2020版高考数学大一轮复习第十三章系列4选讲13.1坐标系与参数方程(第2课时)参数方程教案理(含解析)

第二课时 参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为(2cos π3，4sin π3)，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝2 3.2.(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25C.45D.65答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________. 答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)， 若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得 (x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2，1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切. ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.5.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________. 答案 ±1515解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2，0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.6.(易错题)设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx 的最大值为________.答案 33解析 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx 表示的是圆上的点和原点连线的斜率， 设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的最大值为33.考点一 参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |D.⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos 2t1＋cos 2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2.把下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)). 解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2). 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2，1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4，1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解 (1)由题意知⊙C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 则⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y －1＝k (x －4)，即kx －y ＋1－4k ＝0，所以|2k －1＋1－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，则这两条切线方程分别为y ＝33x －433＋1，y ＝－33x ＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1，ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1.感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出. 考点二 参数方程的应用例 1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P (3，3)，曲线C 1和C 2相交于A ，B 两个不同的点，求||P A |－|PB ||的值.解(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t的参数t 消去得曲线C 1的普通方程为x 2－y 24＝1.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴ρcos θ－3ρsin θ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 2的直角坐标方程为x －3y ＝0. (2)由题意得点P (3，3)在曲线C 2上，曲线C 2的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ′，y ＝3＋12t ′(t ′为参数)，将上述参数方程代入x 2－y 24＝1得11t ′2＋443t ′＋4×29＝0，① Δ>0，设t ′1，t ′2为方程①的两根， 则t ′1＋t ′2＝－43，t ′1t ′2＝4×2911，∴(|P A |－|PB |)2＝(|P A |＋|PB |)2－4|P A ||PB |＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝6411，∴||P A |－|PB ||＝81111.感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t ∈R ，t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，△ABD 的面积为1＋3，求α的值. 解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入，得半圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴y ＝ρsin θ＝2sin 2θ∈(1，2]，x ＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)， ∴半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1(1<y ≤2).由sin φ＝y －1∈(0，1]，cos φ＝x ∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)， ∴半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝x tan α－2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)由题意可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α，0，B (0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义， 结合已知条件，可得φ＝2α， 所以D (cos 2α，1＋sin 2α). 则点D 到直线AB 的距离d ＝|tan α·cos 2α－（1＋sin 2α）－2|1＋tan 2α＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α| ＝sin α＋3cos α， 又|AB |＝（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α2＝2sin α.∴△ABD 的面积S ＝12·|AB |·d ＝1＋3tan α＝1＋3， ∴tan α＝ 3.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin kt (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标. 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟提升 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝t 2－2t (t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. (1)当t 1＝1，t 2＝3时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；(2)当a ＝1时，若t 1＋t 2＝2＋3，直线MN 被曲线D 截得的弦长为3，求直线MN 的方程.解 (1)因为t 1＝1，t 2＝3， 所以M (－1，－1)，N (1，3). 所以直线MN 的方程为y ＝2x ＋1. 因为ρ＝2a sin θ，所以ρ2＝2aρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线D 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点(0，a )，所以a ＝1.(2)由题意可知k MN ＝（t 21－2t 1）－（t 22－2t 2）（t 1－2）－（t 2－2）＝（t 1－t 2）（t 1＋t 2－2）t 1－t 2＝3，曲线D 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，设直线MN 的方程为y ＝3x ＋m ，圆心D 到直线MN 的距离为d ，则d ＝|m －1|2， 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以m ＝0或m ＝2，所以直线MN 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋2.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线.(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，所以x ∈[－1，0]，y ∈[0，1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0，0≤y ≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1，0)，点M 为C 上的动点，点P 满足AP→＝2AM →，写出点P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点.解 (1)根据ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝22x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，则AP→＝(x －1，y )，AM →＝(x ′－1，y ′). 因为AP →＝2AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（x ′－1），y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －12＋1，y ′＝y 2. 因为点M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 即(x －3＋2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2＋2cos α，y ＝2sin α(其中α为参数，α∈[0，2π)). 所以|CC 1|＝3－22，⊙C 1的半径r 1＝2，又⊙C 的半径r ＝2，所以|CC 1|＜r 1－r ，所以C 与C 1没有公共点.3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且|PM |·|PN |＝103，求l 的参数方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，2y ＝t －1t ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋2＋1t 2－t 2＋2－1t 2＝4， ∴x 2－(2y )2＝4，即x 2－4y 2＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4. 即曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.(2)设l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入x 2－4y 2＝4整理得(cos 2α－4sin 2α)t 2＋6t cos α＋5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝5cos 2α－4sin 2α， 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5cos 2α－4sin 2α＝103.解得cos α＝±22， ∵0<α<π2，∴cos α＝22，∴α＝π4.故l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数). 4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）(t 为参数).在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与曲线C 1交于点A ，B ，M (－2，2)，求1|MA |－1|MB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝t 14－t －14，12y ＝t 14＋t －14， 两式平方相减得12y 2－2x 2＝4，即y 28－x 22＝1.又y ＝2(t 14＋t －14)≥22(t >0)， ∴曲线C 1的普通方程为y 28－x 22＝1(y ≥22).曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y －x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2)设曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数).代入曲线C 1的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t ′2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t ′2＝8，即3t ′2－202t ′＋40＝0.Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2023，t 1t 2＝403，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|t 1|－1|t 2|＝||t 2|－|t 1|||t 1|·|t 2|＝|t 1－t 2||t 1|·|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1|·|t 2|＝853403＝55，∴1|MA |－1|MB |＝55或－55.5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋sin φ－2cos φ，y ＝cos φ＋2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.(1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，ρ∈R 分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于P 点，若|AB |＝3|OA |，求|OP |的值.解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝sin φ－2cos φ，①y ＝cos φ＋2sin φ，②①2＋②2得(x －3)2＋y 2＝5，即x 2＋y 2－6x ＋4＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，ρcos θ＋2＝0得ρ2＋16＝0，此方程无解. 所以C 1，C 2相离.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，θ＝α得ρ2－6ρcos α＋4＝0， 因为直线θ＝α与曲线C 1有两个交点A ，B ，所以Δ＝36cos 2α－16>0，得cos α>23.设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝6cos α>0，③ρ1ρ2＝4，④因为|AB |＝3|OA |，所以|OB |＝4|OA |，即ρ2＝4ρ1，⑤由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝56，满足Δ>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos α＋2＝0，θ＝α得ρ＝－2cos α＝－125， 所以|OP |＝|ρ|＝125.6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(0<r <2，α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r ＝2，求曲线C 1的极坐标方程，并求曲线C 1与C 2交点的直角坐标；(2)已知曲线C 2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 1与C 2交于不同的四点A ，B ，C ，D ，求矩形ABCD 面积的最大值.解 (1)∵r ＝2，∴x 2＋y 2＝2，又x 2＋y 2＝ρ2，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝4cos 2θ，ρ＝2，cos 2θ＝12⇒cos θ＝±32， 当cos θ＝32时，sin θ＝±12，当cos θ＝－32时，sin θ＝±12，分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，可得四个交点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22. (2)由(1)知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r ，ρ2＝4cos 2θ得cos 2θ＝r 24. ∵曲线C 2关于原点和坐标轴对称， ∴S 矩形ABCD ＝4|r cos θ||r sin θ| ＝4r 2|cos θsin θ|＝2r 2|sin 2θ| ＝2r 21－cos 22θ＝2r 21－r 416 ＝12r 216－r 4＝12r 4（16－r 4） ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫r 4＋16－r 422＝4. 当且仅当r 4＝16－r 4，即r 2＝22时等号成立. 故矩形ABCD 面积的最大值为4.。

（完整）2020年⾼考数学复习——参数⽅程选讲（⼆）2020年⾼考数学复习——参数⽅程选讲（⼆）1.在平⾯直⾓坐标系xOy 中．已知直线l 的普通⽅程为x ﹣y ﹣2=0，曲线C 的参数⽅程为θ=θ=sin 2cos 32y x （θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求线段AB 的长（2）已知点P 在曲线C 上运动．当△PAB 的⾯积最⼤时，求点P 的坐标及△PAB 的最⼤⾯积．2.在极坐标系中，曲线C 的极坐标⽅程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x轴的正半轴建⽴平⾯直⾓坐标系，已知直线2:12x l y ?==+（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且||||MA MB >. （1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意⼀点，求ρ的最⼤值，并求此时点P 的极坐标；（2）求||||MA MB .3.在直⾓坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数⽅程分别是22cos 2sin x y ?=+??=?（?为参数）和cos 1sin x y ββ=??=+?（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求圆1C 和2C 的极坐标⽅程；（Ⅱ）射线OM ：θα=与圆1C 交于点O 、P ，与圆2C 交于点O 、Q ，求||||OP OQ ?的最⼤值．4.在直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程为?+=-=t y tx 13（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ=22cos （θ﹣4π）．（Ⅰ）求直线l 的普通⽅程和曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最⼤值．5.已知直线l 的参数⽅程为=+-=t y t x 22221（其中t 为参数），曲线C 1：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l 的普通⽅程及曲线C 1的直⾓坐标⽅程；（2）在曲线C 1上是否存在⼀点P ，使点P 到直线l 的距离最⼤？若存在，求出距离最⼤值及点P ．若不存在，请说明理由．6.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标⽅程为θ=4π，曲线C 的参数⽅程为θ=θ=sin cos 2y x ．（1）写出直线l 与曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）过点M 平⾏于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA |?|M B|=38，求点M 轨迹的直⾓坐标⽅程．7.在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为：α=α=sin 3cos y x (a 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为24)4sin(=π+θρ.(1)求直⾓坐标系下曲线1C 与曲线2C 的⽅程；(2)设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最⼤值，并求此时点P 的坐标.8.以直⾓坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数⽅程为2cos 1sin x t y t αα=+??=+?（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标⽅程为4tan sin ρθθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）设点P 的直⾓坐标为(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且28PA PB ?=，求tan α的值.9.在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为2cos 2sin x y αα=+??=+? （α为参数），直线2C 的⽅程为y =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +．10.在直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程是=+=t y m t x 2123（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程是2cos =ρθ. （1）求直线l 的普通⽅程和曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）设点(),0P m ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA PB ?=，求实数m 的值.11.在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为??=?+=sin 2cos 22y x （φ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的普通⽅程和2C 的直⾓坐标⽅程；（2）已知曲线3C 的极坐标⽅程为()0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点O，且AB =a 的值.12.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l 过点()1,2P --，且⽅向向量为(；在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标⽅程为π2cos 3ρθ?=-. （1）求直线l 的参数⽅程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值.13.在直⾓坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线1C的参数⽅程为24x y aaì=+?í?=+?(a 为参数)，P 是曲线1C 上的动点，M 为线段OP 的中点，设点M 的轨迹为曲线2C . (1)求2C 的坐标⽅程； (2)若射线6pq =与曲线1C 异于极点的交点为A ，与曲线2C 异于极点的交点为B ，求AB .14.在直⾓坐标系xoy 中，曲线1C的参数⽅程为2x y αα=+=（其中α为参数），曲线2C ：()2211x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系.（1）求曲线1C 的普通⽅程和曲线2C 的极坐标⽅程；（2）若射线3πθ=（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .15.已知直线l的参数⽅程为1422x t y ?=+??=（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程为2cos =ρθ. （Ⅰ）求曲线C 的直⾓坐标⽅程与直线l 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线6=πθ（R ∈ρ）与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值.16.在直⾓坐标系xOy 中，圆C 的参数⽅程1cos sin x y αα=+??=?（α为参数），以O 为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系．(Ⅰ)求圆C 的极坐标⽅程；(Ⅱ)直线l的极坐标⽅程是2sin()3πρθ+=，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．17.在极坐标系下，点P 是曲线2(0)ρθπ=<<上的动点，(2,0)A ，线段AP 的中点为Q ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建⽴平⾯直⾓坐标系．（1）求点Q 的轨迹C 的直⾓坐标⽅程；（2）若轨迹C 上点M处的切线斜率的取值范围是，求点M 横坐标的取值范围．18.已知在直⾓坐标系xOy 中，圆C 参数⽅程为32cos 42sin x y θθ=+??=-+?（θ为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，求圆C 的极坐标⽅程．（2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意⼀点(,)M x y ，求ABM △⾯积的最⼤值．19.已知曲线1C 的极坐标⽅程为2sin 4cos ρθθ=，2C的参数⽅程为3232x y ?=-=+（t 为参数）.（1）将曲线1C 与2C 的⽅程化为直⾓坐标系下的普通⽅程；（2）若1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB .20.已知直线:360l x -=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ： 4sin 0ρθ-=. （Ⅰ）将直线l 写成参数⽅程2+cos sin x t y t αα=??=?（t 为参数，[)0,απ∈）的形式，并求曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）过曲线C 上任意⼀点P 作倾斜⾓为30°的直线，交l 于点A ，求|AP |的最值．21.在直⾓坐标系中xOy 中，曲线C 的参数⽅程为cos (2sin x a tt y t=??=?为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，已知直线l 的极坐标⽅程为cos 4πρθ?+=-（1）设P 是曲线C 上的⼀个动点，当a =P 到直线l 的距离的最⼤值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下⽅，求a 的取值范围.22.平⾯直⾓坐标系中，已知直线l 的参数⽅程是?==t y tx 3（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程为03cos 82=+-θp p .（Ⅰ）求直线l 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于B A ，两点，求OB OA ?.23.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线043:1=-+y x C ，曲线+==θθθ(sin 1cos :2y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系. （Ⅰ）求曲线21,C C 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若曲线3C 的极坐标⽅程为)20,0(παραθ<<>=，且曲线3C 分别交21,C C 于B A ,两点，求OAOB的最⼤值.参考答案1.解：（1）根据题意，曲线C 的参数⽅程为，则其普通⽅程为： +=1，将直线x ﹣y ﹣2=0代⼊+=1可得：x 2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x 1﹣x 2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求⼀点P ，使△PAB 的⾯积最⼤，则P 到直线直线l 的距离最⼤；设P 的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P 到直线l 的距离d==，⼜由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d 取得最⼤值，且d max =3，此时P （﹣3，1），△PAB 的最⼤⾯积S=×|AB|×d=9．2.（1）2cos 2sin 22)4πρθθθ=+=+，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最⼤值22，此时，P 的极坐标为(22,)4π.（2）由2cos 2sin ρθθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=，故曲线C 的直⾓坐标⽅程为22(1)(1)2x y -+-=.将2221x y ?==??代⼊22(1)(1)2x y -+-=并整理得：2210t t -=，解得262，∵||||MA MB >，∴由t 的⼏何意义得，62||MA +=，62||MB -=，故||6223||62MA MB +==+-.3.解：（Ⅰ）圆1C 和2C 的普通⽅程分别是22(2)4x y -+=和22(1)1x y +-=，∴圆1C 和2C 的极坐标⽅程为4cos ρθ=，2sin ρθ=．（Ⅱ）依题意得点P 、Q 的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα，∴|||4cos |OP α=，|||2sin |OQ α=，从⽽|||||4sin 2|4OP OQ α?=≤，当且仅当sin 21α=±，即4πα=时，上式取“=”，||||OP OQ ?取最⼤值是4．4.解：（Ⅰ）由直线l 的参数⽅程消去t 参数，得x+y ﹣4=0，∴直线l 的普通⽅程为x+y ﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y 代⼊上式，得：曲线C 的直⾓坐标⽅程为x 2+y 2=2x+2y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C 上的点为，则点P 到直线l 的距离为==当时，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最⼤值为；法2：设与直线l 平⾏的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C 相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的⽅程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最⼤值为．5.解：（1）直线l得：y=x+1，由曲线C1得：…（2）由题意可知（其中?为参数），…∴P到l得距离为…∴，…此时，即，…，∴，故存在这样的点，满⾜条件．6.解：（1）直线l的极坐标⽅程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数⽅程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x 2+2y 2=6表⽰⼀椭圆…（8分）取y=x+m 代⼊得：3x 2+4mx+2m 2﹣2=0由△≥0得故点M 的轨迹是椭圆x 2+2y 2=6夹在平⾏直线之间的两段弧…（10分）7.(1)由曲线1cos :3x C y a a ì=?í??，可得cos sin 3x aa ì=?í=，两式两边平⽅相加得：2213y x +=.即曲线1C 在直⾓坐标系下的⽅程为2213y x +=.由曲线()22:sin sin cos 424C p r q q q 骣琪++=琪桫sin cos 80r q r q +-=，所以80x y +-=，即曲线2C 在直⾓坐标系下的⽅程为80x y +-=.(2)由(1)知椭圆1C 与直线2C ⽆公共点，椭圆上的点()cos 3sin P a a 到直线80x y +-=的距离为2sin 8cos 3sin 862sin 4622d pa a a p a 骣琪+-琪+-骣桫琪=+-琪桫，∴当sin 16p a 骣琪+=-琪桫即43pa =时，d 的最⼤值为2此时点P 的坐标为13,22骣琪--琪桫.8.（Ⅰ）当0ρ>时，2sin 4cos ρθθ=可化为22sin 4cos ρθρθ=，由sin cos x y ρθρθ=??=?，得24y x =.经检验，极点的直⾓坐标（0,0）也满⾜此式.所以曲线C 的直⾓坐标⽅程为24y x =. （Ⅱ）将2cos 1sin x t y t αα=+??=+?代⼊24y x =，得22sin 92sin 4cos )70t t ααα+--=，所以122728sin t t α==，所以23sin 4α=，6πα=或56πα=，即tan α=或tan α=.9.（Ⅰ）曲线1C 的普通⽅程为()()22221x y -+-=，则1C 的极坐标⽅程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，由于直线2C 过原点，且倾斜⾓为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈．（Ⅱ）法⼀：由24cos 4sin 703ρρθρθπθ?--+=??=得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||||||||||OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g 法⼆：直线2C的参数⽅程为122x t y ?=??=（t 为参数）将上述参数⽅程代⼊圆()()221:221C x y -+-=中并化简，得(2270t t -++=设,A B 两点处的参数分别为12,t t，则121227t t t t ?+=+??=??∴121211||||||||||||t t OA OB OA OB OA OB t t +++===g10.（1）直线l的参数⽅程是12x m y ?=+=??（t 为参数），消去参数t 可得直线l 的普通⽅程为0x m -=曲线C 的极坐标⽅程是2cos =ρθ，化为22cos =ρρθ，所以曲线C 的直⾓坐标⽅程为()2211x y -+=.（2x m y ?=+=??（t 为参数）代⼊⽅程()2211x y -+=，得211122m t +-+= ?，即2220t t m m ++-=.由0?>，解得13m -<<，所以2122t t m m =-∵121PA PB t t ?==，∴221m m -=±，解得1m =1+1，都满⾜0?>，所以1m =1m =或1m =11.（I ）由22cos ,2sin x y ??=+??=?消去参数?可得1C 普通⽅程为22(2)4x y -+=，. Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=??=?，得曲线2C 的直⾓坐标⽅程为22(2)4x y +-= （II ）由（I ）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标⽅程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=12.（1）设直线l 的倾斜⾓为α，因为直线l的⽅向向量为(，所以tan α=因为[)0,πα∈，所以直线l 的倾斜⾓为π3. 所以直线l 的参数⽅程为π1cos ,3π2sin3x t y t ?=-+=-+??（t 为参数），即11,222x t y ?=-+=-+??（t 为参数）. （2）因为π2cos 3ρθ?=-= ??cos θθ，所以2cos sin ρρθθ=+，所以圆的普通⽅程为22将直线l的参数⽅程代⼊，整理得(2360t t -+++=.设⽅程的两根为1t ，2t，则123t t +=+，126t t =+1t ，2t 均为正数. 所以11PM PN PM PN PM PN ++==121214t t t t +==.13.(1)设(),M x y ，则由条件知()2,2P x y ，由于P 点在曲线1C 上，所以2224x y a a ì=+?í?=+?，即12x y a a ì=?í?=?，从⽽2C的参数⽅程为12x y a a ì=?í?=?(a 为参数)，化为普通⽅程()()22125x y -+-=即22240x y x y +--=，将cos x r q =，sin y r q =所以曲线2C 后得到极坐标⽅程为22cos 4sin 0r r q r q --=.(2)曲线1C 的极坐标⽅程为24cos 8sin 0r r q r q --=，当6p q =时，代⼊曲线1C 的极坐标⽅程，得24cos 8sin 066p p即240r r --=，解得0r =或4r =，所以射线6pq =与1C 的交点A的极径为14r =，曲线2C 的极坐标⽅程为22cos 4sin 0r r q r q --=. 同理可得射线6 pq =与2C 的交点B的极径为12r =.所以212AB r r =-=.14.（1）由2x y αα==，有曲线1C 的普通⽅程为()2227x y -+=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代⼊()2211x y -+=得()()22cos 1cos 1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C 的极坐标⽅程2cos ρθ=. （2）依题意可设1,3A πρ?，2,3B πρ??. 因为曲线1C 的极坐标⽅程为24cos 30ρρθ--=，将3πθ=（0ρ>）代⼊曲线1C 的极坐标⽅程得2230ρρ--=，解得13ρ=.同理将3πθ=（0ρ>）曲线2C 的极坐标⽅程得21ρ=，所以122AB ρρ=-=.15.（Ⅰ）2cos =ρθQ ，22cos ∴=ρρθ，∴曲线C 的直⾓坐标⽅程为2220x y x +-=.Q 直线l的参数⽅程为142x t y ?=+??=（t为参数），y -=∴直线lcos sin -=θρθ.（Ⅱ）将6=πθ代⼊曲线C 的极坐标⽅程2cos =ρθ得=ρA ∴点的极坐标为6π.将6θ代⼊直线l的极坐标⽅程得3122-=ρρ=ρB ∴点的极坐标为6?π，AB ∴=.16.（I ）由cos 2α +sin 2α=1，把圆C 的参数⽅程1cos sin x y αα=+??=?化为（x ﹣1）2+y 2=1，………………2分∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．……………………………………………4分（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．……………………………………6分设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得．…………………8分∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．…………………………………………………………………10分17.解：（Ⅰ）由2(0)ρθπ=<<，得224(0)x y ρ+=> 设11(,)P x y ，(,)Q x y ，则122x x +=，12yy =，即122x x =-，12y y = 代⼊221114(y 0)x y +=>，得22(22)(2)4x y -+=，∴22(1)1(0)x y y -+=>；（不写0y >累计扣1分）（Ⅱ）设(1+cos ,sin )(0)M π<<，设点M 处切线l 的倾斜⾓为α，由l 斜率范围33,?-??，可得2536ππα=-，∴63ππ≤≤，∴3231cos 2?+≤+≤所以，点M 横坐标的取值范围是323[2+．18.（1）圆C 的参数⽅程为32cos 42sin x y θθ=+??=-+?（θ为参数），所以普通⽅程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标⽅程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2 d =ABM △的⾯积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ??=??=-+=-+，所以ABM △的⾯积的最⼤值为922+19.（1）曲线1C 的普通⽅程为24y x =，曲线2C 的普通⽅程为60x y +-=（2）将2C 的参数⽅程代⼊1C 的⽅程24y x =，得234322t +=- ? ? ? ?，得：260t +-=20.（Ⅰ）:360l x --=的倾斜⾓为3π，∴l 的参数⽅程为2cos 3sin 3x t y t ππ=+?=??，…2分由4sin 0ρθ-=，得曲线C 的直⾓坐标⽅程为()2 224x y +-=. ……………5分（Ⅱ）C: ()2cos 22sin x y θθθ=??=+?为参数，设()2cos ,22sin P θθ+, P 到l的距离为2sin 13d πθ??==-- ?3d ?∈?∴⼜||2||||AP d AP AP =Q 最⼩值最⼤值，，∴.……………10分21.(1)由cos 4πρθ?+=- ?ρθρθ-=-程，得()2x y -=-l 的⽅程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l的距离6d t π??===+ ，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==P 到直线l 的距离的最⼤值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下⽅，t ∴?∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成()4t ?+-（其中2tan a=）恒成⽴，4<，⼜0a >，解得0a <取值范围为(.22.（Ⅰ）由x t y ==??，得y =，l ∴的极坐标⽅程为sin cos ρθθ=即θ=()3R πθρ=∈.（Ⅱ）由238cos 30πθρρθ?=?-+=?，得2430ρρ-+=，设()11,A ρθ，()22,B ρθ，则123ρρ=，123OA OB ρρ∴?==.23.（1）θρθρsin ,cos ==y x Θ，所以1C 的极坐标⽅程为04sin cos 3=-+θρθρ曲线?? +==θθθ(sin 1cos :2y x C 为参数)的直⾓坐标⽅程为：1)1(22=-+y x ，所以2C 的极坐标⽅程为θρsin 2=（2）设),(),,(21αραρB A ，且αρααρsin 2,sin cos 3421=+=，41)62sin(21)22cos 12sin 23(21)sin cos 3(sin 2112+-=-+=+==∴πααααααρρOA OB ∴当262ππθ=-即3πα=时，OA OB 的最⼤值为43。

§13.1 坐标系与参数方程第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程概念方法微思考1．平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点．2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( √ ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × ) 题组二 教材改编2．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. 3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 答案 B解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2，故选B.题组三 易错自纠4．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A ．ρsin θ＝1 B ．ρsin θ＝ 3 C ．ρcos θ＝1 D ．ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.5．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为 ． 答案 x 2＋y 2－2y ＝0解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 6．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得直线的直角坐标方程为y ＝a (a >0)．设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.所以a ＝3.题型一极坐标与直角坐标的互化1．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2(r>0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r. 所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)．(2)方法一把ρ＝x2＋y2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，化简得x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.方法二方程ρ＝8sin θ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.2．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．解(1)∵C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x－3y－1＝0表示一条直线．由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－3y－1＝0上，∴直线C1过圆C2的圆心．因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换． 题型二 求曲线的极坐标方程例1 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12， 于是所求直线的方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解 (1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 又直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝22， ∴点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，|OQ |＝122＋22＝22， ∴点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，故线段PQ 的长为322. 题型三 极坐标方程的应用例2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的直角坐标方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0， 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3，得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7， ∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题． (3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.1．在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程． 解 (1)ρ＝21－sin θ可化为ρ－ρsin θ＝2，∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线θ＝π6分别与曲线C 1，C 2交于A ，B 两点(异于极点)，求|AB |的值．解(1)由⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝t ，x －y 2＝1t ，两式相乘得x 2－y 2＝4.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4， 即ρ2cos 2θ＝4，因为ρ＝4cos θ，所以ρ2＝4ρcos θ， 则曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝4，θ＝π6，得ρA ＝22，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4cos θ，θ＝π6，得ρB ＝23，故|AB |＝|ρB －ρA |＝23－2 2.3．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a >0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝φ＋π2与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D . (1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．解 (1)C 1：ρ2＝22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2ρsin θ＋2ρcos θ， 化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.把C 2的方程化为直角坐标方程为y ＝a ，因为曲线C 1关于曲线C 2对称，故直线y ＝a 经过圆心(1,1)，解得a ＝1，故C 2的直角坐标方程为y ＝1. (2)由题意可得，|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4， |OB |＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ， |OD |＝22cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4， 所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝8sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4sin φ＋8cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4cos φ ＝8cos π4＝8×22＝4 2. 4．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ(sin θ＋3cos θ)＝ 3.(1)求C 的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝θ1⎝⎛⎭⎫π6≤θ1≤π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求|OP |·|OQ |的取值范围．解 (1)圆C 的普通方程是(x －2)2＋y 2＝4，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1，设Q (ρ2，θ1)，且直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝3，则有ρ2＝3sin θ1＋3cos θ1， 所以|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝43cos θ1sin θ1＋3cos θ1＝433＋tan θ1⎝⎛⎭⎫π6≤θ1≤π3， 所以2≤|OP ||OQ |≤3.即|OP ||OQ |的取值范围是[2,3]．5.如图，在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为C 2上的动点，求△P AB 面积的最大值．解 (1)依题意得，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝7， 曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－3＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝16，设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π3，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3，则ρ21－4ρ1cos π3－3＝0，即ρ21－2ρ1－3＝0，得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)， ρ2＝8cos π3＝4，则|AB |＝|ρ2－ρ1|＝1， C 2(4,0)到l 的距离为d ＝|43|4＝23，以AB 为底边的△P AB 的高的最大值为4＋23， 则△P AB 的面积的最大值为12×1×(4＋23)＝2＋ 3. 6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝⎛⎭⎫1，22对应的参数φ＝π4，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫1，π3. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 1上的两个点且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值． 解 (1)将M ⎝⎛⎭⎫1，22及对应的参数φ＝π4，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ， 得⎩⎨⎧ 1＝a cos π4，22＝b sin π4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，φ为参数， 所以曲线C 1的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1. 设圆C 2的半径为R ，由题意，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)，将点D ⎝⎛⎭⎫1，π3代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3， 即R ＝1，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ，所以曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，所以ρ21cos 2θ2＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ2＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝⎝⎛⎭⎫cos 2θ2＋sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ2＋cos 2θ＝32.。

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

第2讲 参数方程板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )(*)，如果对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参数．考点2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t(t ≥1)表示的曲线为直线．( )(2)直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为1.( )(3)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos30°，y ＝1＋t sin150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭圆．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．已知圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcos α－4ρsin α－9＝0，则直线与圆的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心答案 D解析 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为3x －4y －9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋(－4)2＝95<2，所以直线与圆相交．显然直线不过原点(0,0)，故选D.3．[2018·安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.4．[2018·湖南模拟]在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析 由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，所以a ＝3.5．[2018·天津模拟]已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.答案 2解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，p >0，可得曲线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为－p2，M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为3－p22，与F 的横坐标p2相同．∴3－p22＝p 2，∴p ＝2.6．[2015·湖北高考]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析 因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，消去t 得y 2－x2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝⎛⎭⎪⎫22，322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.板块二 典例探究·考向突破 考向参数方程与普通方程的互化例 1 [2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin (θ＋φ)－a －4|17⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34， 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16. 触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．【变式训练1】 [2018·湖南长郡中学模拟]已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55·|3sin θ－4cos θ＋13|＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43， 所以d 的最小值为855.考向直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化例 2 [2018·宝鸡模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和2倍后得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4.(1)试写出曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的参数方程；(2)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．解 (1)把C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，消去参数化为普通方程为x 2＋y 2＝1，故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝1.再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C 2的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 22＋y 24＝1.故曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4，即2x ＋y －4＝0，设点P (2cos θ，2sin θ)，则点P 到直线的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|2＋1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－23，故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 取得最小值，此时，θ＝2k π＋π4(k ∈Z )，点P (1，2)，故曲线C 2上有一点P (1，2)满足到直线l 的距离的最小值为433－263.触类旁通参数方程和直角坐标方程及 极坐标方程之间的相互转化(1)把C 1消去参数化为普通方程为x 2＋y 2＝1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C 2的普通方程，再化为参数方程．(2)先求得直线l 的直角坐标方程，设点P (2cos θ，2sin θ)，求得点P 到直线的距离为d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－23，故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，即θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，点P到直线l 的距离最小，从而求得P 的坐标以及此最小值．【变式训练2】 [2018·宜春模拟]在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP |·|OQ |的最大值．解 (1)圆C 1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，转化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，转化成极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ， 即ρ＝4cos θ圆C 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，转化成直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0转化成极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ， 即ρ＝2sin θ.(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ， 设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝4|sin2α|. ∵(|sin2α|)max ＝1，∴|OP |·|OQ |的最大值为4.考向直线的参数方程例 3 [2018·泉州模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝2＋t (t 是参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，试求|AB |及|PA |·|PB |的值．解 (1)直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0.ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)直线l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′是参数)，把直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0得，t ′2＋2t ′－7＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－2，t 1′t 2′＝－7，点P (1,2)显然在直线l 上，故|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝30，故|PA |·|PB |＝|t 1′t 2′|＝7.触类旁通直线的参数方程的标准形式过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．【变式训练3】 [2018·哈尔滨模拟]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．解 (1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2 ＝4cos 2φ＋12，∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．考向极坐标、参数方程的综合应用例 4 [2018·盐城模拟]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ. (1)直接写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线l 夹角为π3的直线m ，设直线m 与直线l 的交点为A ，求|PA |的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)，得l 的普通方程为2x ＋y －6＝0，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1.(2)由(1)，知直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5.由题意得|PA |＝d sin60°＝415⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－315，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 触类旁通极坐标与参数方程综合应用中注意的问题(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．【变式训练4】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2ρsin θ＋4＝0(ρ≥0)．(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若A 是曲线C 1上的任意一点，B 是曲线C 2上的任意一点，求线段AB 的最小值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2，消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入到ρcos θ＋2ρsin θ＋4＝0(ρ≥0)中，得x ＋2y ＋4＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋2y ＋4＝0.(2)解法一：因为A 是曲线C 1上的任意一点，B 是曲线C 2上的任意一点，所以线段AB 的最小值，即与曲线C 2平行的直线与曲线C 1相切时，切点到曲线C 2的距离，设切线的方程为x ＋2y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＋2y ＋m ＝0，消去y 得x 2＋2x ＋2m ＝0，所以Δ＝22－4×1×2m ＝0，得m ＝12，因此切点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，其到直线C 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2×14＋412＋22＝7510，即|AB |min ＝7510. 解法二：因为A 是曲线C 1上的任意一点，B 是曲线C 2上的任意一点，所以可设点A (4t,4t 2)，线段AB 的最小值即点A 到直线C 2的距离d 的最小值，所以d ＝|4t ＋2×4t 2＋4|12＋22＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142＋785， 当t ＝－14时，d min ＝7510，即|AB |min ＝7510.核心规律参数方程与普通方程互化的方法(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．满分策略参数方程应用中的注意事项(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便.板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.2．[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)， 联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.3．[2018·安阳模拟]已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标系方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解 (1)∵圆C 的直角坐标系方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0， 化简得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，即ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，消参得：x －y ＋1＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0， 即ρ＝1sin θ－cos θ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，故点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，|OQ |＝1sin 3π4－cos 3π4＝122＋22＝22，故点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4， |PQ |＝|OP |－|OQ |＝22－22＝322故线段PQ 的长为322.4．[2018·长沙模拟]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin φ，y ＝1＋t cos φ(t 为参数，0<φ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当φ变化时，求|AB |的最小值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin φ，y ＝1＋t cos φ(t 为参数，0<φ<π)，消去t ，得x cos φ－y sin φ＋sin φ＝0，所以直线l 的普通方程为x cos φ－y sin φ＋sin φ＝0. 由ρcos 2θ＝4sin θ，得(ρcos θ)2＝4ρsin θ， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得x 2＝4y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将直线l 的参数方程代入x 2＝4y ，得t 2sin 2φ－4t cos φ－4＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝4cos φsin 2φ，t 1t 2＝－4sin 2φ， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝16cos 2φsin 4φ＋16sin 2φ＝4sin 2φ. 当φ＝π2时，|AB |取得最小值，最小值为4.5．[2018·榆林模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a >0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－22，得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y )＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P (2cos t,2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|2cos t －2sin t ＋4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π4＋42.当t ＋π4＝2k π＋π，即t ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d min ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有a cos t －2sin t ＋4>0恒成立， 即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝2a 恒成立，∴a 2＋4<4，又a >0，∴0<a <2 3. 故a 的取值范围为(0,23)．6．[2018·豫南九校联考]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的直角坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B ，M 对应的参数分别为t 1，t 2，t 0. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313. (2)设直线l 上的点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 结合Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0可知tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.。

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第2课时参数方程最新考纲考情考向分析1。

了解参数方程,了解参数的意义．2。

能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.了解参数的意义,重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题的形式考查，难度为中档.1．参数方程和普通方程的互化（1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2）如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系,例如x＝f(t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t）,那么错误!就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程错误!中的x，y都是参数t的函数．( √）(2）过M0（x0，y0)，倾斜角为α错误!的直线l的参数方程为错误!（t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y）为终点的有向线段M0M的数量．（√）(3）方程错误!(θ为参数)表示以点（0,1)为圆心，以2为半径的圆．（√)（4)已知椭圆的参数方程错误!（t为参数),点M在椭圆上,对应参数t＝错误!，点O为原点，则直线OM的斜率为错误!。