1.6微积分基本定理课件(1)讲

2
sin xdx

2
0
sin xdx
我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0．
得到定积分的几何意义：曲边列定积分:
2π 2π π 0

π
0
sin xdx, sin xdx, sin xdx .
' π 0
π 解 因为 cos x sin x, sin xdx cos x |0
cos π cos 0 2;

2π
cos 2π cos π 2;
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为
v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定 积分表示为
s a v(t )dt.
b
另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直
线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物 体的位移为s(b)–s(a)， 所以又有 v(t )dt
a b
s(b) s(a).
由于 s' (t ) v(t )，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，
b 定积分 a v(t )dt 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间
[a,b]上的增量s(b)–s(a).
如图：一个作变速直线 运动的物体的运动规律 探究新知： S yb ya
做和式： f (i )x f (i )(b a) / n.
i 1
i 1
n
n
且有， lim f (i )(b a) / n A(常数）
n0 i 1
n
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分) 记作 b

a
f ( x)dx
b
即A

a
f ( x)dx lim f ( i （ ) b - a) / n
微积分与其他函数知识综合举例：
1、已知f ( x)是一次函数，其图象过点(3,4), 且

1
0
f ( x)dx 1, 求f ( x)的解析式
2、已知f (a) (2ax a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0
1
练一练：已知f(x)=ax² +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
ba ' Si v ti 1 t y ti 1 t y ti 1 n n
'
S yb ya S S1 S2 Si Sn
S lim
n
vt t lim y t t v t dt y t dt
2π 0
π
sin xdx cos x | sin xdx cos x |
2π π
cos 2π cos 0 0.
2π 0
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．


1
0
f ( x)dx 2, 求a, b, c的值
例1
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0

2
2
原式 (2sin x cos x x) |0 3 . 2 2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
b a b
a
b a
回顾：基本初等函数的导数公式
函数 f(x)
c x
0 nx
n
sin x cos x
x
a
x
e
x
loga x ln x
导函数 f′(x)
n 1
cos x sin x a ln a
e
x
1 x ln a
1 x
新知：基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)
c cx
x
n
sin x cos x
2
x
1dx ____________ e e 1
三、小结
1.微积分基本定理
a f ( x )dx F (b) F (a )
n
b
2.基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)
c cx
x
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
一个原 函数F(x)
a 1 n 1 x cos x sin x n 1 ln a
a
S1 S2
S3
2、定积分
形面积的代数和来表示。

b
a
f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b
a
f ( x )dx S1 S 2 S 3
说明：
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
A3
A4
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

3
1
1 0 3t
1
练习1:
2
3 2 ln 2 1 2 1 x dx ____________ 2
x
1 2 dt _________
3 1 3 x
2
2
2 x 1dx _________ 9
2
4 1 e
A1
A2
a f ( x )dx A1 A2 A3 A4
b
定积分的简单性质
(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)
a a b b
(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
a a a
F x 叫做 f x 的原函数， f x 叫做 F x 的导函数
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系． 求定积分问题转化为求原函数的问题.
f x dx F b F a 或 f x dx F x F b F a
复习：1、定积分是怎样定义？
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 任取i [ xi 1 , xi ] Si f (i )x
b
b
b
(3) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (a<c<b)
a a c
b
c
b
问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规
律S＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意 时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段 〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t) 来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗？
i 1
是y yt ,
y
B
yb
S i hi tan DPC t S ' y t i 1 t
h2
y y t
hn
Sn
hi
Si
S2 S1
y a O
A
h1
at ) t1 a( 0
t2
t i 1 t i
t t n 1 b( btn )
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
一个原 函数F(x)
a 1 n 1 x cos x sin x n 1 ln a
x
例1 计算下列定积分: 1
'
2
1
1 dx ; x
1 2 1 2x 2 dx . x
3
1 解 1因为ln x , x 21 2 所以 dx ln x |1 ln 2 ln 1 ln 2. 1 x ' 1 1 2 ' 2因为 x 2x, 2 , x x 3 3 3 1 1 1 2 3 2x 2 dx 2xdx 2 dx x |1 1 1 1 x x x 1 22 9 1 1 . 3 3
i 1 i 1 n
' n i 1 i 1
y y t
b
yb
a
b
'
y a
a
S

b
y ' t dt yb ya
a
二、微积分基本定理
'
如果f x 是区间 a , b 上的连续函数,
并且F x f x , 则 牛顿—莱布尼兹公式
n 0 i 1
n
积分上限
积分和
b n
即A f ( x)dx lim f (i（ ) b - a) / n
a n 0 i 1
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
复习：2、定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么： b 定积分 f ( x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
'
i i 1
' t , 由导数的概念可知，它 在任意时刻 t 的速度为 v t y S S1 S2 Si Sn b a ' 设这个物体在时间段 a , b 内的位移为 S ，你能分别用 yt , y t S v t t y t i 1 t n v t 表示 S吗？