九年级数学下册 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质课堂导练 新人教
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九年级数学下册 27 相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质
AF 和 A ' F '，则有
12/11/2021
AD=AE=AF=k. A'D' A'E' A'F'
第六页，共二十二页。
生成 与 (shēnɡ chénɡ) 挖掘
2. 全等三角形的周长有何种关系？若相似三角形
相似比为k,请你猜想：它们的周长的比与相似比有何
关系？请结合(jiéhé)图形进行说明，并描述你的结论.
所对应面积的比等于相似比的平方.
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第九页，共二十二页。
辨析 结论 (biànxī)
练习1：
1.判断题（正确(zhèngquè)的画“√”，错误的画“Χ”）
（1）一个三角形各边长扩大为原来(yuánlái)的5倍，这个三角
形的角平分线也扩大为原来(yuánlái)的5倍；（ √ ）
第十八页，共二十二页。
课堂(kètáng)小结与作业布置
课堂小结: 回顾思考(sīkǎo):相似三角形有哪些性质？
1.从边的角度看：对应边的比等于(děngyú)相似比. 2.从角的角度看：对应角相等.
3.从对应线段的角度看：对应高、对应中线 、对应角平分 线的比都等于相似比.
4.从周长和面积的角度看：对应周长的比等于相似 比，对应面积的比等于相似比的平方.
No ×6=3，。∴ △DEF∽△ABC ，。如果△ABC与以点A,P,Q为。顶点的三角形相似，试求出它们
的面积比.。解：（1）由题意可知AP=4x,AQ=30- 3x.。2.从角的角度看：对应角相等.。4.从周长 和面积的角度看：对应周长的比等于相似
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AD=AE=AF=k. A'D' A'E' A'F'
第六页，共二十二页。
生成 与 (shēnɡ chénɡ) 挖掘
2. 全等三角形的周长有何种关系？若相似三角形
相似比为k,请你猜想：它们的周长的比与相似比有何
关系？请结合(jiéhé)图形进行说明，并描述你的结论.
所对应面积的比等于相似比的平方.
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辨析 结论 (biànxī)
练习1：
1.判断题（正确(zhèngquè)的画“√”，错误的画“Χ”）
（1）一个三角形各边长扩大为原来(yuánlái)的5倍，这个三角
形的角平分线也扩大为原来(yuánlái)的5倍；（ √ ）
第十八页，共二十二页。
课堂(kètáng)小结与作业布置
课堂小结: 回顾思考(sīkǎo):相似三角形有哪些性质？
1.从边的角度看：对应边的比等于(děngyú)相似比. 2.从角的角度看：对应角相等.
3.从对应线段的角度看：对应高、对应中线 、对应角平分 线的比都等于相似比.
4.从周长和面积的角度看：对应周长的比等于相似 比，对应面积的比等于相似比的平方.
No ×6=3，。∴ △DEF∽△ABC ，。如果△ABC与以点A,P,Q为。顶点的三角形相似，试求出它们
的面积比.。解：（1）由题意可知AP=4x,AQ=30- 3x.。2.从角的角度看：对应角相等.。4.从周长 和面积的角度看：对应周长的比等于相似
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人教版九年级数学下册第二十七章《相似》27.2.2相似三角形的性质(教案)
4.探索并理解相似三角形性质在解决实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述相似三角形性质的能力，增强几何直观和逻辑推理素养。
2.提升学生通过观察、分析、归纳相似三角形性质的过程，培养数据分析与数学抽象素养。
3.引导学生运用相似三角形性质解决实际问题，提高数学建模与问题解决的核心素养。
-实际问题中相似三角形性质的应用。
举例解释：通过具体的图形示例，强调相似三角形性质的应用，如计算不规则图形的面积时，通过构造相似三角形来简化问题。
2.教学难点
-难点内容：相似三角形性质的深入理解和应用。
-难点突破：
-帮助学生理解相似三角形性质的本质，而不仅仅是记忆公式。
-指导学生如何在实际问题中发现并运用相似三角形的性质。
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但在操作过程中，我发现他们对几何工具的使用还不够熟练。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，增加一些关于几何工具使用的练习，以提高学生们的实际操作能力。
在讲解相似三角形的性质时，我发现有些学生对于性质的理解仅停留在表面，未能深入理解其背后的原理。在今后的教学中，我需要通过更多的例子和练习，帮助学生深入理解相似三角形的性质，并能够灵活运用。
-对于相似比与周长比、面积比的关系，可以通过具体的数值例子进行说明，让学生通过计算加深理解。
-对于性质的证明，教师可以提供多种证明方法，如综合法、分析法等，帮助学生从不同角度理解和掌握证明过程。
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如两个不同大小的三角形玩具）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形性质的奥秘。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述相似三角形性质的能力，增强几何直观和逻辑推理素养。
2.提升学生通过观察、分析、归纳相似三角形性质的过程，培养数据分析与数学抽象素养。
3.引导学生运用相似三角形性质解决实际问题，提高数学建模与问题解决的核心素养。
-实际问题中相似三角形性质的应用。
举例解释：通过具体的图形示例，强调相似三角形性质的应用，如计算不规则图形的面积时，通过构造相似三角形来简化问题。
2.教学难点
-难点内容：相似三角形性质的深入理解和应用。
-难点突破：
-帮助学生理解相似三角形性质的本质，而不仅仅是记忆公式。
-指导学生如何在实际问题中发现并运用相似三角形的性质。
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但在操作过程中，我发现他们对几何工具的使用还不够熟练。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，增加一些关于几何工具使用的练习，以提高学生们的实际操作能力。
在讲解相似三角形的性质时，我发现有些学生对于性质的理解仅停留在表面，未能深入理解其背后的原理。在今后的教学中，我需要通过更多的例子和练习，帮助学生深入理解相似三角形的性质，并能够灵活运用。
-对于相似比与周长比、面积比的关系，可以通过具体的数值例子进行说明，让学生通过计算加深理解。
-对于性质的证明，教师可以提供多种证明方法，如综合法、分析法等，帮助学生从不同角度理解和掌握证明过程。
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如两个不同大小的三角形玩具）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形性质的奥秘。
九年级数学下册第27章图形的相似27.2相似三角形27.2.1.2三边成比例的两个三角形相似
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第二十一页，共二十一页。
2
2
2
D E1,D F1,E F1. A C 2B C 2A B 2
DEDFEF1, AC BC AB 2
∴△ABC∽△EFD.
第十八页，共二十一页。
课堂小结
利用(lìyòng)三边判定两个三角形相似 三边(sān biān)成比例 的两个三角形相似
相似(xiānɡ sì)三角形的判定定理的运 用
DE2.40.6,EF2.10.6,FD1.80.6,
AB 4
BC 3.5
CA 3
DEEFFD. AB BC CA
∴ △ABC∽ △DEF.
第八页，共二十一页。
新知讲解
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对 应边的比值，看是否(shì fǒu)相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
第十一页，共二十一页。
新知讲解
例3 如图，在△ABC和△ADE中，
AB∠ BBCAD=A2C0.°,求∠CAE的度数(dùshu). AD DE AE
解：∵ AB BC AC,
AD DE AE
B
∴△ABC∽△ADE(三边(sān biān)成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
diǎn)，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，
当AP的长度
时，△ADP和△ABC相似．
第十三页，共二十一页。
小组展示
争先恐后(zhēng xiān kǒng hòu)
1组
2组
3组
4组
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2
2
2
D E1,D F1,E F1. A C 2B C 2A B 2
DEDFEF1, AC BC AB 2
∴△ABC∽△EFD.
第十八页，共二十一页。
课堂小结
利用(lìyòng)三边判定两个三角形相似 三边(sān biān)成比例 的两个三角形相似
相似(xiānɡ sì)三角形的判定定理的运 用
DE2.40.6,EF2.10.6,FD1.80.6,
AB 4
BC 3.5
CA 3
DEEFFD. AB BC CA
∴ △ABC∽ △DEF.
第八页，共二十一页。
新知讲解
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对 应边的比值，看是否(shì fǒu)相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
第十一页，共二十一页。
新知讲解
例3 如图，在△ABC和△ADE中，
AB∠ BBCAD=A2C0.°,求∠CAE的度数(dùshu). AD DE AE
解：∵ AB BC AC,
AD DE AE
B
∴△ABC∽△ADE(三边(sān biān)成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
diǎn)，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，
当AP的长度
时，△ADP和△ABC相似．
第十三页，共二十一页。
小组展示
争先恐后(zhēng xiān kǒng hòu)
1组
2组
3组
4组
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形27.2.1平行线分线段成比例
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
B
C
第十八页，共三十四页。
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行(píngxíng) 移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要(zhǐyào)DE∥BC，这个结论恒成立.
握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重
点、难点) 3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应
用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和 计算. (重点、难点)
第二页，共三十四页。
导入新课
复习(fùxí)引 入
1. 相似多边形的对应(duìyìng)相角等
应边的比叫做 相似比.
，对应边成比例 ，对
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似(xiānɡ sì)需要满足什么条件？
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
A′ A
B
C
B′
第三页，共三十四页。
C′
讲授
(jiǎngshòu)
新课一 平行线分线段成比例（基本事实）
合作(hézuò) 探究 如图①，小方格(fānɡ ɡé)的边长都是1，直线 a∥b∥c，分
dào)新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
第十二页，共三十四页。
A1(B1)
A2
B2
A1 B1 A2(B2)
A3
B3
A3
B3
归纳(guīnà)：
平行(píngxíng)于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例.
九年级数学下册第二十七章相似27.2.2相似三角形的性质
27.2.2 相似(xiānɡ sì)三角形的性质
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第一页，共十一页。
知识 回顾 (zhī shi)
相似(xiānɡ sì)三角形的判定方法有哪几种？
1、定义：对应边成比例，对应角相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形相似。
2、平行线：平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形 与原三角形相似。 3、判定定理1： 三边对应成比例，两三角形相似。
第六页，共十一页。
例题(lìtí)分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周
长(zhōu chánɡ)是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
A
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴ DE DF 1 AB AC 2
B
又 ∠D＝∠A
No k。分别连接AC，A'C'。解：在△ABC和△DEF中，。∵ AB＝2DE，AC＝2DF
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第十一页，共十一页。
第五页，共十一页。
探究
（2）如图，四边形ABCD相似(xiānɡ
是多少？
sì)于四边形A'B'C'D'，A'相似比为k2，它们的面积比
A
D
D'
B
B'
C
C'
分别(fēnbié)连接AC，A'C则' △ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
S kS S△ABC k 2
S△A'B 'C '
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第一页，共十一页。
知识 回顾 (zhī shi)
相似(xiānɡ sì)三角形的判定方法有哪几种？
1、定义：对应边成比例，对应角相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形相似。
2、平行线：平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形 与原三角形相似。 3、判定定理1： 三边对应成比例，两三角形相似。
第六页，共十一页。
例题(lìtí)分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周
长(zhōu chánɡ)是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
A
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴ DE DF 1 AB AC 2
B
又 ∠D＝∠A
No k。分别连接AC，A'C'。解：在△ABC和△DEF中，。∵ AB＝2DE，AC＝2DF
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探究
（2）如图，四边形ABCD相似(xiānɡ
是多少？
sì)于四边形A'B'C'D'，A'相似比为k2，它们的面积比
A
D
D'
B
B'
C
C'
分别(fēnbié)连接AC，A'C则' △ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
S kS S△ABC k 2
S△A'B 'C '
人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2.2 相似三角形的性质课件
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比．
D
E
B
C
四、课堂训练
又∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽△ABC． ∴ S S△ △ A DD CE E＝ A AC E2＝ 2 32＝ 4 9, 即 S△ADE∶S△ABC ＝4∶9．
五、作业
教科书第 39 页练习第 2，3 题． 教科书第 57 页复习题 27 第 8，9，10题．
形的周长____cm，面积为____cm2．
2 相似三角形的性质
例 1 已知△ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ABC 和 △DEF 的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.
相似三角形对应高的比等于相似比．
∴ AF＝AH－FH＝2(米)，
四、课堂训练
5 ． 如图 ， 这是圆桌正上方的灯泡(点 A)发出的光线照
S 2 AE 解：∵ △ABC ∽△D△ EFA，DE
＝ ＝ ＝2， 1．如果两个相似三角形的对应高的比为 2∶3，那么对应角平分线的比是_______ ，对应边上的中线的比是_____．
S 1EC DF EC A 例4．1两个已相知似△三AB角C形∽对△△ 应DDE的FC中，E线BG长，分E别H是分别6 c是m△和AB1C8
A
∴ 面积比为 9∶25．
E
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
D
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 ．
B
C
∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36＝64(cm2)．
三、课堂小结
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形的性质
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形2相似三角形应用举例第1课时习题课件新人教版
【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，∴ B C 即A B .
DC ED
∴AB=870 m.
290 AB . 10 30
答：湖两岸的距离AB是870 m.
【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6 m的小明站 在离墙1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地 面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m，同时他 又量得附近一棵大树的影子长为10 m，求这棵大树的高度.
【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？
提示:利用相似三角形的性质，得到MN=4 r,在Rt△OMN中应用
3
勾股定理列方程求解.
【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形. 2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应 边的长度. 3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出 未知量. 4.检验并得到答案.
知识点 2 应用相似三角形测量宽度 【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个 目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再 选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD=110 m，DC=55 m，EC=52 m，求两岸间的大致距离AB.
x 30
路灯甲的高为9 m. 答案:9
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点 下降0.5 m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．
【解析】设长臂上升的高度为x m,根据题意得 0 .5 1 ,
x 16
解得x=8. 答案:8
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了 一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点， 若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小 明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m）．
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质教案新版新人教版
27.2.2 相似三角形的性质【教学目标】知识技能目标:1.了解并掌握相似三角形的性质.2.用相似三角形的性质解决简单的问题.过程性目标:经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中引领学生体验解决问题策略的多样性.情感态度目标:通过探索相似多边形的性质,体验化归思想.【重点难点】重点:理解并掌握相似三角形的性质.难点:探索相似三角形周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【教学过程】一、创设情境两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A′D′分别为BC,B′C′边上的高,那么AD,A′D′之间有什么关系?二、探索归纳探究1.如果两个三角形相似,它们的周长之间什么关系?两个相似多边形呢?(学生小组讨论)△ABC∽△A′B′C,相似比为k,∵===k,∴AB=kA′B′,BC=kB′C′,CA=kC′A′,∴==k,结论:相似三角形周长的比等于相似比.教师提出问题,先让学生大胆猜想,再通过推理验证猜想的结论,在小组内与其他同学交流,归纳结论.教师让学生书写证明过程.教师引导学生推理验证结论(先由三角形相似得到对应边的比,再得周长的比的关系.)学生思考、分析、写出证明过程,小组交流.教师引导学生类比相似三角形得到相似多边形的性质“相似多边形周长的比等于相似比”.结论:相似多边形周长的比等于相似比.探究2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比有怎样的关系?教师提出问题,要求小组讨论完成.学习组长把学习小组分工,分别来研究三个问题,最后一起交流,得出结论.探究3.如果两个三角形相似,它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?(学生小组讨论)△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,它们的面积比是多少?解:分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵∠ADB=∠A′D′B′=90°,又∠B=∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′.∴==k.∴===k2.结论:相似三角形对应高的比等于相似比,相似三角形面积比等于相似比的平方.三、新知应用例:如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的边BC上的高是6,面积是12,求△DEF 的边EF上的高和面积.师生活动:师生一起分析△ABC和△DEF具有什么关系,相似三角形的对应高,对应面积有什么关系?四、检测反馈1.已知△ABC∽△DEF,且AB∶DE=1∶2,则BC的中线与EF的中线之比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1设计意图:考查“相似三角形对应线段的比等于相似比”的运用.2.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为( )A.8,3B.8,6C.4,3D.4,6设计意图:结合三角形相似的判定,考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用.3.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25,则△ABC与△DEF的相似比为________.设计意图:考查“相似多边形面积的比等于相似比的平方”的运用.4.已知两个相似三角形周长比为1∶2,它们的面积和为25,则较大三角形面积为__________.设计意图:考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用.5.如图,▱ABCD中,点E是AB延长线上一点,DE交BC于点F,已知BE∶AB=3∶2,S△BEF=4,求S△CDF.设计意图:结合平行四边形的性质,考查“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用.五、课堂小结1.通过这节课,同学们学到了什么?(1)相似三角形周长的比等于相似比,相似多边形周长的比等于相似比.(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.2.对本节课你有什么困惑?六、板书设计。