一元二次方程应用题题型

一元二次方程应用题经典题型一元二次方程应用题经典题型一、解应用题步骤：1．审题；2．设未知数,包括直接设未知数和间接设未知数两种;3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；6．写出正确的解．二、常见类型(一）平均率问题 a（1±x)n =b1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米.设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机,一月至六月份的产量如下：月份一二三四五六产量（台)505148505249(1)求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；(2)由于改进了生产技术,计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比,七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来,通过拆迁旧房，植草,栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图所示）（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面积为公顷，比2000年底增加了公顷;在1999年，2000年，2001年这三年中, 绿地面积增加最多的是年；（2)为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．4、王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入银行，到期后将本金和利息取出，并用掉了50元，剩下的有全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下降到第一次存款年利率的的一半，这样到期后可得本金和利息共63元，求第一次存款时的年利率是多少？（二)面积问题1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直）,把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽？2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米。

一．增长率问题一．增长率问题1．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2. 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，剩余的又全部按一年定期存入，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（假设不计利息税）3. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同下降的百分数相同,,求这个百分数求这个百分数. .4. 某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？年预计经营总收入为多少万元？5. 从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？升．问每次倒出溶液的升数？6. 王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．利率．7. 某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？月份各应发行图书多少万册？8. 某校2003年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2005年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？9. 某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的16．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．月份的营业额的平均月增长率．10.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内降低农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．假设这两年降低的百分率相同．（1）求每年降低的百分率；）求每年降低的百分率；（2）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？ （3）小红所在的乡有16000个农民，问该乡农民减少多少农业税？问该乡农民减少多少农业税？ 增长率相同，求这个增长率。

一元二次方程应用题20道胜蓝教育一元二次方程应用题20道1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之积的3倍刚好等于这个两位数。

求这个两位数。

3、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。

面积问题4、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。

5、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？增长率问题6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？7、某校2009年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2011年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？胜蓝教育销售问题8、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？9、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？10.一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒 1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。

要牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，要使超市盈利4500元，，问该超市如何定价？11.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。

z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n －1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，解这个方程，得x＝，即x≈6.6.（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为∠C＝90?/SPAN>，所以AB＝＝＝10（cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB ＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n （n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为（20－x）cm.则根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为y cm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.则可得，FG＝×4，所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：图8（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而专业资料整理分享将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.完美WORD格式编辑。

初中一元二次方程应用题经典题型摘要：一、一元二次方程的应用题概述二、一元二次方程的求解方法三、经典题型及解题思路1.题型一：增长率问题2.题型二：利润问题3.题型三：几何问题4.题型四：其他实际问题正文：一、一元二次方程的应用题概述一元二次方程是在初中数学中常见的一种方程，它是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。

一元二次方程的应用题主要涉及到如何利用一元二次方程来解决实际问题，这类题目不仅考查学生对一元二次方程概念的理解，还考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、一元二次方程的求解方法求解一元二次方程的方法有多种，其中最常见的方法是公式法。

公式法的基本步骤如下：1.确定方程的系数a、b、c；2.计算判别式Δ=b-4ac；3.根据Δ的值判断方程的根的情况：- 当Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0 时，方程无实数根。

4.根据公式x,x=(-b±√Δ)/(2a) 计算方程的根。

三、经典题型及解题思路1.题型一：增长率问题增长率问题是指求解某个变量在一定时间内的增长率。

这类问题通常可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：设增长率为x，根据题意列出方程，然后利用公式法求解。

2.题型二：利润问题利润问题是指求解销售一定数量的商品后获得的利润。

这类问题通常可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：设销售单价为x，根据题意列出方程，然后利用公式法求解。

3.题型三：几何问题几何问题是指求解与几何图形相关的问题。

这类问题通常可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：根据题意建立几何关系，将几何关系转化为一元二次方程，然后利用公式法求解。

4.题型四：其他实际问题除了上述三种经典题型外，还有其他一些实际问题也可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：认真阅读题目，理解题意，找到问题的关键点，将问题转化为一元二次方程，然后利用公式法求解。

一元二次方程的应用题专练（七大类型）一、解一元二次方程应用题的步骤1.“审、设、列、解、验、答”.2.审一定要清晰不是所有的条件都要用上, 还有用来验根的, 再有就是等量关系。

3.设可以直接设也可以间接设, 有单位的, 一定要记得带单位；4.列列方程时一定要用题中的原数；5.验一元二次方程两个根, 一定要看是否都符合；6.答回到实际问题中二、各种类型题训练（一）利润问题1.公式: 售价—进价=单个利润单个利润×销售量=总利润2.降价销售例: 西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜, 以３元／千克的价格出售, 每天可售出２００千克。

为了促销, 该经营户决定降价销售。

经调查发现, 这种小型西瓜每降价0.1元/千克, 每天可多售出40千克。

另外, 每天的房租等固定成本共２４元。

该经营户要想每天盈利200元, 应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？练习: （1）.某商店购进一种商品, 进价30元. 试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系: P=100-2X, 若商店每天销售这种商品要获得200元的利润, 那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？（2）服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件, 每件盈利４０元。

为了迎接“六一”儿童节, 商场决定采取适当的降价措施, 扩大销售量, 增加盈利, 减少库存。

经市场调查发现, 如果每件童装每降价４元, 那么平均每天就可多售出８件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元, 那么每件童装应降价多少元？（3）某商场礼品柜台购进大量贺卡,一种贺卡平均每天可销售500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的措施,调查发现,如果每降价0.1元,那么商场平均每天多售出300张,商场要想每天盈利160元,每张贺卡应该降价多少元?（4）.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源, 待货物售出后再进行结算, 未售出的由厂家负责处理）。

一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人。

2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 小分支。

3. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有 个队参加比赛。

4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有 个队参加比赛。

5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题1、-=实际数基数增长率基数2、平均增长率公式：b x a =±2)1( 其中a 是增长（或降低）的基础量，x 是平均增长（或降低）率，b 是增长（或降低）的数量。

相关测试题：1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为 。

2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是 。

3. 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.6．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．7.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程( )A. 500(12)x +=720B. 2500(1)720x+= C. 2500(1)720x += D. 2720(1)500x -=8．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．9、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？（三）商品销售问题：（关键词：标价、售价、打折、销量等）售价—进价=利润 单件利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额1. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X 销售量P ，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。

一元二次方程的应用（7种题型）【知识梳理】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为10010x y z++．2、增长率问题基本公式：()21a x b+=，a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．如果是降低率，则为()21a x b−=．3、利润问题：总利润=单件利润⨯总件数；总利润=总售价−总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．4、几何面积问题：x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．5、双循环问题送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x−张，总共有x个人所以列式为()1930x x−=；6、单循环问题握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x−=．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．7、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】题型一：数字问题例1.有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【答案】24．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是2−x ，由题意可得：()()x x x x 23210−=+−，整理可得：0201732=+−x x ，解：41=x ，352=x （不是整数，舍去）∴这个两位数为24．【总结】本题主要考查一元二次方程在数字问题中的运用．【变式1】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．【答案】36．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是3−x ．根据题意可得：()()32310−=+−x x x x ， 整理得：0301722=+−x x ，()()0652=−−x x ， 解得：61=x ，252=x （不是整数，舍去）．答：这个两位数为36．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式2】已知两个连续奇数的积是323，求这两个数．【答案】17，19或1719−−，．【解析】解：设这两个连续奇数为2x x +，，则(2)323x x +=， 整理得：223230x x +−=， 解得：121719x x ==−，， 所以12+219+217x x ==−，．答：这两个数是17，19或1719−−，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是35或53．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是x −8．根据题意可得：()[]()[]1855810810=−++−x x x x ，整理得：01357292=+−x x ．分解得：()()05279=−−x x ，解得：31=x ，52=x ．答：原来的两位数是35或53． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．题型二：增长率问题例2．受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（ ）A ．()20012500+=xB ．()50012200−=xC ．()22001500+=xD ．()25001200−=x 【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可． 【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程()22001500+=x 故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．【变式1】某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x ，则根据题意可得方程为（ ）A ．280(1)340x +=B ．8080(1)80(12)340x x ++++=C ．380(1)340x +=D ．28080(1)80(1)340x x ++++= 【答案】D【分析】由一月份口罩产值以及月平均增长率分别求出二月份、三月份的口罩产值，再根据第一季度总产值达340万元列方程即可．【详解】二月份口罩产值：80(1)x +万元，三月份口罩产值：280(1)x +万元，∴28080(1)80(1)340x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解增长率的概念并灵活运用是解题关键．【变式2】某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【答案】20％【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x ，则根据题意可得：()()6.12911011002=+−x ％， 解：2.0=x （负值舍去）．答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．【变式3】某工厂1月份产品数是50万件，要求第1季度总产品数达到183.705万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【答案】设该工厂每月的平均增长率是x ，则根据题意可得：()()705.183********=++++x x ． 【解析】注意第一季度为1、2、3月份产品数之和．【变式4】某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x ，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x ，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x 的值．【答案】增长率x 的值为50%【分析】根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．【详解】解：由题意可得40×15（1＋x ）2=600×6（1＋x ）×25%整理，得（x ＋1）（x －0.5）=0解得：1=0.5x =50%，21x =−（不符合实际，舍去）答：增长率x 的值为50%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．题型三：利润问题例3．某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P (件)与每件的销售价X (元)满足关系：1002P X =−，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【解析】由题意列方程得：()()200210030=−−X X ，整理可得：01600802=+−X X ，解得：40=X20801002100=−=−=X P答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产X 只熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与X 的关系式分别为=500+30R X ，1702P X =−． （１） 当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（２） 若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？【答案】（1）当日产量为25时每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【解析】设利润为W 元，则()()50014023050021702−+−=+−−=x x x x x W ．当每日获得的利润为1750元时，则1750=W ．则175050014022=−+−x x ，解得：251=x ，452=x ．∵每日最高产量为40只， ∴45=x 舍去． ∴当日产量为25时每日获得的利润为1750元．（2）当每日获得的利润为1950元时，则1950=W ，则195050014022=−+−x x ，解得：3521==x x ． ∴当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式2】某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()8000105004050=−−+x x ，整理可得：0300402=+−x x ， 解得：101=x ，302=x ．当101=x 时，50010400x −=； 当302=x 时，50010200x −=．因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．【变式3】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】5元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()60002050010=−+x x ，整理可得：050152=+−x x ， 解得：101=x ，52=x ，要使顾客得到实惠，需涨价少，则5=x ．∴每千克应涨价5元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式4】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】20元．【解析】设每件童装应降价x 元，则根据题意可得：()()120022040=+−x x ，整理可得：0200302=+−x x ， 解得：101=x ，202=x ．要减少库存，则要使()x 220+的值比较大，则20=x ．∴每件童装应降价20元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式5】工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【答案】（1）该商品的每件标价为200元，进价为155元；（2）每件工艺品降价15元出售；（3）当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元【分析】（1）设标价为x，则进价为x-45，根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”列方程求解即可；（2）设工艺品降价m元，根据“总利润=单件利润×件数”列出方程即可求出结论；（3）设工艺品定价为a元，可根据总利润=单件利润×件数、配方法及平方的非负性即可求出结论．【详解】解：（1）设标价为x，则进价为x-45，8[0.85x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，整理得360-1.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，则每件进价为：200-45=155（元）答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设工艺品降价m元，则(45-m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消费者得到实惠∴m=15答：每件工艺品降价15元出售．（3）设工艺品定价为a元，总利润为：(a－155)[ 100+4（200－a）]=-4a2＋1520a －139500=-4(a-190)2+4900，∵(a-190)2≥0∴-4(a-190)2≤0∴-4(a-190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用配方法和平方的非负性求最值．题型四：几何面积问题：例4．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长.（1）长方形的面积是1152平方米（2）长方形的面积是1800平方米（3）长方形的面积是2000平方米【答案】（1）长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）长方形的长为60米，宽为30米.（3）此时的长方形不存在.【分析】本题可根据题意分别用x 表示垂直于墙的一边的长或平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程求解即可．【详解】设垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边为（120-2x ）米．（1）根据题意得x （120-2x ）=1152．2605760x x −+=()()12480x x −−=解得1212,48x x ==当12x =时，120212021296x −=−⨯=；当48x =时，120212024824x −=−⨯=；答：长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）x （120-2x ）=1800212021800x x −=2212018000x x −+=2609000x x −+=()2300x −=，解得30x =当30x =时，120212023060x −=−⨯=答：长方形的长为60米，宽为30米.（3）x （120-2x ）=2000212022000x x −=2212020000x x −+=26010000x x −+=∵()26041000360040004000=−−⨯=−=−△＜∴方程无实数根.故此时的长方形不存在.【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏，不要把平行于墙的一边算成是12（120-2x ）．【变式1】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？【答案】宽为10米，长为15米．【解析】设鸡场的宽为x ，则长为x x 2352233−=−+．根据题意可得：()150235=−x x ，整理可得：()()010152=−−x x ， 解得：2151=x ，102=x ． 当215=x 时，1820215235235>=⨯−=−x ，舍去．∴宽为10米，长为15米． 【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析．【变式2】如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形ABCD 的面积为216平方米，求,AB BC 边各为多少米？【答案】AB 边为12米，BC 边为18米【分析】设AB 的长为x 米，根据题意列出一元二次方程，求解并找到符合题意的解即可．【详解】设AB 的长为x 米，根据题意得()5133216x x +−=， 解得126,12x x ==，当6x =时，513363625BC =+−⨯=>，不符合题意，故舍去；当12x =时，5133121825BC =+−⨯=<，符合题意，∴12,18AB BC ==，∴AB 边为12米，BC 边为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并找到合适的解是关键．【变式3】如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？【答案】长和宽分别为14米和10米.【分析】首先设这个仓库的长为x 米， 则宽表示为1(322)2x +−，再根据面积为 140 平方米的仓库可得1(322)1402x x +−=，再解一元二次方程即可 ．【详解】解： 设这个仓库的长为x 米， 由题意得：1(322)1402x x +−=，解得：120x =，214x =， 这堵墙的长为 18 米，20x ∴=不合题意舍去，14x ∴=， 宽为：1(32214)102⨯+−=（米)．答： 这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米 ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用， 关键是正确理解题意， 正确表示出长方形的长和宽 ．【变式4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为2594m ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．【答案】人行通道的宽度为1米．【分析】设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30-3x)m ，宽为(24-2x)m ，根据矩形绿地的面积为594m2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，经检验后得出x=21不符合题意，此题得解．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为()303x m −，宽为()242x m −， 由已知得：()()303x 242x 594−⋅−=， 解得：1x 1=，2x 21=，当x 21=时，303x 33−=−，242x 18−=−，不符合题意舍去，即x 1=．答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．【变式5】如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽【答案】花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x .【详解】解：设花边的宽为x 米，列方程为(26)(23)40x x ++=，解之得12111,2x x ==−（舍去）答：花边的宽为1米. 考点：实际问题与一元二次方程题型五：双循环问题例5．圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出930张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人．【解析】设昂立共有师生x 人，由题意可得：()9301=−x x整理得：09302=−−x x ，解得：311=x ，302−=x （负值舍去）．答：昂立共有师生31人．【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2．【变式1】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？【答案】14．【解析】设这个小组共有x 名同学，由题意可得：()1821=−x x整理得：01822=−−x x ，解得：141=x ，132−=x （负值舍去）．答：这个小组共有14名同学．【总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除2．【变式2】某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x 人．x （x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）．故答案为: 12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．题型六：单循环问题例6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？【答案】10．【解析】设共有x 个队参加比赛，由题意可得：()4521=−x x整理得：0902=−−x x ，解得：101=x ，92−=x （负值舍去）．答：共有10个队参加比赛．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每两队之间都进行一场比赛，因此不用除2．【变式1】一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x 人，则可列出方程___________________ ．【答案】()11202x x −=【分析】先根据题意可得每个人都要与()1x −个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．【详解】由题意，可列方程为()11202x x −=，故答案为：()11202x x −=．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．【变式2】某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【答案】3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛， 根据题意得：(1)62x x −=，整理得：260x x −−=，即(3)(2)0x x −+=，解得：3x =或2x =−（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”．【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【答案】21．【解析】设参加第一轮比赛的共有x 名选手由题意可得：()10521=−x x ，整理得：02102=−−x x ，解得：115x =，214x =−（负值舍去）．答：参加第一轮比赛的共有21名选手．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除2．题型七：利率问题例7．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％；∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【变式1】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，1.038=）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x，由题意可列方程：()44.107795110002=+x％，则()07744.19512=+x％，解：038.1951±=+x％（负值舍去），04.0=x．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x％9511000+，而不是()x+11000．【变式2】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x，则可列方程为：()[]()53090150011000=+−+xx％．【解析】注意年利率的变化．【变式3】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x，则可列方程为()[]()1308143511500=+−+xx，化简可得：0818555002=−+xx，分解可得：()()0910095=−+xx，解：591−=x（负值舍去），09.02=x．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（）A．B．C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，依题意，得x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．2．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升（）A．10或96B．10C．96D．26【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60×升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60×，解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），∴第一次倒出了酒精10升．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（）A．16.2（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x）2＝16.2C．20（1﹣x）2＝20﹣16.2D．20（1﹣2x）＝16.2【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0【分析】根据矩形的面积＝长×宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程．【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）＝5400，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．5．（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100B．300+300（1+x）2＝2100C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．二．填空题（共12小题）7．（2023春•奉贤区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为．【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3．故答案为：30（1﹣x）2＝24.3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为．【分析】根据各边之间的关系，可得出长方形的长为（33+2﹣2x）米，根据围成的养鸡场的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为x米，∴垂直于墙的长方形的长为（33+2﹣2x）米，依题意得：x（33+2﹣2x）＝150．故答案为：x（33+2﹣2x）＝150．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春•浦东新区期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比。

一元二次方程应用题8种类型
一元二次方程是一种常见的数学工具，在应用题中有许多不同的类型。

以下是
其中的八种常见类型：
1. 高度和距离问题：例如，一个物体从特定高度下落，求解它落地所需的时间
或者它的最大高度。

2. 面积和体积问题：例如，给定一个矩形区域的周长，求解该矩形的最大面积。

3. 费用和利润问题：例如，一家公司生产某种产品，求解最大利润对应的生产
数量。

4. 时间和速度问题：例如，一个人以特定的速度行走，求解他到达目的地所需
的时间。

5. 抛物线问题：例如，一个抛物线的顶点坐标已知，求解抛物线的方程。

6. 碰撞问题：例如，两个物体相互碰撞后的速度和方向如何变化。

7. 最大最小值问题：例如，给定一个函数的表达式，求解其最大或最小值对应
的自变量值。

8. 经济模型问题：例如，根据一个经济模型，求解平衡价格和数量。

以上仅是一元二次方程应用题的一些常见类型，实际应用中还有许多其他类型。

在解决这些问题时，需要将问题转化为数学表达式，建立相应的方程，并使用
一元二次方程的求解方法来得到答案。