成都九校高二上学期期中

四川省成都市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·延边期中) “方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A . 或B .C .D . 或2. （2分）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为，则下列结论正确的是（）A . ；乙比甲成绩稳定B . ；甲比乙成绩稳定C . ；甲比乙成绩稳定D . ；乙比甲成绩稳定3. （2分） (2017高二下·长春期末) 已知命题p：“∃x0∈R，e ﹣x0﹣1≤0”，则￢p为（）A . ∃x0∈R，e ﹣x0﹣1≥0B . ∃x0∈R，e ﹣x0﹣1＞0C . ∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0D . ∀x∈R，ex﹣x﹣1≥04. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A . x2+ y 2-x-2 y -=0B . x2+ y 2+x-2 y +1='0'C . x2+ y 2-x-2 y +1=0D . x2+ y 2-x-2 y +=06. （2分）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC,PA=2AB则下列结论正确的是（）A .B . 平面PAB平面PBCC . 直线BC∥平面D . 直线PD与平面ABC所成的角为45°7. （2分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若=+x+y，则（）A . x=﹣,y=B . x=,y=-C . X=-,y=-D . x=,y=8. （2分） (2019高二上·洮北期中) 直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（）A .B .C . -D .9. （2分）已知向量=(2cosα,2sinα)，=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（）A . 相交但不过圆心B . 相交过圆心C . 相切D . 相离10. （2分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框内应填入的条件是（）（）A . i=2008?B . i>2009?C . i>2010?D . i=2012?11. （2分） (2016高二上·定州期中) 某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·武汉模拟) 下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量 =（3，﹣4）， =（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知两条直线l1：x+（2+m）y=﹣3，l2：mx+y=﹣5，若l1⊥l2 ，则m=________．14. （1分）已知直线y=x+b，b∈[﹣2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________15. （1分）(2014·江苏理) 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm．16. （1分） (2017高二下·启东期末) 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a=0”是“函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·定兴期中) 已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．18. （15分） (2016高一下·吉林期中) 某班50位同学周考数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中[80，90）的矩形高的值，并估计这50人周考数学的平均成绩；（2）根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数（精确到0.1）；（3）从成绩在[40，60）的学生中随机选取2人，求这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）的概率．19. （10分）(2017·黑龙江模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 =．（1）求的值（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面积S．20. （5分）如图2，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CC1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）如图1给出了该三棱柱三视图中的正视图，请据此在框内对应位置画出它的侧视图；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）（文科做）若点P是线段A1C上的动点，求三棱锥P﹣AB1D的体积．（理科做）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．21. （10分）设直线和圆相交于点。

2023－2024学年高二上学期质量监测试题数学（答案在最后）注意事项：1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存.2．选择题部分必须用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线313y x =-+的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由倾斜角与斜率的关系，即可得到结果.【详解】因为直线13y x =-+的斜率为3-，设直线的倾斜角为α，则tan 3α=-，因为0180α︒≤≤︒，所以150α=︒.故选：D2.椭圆C ：22126x y +=一个焦点的坐标是（）A.(2,0)B.(0,2)C.(0,4)D.(4,0)【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程即可求出C ,并且知道焦点在y 轴上,可表示出焦点坐标.【详解】由椭圆C ：22126x y +=，知,,,a b c c ==∴=∴=2226242，故焦点坐标为(0,2),(0,2)-.故选：B3.已知点P 是圆22:4210C x y x y +--+=上一点，点(1,5)Q -，则线段PQ 长度的最大值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】C 【解析】【分析】先由2CQ >判断点Q 在圆外，则最大值为CQ r +.【详解】圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，则圆心(2,1)C ，半径2，由点(1,5)Q -，则52CQ ==>，即点Q 在圆外，则max 527PQ CQ r =+=+=.故选：C.4.直线l ：24y x =-关于点(1,0)A 对称的直线方程为（）A.2y x =B.2y x =-C.28y x =-D.24y x =+【答案】A 【解析】【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.【详解】因为(1,0)A 不在直线l ：24y x =-上，所以可设直线l ：24y x =-关于点(1,0)A 对称的直线方程为2y x b =+，=，解得0b =或4b =-（舍去），故所求直线方程为：2y x =.故选：A5.若{},,a b c为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（）A.{},2,b c b b c+- B.{}2,3,a b a a b+- C.{},,a b c a b +- D.{},,a b c a b c +++ 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量基底的定义和共面向量定理判断即可．【详解】因为()2b b c b c =++- ，所以,2,b c b b c +-是共面向量，则{},2,b c b b c +-不能作为基底，故A 错误；因为()322a a b a b =++- ，所以2,3,a b a a b +- 是共面向量，则{}2,3,a b a a b +-不能作为基底，故B 错误；设()a b xc y a b ya yb xc +=+-=-+ ，可得110y y x =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，此方程组无解，所以,,a b c a b +-是不共面的向量，则{},,a b c a b +- 能作为基底，故C 正确；因为()a b c a b c ++=++ ，所以,,a b c a b c +++是共面向量，则{},,a b c a b c +++不能作为基底，故D 错误．故选：C ．6.已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，若两直线平行，则()()()211a a ⨯-=-⨯-，解得1a =-或2a =.当1a =-时，1l ：210x y ++=，2l ：210,210x y x y ---=++=，此时两直线重合，不符合.当2a =时，1l ：2210x y -+=，2l ：20x y -+=，符合题意.所以“2a =”是“12//l l ”的充要条件.故选：C7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（） A.54B.C.22D.324【答案】D 【解析】【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()10,0,1,0,1,0,1,,02P D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()10,1,1,1,,02PD DE ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭ ，所以12,24DE PDDE PDPD-⋅===-，所以点E到直线PD4=.故选：D.8.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139、6445、107，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为1e、2e、3e，则（）A.132e e e<< B.231e e e<< C.123e e e<< D.213e e e<<【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的长轴长与短轴长的定义，结合离心率公式和参数之间的等量关系，可得答案.【详解】因为椭圆的离心率cea===，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，因为6410134579<<，所以231e e e<<.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为(1,2,2)-，则正确的是（）A.点P关于x轴对称点的坐标为(1,2,2)--B.点P 关于平面xOy 的对称点坐标为(,,)--122C.点P 到原点O 的距离是3D.直线OP 与y 轴所在直线夹角的余弦值为23-【答案】BC 【解析】【分析】根据点关于坐标轴的对称点判断A ，根据点关于平面的对称点判断B ，根据两点距离公式判断C ，根据直线夹角的向量求法判断D.【详解】对于A ，点(1,2,2)P -关于x 轴对称点的坐标(1,2,2)-，错误；对于B ，点(1,2,2)P -关于平面xOy 的对称点坐标为(,,)--122，正确；对于C ，点P 到原点O=3，正确；对于D ，直线的方向向量(,,)OP =-122 ，y 轴所在直线的方向向量为(0,1,0)m =，所以直线OP 与y 轴所在直线夹角的余弦值为|cos ,|||||OP m OP m OP m ⋅-===⨯⋅22313，错误.故选：BC.10.已知直线l 过点()4,5P ，且直线l 在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程为（）A.540x y -=B.10x y -+= C.90x y +-= D.10x y ++=【答案】ABC 【解析】【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为11x y x yy kx a a a a=+=-=，，，结合过点()4,5P 可得答案.【详解】当直线l 过原点时，设直线方程为y kx =，因过点()4,5P ，则直线l 的方程为54y x =，即540x y -=，故A 正确；当直线l 截距相等时，设直线方程为1x y a a +=，因过点()4,5P ，则919a a=⇒=，则直线l 的方程为90x y +-=，故C 正确；当直线l 截距互为相反数时，设直线方程为1x ya a -=，因过点()4,5P ，则111a a⇒-==-，则直线l 的方程为10x y -+=，故B 正确．故选：ABC ．11.已知曲线:C 6=，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，()1,1M -，P 为曲线C 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.12PF F △的周长为6B.12PF F △的面积的最大值为C.存在点P ，使得12PF PF ⊥D.1PM PF +的最大值为7【答案】BD 【解析】【分析】先利用椭圆的定义求得曲线C 的标准方程，再利用椭圆的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为曲线:C 6=，1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以121262PF PF F F +=>=，所以曲线C 是椭圆，其中3,1a c ==，则2228b a c =-=，所以曲线C 的标准方程为22:198x y C +=，对于A ，12PF F △的周长为1212628PF PF F F ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，点P 到边12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大，则12PF F △最大面积122S =⨯=B 正确；对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯，即12F PF ∠为锐角，所以不存在点P 使得12PF PF ⊥，故C 错误；对于D ，如图，()21,0F ，()1,1M -，所以()()22211011MF =-++=，所以12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，当且仅当P 在2MF 的延长线上时，等号成立，故D 正确．故选：BD.12.已知直线:40l x y +-=和圆22:4O x y +=，点A 是直线l 上的一个动点，点D 是圆O 上的一个动点，过点A 作圆O 的两条切线，切点分别为,B C ，则下列说法正确的是（）A.cos BAC ∠的最大值为54B.当||||AO BC ⋅最小时，直线BC 的方程为20x y +-=C.若圆O 上总存在点D ，使得30OAD ∠=︒，则A 的横坐标的取值范围是[]0,4D.定点()3,3到动直线BC 距离最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】分析BAC ∠的取值情况，即可判断A ，根据圆的切线长的计算公式结合圆心到直线的距离即可求得AB 的最小值，从而求出此时以A 为圆心的圆的方程，两圆方程作差，即可求出切点弦方程，即可判断B ，由曲线O 上总存在点D ，使得30OAD ∠=︒，可得3090OAB ︒≤∠<︒，从而1sin 12OAB ≤∠<，设(),4A x x -，可得不等式，求得x 范围，判断C ，由题意可知B ､C 两点在以OA 为直径的圆上，求出以OA为直径的圆的方程，联立22:4O x y +=求得直线BC 的方程，可推得直线BC 所过的定点，从而求出距离最大值，判断D.【详解】对于A ：当BAC ∠越小时cos BAC ∠的值越大，所以当OA 的长度无限大时，BAC ∠无限接近0︒，所以cos BAC ∠无限接近1，故A 错误；对于B ：因为11222ACOB S OA CB OB AB =⋅=⨯⋅四边形，即2OA CB AB ⋅=，所以AO BC ⋅最小时，就是AB 最小，又因为AB ==AO 最小时，AB 最小，因为当AO 是点O 到直线l 的距离时AO=，此时OA l ⊥，则1OA k =，所以:OA y x =，由40y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2A ，又2AB ==，所以以()2,2A 为圆心2为半径的圆的方程为()()22224x y -+-=，由()()22224x y -+-=与224x y +=相减即可得到20x y +-=，即直线BC 的方程为20x y +-=，故B 正确．对于C ：因为点A 是直线l 上的一个动点，所以设(),4A x x -，因为曲线O 上总存在点D ，使得30OAD ∠=︒，所以3090OAB ︒≤∠<︒，因此1sin 12OAB ≤∠<，又因为在Rt OAB 中，sin OB OAB OA ∠==，所以112≤<，即24<≤，解得04x ≤≤，因此点A 的横坐标的取值范围是[]0,4，故C 正确；对于D ：由题意过点A 作曲线O 的两条切线，切点分别为B ､C ，可知B ､C 两点在以OA 为直径的圆上，设(),4A t t -，则OA 为直径的圆的方程为()(4)0x x t y y t -+-+=，和224x y +=相减可得直线BC 的方程，即()44tx t y +-=，即()()410t x y y -+-=，由于R t ∈，故由01x y y -=⎧⎨=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线BC 恒过定点()1,1，所以定点()3,3到动直线BC=，故D 正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：本题判断正误的难点在于C 、D 选项的判断，对于C 选项，要能够根据曲线O 上总存在点D ，使得30OAD ∠=︒，明确3090OAB ︒≤∠<︒，然后结合三角函数求解；对于D 选项，要能够明确BC 即为以OA 为直径的圆和224x y +=的公共弦，由此可求得直线BC 的方程.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知光线经过点()4,6A ，经x 轴上的()2,0B 反射照到y 轴上，则光线照在y 轴上的点的坐标为________．【答案】()0,6【解析】【分析】求出点()4,6A 关于x 轴的对称点为1A ，直线1A B 即是反射光线所在直线，两点式求出直线方程，从而得到反射光线经过y 轴上的点的坐标.【详解】点()4,6A 关于x 轴的对称点为()14,6A -，则直线1A B 即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为026042y x --=---，即360x y +-=，令0x =，得6y =，所以反射光线经过y 轴上的点的坐标为()0,6.故答案为：()0,614.已知方程222(2)4850a x a y x y a +++++=(a 为实数)表示圆，则=a ________．【答案】1-【解析】【分析】由22a a =+可求得1a =-或2a =；分别在两个取值情况下验证224D E F +-是否大于零，大于零的为满足题意的取值.【详解】 方程表示圆22a a ∴=+，解得：1a =-或2a =当1a =-时，方程可化为224850x y x y +++-=，此时2248200++>，满足题意；当2a =时，方程可化为22250x y x y ++++=，此时2212200+-<，方程不表示圆综上所述：1a =-故答案为：1-【点睛】本题考查根据方程表示圆求解参数值的问题，关键是明确若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则需2240D E F +->.15.椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称.若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为___________.【答案】2【解析】【分析】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，根据斜率公式结合题意可得：14AP AQk k ⋅=，再结合2200221x y a b+=，整理可得离心率．【详解】已知(,0)A a -，设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，00AP y k x a ∴=+，00,AQ y k a x =-，故20002200014AP AQy y y k k x a a x a x =⋅==+--①，∵2200221x y a b +=，即2222002()b a x y a -=②，②代入①整理得：2214b a =，2c e a ===．故答案为：32．16.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为74，斜率为正的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，点的位置如图所示，且AP PQ QB == ，则直线l 的斜率为_________．【答案】34##0.75【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据AP PQ QB == ，得122x x =-，1212y y =-，应用点差法求得222b k a -=-，结合离心率即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 斜率为正，设为k ，所以可设点A 在第一象限，AP PQ QB == ，∴||||||AP PQ QB ==，且A ，B ，P ，Q 四点共线，∴12P Q P Q x x x x x x -=-=-，12P Q P Q y y y y y y -=-=-，又 0Q x =，0P y =，∴122x x =-，1212y y =-， ()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上，∴2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，2221222212y y b x x a -=--，2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，又221221222211222y y y y y k x x x x x ---===---，221221222211222y y y y y k x x x x x -++==-=-+-+，∴222b k a -=-，即222b k a =，∴222222279111616b a c c k a a a -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭，∴34k =±，又直线l 斜率为正，∴34k =．故答案为：34.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的顶点(3,2)A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()1,3（2）47170x y -+=．【解析】【分析】（1）由边AC 上的高所在直线的斜率可求直线AC 的斜率，已知点(3,2)A ，由点斜式方程可得AC 直线方程，又点C 也在AB 边的中线上，联立方程组求解交点C 的坐标即可；（2）设点(,)B a b ，则AB 中点32,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在已知中线上，又点B 在已知AC 边的高线上，则联立方程组可得B ，再由两点式可得直线BC 的方程.【小问1详解】因为边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，设线AC 的斜率为k ，则21k =-，解得12k =-，又因为直线AC 过点()3,2A ，则直线AC 的方程为12(3)2y x -=--,+270x y -=，又边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，且该直线过点C ，所以联立380+270x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得C 的坐标为()1,3．【小问2详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，所以AB 的中点32,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线380x y -+=上，且边AC 上的高所在直线290x y --=过顶点B ，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．由（1）知(1,3)C ，由两点式方程得317381y x --=--，化简得47170x y -+=.即直线BC 的方程为47170x y -+=．18.已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1270l x y ++=：相切，过点()2,0B-的直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN的中点，||MN =.（1）求圆A 的标准方程；（2）求直线l 的方程.【答案】（1）()()221220x y ++-=（2）2x =-或3460x y -+=【解析】【分析】（1）计算出圆A 的半径，可得出圆A 的标准方程；（2）利用勾股定理计算出圆心A 到直线l 的距离为1d =，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l x ⊥轴时，直接验证即可；在直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线l 的方程.【小问1详解】设圆A 半径为R ，由圆与直线1270l x y ++=：相切，则点()1,2A -到直线1l 的距离等于半径R ，得R =∴圆A 的标准方程为()()221220x y ++-=.【小问2详解】由（1）知，R =||MN =则圆心A 到直线l的距离1d AQ ==.当直线l 与x 轴垂直时，即2x =-，此时圆心A 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 不与x 轴垂直时，设方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，1d ==，解得34k =，∴直线l 为：3460x y -+=.综上所述，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.19.已知四面体ABCD 的顶点坐标分别为()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ．（1）若M 是BD 的中点，求直线CM 与平面ACD 所成的角的正弦值；（2）若P ，A ，C ，D 四点共面，且BP ⊥平面ACD ，求点P 的坐标．【答案】（1）3（2）482,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM = 和平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =-- ，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，由P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，将,AP AD AC ,坐标分别代入即可解得23λ=-，从而求得点P 的坐标.【小问1详解】由题意，()1,2,1AC =- ，()2,2,0AD = ，()2,2,1M ，()1,0,0CM = ，可设平面ACD 的法向量(),,n x y z = ，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20220x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，化简得z x y x =-⎧⎨=-⎩．令1x =，则1y =-，1z =-，可得平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =-- ，设直线CM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin 3CM n CM n θ⋅===⋅ ，即直线CM 与平面ACD所成的角的正弦值为3；【小问2详解】由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，又P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，即()()()2,2,22,2,01,2,1x y λλλ+---=+-，即222222x y x y y λλλ+=+⎧⎪-=+⎨⎪--=-⎩，解得23λ=-，所以所求点P 的坐标为482,,333⎛⎫⎪⎝⎭．20.如图，已知12,F F 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>左右焦点，过2F 的直线():1R l x ty t =+∈与椭圆C 交于A ，B 两点，且1ABF 的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的长轴是DE ，直线AD ，BE 的斜率分别是k 1，k 2，求12kk 的值．【答案】（1）22143x y +=（2）13【解析】【分析】（1）由椭圆的性质和直线过右焦点直接得出椭圆方程.（2）直曲联立，得到韦达定理表示成t 的代数式，再表示出斜率即可.【小问1详解】由已知得228,1a a c +==22,1,3a cb ∴===因此，椭圆C 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）知()()2,0,2,0D E -设():1R l x ty t =+∈，()()1122,,,A x y B x y ，联立1x ty =+和22143x y +=，消去x ，整理得()2234690t y ty ++-=122634t y y t ∴+=-+，122934y y t =-+，所以()121232ty y y y =+12112121212121212212132112239233322y y k y x y ty ty y y k x y ty y ty y y y y +---∴=⋅=⋅===++++21.如图，正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是侧棱AC ，AD 的中点，连接EF．（1）判断AB 与EF 的位置关系，说明理由；（2）若AB =，2BC =，求平面BCD 与平面BEF 所成角的余弦值．【答案】（1）异面垂直，证明见解析.（2）3【解析】【分析】（1）先证明AB 与EF 异面，再证明CD ABG ⊥面即可得出结果.（2）法一：先用二面角的定义求出二面角的位置，再解三角形得出二面角的余弦值；法二：建系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】AB 与EF 异面垂直．直线EF 在平面ACD 内，且点A 在直线EF 在外，点B 在平面ACD 外，所以AB 与EF 是异面直线．取CD 中点G ，连接,AG BG ，因为ACD 为等腰三角形，BCD △为正三角形，AG BG G = ，且,AG BG 都在面ABG 内，所以,AG CD BG CD ⊥⊥，所以CD ABG⊥面所以,//AB CD EF CD ⊥，所以AB ⊥EF ．进而AB 与EF 异面垂直．【小问2详解】法一：取等边BCD △的中心O ，连接AO ，AG EF N = ，由图像可知N 为EF 中点，连接NM ，则//NM AO ，过B 做CD 的平行线BP ，因为//,BP CD BG CD ⊥，所以BG BP ⊥，因为,////BE BF EF CD BP =，所以BN BP ⊥，因为BP 为平面BCD 与平面BEF 的公共边，故NBM ∠为平面BCD 与平面BEF 所成的二面角，因为底面为正三角形，且2BC =，BCD △的中心O所以22323BO =⨯⨯=,111222326OM OG ==⨯⋅⨯=所以6BM BO OM =+=,又因为AO ==12NM AO ===所以6BN ===所以余弦值等于5636BM BN ==法二：取等边BCD △的中心O ，连接AO ，OC ，则AO BCD ⊥面，OC BD ⊥，作Oy 垂直OC ，如图所示建立空间直角坐标系．则A 0 ,0 ,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ,1,03⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，C ,0 ,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ,1,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，E 315 ,0 ,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，F 3115 , ,623⎛- ⎝⎭有2315 ,1 ,33BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,,022EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 取平面BEF 的法向量(),,m x y z = ，则0331022x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取1x =，解得(m = 取平面BCD 得法向量()0,0,1n = ，则平面BCD 与BEF 所成角的余弦值cos 3θ=22.已知圆心为H 的圆222150x y x ++-=和定点()1,0A ，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C ．（1）求C 的方程．（2）如图所示，过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE QF ⋅ 的取值范围【答案】（1）22143x y +=（2）2136,47⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由l 是线段AB 的中垂线得MA MB =，根据椭圆定义可得答案；（2）由直线EF 与直线PQ 垂直可得PE QF AE AF AP AQ ⋅=⋅+⋅，①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，可取31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0E ，()2,0F -，可得PE QF ⋅ ；②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE QF ⋅ ；③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为()1y k x =-，设直线EF 的方程为()11y x k=--，将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，令21k t +=，利用韦达定理代入PE QF ⋅ ，根据t 的范围可得答案．【小问1详解】由222150x y x ++-=，得()22116x y ++=，所以圆心为()1,0H -，半径为4，连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得MA MB =，所以4MA MH MB MH BH +=+==，又24AH =<，根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以24a =，21c =，23b =，所求曲线C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由直线EF 与直线PQ 垂直，可得0AP AE AQ AF ⋅=⋅=，于是()()PE QF AE AP AF AQ AE AF AP AQ ⋅=-⋅-=⋅+⋅ ，①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0E ，()2,0F -，所以339211,3,32244PE QF ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得214PE QF ⋅=- ，③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为()1y k x =-，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，()1,P P AP x y =- ，()1,Q Q AQ x y =- ，则直线EF 的方程为()11y x k=--，将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，并整理得，()22223484120k x k x k +-+-=，所以22834P Q k x x k +=+，2241234P Q k x x k-⋅=+，于是()()()()21111P Q P Q P Q P Q AP AQ x x y y k x x x x ⋅=--+⋅=⎡⎤⎣⎦+-++ ()()222222291412811343434k k k k k k k +⎛⎫-=+-+=- ⎪+++⎝⎭，将上面的k 换成1k -，可得()229143k AE AF k+⋅=-+ ，所以()22211913443PE QF AE AF AP AQ k k k ⎛⎫⋅=⋅+⋅=-++ ⎪++⎝⎭ ，令21k t +=，则1t >，于是上式化简整理可得，22211636394131121491142t PE QF t t t t t t ⎛⎫⋅=-+=-=- ⎪-++-⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由1t >，得101t <<，所以213647PE QF -<⋅≤- ，综合①②③可知，PE QF ⋅ 的取值范围为2136,47⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。

成都2023~2024学年度上期半期考试数学试题（答案在最后）（时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（）A.7B.6C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】利用抽样比计算抽取人数．【详解】由条件可知，选出“史政生”组合中选出的同学人数为901232109060⨯=++人．故选：C.2.过点(3,0)和点的直线倾斜角α=（）A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】根据斜率公式求解斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】过点(3,0)和点的直线的斜率3043k -==-又0180α︒≤<︒，所以60α=︒.故选：B3.已知点P 为椭圆C ：2212516x y +=上一点，且点1F 和点2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若14PF =，则2PF =（）A.5B.6C.7D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果.【详解】因为椭圆C ：2212516x y +=，则2255a a =⇒=，由题意定义可得12210PF PF a +==，且14PF =，则26PF =.故选：B4.从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A.“至少有1件正品”与“都是次品”B.“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”C.“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D.“都是正品”与“都是次品”【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次，对于A ：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合；对于B ：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意；对于C ：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；对于D ：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；故选：D5.已知点()1,1P -在圆225:204C x y kx y k ++-+=外，则实数k 的取值范围是（）A.0k >B.1k <或4k > C.01k <<或4k > D.4k >【答案】C 【解析】【分析】由点和圆的位置关系求解即可.【详解】因为点()1,1P -在圆225:204C x y kx y k ++-+=外，所以511204k k +--+>，解得：0k >.()2225:11244k k C x y k ⎛⎫++-=-+ ⎪⎝⎭，圆C 要表示圆，则251044k k -+>即4k >或1k <，所以01k <<或4k >故选：C .6.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】对于单峰频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体相等，和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.【详解】对于B,D 图象对称，平均数和中位数相等，A 中图象尾巴向右拖，C 中图象尾巴靠左拖，故A 正确.故选：A .7.若点()00,P x y 在圆222C x y r +=：的内部，则直线200xx yy r +=与圆C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系.【详解】因为点()00,P x y 在圆222C x y r +=：内，则22200x y r +<，所以圆心()0,0到直线200xx yy r +=的距离为d r =>，所以直线与圆相离.故选：C8.若点1F 和点2F 分别为椭圆22156x y +=的两个焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则12PF PF ⋅ 的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】设(),P m n ，且22156m n +=，利用向量的坐标运算表示出12PF PF ⋅ ，然后消去n ，进而可得最小值.【详解】由已知得()()210,1,0,1,F F -设(),P m n ，且22156m n+=，则()()2212,1,11PF PF m n m n m n ⋅=--⋅---=+- ，代入22615m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得22212611555m PF PF m m ⎛⎫⋅=+--=-⎪⎝⎭ ，因为m ≤≤，所以24555m ≤-≤，即12PF PF ⋅的最小值为4.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是（）A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．【答案】ABC 【解析】【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.【详解】对于A :从中任取100件，可能有10件，A 错误；对于B :做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是37，不是概率为37，B 错误；对于C :多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C 错误；对于D :10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D 正确.故选:ABC.10.下列说法正确的是（）A.若数据1212,,,x x x 的方差为1，则新数据11x +，21x +，…，121x +的方差为1B.已知随机事件A 和B 互斥，且()0.8P A B = ，()0.3P B =，则()P A 等于0.5．C.“1a =-”是直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直的充要条件D.无论实数λ取何值，直线()()()213110x y λλλ-++--=恒过定点()2,3-【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据方差的性质判断；对于B ：根据互斥事件的概率关系进行计算判断；对于C ：先根据直线垂直求出a ，再进行充分性和必要性的判断；对于D ：将直线变形为()()()213110x y λλλ-++--=，然后列方程组2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，求解即可得定点.【详解】对于A ：若数据1212,,,x x x 的方差为1，则新数据11x +，21x +，…，121x +的稳定程度没有发生改变，方差还是1，A 正确；对于B ：随机事件A 和B 互斥，且()0.8P A B = ，()0.3P B =，则()()()0.80.30.5P A P A B P B =-=-=U ，则()()10.5P A P A =-=，B 正确；对于C ：若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则()()210a a +-⨯-=，解得0a =或1a =-，故“1a =-”是直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直的充分不必要条件，C 错误；对于D ：直线()()()213110x y λλλ-++--=即为()213110x y x y λ+--++=，令2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，即无论实数λ取何值，直线()()()213110x y λλλ-++--=恒过定点()2,3-，D 正确.故选：ABD.11.若圆1C ：223330x y x y +--+=与圆2C ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（）A.线段AB 中垂线方程为10x y -+=B.公共弦AB 所在直线方程为30x y +-=C.若实数x ，y 满足圆2C ：22220x y x y +--=，则y x -D.过点()0,2作圆2C ：22220x y x y +--=的切线方程为圆2y x =+【答案】BD 【解析】【分析】线段AB 中垂线即为直线12C C ，直接求解可判断A ；圆1C 和圆2C 方程作差可判断B ；令y x t -=，代入圆的方程，通过方程有解判断C ；通过点在圆上，直接写出切线方程可判断D.【详解】圆1C ：223330x y x y +--+=的圆心133,22C ⎛⎫⎪⎝⎭，圆2C ：22220x y x y +--=的圆心()21,1C ，对于A ：线段AB 中垂线即为直线12C C ，方程为()31211312y x --=--，即y x =，A 错误；对于B ：圆1C 和圆2C 方程作差得()2222333202x y y x y x y x +---+-+=，整理得30x y +-=，B正确；对于C ：令y x t -=，则y x t =+，代入22220x y x y +--=得()()22220x x t x x t ++--+=，整理得()2222220x t x t t +-+-=，方程有解，故()()22Δ42820t t t =---≥，解得22t -≤≤，则y x -的最大值为2，C 错误；对于D ：点()0,2在圆2C ：22220x y x y +--=上，故切线方程为01221y x --=--，即2y x =+，D 正确.故选：BD.12.设1F ，2F 为椭圆C ：221259x y +=的两个焦点，P 为C 上一点且123cos 5F PF ∠=，I 为12F PF △的内心，则下列正确的是（）A.12F PF △内切圆半径为1B.2IP =C.若点()11,P x y ，()22,I x y ，则2154x x =D.若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，则存在以()1,3G 为线段MN 的中点，且直线l 的方程为325780x y +-=【答案】BC 【解析】【分析】利用等面积法求出12F PF △内切圆半径，可判断选项A ，利用圆的切线相关知识可判断B ，直接求出1x ，2x 值，得到两者关系，可判断C ，利用点在椭圆外，所以不存在满足条件的直线，可判断D.【详解】由椭圆C ：221259x y +=，可知5a =，4c =，所以128F F =，1210PF PF +=，因为123cos 5F PF ∠=，所以124sin 5F PF ∠=，对于选项A ，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即()22222121211122cos F F PF PF PF PF F P PF PF F =+--∠，因为123cos 5F PF ∠=，128F F =，1210PF PF +=，所以2116100645PF PF -=，所以21454PF PF =，所以1221121in 29s 2F PF S PF PF F PF ∠== 设12F PF △内切圆半径为r ，由121212F PF IF F IPF IPF S S S S =++ ，所以()21211922PF P F F F r ++=，又因为221110818F PF PF F ++=+=，所以12r =，故选项A 错误；对于选项B ，如图：设内切圆与12F PF △三边的切点为D ，E ，Q ，则有PD PE =，11QF DF =，22QF EF =，因为11D PF P F D =+，22E PF P F E =+，1122F Q F F QF =+所以2112D D PF PF P F E E P F +=+++，所以22112PF PF F F PD +-=，因为1210PF PF +=，128F F =，所以1PD =，在直角D PI 中，由222IP PD ID =+，由选项A 可知，12ID r ==，所以215144IP =+=，即2IP =，故选项B 正确；对于选项C ，由选项A 可知1292F PF S =，21454PF PF =，又因为1221112F PF S F F y =⋅ ，则2119212F y F ⋅=，因为128F F =，所以198y =，代入221259x y +=可得15558x =，因为21454PF PF =，1210PF PF +=，当12PF PF >时，152PF =+，18x =，由选项B 可知，1PD =，11QF DF =所以142DF =+，故1142QF DF ==+，由124QF x =+，所以22x =，故2154x x =，当12PF PF <时，152PF =-，18x =-，15542DF =-，115542QF DF ==-，由124QF x =+，所以22x =-，故2154x x =，综上2154x x =，故选项C 正确；对于选项D ，因为()1,3G 在椭圆外，所以不存在以()1,3G 为线段MN 的中点的直线，故选项D 不正确.故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分．13.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35，则甲与乙两人同时破译密码的概率为______．【答案】25##0.4【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式，即可求解.【详解】设甲独立破解密码为事件A ，乙独立破解密码为事件B ，则()()23,35P A P B ==，两人同时破译密码的概率为()()232355P A P B =⨯=.故答案为：2514.若椭圆C ：()221404x y m m +=>>的短轴长为2，则椭圆C 的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，由椭圆性质可得2,1a b ==，从而可得c =.【详解】因为椭圆()221404x y m m +=>>，则242a a =⇒=，2b m =，且短轴长为2，则221b b =⇒=，所以222413c a b =-=-=，则c =C 的离心率为32c e a ==.故答案为：215.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在某中学东、西两个校区附近的PM 2.5监测点统计的数据（单位:毫克/立方米）列出的茎叶图，则东、西两个校区浓度的方差较小的是____.【答案】东校区【解析】【分析】根据茎叶图，通过观察数据的集中程度，即可得出结论.【详解】根据茎叶图可知，东校区数据集中在0.06和0.07之间，数据分布比较稳定；而西校区则分布比较分散，不如东校区集中，所以东校区浓度的方差较小.故答案为：东校区16.已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PB PAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知()0,0O ，0,2Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线1l ：230kx y k -++=，直线2l ：320x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】先通过直线1l 和2l 过的定点以及垂直关系求出P 点轨迹，然后根据阿波罗尼斯圆的特点找到使32PRPO =恒成立的R 点，最后根据两点之间线段最短求最小值即可.【详解】直线1l ：230kx y k -++=即()230k x y +-+=，过定点()2,3M -直线2l ：320x ky k +++=即()320x k y +++=，过定点()2,3N --又()110k k ⨯+-⨯=，故12l l ⊥，则点P 在以线段MN 为直径的圆上，即点P 的轨迹为2222233322x y ---⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2229x y ++=，假设存在点(),R a b ，使32PR PO =恒成立，设(),P x y32=，整理得()222244365525x a y b a b ⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与P 的轨迹()2229x y ++=对照得()2242540536925a b a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得5,02a b ==，即存在点5,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使32PR PO =，即32PR PO =，所以322PO PQ PR PQ RQ +=+≥=，即32PO PQ +的最小值为2.故答案为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知两直线1l ：20x y +-=和2l ：250x y -+=的交点P ．（1）求经过点P 和点()3,2Q 的直线的一般式方程；（2）求经过点P 且与2l 垂直的直线的斜截式方程．【答案】（1）4110x y +-=（2）1522y x =-+【解析】【分析】（1）由题意联立两直线组成方程组求得点P 的坐标，利用两点坐标求出斜率，由点斜式写出直线方程，再化成一般式方程；（2）求出直线2l 的斜率，由垂直条件求得所求直线的斜率，由点斜式写出直线方程，再化成斜截式方程.【小问1详解】联立20250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得()1,3P -，又()3,2Q ，由斜率公式可得321134PQ k -==---，所求直线的方程为()1234y x -=--，即4110x y +-=.【小问2详解】因为2l ：250x y -+=，所以直线2l 的斜率为2，由垂直条件知所求直线的斜率12k =-，故所求直线的方程为()1312y x -=-+，即直线方程为：1522y x =-+.18.已知圆22:(1)4C x y -+=.（1）若直线l 经过点(1,3)A -，且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若圆2221:2280C x y mx y m +--+-=与圆C 相切，求实数m 的值.【答案】（1）=1x -或512310x y +-=（2）1m =±+或1m =【解析】【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.【小问1详解】若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为=1x -，与圆C 相切，符合题意.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(1)y k x -=+，即30kx y k -++=，2=，解得512k =-，所以直线l 的方程为512310x y +-=.综上，直线l 的方程为=1x -或512310x y +-=.【小问2详解】圆1C 的方程可化为22()(1)9x m y -+-=.若圆1C 与圆C5=，解得1m =±+.若圆1C 与圆C1=，解得1m =.综上，1m =±+或1m =.19.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a 、b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；【答案】（1）0.0050.025a b ＝，＝（2）平均数为69.5，第60百分位数71.7【解析】【分析】（1）由三、四、五组的频率之和为0.7可求出b 值，再由所有频率之和为1求出a 值；（2）根据平均数等于每个小矩形面积乘上小矩形底边中点的横坐标之和求解，再根据百分位数的定义求解第60百分位数即可.【小问1详解】∵第三、四、五组的频率之和为0.7，∴0.0450.020100.7a ++⨯（）＝，解得0.005a ＝，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b ＝；【小问2详解】这100名候选者面试成绩的平均数为500.00510600.02510700.04510800.0210900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得71.7x ≈，故第60百分位数为71.7.20.已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线2:30l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2260y -+=260y +-=.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.【小问1详解】由已知可设圆心()()0,0C b b <4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=.【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d =272k =，解得2k =±，所以直线2l260y -+=260y +-=.21.袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件A ={第一次取到的是红球}，事件B ={第二次取到了标记数字1的球}，求()P A ，()P B ，并判断事件A 与事件B 是否相互独立．【答案】（1）625（2）()35P A =，()35P B =，事件A 与事件B 不相互独立【解析】【分析】（1）先设事件，然后求出抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率和抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，然后相加即可；（2）分别求出“第一次取到的是红球”的概率和“第二次取到了标记数字1的球”的概率，然后通过判断()()()P AB P A P B =是否成立来判断相互独立性.【小问1详解】记事件C “取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3”事件D “第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：()21113555525P D =⨯+⨯=，事件E “第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率()12113555525P E =⨯+⨯=，则所求的概率为()()()()336252525P C P D E P D P E ==+=+= 【小问2详解】记3个红球分别为1a ，1b ，2c 其中1a ，1b 表示红球标数字1，2c 表示红球标数字2，记2个蓝球分别为1d ，2d 其中1d 表示蓝球标数字1，2d 表示蓝球标数字2则从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个共有20个结果的样本空间{}1112111212111221221211211121211121122221,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a d b c b d b d c d c d d d b a c a d a d a c b d b d b d c d c d d Ω=其中事件{}111211121211122122112121,,,,,,,,,,,A a b a c a d a d b c b d b d c d c d b a c a c b =共12结果；其中事件{}112111211111212111211121,,,,,,,,,,,B a b c b d b d b a d b d c d d d b a c a d a d a =共12个结果；其中事件{}11111121112121,,,,,,A B a b a d b d c d b a c a c b = 共7个结果，“第一次取到的是红球”的概率()123205P A ==，“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1概率()123205P B ==，“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率()720P AB =．()()925P A P B ⋅=因为()()()P AB P A P B ≠成立，所以事件A 与事件B 不相互独立22.已知()2,0A -，()2,0B 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，且椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求C 的方程；（2）过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中点D 在x 轴上方），试求AEF BDFS S △△的取值范围．（其中AEF S △与BDF S △分别表示AEF △和BDF V 的面积）【答案】（1）22143x y +=（2）1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先直接得到a ，再把31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭带入椭圆方程可得b ，则椭圆方程可求；（2）设l ：()10x ty t =-≠，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理以及()2121212212y y y y y y y y +=++求出21y y 的范围，然后带入()2211112332AFF BDFy S y S y y ⋅-==-⋅⋅△△求解即可.【小问1详解】由题意得2a =，把31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22214x y b+=，解得b =，所以C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）知：1c ==，()1,0F -，明显直线l 的斜率不为零，设l ：1x ty =-，()()111,0D x y y >，()()222,0E x y y <，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，显然0∆>，所以122634t y y t +=+，122934y y t =-+，因为()221122AEF S AF y y =⋅=⋅-△，111322BDF S BF y y =⋅=⋅△，所以()2211112332AFF BDF y S y S y y ⋅-==-⋅⋅△△，因为()()222221221223634493434t t y y t y y t t ++==-+-+，当0=t 时，()22112212122112212022y y y y y y y y y y y y y y ++==++=+，解得211y y =-，此时13AFF BDF S S =-△△，当0t ≠时，()21212244433y y y y t +=->-+，所以()21212403y y y y +-<<．又()2221211221212122122y y y y y y y y y y y y y y +++==++，设21y k y =，则0k <，41203k k -<++<，解得133k -<<-且1k ≠-，所以211111,,13933AEF BDF S y S y ⎛⎫⎛⎫=-⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，综上所述可得AFF BDF S S △△的取值范围为1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

高2022级高二上学期半期考试数学试题（答案在最后）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间向量()()1,1,1,1,3,a b x =-=，若a b ⊥，则实数x =（）A.1B.2- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标公式列式计算即可.【详解】因为向量()()1,1,1,1,3,a b x =-= ，且a b ⊥ ，所以()1113120a b x x ⋅=⨯+-⨯+⨯=-=，解得2x =.故选：D.2.已知直线的方程为()sin 20,R x y αα-+=∈，则该直线的倾斜角θ的取值范围是（）A.ππ3π0,,424⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎣⎦⎝⎦ B.3π0,4⎡⎤⎢⎣⎦C.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意得tan sin (R)θαα=∈，进一步得tan [1,1]θ∈-，从而可求出倾斜角θ的取值范围.【详解】因为直线的方程为()sin 20,R x y αα-+=∈，直线的倾斜角为θ，所以tan sin (R)θαα=∈，因为当R α∈时，sin [1,1]α∈-，所以tan [1,1]θ∈-，因为[0,π)θ∈，所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选：D3.已知圆A 的方程为224210x y x y +--+=，圆B 的方程为22210260x y x y m ++-+-=，若圆A 与圆B 外切，则m 的值为（）A.1 B.9C.10D.16【答案】B 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，再由两圆外切列方程可求得结果.【详解】由224210x y x y +--+=，得22(2)(1)4x y -+-=，所以圆心(2,1)A ，半径12r =，由22210260x y x y m ++-+-=，得22(1)(5)(0)x y m m ++-=>，所以圆心(1,5)B -，半径2r =，因为圆A 与圆B 外切，所以12r r AB +=，即25+=，3=，得9m =，故选：B4.在斜三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 中，2,AC AB AC AB ==⊥，且12CC =，11π3A AB A AC ∠=∠=，则线段1BC 的长度是（）A. B.3 C.D.4【答案】A 【解析】【分析】首先根据几何图形，利用基底向量表示1BC，再根据数量积公式，求模长.【详解】111BC BC BB AC AB AA =+=-+，()()22222111112BC AC AB AA AC AB AA AC AA AC AB AB AA =-+=+++⋅-⋅-⋅ ,114442*********⎛⎫=+++⨯⨯--⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以1BC =故选：A5.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱,AB BC 上的动点，且BN AM =，当三棱锥1B MNB -的体积最大时，直线AB 与平面1B MN 所成角的正弦值为（）A.23B.23-C.53D.【答案】A 【解析】【分析】先求得1B MNB V -最大时,M N 的位置，进而求得B 到平面1B MN 的距离，进而可求直线AB 与平面MNB 所成角的正弦值【详解】设AM x =，则2,BM x BN x =-=由1B B BMN ⊥知BMN S 最大时1B MNB V -最大又()2221222BMN x x BM BN x x S --+⎛⎫==≤=⎪⎝⎭当且仅当2x x -=即1x =时取等此时,M N 是,AB BC的中点，11B M B N MN ===132B MNS == 设B 到平面1B MN 的距离为h 由11B B NM B BNM V V --=得1233B NMBMNhS S =，即3222h =，解得23h =设直线AB 与平面1B MN 所成角为α：2sin 3h BM α==故选：A.6.已知圆221:(3)(5)1C x y ++-=，圆222:(6)(3)4C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 的动点，P 为直线60x y --=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.6B.10C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，数形结合得到PM PN +的最小值为1212PC PC r r +--的最小值，求出()16,3C 关于直线60x y --=的对称点的坐标，从而得到12PC PC +的最小值，进而得到PM PN +的最小值.【详解】221:(3)(5)1C x y ++-=的圆心为()13,5C -，半径11r =，222:(6)(3)4C x y -+-=的圆心为()16,3C ，半径22r =，如图所示，PM PN +的最小值为2121213r r PC PC PC PC ++-=--的最小值，设点()16,3C 关于直线60x y --=的对称点为(),A m n ，则6360223116m n n m ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得90m n =⎧⎨=⎩，故()9,0A ，连接1AC ，则1AC 即为12PC PC +的最小值，故12PC PC +()()22395013--+-=，故PM PN +的最小值为13310-=.故选：B7.在Rt ABC △中，22,AB BC D ==为AC 的中点.将ABD △沿BD 进行旋转，得到三棱锥C ABD -，当二面角A BD C --为2π3时，C ABD -的外接球的表面积为（）A.16πB.40π3C.20πD.32π3【答案】C 【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面ACD ，是边长为1的正三角形，BD ⊥平面ACD ，将三棱锥B ACD -补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.【详解】由题意CD BD ⊥，AD BD ⊥，二面角A BD C --的平面角是ADC ∠，2π3ADC ∴∠=，.将ABD △沿BD 进行旋转，得到三棱锥C ABD -，所以2AD DC BD ===，由余弦定理可得：22212cos12044222232AC AD DC AD DC ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为CD BD ⊥，AD BD ⊥，CD BD D =I ，,CD BD ⊂平面ACD ，BD ⊥平面ACD ，将三棱锥B ACD -补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取ACD 外接圆的圆心E ，BGH V 外接圆的圆心F ，根据对称性知正三棱柱的外接球球心O 是EF 的中点，2BD = ，1EO ∴=，点E 是ACD外心，22sin1202AC EC ∴==︒，在Rt OEC △中，OC ===即R =三棱锥C ABD -的外接球的表面积为24π4π520πSR ==⨯=.故选：C .8.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为1，点1C 关于平面ABCD 对称的点为2C ，矩形11AACC 内（包括边界）的点P 满足12PC PC ⊥，记直线AP 与平面ABCD 所成线面角为θ.当θ最大时，过直线AP做平面α平行于直线BD ，则此时平面α截正方体所形成图形的周长为（）A.2++B.+C.2 D.2-【答案】C【解析】【分析】作出图形，分析可知，点P 在矩形11AA CC 内的轨迹是以点C 为圆心，半径为1的圆在矩形11AA C C 内的圆弧，当AP 与圆弧相切于点P 时，QAC ∠最大，即θ取最大值，然后作出截面，计算出各边边长，相加可得出截面的周长.【详解】如下图所示：因为矩形11AA CC 内（包括边界）的点P 满足12PC PC ⊥，则点P 在矩形11AA CC 内的轨迹是以点C 为圆心，半径为1的圆在矩形11AA C C 内的圆弧，设直线AP 交11A C 于点Q ，过点Q 作1//QH AA ，交AC 于点H ，因为1AA ⊥平面ABCD ，则QH ⊥平面ABCD ，所以，AP 与平面ABCD 所成的角为QAC ∠，由图可知，当AP 与圆弧相切于点P 时，QAC ∠最大，即θ取最大值，连接CP ，则CP AQ ⊥，易知AC =，则1AP ===，所以，PAC △是等腰直角三角形，则π4QAC ∠=，在矩形11AA C C 中，11//A C AC ，则1π4AQA QAC ∠=∠=，又因为1π2AA Q ∠=，所以，1AA Q △是等腰直角三角形，则111A Q AA ==，所以，11111C Q AC AQ =-=，因为11//BB DD 且11BB D D =，故四边形11BB D D 为平行四边形，则11//B D BD ，设平面α分别交棱1BB 、1DD 于点E 、N ，连接EN ,因为//BD α，BD ⊂平面11BB D D ，平面11BB D D EN α= ，则//BD EN ，故11//B D EN ，设截面α分别交直线11A B 、11A D 于点M 、G ，因为11//B D EN ，11B D α⊄，EN α⊂，所以，11//B D α，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，平面1111A B C D MG α= ，则11//MG B D ，设11MG B C F = ，11MG C D G = ，则1111π4C FG C BD ∠=∠=，同理可得1π4C GF ∠=，故1C FG △为等腰直角三角形，易知1111AC B D ⊥，而11//FG B D ，则1C Q FG ⊥，则Q 为FG 的中点，所以，)1221FG C Q ==，则)112221222C F C G FG ===⨯=-，故(1111121B F B C C F =-=--=，因为11π4MFB C FG ∠=∠=，且1π2MB F ∠=，则1MB F 为等腰直角三角形，所以，11BM B F ==-，则111111A M A B MB =+=+-=，因为1EB ⊥平面ABCD ，1MB 、1FB ⊂平面ABCD ，则11EB MB ⊥，11EB FB ⊥，则EF EM ===，所以，AE EF AE EM AM +=+====同理可得AN NG +=故截面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的周长为2AE EF AN NG FG FG ++++==，故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行B.若直线210a x y -+=与直线20x ay +-=垂直，则0a =C.若直线210ax y +-=与直线820x ay a ++-=平行，则4a =-D.若直线l的一个方向向量是(a =-，则直线l 的倾斜角是π3【答案】AC 【解析】【分析】根据两直线的倾斜角相等且不重合可对A 项判断；由直线210a x y -+=和直线20x ay +-=垂直，从而求出0a =或1a =，即可对B 项判断；直线210ax y +-=和直线820x ay a ++-=平行，利用两直线平行知识可对C 项判断；知道直线l的方向向量(a =-，从而可求解出倾斜角，即可对D 项判断.【详解】对于A 项：两直线的倾斜角相等且不重合，可得两直线平行，故A 项正确；对于B 项：由直线210a x y -+=和直线20x ay +-=垂直，得：20a a -=，解得：0a =或1a =，故B 项错误；对于C 项：直线210ax y +-=和直线820x ay a ++-=平行，当0a =时，得直线：210y -=与直线820x +=不平行，当0a ≠时，得：8212aa a⎧-=-⎪⎨⎪-≠-⎩，解得：4a =-或4a =，经检验当4a =时两直线重合不符题意，故4a =-，故C 项正确；对于D 项：知直线l的方向向量为(a =-，得：(1,a -=，所以得直线的斜率为，倾斜角为2π3，故D 项错误.故选：AC.10.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且4,2PD CD AD ===，,M N 分别为,PA PC 的中点，G 为线段PB 上的动点，则（）A.四面体N BCD -每个面都是直角三角形B.DG MN⊥C.当点G 异于P 点时，//AC 平面MNGD.直线PB 和平面DAC 所成角的正切值为2【答案】BC 【解析】【分析】因为PD CD ≠则当N 为PC 中点时，ND 与PC 不垂直，则选项A 可以判断；由图形可知，可以建立以点D 为原点空间直角坐标系，则找到DG与MN 的向量进行垂直判断，即可得到选项B ；因为,M N分别为,PA PC 的中点，则可证明//AC 平面MNG 判断C 选项；利用直线PB 的方向向量和平面DAC 的法向量，代入夹角公式即可计算出夹角的正弦值，再根据同角三角函数值得求解，即可判断D.【详解】因为4PD =，2CD =，在PDC △中，N 为PC 中点，由于只有在等腰三角形中底面上的高才能垂直底面，由于PDC △不是等腰，则ND 与PC 不垂直，则在四面体N BCD -有的面不是直角三角形，故A 不正确；,M N 分别为,PA PC 的中点，则在PAC △中，//MN AC因为AC ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以//AC 平面MNG .C 正确以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,2M ，()0,1,2N ，()0,0,0D ，()1,1,2G ()1,1,0MN =- ，()1,1,2DG = ，则()1111020MN DG ⋅=⨯-+⨯+⨯=，则可判断DG MN ⊥.B 正确；()0,0,4P ，()2,2,0B 则方向向量为()2,2,4PB =-.平面DAC 的法向量()0,0,1n =设直线PB 和平面DAC 所成角为θ，则6sin 324PB n PB n θ⋅=== ，则263tan 231sin 3θθ===-，D 错误.故选：BC11.点()00,P x y 是圆22:86210C x y x y +--+=上的动点，则下面正确的有（）A.圆的半径为3B.003y x -既没有最大值，也没有最小值C.002x y +的范围是115,115⎡-+⎣D.2200023x y x +++的最大值为72【答案】BC 【解析】【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A 错误.设03y k x =-，则转化为直线与圆有交点，可算得03y k x =-既没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.对于选项C 和D ，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.【详解】圆22:86210C x y x y +--+=转化为()()22434x y -+-=，则圆的圆心为()4,3，半径为2，选项A 错误.设003y k x =-，则直线()003y k x =-与圆有交点，即2≤，整理得23650kk +-≥，解得33k --≤或33k -+≥.既003y x -没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.设042sin x θ=+，032cos yθ=+，则()002114sin 2cos 11x y θθθϕ+=++=++，其中1tan 2ϕ=.则002x y +的取值范围为11⎡-+⎣，选项C 正确.又22000086210x y x y +--+=，则2200008621x y x y +=+-，因此()2200000231061820sin 12cos 4040x y x x y θθθα+++=+-=++=++其中3tan 5α=.则2200023xy x +++的最大值为40，选项D 错误.故选：BC.12.已知圆()()()22:234R C x k y k k -+-+=∈，点()()2,410,R P t t t -∈.过点P 作圆C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则下列说法正确的有（）A.当1k =时，不存在实数t ，使得线段AB 的长度为整数B.若M 是圆C 上任意一点，则PM 的最小值为5C.当1k =-时，不存在点P ，使得PAB 的面积为1D.当1k =-且2N t ∈时，若在圆C 上总是存在点Q ，使得π6CPQ ∠=，则此时1,12t ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】求出P 点轨迹，利用几何面积转换从而可得到AB 的取值范围，即可对A 项判断；求出圆心C 的轨迹方程为23y x =-，然后即可求出PM 的最小值，即可对B 项判断；画出圆C 及切线，利用几何条件，从而可对C 、D 项判断.【详解】对于A 项：当1k =时，圆C ：()()22114x y -++=，圆心()1,1C -，半径2r =，由点()()2,410,R P t t t -∈得P 的轨迹方程为：210y x =-，如下图：由1·2·2ACP PC AB S PA AC ==== ，所以当PC 最小时，AB 最小，PC 的最小值为圆心C 到210y x =-的距离5d ==，此时：4297AB =，又因为：24AB r <=，故42947AB ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，所以当1k =时，不存在实数t ，使得线段AB 的长度为整数，故A 项正确；对于B 项：圆心(),23C k k -得圆心C 的轨迹方程为23y x =-，所以C 到直线210y x =-的距离为5=，所以M 是圆上任意一点，则PM 的最小值为：25-，故B 项错误；对于C 项：当1k =-，圆C ：()()22154x y +++=，由A 项知P 的轨迹方程为：210y x =-，如下图：由：2221·2·242ACP PC AB S PA AC PC r PC ===-=- ，故PC 最小时，AB 最小，PC 的最小值为圆心C 3107555-=，设PC x =，由A 项知244x AB x-=，进而可得PAB 中AB 边上的高为24x h x -=，所以22221444412PAB x x S x x x x --⎫=⨯⨯=--⎪⎭，因为：55PC x =≥，所以得：22429292411549PAB S x x ⎫=--≥>⎪⎭，故C 项正确；对于D 项：因为PA 与圆C 相切，所以CPA CPQ ∠=∠，()()22215PC t t =++-PC 最长时，π6CPA CPQ ∠=∠=，此时4PC =()()222154t t ++-≤，解得：9319311010t -≤≤，又因为2N t ∈，所以：1,12t ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，故D 项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线6:30l x y --=与圆22:(1)(2)5C x y -+-=，则直线l 被圆C 所截得的弦长为__________.【答案】10【解析】【分析】求出圆心到直线6:30l x y --=的距离，再结合勾股定理可求弦长.【详解】圆C 的圆心坐标为(1,2)5圆心到直线6:30l x y --=的距离为：22312610231⨯--=+，所以直线l 被圆截得的弦长为：21025102⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：10.14.在三棱锥-P ABC 中，N 在线段PA 上，满足3,PA PN M =是平面ABC 内任意一点，452PM PN xPB PC =++，则实数x =__________.【答案】13【解析】【分析】根据空间向量运算、四点共面等知识求得正确答案.【详解】依题意，452PM PN xPB PC =++，则515114424342x x PM PN PB PC PA PB PC=++⨯++=511242x PA PB PC ++=，由于,,,A B C M 四点共面，所以5111,12423x x ++==.故答案为：1315.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点()000,,x y z ，且以向量()(),,0n a b c abc =≠为方向向量，则这条直线可以用方程000x x y y z z a b c---==来表示，已知直线l 的方程为242x y z -=-=，则点()4,4,2P 到直线l 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】由题设直线l 经过点(2,4,0)A ，且1(1,1,2m = 为一个方向向量，易得(2,0,2)AP = ，应用点线距离的向量求法求点()4,4,2P 到直线l 的距离.【详解】由题设，直线l 为241112x y z --==，经过点(2,4,0)A ，且1(1,1,2m = 为一个方向向量，所以(2,0,2)AP = ，故P 到直线l的距离为||2AP = .故答案为：216.如图，在ABC中，6,12AC BC CA BC ==⋅=-，过AC 中点M 的动直线l 与线段AB 交于点N ，将AMN 沿直线l 向上翻折至1A MN ，使得点1A 在平面BCMN 内的射影H 落在线段BC 上，则斜线1A M 与平面BCMN 所成角的正弦值的取值范围为__________.【答案】0,5⎛ ⎝⎦【解析】【分析】首先根据正余弦定理求解三角形，再以点B 为原点，建立空间直角坐标系，并求出点A '的轨迹方程，并利用AA MN '⊥，求得点A '的坐标的范围，相结合后，即可求解线面角正弦值的取值范围.【详解】()6cos π12CA BC C ⋅=⨯-=-，得cos 2C =，即π4C =，ABC中，根据余弦定理，AB =，根据正弦定理，sin sin AC AB B C =，得sin 5B =如图，以底面点B 为空间原点建系，根据底面几何关系，得点()4,2,0A ,()6,0,0C ,设点(),,A x y z '，翻折后点A '的投影(),0,0H x 在x 轴上，所以A '的纵坐标为0，即(),0,A x z '，()5,1,0M ，由MC AM A M '==，根据两点间距离公式，()()()()222226501501x z -+-=-+-+，整理为()2251x z -+=如右图，在翻折过程中AMN A MN '≅ ，作AE MN ⊥于点E ，则A E MN '⊥，并且AE A E E '= ，,AE A E '⊂平面A AE '，所以MN ⊥平面A AE '，AA '⊂平面A AE ',所以MN AA '⊥，即0MN AA '⋅=，其中()4,2,AA x z '=-- ，又动点N 在线段AB 上动，设1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，且[)0,4a ∈，由0MN AA '⋅= ，得()()1452102x a a ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，32252,55x a ⎛⎤=+∈ ⎥-⎝⎦，又因为()2251x z -+=，对应的z 的取值为40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦，即40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦,2sin 25A H A MH A M '⎛'∠=∈ '⎝.则斜线1A M 与平面BCMN 所成角的正弦值的取值范围为225⎛⎝.故答案为：225⎛⎝【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量解决角的问题，关键1，求点A '的轨迹，关键2，根据几何关系可得MN AA '⊥，根据坐标运算，即可求解.四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知点()()()2,0,21,1,23,0,4,,A B C a AB b AC ---==､､.（1）若6c =，且c CB λ=，求c的坐标；（2）求以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积.【答案】（1）()4,2,4-或()4,2,4--（2）3【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算以及模长公式可解；（2）首先利用数量积公式求cos ,a b 〈〉，则sin ,a b 〈〉 可解，结合面积公式可得答案.【小问1详解】()()2,1,2,2,,2CB c CB λλλλ=-==-，36c λ===，2λ∴=或2λ=-，()4,2,4c ∴=- 或()4,2,4c =--；【小问2详解】由题意得(1,1,0),(1,0,2),a b == 所以1a b ⋅=，cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，sin ,a b ∴〈〉=，||||sin ,3S a b a b ∴=⋅〈〉=.18.已知直线1l 经过()()2,8,3,2A B --两点，()122,6,3l l l ⊥∈.（1）求直线1l 和直线2l 的一般式方程；（2）已知直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍，求直线3l 的一般式方程.【答案】18.240x y --=；2120x y +-=19.0x y -=或4200x y +-=【解析】【分析】（1）根据直线1l 过两点从而可求解其一般式方程，由12l l ⊥，()26,3l ∈可求出2l 的一般方程；（2）求出直线1l 和2l 的交点，再结合3l 在坐标轴上截距，从而可求解.【小问1详解】由题意可得，直线1l 的斜率为128232k +==+,所以得其方程为()223y x -=-，整理化简得其一般式方程为：240x y --=，因为12l l ⊥，所以：可设2l 的方程为：20x y m ++=，又因为()26,3l ∈，所以：12m =-，得2l 一般式方程为2120x y +-=，综上：12:240,:2120l x y l x y --=+-=.【小问2详解】联立2402120x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得44x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标是()4,4，由题意知()34,4l ∈，（i ）当直线3l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍且为0时，即()30,0l ∈，此时3l 的方程为0x y -=；（ii ）当直线3l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍且不为0时，此时可设直线3l 的方程为()104x y a a a +=≠，因为()34,4l ∈，所以：4414a a+=，得：5a =，满足条件，此时3l 的方程为4200x y +-=，综上，3l 的方程为0x y -=或4200x y +-=.19.如图所示，有一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为8米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一个行走仪，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，行走仪行走速度为2v ，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么行走仪将被机器人捕获，称点M 叫捕获点.（1）求在这个矩形场地内捕获点M 的轨迹方程；（2）若N 为矩形场地AD 边上的一点，若行走仪在线段FN 上都能逃脱，问：N 点的位置应在何处？【答案】（1）2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）N 的横坐标范围为,83⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据2MF ME vv=求出轨迹方程，注意403x ≤≤；（2）作出第一问中求出的点M 的轨迹，数形结合得线段FN 与（1）中圆弧相离时，则行走仪在线段FN 上能逃脱，设出直线方程，从而利用点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()0,2,0,4E F ，设捕获点(),M x y ，可得2MF ME vv==，化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以21609x ≤≤，且M 在第一象限，解得403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】画出点M 的轨迹，如图所示，当线段FN 与（1）中圆弧相离时，则行走仪在线段FN 上能逃脱，其中401082FD k -==--，设线段FN 的方程为4y kx =+，则40,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线FN 的距离为2444331d k -=>+，结合12k ≤-，解得13,2k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，4y kx =+中，令0y =得，,8433x k ⎛⎤ ⎥ ⎝-=⎦∈故N 点的横坐标取值范围是43,83⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为3的正三角形，,,BC CD BC CD PD AB ⊥=⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）若4PD =，求二面角C PB D --的平面角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）54【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明即可；（2）以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，建立如图空间直角坐标系，分别求出面PBD 和面PBC ，由二面角的向量公式结合同角三角函数的基本关系即可得出答案.【小问1详解】连接AC 交BD 于点O ，由平面几何知识易知AC BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面,PBD BD 是交线，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PBD ，又PD ⊂平面PBD ，AC PD ∴⊥，又,,,PD AB AC AB A AC AB ⊥⋂=⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD ；【小问2详解】如图，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，建立如图空间直角坐标系，若4PD =，则3333,0,0,0,,0,0,,0,0,,42222C D B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()11,0,0n =u r是平面PBD 的一个法向量，()33,,0,0,3,422BC BP ⎛⎫== ⎪⎝⎭设()2,,n x y z =u u r是平面PBC 的一个法向量则2200n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33022340x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令4x =-，则4,3y z ==-，所以()24,4,3n =-- 12121241cos ,41141n n n n n n ⋅-∴==⨯ 二面角C PB D --的平面角为锐角，∴二面角C PB D --的平面角的余弦值为44141，∴二面角C PB D --的平面角的正弦值为54141∴二面角C PB D --的平面角的正切值为54.21.如图，菱形ABCD 的边长为4,60,BAD E ∠= 为AB 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使A 到达A '，连接,A B A C ''，得到四棱锥A BCDE '-.（1）证明：DE A B '⊥；（2）当二面角A DE B '--的平面角在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，求直线A C '与平面A DE ¢所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（231-【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解线面角，结合三角函数的性质即可求解最值.【小问1详解】由题意证明如下，在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，60BAD ∠= ，ABD ∴ 是等边三角形，DE AB ⊥∴，在翻折过程中，恒有,DE A E DE BE '⊥⊥，又,,A E BE E A E BE ⋂=⊂''平面A BE '，DE ∴⊥平面A BE '，A B '⊂平面A BE '，DE A B ∴⊥'；【小问2详解】由题意及（1）得，'∠A EB 为二面角A DE B '--的平面角，记其为θ，则π3π,44θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，以EB 的方向为x 轴的正方向，ED 的方向为y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()0,0,0,2cos ,0,2sin ,0,23,0,4,23,0E A D C θθ'，()()2cos ,0,2sin ,0,23,0EA ED θθ='= ，设平面A DE ¢的法向量(),,n x y z =r ，则0EA n ED n ⋅=⋅=' ，得2cos 2sin 0,230,x z θθ+=⎧⎪⎨=⎪⎩令sin x θ=，得()()sin ,0,cos ,42cos ,23,2sin n A C θθθθ=--'=- ，则24sin sin 1cos ,3216cos 2cos 2cos 1cos A C n A C n A C n θθθθ⋅==-'--'-' ，令π3π2cos ,,44t θθ⎡⎤=-∈⎢⎣⎦，得222,222t ⎡∈-+⎢⎥⎣⎦23cos ,44233113344A C n t t t t t t t ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭' ，当且仅当3t =时，等号成立设直线A C '与平面A DE ¢所成角为α，则22sin cos ,,32222A C n α⎡=-'+⎢⎣⎦故直线A C '与平面A DE ¢31.22.已知圆22:4O x y +=和点()2,4M .（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）点N 是圆O 上任意一点，S 在线段NM 的延长线上，且点M 是线段SN 的中点，求S 点运动的轨迹E 的方程；（3）设圆O 与x 轴交于,C D 两点，线段MO 上的点T 上满足16TC DT CM MD ⋅=⋅ ，若T ∈直线l ，且直线l 与（2）中曲线E 交于,A B 两点，满足3TA AB = .试探究是否存在这样的直线l ，若存在，请说明理由并写出直线l 的斜率，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2x =和34130x y -+=（2）22(4)(8)4x y -+-=（3）存在，理由见解析，810389k -=或810389k +=【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切的几何意义，讨论直线斜率存在与不存在两种情况，计算可得；（2）设点(),S x y ，点()00,N x y ，根据中点建立等式，用含x 的式子表示0x ，含y 的式子表示0y 后代入点N 满足的方程中，化简计算即可；（3）根据题意先求出T 点坐标，再设出直线方程，直线与曲线联立方程组求出12,x x ，根据3TA AB =，建立等式求解即可.【小问1详解】当斜率不存在时，显然2x =与圆22:4O x y +=相切；当斜率存在时，设切线为()24y k x =-+，由圆心到切线的距离为2，2=，解得34k =，则()3144y x =-+，整理得34130x y -+=.综上，切线方程为2x =和34130x y -+=.【小问2详解】设点(),S x y ，点()00,N x y ，点()2,4M 且点M 是线段SN 的中点，0000242842x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩，由题意，点N 是圆O 上任意一点，22004x y ∴+=，即22(4)(8)4x y -+-=，符合题意，S ∴点运动的轨迹E 的方程为22(4)(8)4x y -+-=；【小问3详解】由题设，()2,0C -，()2,0D ,设(),T x y ,()2,TC x y =--- ,()2,DT x y =- ，()4,4CM = ，()0,4MD =- ，因为16TC DT CM MD ⋅=⋅ ,得()2216416x y --=-，即225x y +=,因为T 在线段MO 上，所以2y x =，即()1,2T ，若存在l ，由题意可不妨设l 的方程为()21y k x -=-，如图所示k为正数，联立()()()()()222222211212812480484y k x k x k k x k k x y ⎧-=-⎪⇒+-+++++=⎨-+-=⎪⎩，2536320k k ∆=-+->（i ）设()()112212,,,,2A x y B x y x x ≤<.由求根公式()212212821k k x k ++-=+，()222212821k k x k +++=+.12124313432x x TA AB y y =+⎧=⇒⎨=+⎩所以()()22222128536322128536324312121k k k k k k ++-+++=+++，化简得：126k =+（ii ）（ii ）在（i ）的限制下有解，故存在这样的直线l ，。

成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120 分钟总分：150 分一．选择题（每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上.）1. 直线y x 的倾斜角为（）A. B.C. 2D. 3 4 2 3 42. 平 面平面的条件可以是（）A. 内有无穷多条直线都与平行 B. 直线a, a, 且a , a C．内的任何直线都与平行 D. 直线a , 直线b ，且a, b 3 . 与直线3 x4 y5 0 关于原点对称的直线方程为（）A. 3 x 4 y 5 0C. 3 x 4 y 5 04 . A B C 中，A 4 ，0 , B 8 ，7 , C 0 ，3 ，则B C边上的高所在直线的方程（）A. 2 x y 8 0C. x 2 y 4 05 . 棱 长 为 2 ， 各 面 均 为 等 边 三 角 形 的 四 面 体 的 表 面 积 为 （ ） A. 4B. 4 2C. 4 3D. 4 66 .三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 互 相 垂 直 ，三 条 侧 棱 的 长 分 别 为 3 、4 、5 ， 则 它 的 外 接 球 的 体 积 为 （ ） A.1 2 5 2 B.1 2 5 2C.1 2 5 2 D . 2 5 0 27 . 过 点 P2 ，3 ， 并 且 在 两 轴 上 的 截 距 为 相 反 数 的 直 线 方 程 为 （ ）A ．3 x 2 y0 或 xy 1 0B. x y 1 0C．3x 2 y 0 或x y 5 0D. 3 x 2 y 0 或 3 x 2 y 1 08 . 在一个平面上，机器人甲到与点C 2 ， 3 距离为5 的地方绕C 点顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变，机器人乙在过点A 8 ，0 与B 0 ，6 的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（）A.67552 42 17B. C. D.5 5 59 . 直线m 2 x 1 m y 6 0 与圆x 22y 21 1 11= 1 的 位 置 关 系 是 （ ）A. 相交B.相离C. 相切D. 以上都有可能D 1C1 0 . 在 棱 长 为2 的 正 方 体 A B C D A B C D 中 ， M 为 A B 的 中 点 ，经 过 点 A 1B 1A 作 D M 的 垂 面 ， 该 垂 面 被 正 方 体 截 得 部 分 的 面 积 是 （ ）DC224A M B1 1 . 已知长度为 4 的线段 A B 在平面内，线段 A C 、B D 不在平面内，A CB D 3 ，C A 平面且与平面交于A , BD A B , B D 与它在内的射影成30 角，则C D 的（）A. 5B. 5 或3 4C. 5 或4 3D. 3 4 或 4 31 2 . 设 f ( x ) 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1 x )f (1 x ) 0 恒成立，如果实数2 22f ( a a、b 满足不等式组6 a 2 3 )f ( b8 b ) 0那么ab 的取值范围是（）f (b 1)f ( 5 )A. 1 7 , 4 9二、填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横）13 .一 个 腰 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 绕 着 斜 边 上 的 高 所 在 直 线 旋 转 180 形 成 的 封 闭 曲 面 所 围 成 的 图 形 的 体 积 为 1 4 . 一 根 弹 簧 ， 挂 4 N 的 物 体 时 ， 长 2 0 c m . 在 弹 性 限 度 内 ， 所 挂 物 体 的 重 量 每 增 加 1 N ， 弹 簧 就 伸 长 1 .5 c m , 则 弹 簧 的 长 度 l ( c m )与 所 挂 物 体 重 量 G ( N )的 关 系 方 程 为 1 5 . A B C 中 ， B C 4， A B 2 A C , 则 SABC的最大值为16.已知O : x y 4 （注：横、纵坐标都是有理数的点称为有理点,）2①O 上只有四个有理点；②O 上有无数个有理点；③O 上只有有限个无理点；④以O 上点 1 , 3为圆心，半径为 4 的圆上最多只有两个有理点。

成都2023～2024学年度上期高2025届期中考试数学试卷（答案在最后）第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.直线30x --=的倾斜角是（）A.30B.60C.120D.150【答案】A 【解析】【分析】根据直线的方程得出其斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系得出答案.【详解】直线30x -=的斜率3k =，设直线30x --=的倾斜角为α，0180α≤< ,则tan k α==30α= ，故选：A.2.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，P 为抛物线C 上一点．若20PF =，则点P 的横坐标为（）A.12B.16C.18D.19【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点P 到抛物线的准线l 的距离等于20，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线2:8C y x =，可得4p =，所以准线方程为:2l x =-，如图所示，设点11(,)P x y 其中10x ≥，且20PF =过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，由抛物线的定义得，点P 到抛物线的准线l 的距离等于20，即20PF PA ==，所以1220x +=，解得118x =，即点P 的横坐标为18.故选：C.3.已知双曲线22:13664x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，若1|15|PF =，则2||PF =（）A.3B.9C.21D.27【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义结合焦半径的范围，即可求解．【详解】由已知1221512PF PF PF -=-=，又24PF c a ≥-=，所以227PF =，故选：D ．4.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>中，3a b >，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.(0,)3B.(3C.(0,10D.(10【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率的定义和,a b 的大小关系求解离心率的取值范围即可.【详解】由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>，则椭圆C 的离心率c e a ==，又因为3a b >，则22221801199b b a a<<⇒<-<，所以,13e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B5.已知直线:28l y x =-，双曲线22:14xC y -=，则（）A.直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点B.直线l 与双曲线C 的左支有两个公共点C.直线l 与双曲线C 的右支有两个公共点D.直线l 与双曲线C 的左右两支各有一个公共点【答案】C 【解析】【分析】发现点()4,0Q 在双曲线的右顶点()2,0A 的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案.【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出:28l y x =-与22:14xC y -=的图象如图所示：由图可知直线:28l y x =-过点()4,0Q ，它在双曲线的右顶点()2,0A 的右边，联立直线与双曲线方程得222814y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得10343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或265125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 与双曲线C 的右支有两个公共点,B C .故选：C.6.已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，若211k k -=，则点P 的轨迹为不包含A ，B 两点的（）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案.【详解】设(),P x y ，其中2,0x y ≠±≠，则122y yx x -=-+，即()()()()22241224y x y x y x x x +--==-+-，所以()2112,04y x x y =-≠±≠，所以点P 的轨迹为不包含A ，B 两点的抛物线.故选：D7.已知斜率为1-的两条直线都与椭圆22:163x y C +=相切，则这两条直线间的距离等于（）A.3B. C.6D.【答案】B 【解析】【分析】设切线方程为y x m =-+，联立方程根据Δ0=得到3m =±，再计算平行直线的距离得到答案.【详解】设切线方程为y x m =-+，则22163x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，则2234260x mx m -+-=，()221612260m m ∆=--=，解得3m =±，切线方程为30x y +±=，故这两条直线间的距离等于d ==.故选：B.8.已知02πθ≤<，R t ∈，则22(cos 3)(sin 410)t t θθ-+-+的最小值是（）A.5 B.25C.7D.49【答案】B 【解析】【分析】22(cos 3)(sin 410)t t θθ-+-+表示点(3,410),(cos ,sin )P t t Q θθ-两点间距离的平方，点P 轨迹是直线，点Q 轨迹是圆，求出直线与圆上点的最小距离的平方即可.【详解】22(cos 3)(sin 410)t t θθ-+-+表示点(3,410),(cos ,sin )P t t Q θθ-两点间距离的平方；点P 轨迹是直线43300;x y --=点Q 轨迹是圆221x y +=；圆心到直线的距离是003065--=；所以直线和圆的最近距离是615-=．故22(cos 3)(sin 410)t t θθ-+-+的最小值是2525=故选：B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1:(2)340l a x y +++=，2:40l x ay +-=，则（）A.当0a =时，直线1l 的一个方向向量为(2,3)B.若1l 与2l 相互平行，则3a =-或1C.若12l l ⊥，则12a =-D.若1l 不经过第二象限，则2a ≤-【答案】CD 【解析】【分析】代入0a =，根据方向向量定义即可判断A ，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C ，将直线方程化简可得a y x +=--2433，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A ，当0a =时，1:2340l x y ++=，斜率为23-，则其一个方向向量为(3,2)-，(2,3)(,)λ≠-32，A 错误；对B ，若1l 与2l 相互平行，则()a a +⋅-⋅=2310，解得1a =或3a =-，当3a =-时，1l 与2l 重合，B 错误；对C ，若12l l ⊥，则()a a +⋅+⋅=2130，解得12a =-，故C 正确；对D ，若1l 不经过第二象限，1:(2)340l a x y +++=，即a y x +=--2433，则a +-≥203，解得2a ≤-，D 正确.故选：CD10.已知圆22:1O x y +=（O 为坐标原点），圆22:(3)(4)4C x y -+-=的圆心为点C ，则（）A.圆O 与圆C 共有4条公切线B.P 在圆O 上，PA ，PB 与圆C 切于A ，B ，当||AB 最大时，P ，O ，C 共线C.Q 在直线34110x y +-=上，直线QX 与圆O 相切于X ，直线QY 与圆C 相切于Y ，则||||QX QY =D.圆M 与圆O 和圆C 均外切，则圆M 的圆心M 的轨迹为双曲线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，判断出两圆外切，得到A 正确；B 选项，得到三角形全等，设π0,2ACP θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，故4sin AB θ=，2cos cos AC PC θθ==，结合正弦函数和余弦函数的单调性，得到||AB 最大，只需PC 最大，从而得到B 正确；C 选项，设出113,44m Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，表达出QX QY ==D 选项，根据双曲线定义得到点M 的轨迹为以,O C 为焦点的双曲线的一支，D 错误.【详解】A 选项，圆22:1O x y +=的圆心为()0,0O ，半径为11r =，圆22:(3)(4)4C x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为22r =，则圆心距为5OC ==，又12123r r +=+=，由53>可知12OC r r >+，故两圆相离，故圆O 与圆C 共有4条公切线，A 正确；B 选项，因为PA ，PB 与圆C 切于A ，B ，所以PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，由对称性可知，Rt PAC △≌Rt PBC ，连接AB 交PC 于点W ，则AB ⊥PC ，且AW BW =，设π0,2ACP θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 2sin AW BW r θθ===，4sin AB θ=，要想||AB 最大只需sin θ最大，而sin y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故只需θ最大，其中2cos cos AC PC θθ==，而cos y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，故只需PC 最大，显然当P ，O ，C 三点共线，如图所示时，PC 最大，B 正确；C 选项，设113,44m Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()22221132533169344416816m m QC m m ⎛⎫=-+--=-+⎪⎝⎭，QY ==222211325331214416816m m m OQ m ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，QX ==故||||QX QY =，C 正确；D 选项，由题意得211MC MO MN MU -=+--=，9165OC =+=，故MC MO OC -<，则点M 的轨迹为以,O C 为焦点的双曲线的一支，D 错误.故选：ABC【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，其中定义法往往考察椭圆，双曲线和抛物线的定义，利用三者的定义求出轨迹或轨迹方程，注意舍去或添加一些点.11.设双曲线22:2C x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，左右焦点分别为1F ，2F ，l 为双曲线C 的一条渐近线，过2F 作2F M l ⊥，垂足为M ，P 为双曲线C 在第一象限内一点，则（）A.2||2F M =B.211290PA A PA A ∠-∠=︒C.若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D.若PM 平行于x轴，则2||||PF PM =【答案】BCD 【解析】【分析】根据点到直线的距离，直线斜率、三角形的面积、双曲线上的点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】双曲线22:2C x y -=，即22122x y -=，所以2a b c ===，不妨设:0l x y -=，而())()()1212,,2,0,2,0A A F F -，()22,0F 到:0l x y -=的距离为=，所以2||F M =，所以A 选项错误.B 选项，设()00,P x y，其中000x y >>，则2202x y -=，所以122200220012PA PA y y k k x y ⋅====-，则()12211221tan tan 1801,tan tan 1PA A PA A PA A PA A ∠⋅︒-∠=∠⋅∠=-，()()()12122112121212sin 90cos 1tan tan 90tan sin cos 90PA A PA A PA A PA A PA A PA A PA A ︒+∠∠∠=-=-==︒+∠∠∠︒+∠，由图可知21PA A ∠为钝角，12PA A ∠为锐角，所以211290PA A PA A ∠=︒+∠，则211290PA A PA A ∠-∠=︒，B 选项正确.C 选项，若12PF PF ⊥，()21212222212128416PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧⎧-=-=⎪⎪⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎩，两式相减得121228,4PF PF PF PF ⋅=⋅=，所以12PF F △的面积为12122PF PF ⨯⨯=，C 选项正确.D 选项，直线2MF 的方程为()22y x x =--=-+，由2y x y x =-+⎧⎨=⎩解得1x y ==，则()1,1M ，所以1P y =，由)2212,P x x P-==，所以1PM =-=，2PF ==，所以D 选项正确.故选：BCD12.已知正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心．M 为平面ABCD 上的一个动点，则下列命题正确的是（）A.若1MA =，则M 的轨迹是圆B.若115MC O ∠=︒，则M 的轨迹是椭圆C.若M 到直线CD ，1BB 距离相等，则M 的轨迹是抛物线D.若M 到直线AB ，11A D 距离相等，则M 的轨迹是双曲线【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，分别表示四个选项，利用定义和数形结合进行判断.【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为a ，对于A ，()0,0,0A ，()1,0,B a a ，(),,0M x y ，1MA ，则()222222x y x a y a ⎡⎤+=-++⎣⎦，即()2220x a y -+=即2,0x a y ==，所以M 的轨迹是点，故A 错误；对于B ，115MC O ∠=︒，所以1MC 可以看成为以1C O 为高线圆锥的母线，当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线；当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线；当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆；当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆；当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点；当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线；如图所示，根据题意，平面ABCD 不过圆锥的顶点1C ,且与圆锥面的一侧相交，所以M 所形成的轨迹为椭圆,故B 正确；对于C ，若M 到直线CD ，1BB 距离相等，1BB ⊥面ABCD ，MB ⊂面ABCD ，所以1BB MB ⊥，所以M 到直线1BB 的距离为M 到点B 的距离，则M 到直线CD ，点B 距离相等，由抛物线定义可得，M 的轨迹是抛物线，故C 正确；对于D ，过M 向AB 作垂线，垂足为3M ，过M 向AD 作垂线，垂足为1M ，过1M 向11A D 作垂线，垂足为2M ，此时112MM A D ⊥，若M 到直线AB ，11A D 距离相等，即32MM MM =，则222y x a =+，即22221y x a a-=，则M 的轨迹是双曲线，故D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解.第II 卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.已知直线1:230l x y --=与2:460l x y +-=交于点00(,)A x y ，则00x y +=____________．【答案】3【解析】【分析】求出两直线交点坐标后可得．【详解】由230460x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，所以002,1x y ==，003x y +=，故答案为：3.14.如图，弓形AMB 中，弦6AB =，M 为 AB 的中点，且M 到AB 的距离为1，则 AB 所在的圆的半径为______________．【答案】5【解析】【分析】利用圆的性质，借助勾股定理列式求解即得.【详解】令线段AB 的中点为N ，由圆的性质知，MN AB ⊥，且 AB 所在圆的圆心O 在直线MN 上，设 AB 所在圆的半径为r ，则有222(1)3r r =-+，解得=5r ，所以 AB 所在圆的半径为5.故答案为：515.设点(3,4)P ，Q 在y 轴上，R 在直线1y x =-上，则PQR 的周长的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】作出(3,4)P 关于y 轴和直线1y x =-的对称点，数形结合求出最小值.【详解】设(3,4)P 关于1y x =-的对称点为(),A m n ，关于y 轴的对称点为()3,4B -，则431224113n m n m ++⎧=-⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得52m n =⎧⎨=⎩，故()5,2A ，连接AB 交y 轴于点Q ，交直线1y x =-于点R ，连接,PQ PR ，则,PQ BQ AR PR ==，此时PQR 的周长最小，最小值为AB ==.故答案为：16.已知1F ，2F 为椭圆E 的两个焦点，B 为椭圆E 短轴的一个顶点，直线2BF 与椭圆E 的另一个交点为P ．若11PF BF ⊥，则椭圆E的离心率为_____________．【答案】【解析】【分析】设2PF x =，根据勾股定理得到23x a =，确定14cos 5BPF ∠=，12PF F △中，根据余弦定理得到225a c =，得到离心率.【详解】不妨取B 为上顶点，如图所示：则12BF BF a ==，设2PF x =，则12PF a x =-，则()()2222a a x x a +-=+，整理得到23x a =，1443cos 553a BPF a ∠==，12PF F △中，根据余弦定理：2224162444299335c a a a a =+-⨯⨯⨯，整理得到225ac =，即5c e a ==.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知圆C 的一条直径的两个端点为(4,4)和(4,2)--．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(2,0)M 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||AB 的最小值，并求出当||AB 最小时直线l 的方程．【答案】（1）22(1)25x y +-=（2）AB 最小值为，l 的方程为240x y --=【解析】【分析】（1）先求得线段AB 的中点即圆心，从而求得半径，写出方程；（2）由MC l ⊥时AB 最小，再利用弦长公式求解.【小问1详解】解：由题意可知圆C 的圆心为(0,1)5．所以圆C 的方程为22(1)25x y +-=．【小问2详解】易知当MC l ⊥时AB 最小，此时l 的斜率为12l MC k k =-=，所以直线l 的方程为()22y x =-，即240x y --=，所以||AB ==．18.已知过点(2,2)M 的直线l 与抛物线2:2C x py =（0p >）交于A ，B 两点，且当l 的斜率为1时，M 恰为AB 中点．（1）求p 的值；（2）当l 经过抛物线C 的焦点时，求OAB 的面积．【答案】（1）2p =（2【解析】【分析】（1）求出直线方程后设出交点坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）给出直线方程后和抛物线方程联立，韦达定理结合面积公式即可求解.【详解】（1）当l 斜率为1时，由()2,2M 得:22l y x x =-+=，恰好经过坐标原点，不妨设(0,0)A ，则(4,4)B 为抛物线上的点．代入抛物线的方程得168p =，解得2p =．（2）由（1）可知抛物线的焦点(0,1)F ．当l 经过F 时，其方程为112y x =+．将其与抛物线C 的方程联立得2240x x --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，124x x =-．因此OAB 的面积121||||2S OF x x =⋅-=．19.抛掷一枚均匀的骰子2次，将第1次掷出的点数记为a ，第2次掷出的点数记为b ．（1）求6a b +≥的概率；（2）记事件A 为“2a =”，事件B 为“a b m +=”，若()0P B ≠且事件A 和事件B 为相互独立事件，求m 的值．【答案】（1）1318；（2）7.【解析】【分析】（1）列举出两次掷出的点数的所有结果，再利用古典概率结合对立事件概率公式计算即得.（2）求出()P A ，并确定事件A B ⋂的结果数，利用相互独立事件的概率公式求出()P B ，再逐一验证即得.【小问1详解】将2次掷出的点数记为(,)a b ，则所有的样本点为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个，且每个样本点出现的可能性相同，使得6a b +<的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共10个，因此105(6)3618P a b +<==，显然6a b +<与6a b +≥为对立事件，所以513(6)1(6)11818P a b P a b +≥=-+<=-=．【小问2详解】由（1）知，1()6P A =，由A 和B 相互独立，即()()()0P AB P A P B =>知{3,4,5,6,7,8}m ∈，此时A B ⋂等价于事件“2a =且2b m =-”，因此A B ⋂中仅有(2,2)m -一个样本点，即1()36P AB =，则1()6P B =，而2(3)36P a b +==，3(4)36P a b +==，4(5)35P a b +==，5(6)(8)36P a b P a b +==+==，6(7)36P a b +==，因此当且仅当7m =时，()0P B >且()()()P AB P A P B =，所以所求m 的值为7.20.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12CC =，M 为棱1CC 的中点．（1）证明：平面ABM ⊥平面11A B M ；（2）求直线1B D 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】【分析】（1）根据长方体性质得出11A B BM ⊥，再根据勾股定理得出1BM B M ⊥，即可根据线面垂直的判定得出BM ⊥平面11A B M ，即可根据面面垂直的判定得出答案；（2）以点A 为原点，以AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系A xyz -，写出相关点坐标，得出相关向量，即可求出平面ABM 的法向量，即可根据线面角的向量求法，得出答案.【小问1详解】1111ABCD A B C D - 是长方体，11A B ∴⊥平面11BCC B ,BM ⊂ 平面11BCC B ,11A B BM ∴⊥,ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12CC =，且M 为棱1CC的中点，1B M ∴==BM ==,12B B =,22211B M BM B B ∴+=,1BM B M ∴⊥,11A B ⊂ 平面11A B M ，1B M ⊂平面11A B M ，且1111A B B M B = ，BM ∴⊥平面11A B M ，BM ⊂ 平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面11A B M .【小问2详解】以点A 为原点，以AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x y z 、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ,()1,0,0B ,()1,1,1M ,()11,0,2B ,()0,1,0D ，则()1,0,0AB = ,()1,1,1AM = ,()11,1,2B D =-- ,设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =r，则00n AB x n AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，解得：0x y z =⎧⎨=-⎩，取1z =，则()0,1,1n =- ，设直线1B D 与平面ABM 所成角为θ，则13sin cos ,2B D n θ== ， 线面角范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，π3θ∴=，即直线1BD 与平面ABM 所成角为π3.21.已知双曲线C 经过点(2,3)P ，直线y =和y =为双曲线C 的两条渐近线．（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1l 与双曲线C 交于P ，A 两点，直线2l 与双曲线C 交于P ，B 两点，若1l 与2l 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率．【答案】（1）2213y x -=（2）2-【解析】【分析】（1）设双曲线C 的方程为223x y λ-=，将点P 的坐标代入可得答案；（2）解法一：设直线PA 的方程为13(2)y k x -=-，与双曲线C 联立消去y ，设11(,)A x y ，则1x 与P 的横坐标2为此方程的两个根，可得1x 、1y ，设22(,)B x y ，PB 的斜率为1k -，类似的可得2x 、2y ，再由1212y y k x x -=-可得答案．解法二：设直线AB 的方程为y kx m =+，与双曲线C 的方程联立消去y ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由直线PA 的斜率与PB 的斜率和为0、韦达定理可得答案.【小问1详解】由题意，可设双曲线C 的方程为223x y λ-=，将点P 的坐标代入得3λ=，因此双曲线C 的方程为2213y x -=；【小问2详解】解法一：设直线PA 的斜率为1k ，则直线PA 的方程为13(2)y k x -=-，即11(23)y k x k =--，与双曲线C 联立消去y ，得22221(3)2(3)(23)30k x k k x k ---+--=．设11(,)A x y ，则1x 与P 的横坐标2为此方程的两个根，即2111214623k k x k -+=-，因此2111212663k k x k -+=-，从而222111111111122112663129(23)(23)33k k k k k y k x k k k k -+-+-=--=--=--，设22(,)B x y ，由题意，PB 的斜率为1k -，类似的可得2112212663k k x k ++=-，21122131293k k y k ---=-，因此直线AB 的斜率12122y y k x x -==--，即直线AB 的斜率为2-．解法二：设直线AB 的方程为y kx m =+，与双曲线C 的方程联立消去y 得222(3)230k x kmx m ----=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12223km x x k +=-，212233m x x k --=-．由于直线PA 的斜率为11113322y kx m x x -+-=--，PB 的斜率为2232kx m x +--，因此121233022kx m kx m x x +-+-+=--，整理得12122(32)()4120kx x m k x x m +--+-+=，所以2222(3)2(32)412033k m km m k m k k ----+-+=--，整理得22(1)260k m k m -+-+=，即(2)(23)0k k m +-+=．由于当230k m -+=时，直线AB 经过点P 不符合题意，所以2k =-．综上所述，直线AB 的斜率为2-．【点睛】方法点睛：（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.22.已知点A ，点B 分别是直线1:2l y x =，2:2l y x =-上的动点，且||AB =AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,0)N 作两条相互垂直的直线3l 与4l ，若3l 与曲线C 交于P ，Q 两点，4l 与曲线C 交于R ，S 两点，求PR QS ⋅uu r uu r 的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）1512,45⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）设2(,)2A a ，2(,)2B b -，(,)M x y ，根据||AB =可得,x y 关系即得点M 的轨迹方程.（2）化简PR QS PN QN NR NS ⋅=⋅+⋅uu r uu r uuu r uuu r uu u r uur ，先计算当3l 与4l 一条与x 轴垂直时PR QS ⋅uu r uu r 值，再设直线3l 、4l 方程联立，计算22223(1)3(1)441m m PR QS m m ++⋅=--++uu r uu r ，换元转化为二次函数求值域即可.【小问1详解】设(,)2A a a ，(,)2B b -，(,)M x y ，则2a b x +=，)4a b y -=．由||AB =221()()82a b a b -++=，从而22828y x +=，即曲线C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由于34l l ⊥，所以()()PR QS PN NR QN NS PN QN NR NS ⋅=+⋅+=⋅+⋅uu r uu r uuu r uu u r uuu r uur uuu r uuu r uu u r uur ．当3l 与4l 一条与x 轴垂直，另一条与y 轴垂直时，不妨设()()331,,1,,2,0,2,022P Q R S ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，可得PR QS PN QN NR NS⋅=⋅+⋅uu r uu r uuu r uuu r uu u ruur ()()3150,0,3,01,032244⎛⎛=-⋅+-⋅=--=- ⎝⎭⎝⎭．当3l 与4l 都不与坐标轴垂直时，不妨设3:1l x my =+，41:1l x y m =-+，其中0m ≠．将3l 的方程与曲线C 的方程联立消去x 得22(4)230m y my ++-=，显然对R m ∈都有0∆>．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，因此2212121223(1)(1)(1)(1)4m PN QN x x y y m y y m +⋅=--+=+=-+uuu r uuu r ．类似的可得223(1)41m NR NS m +⋅=-+uu u r uur ．所以22223(1)3(1)441m m PR QS m m ++⋅=--++uu r uu r ．令211m t +=>，有2225153()311253434999()24t t t PR QS t t t t t ⋅=-+=-⋅=+-+---uu r uu r ．由于1(0,1)t ∈，因此21125259()[4)244t --∈--，从而2151512(,]1125459()24t ∈----．综上所述，PR QS ⋅uu r uu r 的取值范围是1512[,]45--．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；。

高二年级上学期期中考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面[来源:学,科,网Z,X,X,K]3．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 4．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ） A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣26．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ） A.B.C. D.7．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．58．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=9．10．如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影 为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成 立的个数为（ ） （1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ； （3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．1 BC ．2 D11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为错误！未找到引用源。

2024届四川省成都市高中高二物理第一学期期中达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、某人以不变的速率垂直向对岸游去，游到河中间，水流速度加大，则此人（）A．渡河所用的时间比预定时间减少B．渡河所用的时间与预定时间相同C．渡河所用的时间比预定时间增加D．渡河路程变短2、生活中有许多谚语和歇后语都蕴含着丰富的物理知识，下列最能说明“物体间力的作用是相互的”这一规律的是A．秤砣虽小，能压千斤B．人往高处走，水往低处流C．水滴石穿——非一日之功D．鸡蛋碰石头——不自量力3、下面是某同学记录的作息时间，其中表示时刻的是A．每节课40分钟B．上午8点开始上课C．一个午休1小时D．晚上有2小时的自习4、关于电源和电流，下述说法正确的是（）A．电源的电动势在数值上始终等于电源正负极之间的电压B．由公式可知，导体的电阻与通过它的电流成反比C．打开教室开关，日光灯立刻就亮了，表明导线中自由电荷定向运动的速率接近光速D．从能量转化的角度看，电源通过非静电力做功把其他形式的能转化为电势能5、如图所示，带箭头的线表示某一电场的电场线．一带电粒子只在电场力作用下经A 点飞向B点，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是( )A．粒子带正电B．粒子在B点加速度大C．粒子在B点动能大D．粒子在B点的电势能较小6、如图，竖直绝缘光滑的半圆形槽半径为R，在槽内静置有两个带等量同种电荷的小球A、B，两球质量相等、间距为R.若将两小球看作质点，将一个水平向右的推力F作用在A球上，缓慢将A球推到半圆形槽的底部，则下列说法正确的是( )A．槽对B球的支持力变大B．两球间距离保持不变C．推力F做的功等于两球组成的系统机械能的增加量D．两球组成的系统的电势能增大二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2021级期中联考语文考试时间150分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

李杜风格，论者纷纭，而以严羽的两句话最为中肯：“子美不能为太白之飘逸，太白不能为子美之沉郁”（《沧浪诗话·诗评》）。

飘逸与沉郁这两种风格的形成，取决于李杜两人思想、性格的不同，以及创作态度和题材的差异，具体则表现在意象的运用上。

前人说李诗万景皆虚，杜诗万景皆实，固然未必十分确切，但从意象的虚实上看，的确可以看出李杜风格的不同。

李诗的意象常常是超越现实的，他很少对生活的细节作精致的描绘，而是驰骋想象于广阔的空间和时间，穿插以历史、神话、梦境，用一些表面看来互相没有逻辑联系的意象，拼接成具有浓烈艺术效果的图画。

《梦游天姥吟留别》《梁甫吟》就是这方面的代表作。

李白的夸张是最大胆的，像“白发三千丈”“燕山雪花大如席”；杜甫虽然也有夸张的手法，但总的看来却是偏于写实的，如“鸬鹚西日照，晒翅满鱼梁”“星垂平野阔，月涌大江流”，给人以逼真之感。

杜甫的一些记游诗，如《铁堂峡》《盐井》《泥工山》等简直是一幅幅描绘山水景物和风土人情的图画，可补地理记载之不足。

杜诗的意象多取自现实生活，他善于刻画眼前真实具体的景物，表现内心感情的细微波澜。

杜甫写诗往往从实处入手，逐渐推衍到有关国家和人民命运的统摄全局的问题上。

杜甫曾在《戏题王宰画山水图歌》中夸赞画家王宰，说他能在尺幅的画面中表现出万里之势，杜甫自己的诗也是如此。