定积分与微积分基本定理1完整ppt课件

为了方便，常把 F(b)－F(a)记成__F__(_x_)_ba__，即abf(x)dx＝__F__(x_)__ba_＝ F(b)－F(a)．
• 1．定积分与曲边梯形的面积：
如图，设阴影部分面积为 S.
b
①S＝af(x)dx. ②S＝－abf(x)dx. ③S＝caf(x)dx－cbf(x)dx. ④S＝baf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx.
9－x2dx＝π·432＝94π，故
选 C.
• 答案 (1)C (2)B (3)C
• 规律方法 (1)定积分的计算方法有三个： 定义法、几何意义法和微积分基本定理法， 其中利用微积分基本定理是最常用的方法， 若被积函数有明显的几何意义，则考虑用 几何意义法，定义法太麻烦一般不用．
• (2)运用微积分基本定理求定积分时要注意 以下几点：
0
1
(2)令0f(x)dx＝m，则
f(x)＝x2＋2m，所以01f(x)dx＝10(x2＋2m)dx＝
13x3＋2mx10 ＝13＋2m＝m，解得 m＝－13，故选 B.
3
(3)由定积分的几何意义知，0
9－x2dx 是由曲线 y＝
9－x2，直线
3
x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积，故0
• ①对被积函数要先化简，再求积分．
• ②求被积函数为分段函数的定积分，依据 定积分“对区间的可加性”，分段积分再 求和．
利用定积分求平面图形的面积(师生共研)
例 2 (2014 年高考山东卷)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围
成的封闭图形的面积为( )
A．2 2
B．4 2
C．2 解析
•• AC．．35 BD．．46 秒内行驶的路程为t010tdt，所以0t (3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)t0 ＝t3＋t－

【解析】 (2)由定积分的几何意义知,
3
1
和 x=1,x=3,y=0 围成的图形的面积,∴
3
1
3 1 2
dx=2·
= .
3 0 3
2
x
3 + 2- 2 dx 表示半圆(x-1)2+y2=4(y≥0)
1
4
3 + 2- 2 dx= ×π×4=π.
点拨：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:

为了方便,常把 F(b)-F(a)记作
即


曲边梯 F(x)
,


f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).

四、定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.

(1)S= f(x)dx;
(2)S=-
(3)S=
(4)S=


f(x)dx-


f(x)dx;




f(x)dx;
f(x)dx-
[f1(x)±f2(x)]dx=
f(x)dx=



1


f(x)dx+

f (x)dx± f2(x)dx.
f(x)dx(其中 a<c<b).
答案
三、微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F'(x)=f(x),那么


f(x)dx= F(b)-F(a) ,
这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.
−π
π
+ 2)dx=(-cos x+2x)

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自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主 落
1．定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义：
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝ 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A．－1
B．1
C. 3
D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A．9π B．3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
能
菜单
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固 基
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___，即baf(x)dx＝limi＝n1 b－n af(ξi)．
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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③bf(x)dx＝_____a _______＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．

通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t

f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt

d dx

a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t

f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x

h) h
(x)

1
o
x
0
例6
设
f
(x)

2x 5
0 1

x x

1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx

2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1

定积分与微积分基本定理 ppt课件
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。

1
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+

2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=

()
【解析】 路程S甲＝ v(t)dt的几何意义为曲线v甲与t ＝t1及t轴所围的区域面积，同理S乙＝ v(t)dt的几何意义 为曲线v乙与t＝t1及t轴所围的区域面积.由图易知S甲＞S乙， 因而选C.
【答案】 C
[自主体验]
在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，若
∈[0,1]，则图中阴影部分的面积S1与
，即
1.定积分 cosxdx＝
()
A.－1
B.0
C.1 解析：
D.π cosxdx＝sinx ＝sinπ－sin0＝0.
答案：B
2.已知k＞0， A.0 C.0或1
(2x－3x2)dx＝0，则k＝ B.1 D.以上均不对
()
解析： (2x－3x2)dx＝ 2xdx－0，∴k＝1. 答案：B
[特别警示] (1)若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上
连续，则
f(x)dx＝2 f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在
区间[－a，a]上连续，则 f(x)dx＝0. (2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用 定积分的性质 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx，根据函数 的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析 式，分别求出积分值，相加即可.
S2之和最小值为
.
解析：S1面积等于边长为t与t2矩形面积去掉曲线y＝x2 与x轴、直线x＝t所围成的面积，即
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成面积 去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即
所以阴影部分面积S为
∵S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－ )＝0时，得t＝0，t＝ . ∴当t＝ 时，S最小，且最小值为S( )＝ . 答案：

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本 思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
1.定积分的性质
(1) kf(x)dx＝
f(x)dx(k为常数) ；
(2) [f1(x)±f2(x)]dx＝ f1(x)dx± f2(x)dx ； (3) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx(其中a＜c＜b) .
解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 y′＝2x，得过点A的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
即： 所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
(2)如果变力F(x)使得物体沿力的方向由x＝a运动到x＝b(a＜ b)，则变力F(x)对物体所做的功W＝ F(x)dx.
列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加 速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离 车站多远处开始制动？
[思路点拨]
[课堂笔记] 因列车停车在车站时，速度为0.故应先求出速 度的表达式，之后令v＝0，求出t.再根据v和t应用定积分求 出路程. 已知列车速度v0＝72 km/h＝20 m/s，列车制动时获得的加 速度为a＝－0.4 m/s2，
2.微积分基本定理
一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)是区间[a，b]上的连续的
函数, f(x)dx＝ F(b)－F(a) .
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数. 为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作 F(x)
f(x)dx＝ F(x) ＝F(b)－F(a) .
4.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若
则x0的值为