考这些图形之间的关系。
2.提问：“同学们，你们知道这些图形有什么共同特点吗？”通过这个问题，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似图形的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）相似三角形的性质和判定在实际问题中的灵活运用；
（2）相似多边形的性质和应用；
（3）相似关系在函数图像中的应用。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生自主探索相似图形的性质和判定方法，培养学生的自主学习能力；
九年级数学27章相似三角形复习课件人教版
相似三角形的判定方法有AA、 SAS、SSS等，而全等三角形的判 定方法有SSS、SAS、ASA、AAS 等。
性质
相似三角形和全等三角形都具有一 些共同的性质，如对应角相等、对 应边成比例等。
相似三角形与全等三角形的应用举例
相似在生活中的应用
在日常生活中，我们经常遇到一些形状相同但大小不同的 物体或图形，这些都可以用相似三角形的知识来解决。
对应边成比例
如果两个三角形对应的边成比例 ，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形的对应角相等。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{CD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{EF}$。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长的比的平方，即 $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2$。
由于相似三角形的对应角相等，我们可以利用这一性质来求解角度。
相似三角形对应角相等定理的应用
通过相似三角形的对应角相等定理，我们可以将一个三角形的角度问题转化为 另一个相似三角形的角度问题，从而求解。
利用相似三角形求边长
相似三角形的边长比例
相似三角形的对应边长之间的比例是相等的，我们可以利用这一性质来求解边长 。
解题思路
利用相似三角形的性质，通过测 量可直接测量的物体的高度或宽 度，推算出不可直接测量的物体
的高度或宽度。
具体步骤
首先确定两个相似三角形，然后 根据相似三角形的性质计算出不 可直接测量的物体的高度或宽度
。
巩固练习：利用相似三角形解决实际问题
实际问题2
计算建筑物之间的距离。
性质
相似三角形和全等三角形都具有一 些共同的性质，如对应角相等、对 应边成比例等。
相似三角形与全等三角形的应用举例
相似在生活中的应用
在日常生活中，我们经常遇到一些形状相同但大小不同的 物体或图形，这些都可以用相似三角形的知识来解决。
对应边成比例
如果两个三角形对应的边成比例 ，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形的对应角相等。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{CD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{EF}$。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长的比的平方，即 $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2$。
由于相似三角形的对应角相等，我们可以利用这一性质来求解角度。
相似三角形对应角相等定理的应用
通过相似三角形的对应角相等定理，我们可以将一个三角形的角度问题转化为 另一个相似三角形的角度问题，从而求解。
利用相似三角形求边长
相似三角形的边长比例
相似三角形的对应边长之间的比例是相等的，我们可以利用这一性质来求解边长 。
解题思路
利用相似三角形的性质，通过测 量可直接测量的物体的高度或宽 度，推算出不可直接测量的物体
的高度或宽度。
具体步骤
首先确定两个相似三角形，然后 根据相似三角形的性质计算出不 可直接测量的物体的高度或宽度
。
巩固练习：利用相似三角形解决实际问题
实际问题2
计算建筑物之间的距离。
第27章_相似_复习课件讲解
课本48页例题
相似三角形应用举例
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。 （2） 测距（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三 角形求解。
第34课 图形的相似
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
[注意] (1)全等三角形是相似比为 1 的相似三角形；全等的两个 三角形一定相似；相似的两个三角形不一定全等．(2)相似比是有顺 序的，若△ABC 与△A′B′C′的相似比为 k，则△A′B′C′与 △ABC 的相似比为k1.
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
(1)请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由； (2)若AD＝1，BC＝2，求AB的长．
解 (1)相似，理由如下： ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∠AED＋∠BEC＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC. 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 考点攻略
方法技巧 利用相似三角形的性质可以证明比例式、等积式及角相等，也 可以计算线段的长度．解题时要恰当地选择比例式，通常情况下待 求的边应该出现在选择的比例式中．
数学·新课标（RJ）
第34课 图形的相似
变式测试2 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且CE⊥DE.
(2)∵△ADE∽△BEC，
∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝½AB，
人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形基本型复习课
活动二
学生展示所画图形
教师总结展示基本型：
相似三角形中常见基本型：
（1）“A”型
1②
1正“A”型
条件：DE∥BC，结论：
或条件： = ，结论：
②反“A”型
条件：∠1=∠B，结论：
或条件： = ，结论：
（2）“8”字型
1②
1正“8”型
条件：AB∥DE(∠A=∠E)，结论：
或条件： = ，结论：
2反“8”型
条件：∠A=∠D(∠B=∠E)，结论：
或条件： = ，结论：
（3）“M”型
条件：∠A=∠C=∠EBD，结论：
连结DE，若∠A=∠C=∠EBD且AB=CB，结论：
（4）射影型
条件：∠BAC=90°，AD⊥BC，
结论：
活动三：基本练习
活动四：提高练习
学后反思：
备注
九年级数学导学案
课题：相似三角形基本型复习课
课型：复习
主备：审核：授课时间：班级：姓名：
【学习目标】掌握形似图形中常见基本型，利用基本型求线段关系．
【重 点】辅助线构建基本型
【难 点】辅助线构建基本型
活动一
要求：
1、请在练习本上画出你熟悉的相似三角形中的基本型，并添加适当条件使其相似。
2、组内合作交流，相互补充
学生展示所画图形
教师总结展示基本型：
相似三角形中常见基本型：
（1）“A”型
1②
1正“A”型
条件：DE∥BC，结论：
或条件： = ，结论：
②反“A”型
条件：∠1=∠B，结论：
或条件： = ，结论：
（2）“8”字型
1②
1正“8”型
条件：AB∥DE(∠A=∠E)，结论：
或条件： = ，结论：
2反“8”型
条件：∠A=∠D(∠B=∠E)，结论：
或条件： = ，结论：
（3）“M”型
条件：∠A=∠C=∠EBD，结论：
连结DE，若∠A=∠C=∠EBD且AB=CB，结论：
（4）射影型
条件：∠BAC=90°，AD⊥BC，
结论：
活动三：基本练习
活动四：提高练习
学后反思：
备注
九年级数学导学案
课题：相似三角形基本型复习课
课型：复习
主备：审核：授课时间：班级：姓名：
【学习目标】掌握形似图形中常见基本型，利用基本型求线段关系．
【重 点】辅助线构建基本型
【难 点】辅助线构建基本型
活动一
要求：
1、请在练习本上画出你熟悉的相似三角形中的基本型，并添加适当条件使其相似。
2、组内合作交流，相互补充
《第27章相似三角形》复习(教学设计)教学文案
《第27章相似三角形》复习(教学设计)《第27章相似》复习一、诱导复习1.导入课题通过对本章的学习，你学习了哪些知识？它们之间有何关联？重点是什么？如何运用这些知识解决问题呢？（板书课题）2.复习目标（1）疏通本章知识，弄清知识脉络.（2）进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，并能运用这些判定和性质解决一些相应的问题.（3）知道什么是位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，知道位似变换的点的坐标变化规律.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定和性质、位似图形的性质.难点：相似三角形的判定和性质的应用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：教材P24~P59.（2）复习时间：10分钟.（3）复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识.（4）复习参考提纲:①形状相同的两个图形，叫做相似图形, 当相似比等于1时，这两个图形全等 .相似多边形的对应角相等，对应边成比例 .②相似三角形有哪些判定方法？又有哪些性质？......abc⎧⎪⎨⎪⎩三边成比例的两个三角形相似判定方法两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似....ab⎧⎨⎩相似三角形对应线段的比等于相似比性质相似三角形面积的比等于相似比的平方③什么叫位似？位似与相似有何关系？位似变换的点的坐标有何规律？两个图形相似且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标是（kx,ky）或（-kx,-ky）.④试画本章知识结构框图.2.自主复习：学生参考复习指导进行复习.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：明了学生对本章知识的掌握情况.②差异指导：指导学生画知识结构框图，理顺知识脉络.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化复习：师生互动梳理知识，画知识结构框图.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析、考点跟踪.（2）复习时间：12分钟.（3）复习方法：小组交流协作.（4）复习参考提纲:①如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论错误的是（C）A.BH AHHC HD= B.AD BCDF CE= C.HC HDHE DF= D.AF BEDF CE=第①题图第②题图第③题图②如图，AC⊥BC,∠ADC=90°，∠1=∠B,若AC=5，AB=6，求AD的长. ∵AC⊥BC,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠1=∠B,∴△ADC∽△ACB.∴AD AC AC AB=,即556AD=,解得 AD=256.③如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个④如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，求证：AD·AE=AB·AC.∵AE是直径,AD⊥BC,∴∠ABE=∠ADC=90°,又∵∠E=∠C,∴△ADC∽△ABE.∴AD ABAC AE=,即AD·AE=AB·AC.⑤如图，小明为测量学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF=1.2 m，树干高CH=0.9 m，A点距墙根G 1.5 m，C点距墙根G 4.5 m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮小明计算出小树CD的高.∵FG∥DC,∴△BFE∽△BDH.∴FE AG DH AC=.即12151545....DH=+,解得 DH=4.8（m）.∴CD=CH+HD=0.9+4.8=5.7(m).即小树CD的高为5.7 m.2.自主复习：学生参考复习指导进行复习.3.互助复习(1)师助生：①明了学情：明了学生复习参考提纲的解题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：同桌之间交流、研讨.4.强化复习：相似三角形的判定和性质的应用.三、评价1.学生学习的自我评价：在这节课的学习中，你有哪些新的认识和收获？掌握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度，积极主动性，小组交流协作情况及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时是全章的复习课，教学时先由师生共同回顾本章的知识，建立全章的知识框架图，然后由学生提出有关疑问，教师予以解答.本章的核心是相似三角形的判定以及相似三角形的有关性质.在相似三角形的判定定理证明中，因为涉及了构造全等三角形作为中介，学生不太习惯，所以在进行本章复习时应注意引导学生进行针对性训练，并分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服学习困难.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（C ）A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④2.(10分)如图, 小李打网球时, 球恰好打过网, 且落在离网4 m 的位置上, 则球拍击球的高度h 为(D)A.0.6 mB.1.2 mC.1.3 mD.1.4 m3.(10分)在平面直角坐标系中，△ABC 顶点A 的坐标为（2，3），若以原点O 为位似中心，画△ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比等于12，则点A′的坐标为331122,⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或，. 4.(20分)李华要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要支付180元的广告费,如果她要把版面的边长扩大为原来的3倍，要支付多少广告费？（假设单位面积广告费相同）解：将边长扩大3倍后，面积扩大为原来的9倍.所以要支付广告费：180×9=1620（元）.5.(20分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F.求证：（1）△ACB ∽△DCE ；（2）EF ⊥AB.证明：（1）∵32AC BC DC EC ==,∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB∽△DCE.(2)∵△ACB∽△DCE,∴∠B=∠E,又∵∠E+∠CDE=90°,∠BDF=∠CDE,∴∠B+∠BDF=90°,∴∠BFD=90°,即EF⊥AB.二、综合应用（20分）6.(20分)如图, △ABC是一张锐角三角形的硬纸片, AD是边BC上的高, BC＝40 cm, AD＝30 cm, 从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上, 顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG 的交点为M.求这个矩形EFGH的周长.解：设HE为x,则HG为2x.∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC,∴△AHG∽△ABC，∴HG AMBC AD=,即2304030x x-=,解得x=12.∴矩形EFGH的周长为（12+2×12）×2=72(cm).三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E.（1）求证：△DEC∽△AEB；（2）当∠AED＝60°时，求△DEC与△AEB的面积比.（1）证明∵∠BDC=∠BAC,∠DEC=∠AEB,∴△DEC∽△AEB.（2）解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∵∠AED＝60°，∴∠DAC＝30°，∴12 DEAE=,∴14DECAEBSS∆∆=.。
九年级数学下册第27章《相似》复习课优秀教学案例
九年级数学下册第27章《相似》复习课优秀教学案例
一、案例背景
九年级数学下册第27章《相似》复习课，是我作为一名特级教师所设计的优秀教学案例的背景。本节课是在学生已经掌握了相似三角形的性质和判定方法的基础上进行的一次复习课。在教学过程中，我发现学生在理解和运用相似三角形知识时存在一定的困难，他们往往不能很好地将理论知识与实际问题相结合，因此在复习时需要有针对性地进行教学设计。
针对这一情况，我制定了以“激发兴趣、巩固知识、提高能力”为核心的教学目标。在教学过程中，我注重引导学生通过自主学习、合作交流和探究实践，深入理解相似三角形的性质和判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。同时，我还注重培养学生的数学思维能力和创新意识，使他们在复习过程中能够形成系统化的知识结构，提高解决问题的能力。
2.运用合作交流的教学方式，让学生在小组讨论中分享学习心得，提高他们的合作意识和团队精神。
3.创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生提出问题、分析问题、解决问题，培养他们的解决问题能力和创新意识。
4.利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助他们在直观的动画和图片中更好地理解和掌握相似三角形的性质和判定方法。
（三）情感态度与价值观
在教学过程中，我注重培养学生的情感态度与价值观，设定了以下目标：
1.使学生认识到数学在生活中的重要性，激发他们对数学学习的兴趣和热情。
2.通过解决实际问题，让学生体验到数学知识的实用价值，提高他们的数学应用意识。
3.培养学生勇于探究、积极向上的学习态度，使他们能够在面对困难时保持积极的心态，勇于挑战。
（一）知识与技能
在本次九年级数学下册第27章《相似》复习课中，我作为一名特级教师，设定了以下知识与技能目标：
1.帮助学生回顾和巩固相似三角形的性质和判定方法，使他们在理解的基础上能够熟练掌握和运用。
一、案例背景
九年级数学下册第27章《相似》复习课，是我作为一名特级教师所设计的优秀教学案例的背景。本节课是在学生已经掌握了相似三角形的性质和判定方法的基础上进行的一次复习课。在教学过程中，我发现学生在理解和运用相似三角形知识时存在一定的困难，他们往往不能很好地将理论知识与实际问题相结合，因此在复习时需要有针对性地进行教学设计。
针对这一情况，我制定了以“激发兴趣、巩固知识、提高能力”为核心的教学目标。在教学过程中，我注重引导学生通过自主学习、合作交流和探究实践，深入理解相似三角形的性质和判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。同时，我还注重培养学生的数学思维能力和创新意识，使他们在复习过程中能够形成系统化的知识结构，提高解决问题的能力。
2.运用合作交流的教学方式，让学生在小组讨论中分享学习心得，提高他们的合作意识和团队精神。
3.创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生提出问题、分析问题、解决问题，培养他们的解决问题能力和创新意识。
4.利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助他们在直观的动画和图片中更好地理解和掌握相似三角形的性质和判定方法。
（三）情感态度与价值观
在教学过程中，我注重培养学生的情感态度与价值观，设定了以下目标：
1.使学生认识到数学在生活中的重要性，激发他们对数学学习的兴趣和热情。
2.通过解决实际问题，让学生体验到数学知识的实用价值，提高他们的数学应用意识。
3.培养学生勇于探究、积极向上的学习态度，使他们能够在面对困难时保持积极的心态，勇于挑战。
（一）知识与技能
在本次九年级数学下册第27章《相似》复习课中，我作为一名特级教师，设定了以下知识与技能目标：
1.帮助学生回顾和巩固相似三角形的性质和判定方法，使他们在理解的基础上能够熟练掌握和运用。
初中九年级数学下册人教版第27章_相似三角形总复习课ppt课件
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？ A A
Q Q
B
P
C
B
P
C
例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 (这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、 标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出 工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：——；
C
∟
A
B
D
例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证：2ED DM=AD CD。
F E CD
M
证法一：要证2ED DM AD CD成立，应把 积的形式转化成比例式（还应考虑系数2），
2ED CD , 要得出2ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE, 又知CE DE EF , 可得CDF是Rt, 由条件得 AMD∽ FCD,结论成立。 A
4
A OB
AOC ∽ ABP，
x
AO
2
S AOC
4
S ABP
9
AB
S ABP
9
AO 2 AB 6 P2，3
AB 3
2 设点R与点P在同一个反比例函数图象上，且点R
在直线PB的右侧，作RT x轴，T为垂足，当BTR 与AOC相似时，试求R点的坐标．
第27章 相似 总复习
一、相似图形的定义、实质、及性质
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 2.相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质： ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比. ③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
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A
D O B
E
C
3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它 们的相似比是_______对应边上的高的比是 3：5 _________，周长之比是___________。 3：5 3：5 4、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的 A 1：√2 相似比是_______
例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证： 2ED DM=AD CD。
证法一：要证2 ED DM AD CD成立，应把 积的形式转化成比例式（还应考虑系数2）， 2 ED CD , 要得出2 ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE , 又知CE DE EF , 可得CDF是Rt , 由条件得 AMD∽FCD, 结论成立。 A 证法二：过点E作EGCD，根据等腰三角形的 2 ED AD 性质，得CD 2 DG , 只需证明 即 CD DM ED AD ,由题易证得DEG ∽ DAM， DG DM A 故结论成立。
1 S AOC 4 2 4 2 AOC ∽ ABP， x S ABP 9 4 9
2 设点R与点P在同一个反比例函数图 ，且点R 象上
在直线PB的右侧，作RT x轴，T为垂足，当BTR 与AOC相似时，试求R点的坐标．
y
P
C
R
B T
A
O
x
6 2 反比例函数，由P2，得，y 3 x
D B
E C
5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
A
D
E
B
C F
练习
6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中 点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形 A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四 2 a 边形AnBnCnDn的面积为 。
一、相似图形的定义、实质、及性质
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 2.相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做
相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相 似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质： ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比. ③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
2
n
7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四周 修筑小路: (1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成 的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由
A` A x D` D
B` x B x C C`
A` y D`
B` A x D x B y C C`
x
(2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽x与y 的比值为多少时,能使小路四周所围成矩形和矩形 ABCD相似?请说明理由.
N
G
F
A
D
HE B
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90 ，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。
。
C G F
A
D
E
B
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90 ，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的 两个相等的正方形，它们组成的 矩形内接与⊿ABC，求正方形的 边长
F C M E C
G
E D
D
M
例3.如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P
从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA; ② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与 A ⊿ABC相似？ A Q B P C Q B P C
4.相似三角形
三个对应角相等、三条对应边成比例的两个
三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的 比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). 5.相似三角形性质： ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
2
C D AE
(1)由题意知，易得ABC ∽ADE,得y与x 的函数关系式。 5 y x0 x 10 13 B (2)ABC ∽ ADE
x y DE xy DE 2 , , 2 36 24 260 24 AD, AE的长恰好是方程t 2 6t a 0的两个根， 65 DE 4, a 9
例5 如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运 动（不运动至点A），过点D作DE AB，设AD=x，AE=y。（1）求 y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到 AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程
t 6t a 0 的两个根，求DE的长和 a的值。
E P
E
P
F
F
B
H
D
G
B C
M H
D
N G
C
变 一 变
有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形， 如图（1）所示，已知∠A=90°，AB=8cm， BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方 形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉 A 得哪种方案更好，为什么？
A
E
F
甲
N
B
B C
H
E
A
M G
8如图， ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为( C )
1 A 3
B
A
1 5
F
C
E
1 6
D
D
1 8
B
C
9.已知,AB∥CD∥EF， （1）图中有几对相似的三角形？ （2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？
10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。 你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全 等三角形除外）
B
5
5 2 5
C1(5，2)
2
O
1A
x
例3、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域， 使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建 造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中 DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求 (1)三角形AB边上的高线CH。 (2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。 (3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大， 最大为多少？ C
。
C G F
A G
A D
D
CEBiblioteka BHFK E B
C
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的 两个相等的正方形，它们组成的 矩形内接与⊿ABC，求正方形的 边长 （3）如图3，三角形内有并排的 三个相等的正方形，它们组成的 矩形内接于⊿ABC，求正方形的 边长。
G A
G A D
F
DC E
H F
B
K E B C
A
B
C
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3， （4）如图4，三角形内有并排的 个正方形，它们组成的矩形内节 于⊿ABC，请写出正方形的边长。
2.定理
三边对应成比例的两个三角形相似. 3.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两 个三角形相似; 4.定理 有两个角对应相等的两个三角形相 似
基本图形
D B D B D
A E A E A C C
B C E D
A
D
E B
C
A
C
B
三、相似图形的特例图形的位似
1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点
设R(x，y) ①当BRT ∽ AOC时
AO BT OC RT
②当BRT ∽ CAO时
AO RT OC BT
x 13 1 13 1 ， 13 1 R 13 1 y 2 2
4 x2 2 y
4 y 2 x2
A D
M
要证DM EM，需利用中间比过渡，由DE // BC ,
E
DM AD 推得ADM ∽ ABN , 得 BN AB AD DE DE EP EP ME 同理可证 , , AB BC BC PB PB BN
P B
N
DM ME , DM ME C BN BN
同理可证：BN=NC
C
如图（1）
乙
H
B
G
C
拓 如图，直线 y 1 x 2分别交x、y轴于点 2 展
A、C，P是该直线上在第一象限 内一点， PB x轴，B为垂足，S ABP 9．
y
P
C
1 求点P的坐标；
A
O B
x
y
A 4， C0， 0， 2
P
C A O
2
B
S AOC AO S ABP AB AO 2 AB 6 P2， 3 AB 3
多 边 形 的 性 质
图 形 的 放 大 与 缩 小
练习
1,如图,添加一个条件,使则
△ABC∽△AED,则这条件可以 是
D O B
E
C
3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它 们的相似比是_______对应边上的高的比是 3：5 _________，周长之比是___________。 3：5 3：5 4、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的 A 1：√2 相似比是_______
例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证： 2ED DM=AD CD。
证法一：要证2 ED DM AD CD成立，应把 积的形式转化成比例式（还应考虑系数2）， 2 ED CD , 要得出2 ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE , 又知CE DE EF , 可得CDF是Rt , 由条件得 AMD∽FCD, 结论成立。 A 证法二：过点E作EGCD，根据等腰三角形的 2 ED AD 性质，得CD 2 DG , 只需证明 即 CD DM ED AD ,由题易证得DEG ∽ DAM， DG DM A 故结论成立。
1 S AOC 4 2 4 2 AOC ∽ ABP， x S ABP 9 4 9
2 设点R与点P在同一个反比例函数图 ，且点R 象上
在直线PB的右侧，作RT x轴，T为垂足，当BTR 与AOC相似时，试求R点的坐标．
y
P
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B T
A
O
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6 2 反比例函数，由P2，得，y 3 x
D B
E C
5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
A
D
E
B
C F
练习
6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中 点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形 A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四 2 a 边形AnBnCnDn的面积为 。
一、相似图形的定义、实质、及性质
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 2.相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做
相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相 似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质： ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比. ③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
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n
7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四周 修筑小路: (1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成 的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由
A` A x D` D
B` x B x C C`
A` y D`
B` A x D x B y C C`
x
(2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽x与y 的比值为多少时,能使小路四周所围成矩形和矩形 ABCD相似?请说明理由.
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练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90 ，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。
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练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90 ，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的 两个相等的正方形，它们组成的 矩形内接与⊿ABC，求正方形的 边长
F C M E C
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例3.如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P
从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA; ② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与 A ⊿ABC相似？ A Q B P C Q B P C
4.相似三角形
三个对应角相等、三条对应边成比例的两个
三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的 比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). 5.相似三角形性质： ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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C D AE
(1)由题意知，易得ABC ∽ADE,得y与x 的函数关系式。 5 y x0 x 10 13 B (2)ABC ∽ ADE
x y DE xy DE 2 , , 2 36 24 260 24 AD, AE的长恰好是方程t 2 6t a 0的两个根， 65 DE 4, a 9
例5 如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运 动（不运动至点A），过点D作DE AB，设AD=x，AE=y。（1）求 y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到 AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程
t 6t a 0 的两个根，求DE的长和 a的值。
E P
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变 一 变
有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形， 如图（1）所示，已知∠A=90°，AB=8cm， BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方 形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉 A 得哪种方案更好，为什么？
A
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B C
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8如图， ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为( C )
1 A 3
B
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1 8
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9.已知,AB∥CD∥EF， （1）图中有几对相似的三角形？ （2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？
10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。 你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全 等三角形除外）
B
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5 2 5
C1(5，2)
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1A
x
例3、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域， 使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建 造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中 DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求 (1)三角形AB边上的高线CH。 (2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。 (3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大， 最大为多少？ C
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A G
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CEBiblioteka BHFK E B
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练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的 两个相等的正方形，它们组成的 矩形内接与⊿ABC，求正方形的 边长 （3）如图3，三角形内有并排的 三个相等的正方形，它们组成的 矩形内接于⊿ABC，求正方形的 边长。
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DC E
H F
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K E B C
A
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练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3， （4）如图4，三角形内有并排的 个正方形，它们组成的矩形内节 于⊿ABC，请写出正方形的边长。
2.定理
三边对应成比例的两个三角形相似. 3.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两 个三角形相似; 4.定理 有两个角对应相等的两个三角形相 似
基本图形
D B D B D
A E A E A C C
B C E D
A
D
E B
C
A
C
B
三、相似图形的特例图形的位似
1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点
设R(x，y) ①当BRT ∽ AOC时
AO BT OC RT
②当BRT ∽ CAO时
AO RT OC BT
x 13 1 13 1 ， 13 1 R 13 1 y 2 2
4 x2 2 y
4 y 2 x2
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要证DM EM，需利用中间比过渡，由DE // BC ,
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DM AD 推得ADM ∽ ABN , 得 BN AB AD DE DE EP EP ME 同理可证 , , AB BC BC PB PB BN
P B
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DM ME , DM ME C BN BN
同理可证：BN=NC
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如图（1）
乙
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拓 如图，直线 y 1 x 2分别交x、y轴于点 2 展
A、C，P是该直线上在第一象限 内一点， PB x轴，B为垂足，S ABP 9．
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1 求点P的坐标；
A
O B
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C A O
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S AOC AO S ABP AB AO 2 AB 6 P2， 3 AB 3
多 边 形 的 性 质
图 形 的 放 大 与 缩 小
练习
1,如图,添加一个条件,使则
△ABC∽△AED,则这条件可以 是