高等数学(超星尔雅)第2章导数与微分试卷

高等数学第二章答案2 4高等数学第二章答案2-4练习2？四1?求由下列方程所确定的隐函数y的导数(1)y2?2xy?9?0??(2)x3?y3?3axy?0?(3)xy?ex?y??(4)y?1?xey?解决（1）获得2yy？？2岁？2xy？？0所以（y？X）y？？YYYYxdy？得到了DX（2）方程的导数3x2?3y2y??2ay?3axy??0??于是(y2?ax)y??ay?x2??是吗？x2y？？2.y?ax(3)方程两边求导数得y?xy??ex?y(1?y?)??于是(x?ex?y)y??ex?y?y??前任？Yyyx?ex?y(4)方程两边求导数得yey?xeyy??于是(1?xey)yey?呃？Y1?xey在点(2a,2a)处的切线方程和法线方程?44求方程两边的导数，得到2？2x3?2y3y0?33112找到曲线X32了吗？y32？A3。

Y1x31y3在点(2a,2a)处y1?44切线方程是y?2a??(x?2a)?即x?y?2a?442正态方程是y?2a?(x?2a)?即x?y?0?44d2y3？求隐式函数y的二阶导数，由以下等式2确定？dx22（1） x？Y1.(2)b2x2?a2y2?a2b2?(3)y?tan(x?y)?(4)y?1?xey?解（1）方程两边的导数得到2x？2yy？？0年？？十、yy?xxy?xy?yy2?x2x1y???()???yy2y2y3y3(2)方程两边求导数得2b2x？2a2yy？？02by2?x?ay2bx)y?x(??2y2y?xy?2abby?2?2??2?Ayay2a2y2？b2x24bb？？2.23? 得到了aa2y3ay（3）方程的导数y??sec2(x?y)?(1?y?)?se2c（x？y）1y221? 秒（x？y）cos（x？y）？12sin（x？y）？二氧化碳（x？y）1 1.2.sin（x？y）y22（1？y2）221y3y？？3(?1?2) 从yyy5（4）方程的两侧获得导数y??ey?xeyyYYYYEE？？Y1.xey1？（y？1）2？是吗？（2？y）？是吗y（3？y）y？e2y（3年）y223（2年）（2年）（2年）4？用对数导数法求下列函数的导数？(1)y?(x)x?1.十、(2)y?55x?5?x2？2倍？2（3？x）4（3）y？？(x?1)5(4)y?xsinx1?ex??解(1)两边取对数得莱尼？xln | x |？xln | 1？X |，两边的导数为11(?x)?x?1?y??lnx?x??ln1yx1?x于是y??(x)x[lnx?1]?1.x1？x1？取X（2）两边的对数lny?1ln|x?5|?1lnx(2?2)?525两边的推导111?1?2xyy5x？525x2？2.3.3?? 1555x？5.[1？1？2x]？2x2?2x?55x?2(3)两边取对数得lny?1lnx(?2)?4ln3(?x)?5lnx(?1)?2两边的推导1y??1?4?5?y2（x？2）3？xx？1x？2（3？x）41？4.5] 那么你呢？？[2（x？2）x？3x？1（x？1）5（4）取两边的对数得到lny?1lnx?1lnsinx?1ln1(?ex)?224两边的推导x111et?ycox?y2x24(1?ex)xx1?ex[1?1coxt?ex]于是y??xsin2x24(1?e)x1ex2xsinx1?e[?2cotx?x]??4xe?15?求下列参数方程所确定的函数的导数阿迪？dx？十、at2（1）？？2岁？英国电信？？十、（1？罪？）(2)??y??cos??2dyy?解(1)?t?3bt?3bt?dxxt？2at2adyy？(2) 余弦罪1sincosdxxxetsint,时dy的值?6?已知?求当t?t3dx?y?ecost.dyyt?etcost?etsintcost?sint解?dxxt?etsint?etcostsint?cost1?3dy221?33?2?当t??时?dx1331？3.227? 在给定参数值的对应点写出下列曲线的切线方程和法线方程？xsint(1)在t??处?4.Ycos2t？十、3at？1.t2（2）？2.t=2？3at？Y1.泰迪？解决方案（1）？T2sin2t？？dxxt?cost?)?2sin(2?dy4??2??22?x?2?y?0当t??时?00?2dx42cos42所求切线方程为?Y22（x？2）？22x？Y2.02所求法线方程为Y1（x？2）？2倍？4y？1.02?226at(1?t2)?3at2?2t6at?(2)yt(1?t2)2(1?t2)23a(1?t2)?3at?2t3a?3at2xt?(1? t2)2(1?t2)2dyyt6at2?2t2?dxxt？3a？3at1？tdy2？24 什么时候？两点钟？？x0？6a？y0？12a？2dx1？2355切线方程是？y?12a??4(x?6a)?即4x?3y?12a?0?正常方程是y?12a?3(x?6a)?即3x?4y?6a?0?545d2y8？求由下列参数方程2确定的函数的二阶导数？dx2??x?t(1)?2?Y1.T十、成本（2）？？y?bsint?。

精品文档第二章 综合测试题 A 卷一、填空题 （每小题 4 分 ,共 20 分）1、设函数f (x) x x , 则 f (0) =. 、设函数 f (x) xe x 则f (0) =.2,3、设函数 f (x) 在 x 0 处可导 ,且 f ( x 0 ) =0, f ( x 0 ) =1, 则 lim nf ( x 01) =.nn4 y x22x 8上点处的切线平行于 ,处的切线与 x 轴正向、曲线 x 轴 点的交角为.45、 d=e x dx二、 选择题 （每小题 4 分,共 20 分）1 x 1x1、设函数 f (x)x在 x0 处[]1x2（ A ） 不连续 （ B ） 连续但不可导（ C ） 二阶可导 （ D ）仅一阶可导2y ax 2与曲线 y ln x 相切 , 则 a 等于[ ]、若抛物线 （A ） 1（ B ）1 （ C ）1（D ）2e22e3、设函数 f (x)x ln 2x 在 x 0 处可导 , 且 f (x 0 ) 2 , 则 f ( x 0 ) 等于[]（A ） 1（ B ）e （ C ）2（D ） e2e4、设函数 f (x) 在点 xa 处可导 , 则 lim f ( a x)f (a x) 等于[]x 0x（A ） 0 （ B ）f (a)（ C ）2 f (a) （D ） f (2 a)5、设函数 f ( x) 可微 , 则当 x 0 时, y dy 与 x 相比是[]（ A ）等价无穷小（ B ）同阶非等价无穷小（ C ）低阶无穷小（D ）高阶无穷小三、解答题1、（ 7 分）设函数2、（ 7 分）设函数f (x) (x a) (x) ,( x) 在 x a 处连续,求 f (a) .f (x) x a a a x a a a x,求f ( x).3、（8 分）求曲线x sin t在 t 处的切线方程和法线方程 . y cos2t 64、（7 x 1sin y 0 所确定的隐函数d 2 y分）求由方程y y 的二阶导数 2 .2 dx5、（7 分）设函数 y ( x a1) a1 ( x a2 )a2 L (x a n ) a n, 求 y .x2 x 11 处6、（ 10 分）设函数f ( x)2 , 适当选择 a, b 的值,使得 f ( x) 在 xax b x 1 22可导 .7 7分）若y f (x) xf ( y) x ,其中 f (x) 为可微函数,求dy .、（ 2 28、（7 分）设函数 f (x) 在 [ a,b] 上连续,且满足 f (a) f (b) 0, f (a) f (b) 0 , 证明: f ( x) 在 (a,b) 内至少存在一点 c ,使得 f (c) 0 .综合测试 A 卷答案一、填空题1、 02、 23、 14、（1,7）, ( 3 ,29) 5 、 e x24二、选择题1、（ C ）2、（ C ）3、（ B ）4、（ C ）5、（ D ）三、解答题1、 f ( a)lim f ( x)f (a)lim( xa) ( x)(a) .x ax axax a2、 f ( x) a a x a a 1 ax a 1a xaln a a x a a x ln 2 a .、切线方程 y 12( x 1 ) , 即 4x2 y3 0 .322法线方程y 1 1( x1) , 即 2x 4y 1 0 .2224、d 2 y4sin y3.2(cos y 2)dxa 1a 2L a nn( x a i ) a i )( na i5、 由对数求导法， 得 yy() ( )x a 1x a 2x a n i 1i 1 x a i6、 a1,b147两边微分得2 yf ( x)dy y 2 f ( x) dx f ( y)dx xf ( y)dy 2xdx 即dy 2 x y 2 f ( x) f ( y)2 yf ( x) xfdx .( y)8、证明因为 f ( a) f (b) 0 , 不妨设 f (a) 0, f (b) 0f (a)lim f ( x)f (a)lim f ( x) 0 , 则 存 在10 , 当 x 1 (a, a1)时 ,xax a x a x af ( x 1 )0 , 又因为 x 1a , 所以 f (x 1)0 .同理可知存在 20 , 当 x 2 (b2 ,b)x 1 a精品文档时 , f ( x2 ) 0 ;又因为 x2 b ,所以 f ( x2 ) 0 ,取适当小的1 , 2,使得 a 1 b 2 ,则x2 bx1 x2,因为 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [ x1, x2 ] 上连续,且 f (x1) 0 , f ( x2 ) 0 . 由零点存在定理知至少存在一点 c ,使得 f (c) 0 ,证毕.精品文档第二章 综合测试题 B 卷一、填空题 （每小题 5 分,共 30 分） 1、 y x na 1x n 1 a 2 x n 2 L a n 1 x a , 则 y n.x at 2d 2 x2、 y bt3 ,则dy 2.3、 y x 6 x 2 321 x2 , 则 y '.4、 x 22xyy 2 2x , 则dy.dx5、 y x 1x 11 , 则 y.x 1xx16、 ye x cos x , 则 y n.二、选择题 （每小题 5 分,共 30 分）1、若3 , 则 lim f x 0 h f x 0 3h[].f ' xh 0h（A ） 3（B ） 6（C ） 9（D ） 122、设 f x x x ,则 f ' 0[]..（A ）0（B ） 1（C ） 1（D ）不存在3、若 fx 为可微分函数 , 当 x0 时 ,则在点 x 处 , y dy 是关于 x 的[].（ A ）高阶无穷小（ B ）等价无穷小 （C ）低阶无穷小 （ D ）同阶不等价无穷小4、设 yfe x ef x,且 f 'x 存在 , 则 y '[ ].（ A ） f ' e x e f xf e xe f x（ B ） f ' e xe f x f ' x（ C ） f ' e x e xe f xf e x e fxf ' x（ D ） f ' e xe f x5、设 e x e y sin xy , 则 y ' x 0[].（A ） 0（B ） 1（C ） 1（D ） 2精品文档6、若函数y f x ,有f ' x0 1x 0 时 ,该函数在x x0处的微分 dy 是[ ]. ,则当2（A ）与x 等价的无穷小（ B）与x 同阶的无穷小（ C）比x 低阶的无穷小（ D）比x 高阶的无穷小三、计算题（每小题 8 分 ,共 40 分）1、设f ( x) e2x b, x 0,问a, b为何值时f ( x)在x 0处可导. sin ax, x 02、y arccos x ln 2 arccos x ln arccos x 1 x 1 , 求dy.22 dx3、求曲线x 2t 3 arctan t在 x 3 处的切线方程. y 2 3t ln 1 t 21x, 求y '14、y 1 .x 2、求y n 已知y 1.5 ,x2 3x 2精品文档综合测试题 B 卷答案一、填空题1、2、2a 3、x 2 1 x 2 x6 6x 2 6n!3 29b2t 4 x2 1 x 2 x4、xy 1 5、1 x 2nx n6、e x cosy x x2 1 4二、选择题1、 (D)2、 (A)3、 (A)4、(C)5、 (B)6、 (B)三、计算题1、当a 2f ( x) 在x 0处可导. b时 ,12、y 2u ln 2 ug 1 2 arccos xgln 2 arccos x x 1 .1 x2 1 x23、切线方程为y 2 x 3 ,即x y 5 .4、y' 1 3 ln 3 2 .2 35、提示y1 1 1x 1 x 1 1 3x 2 x 2 x 12 , x2则 y n 1 n! 1 n 1 1 n 1 .nx 2 x 1。

-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。

高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。

（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。

选修2—2单元测试题一、选择题（共12小题，每小题5分,共60分)1.函数y =x 2co sx 的导数为…………………………………………【 】 A 。

y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C 。

y ′=x 2co sx －2xs i nx D 。

y ′=x co sx －x 2s i nx2。

下列结论中正确的是……………………………………………【 】 A. 导数为零的点一定是极值点B 。

如果在0x 附近的左侧0)('>x f 右侧0)('<x f 那么)(0x f 是极大值C 。

如果在0x 附近的左侧0)('>x f 右侧0)('<x f 那么)(0x f 是极小值D 。

如果在0x 附近的左侧0)('<x f 右侧0)('>x f 那么)(0x f 是极大值 3。

曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是……………【 】 A 。

4 B 。

52C.3 D 。

24。

函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是……………………【 】 A 。

1 B 。

12C.0D.-1 5. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为……………………【 】 A 。

0。

28J B. 0。

12J C. 0.26J D 。

0。

18J6。

给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰,则f （x ）〉0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f （x ）的原函数为F (x )，且F （x ）是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为…【 】A. 1B. 2C. 3 D 。

0 7。

第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。

第二章导数与微分典型例题解析例1 设()f x 在0x 处可导，求000()(3)lim x f x x f x x x→+--． 分析 所求极限与0()f x '的定义式子很相似，则由0()f x '的定义即可求解．解 000()(3)lim x f x x f x x x→+--=00000[()()][()(3)]limx f x x f x f x f x x x→+-+-- =000000()()(3)()lim3lim3x x f x x f x f x x f x x x→→+---+- =0()3()f x f x ''+=04()f x '．错误解答 令03xx t -=，则03x x t =+，000()(3)limx f x x f x x x→+--=(4)()limx f t x f t x→+-=4lim ()x f t →'（1）=004lim (3)x f x x →'-=04()f x '． （2）错解分析 式（1）用到()f x 在点t 的导数；式（2）用到()f x '在点0x 连续．但是题目只是给出()f x 在0x 处可导的条件，而()f x 在0x 的邻域内是否可导以及()f x '在0x 处是否连续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立．例2 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在(,)-∞+∞上有定义且在点a 处可导．试求(0)f '．分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数()f x 的可导性未知，故只能用定义来求．解 当0b ≠时，0()(0)lim 0x f x f x →--=0()()limx a bx a bx xϕϕ→+-- =0[()()][()()]lim x a bx a a bx a xϕϕϕϕ→+---- =()()()()limlimx x a bx a a bx a b b bxbxϕϕϕϕ→→+---+-=()()b a b a ϕϕ''+=2()b a ϕ'．所以(0)f '=2()b a ϕ'．当0b =时，()0f x =，(0)0f '=． 综上所述，(0)f '=2()b a ϕ'．例3 设函数2()()()f x x a x ϕ=- ，其中()x ϕ的一阶导函数有界．求()f a ''．分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数()f x '的可导性未知，故只能用定义来求．解 由于2()2()()()()f x x a x x a x ϕϕ''=-+-，则有()0f a '=．又 ()()lim x af x f a x a→''--=22()()()()limx ax a x x a x x aϕϕ→'-+-- =lim[2()()()]x ax x a x ϕϕ→'+-=2()a ϕ, 所以()f a ''=2()a ϕ．错误解答 因为2()2()()()()f x x a x x a x ϕϕ''=-+-，2()2()2()()2()()()()f x x x a x x a x x a x ϕϕϕϕ''''''=+-+-+-，所以()f a ''=2()a ϕ．错解分析 此解法错误的根源在于()x ϕ的一阶导函数有界并不能保证()x ϕ二阶可导．而上述求解却要用到()x ϕ''．注 此题用到如下结论：a ．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b ．可导必连续．例 4 设()f x 的一阶导数在x a =处连续且0()lim 1x f x a x→'+=，则（ ）．A ．()f x 在x a =处的二阶导数不存在．B ．0lim ()x f x a →''+一定存在．C ．()1f a ''=．D ．()2f a '=．解 因为0()lim 1x f x a x→'+=，所以0lim ()0x f x a →'+=，由于()f x '在x a =处连续，故()0f a '=．又因为00()()()limlim 1()x x f x a f a f x a x a ax→→'''+-+==+-，所以()1f a ''=．选C ．例5 设()f x 在0x =的某个邻域内有定义，x 、y 为该邻域内任意两点且()f x 满足条件：（1）()()()1f x y f x f y +=++； （2）(0)1f '=．试证在上述邻域内()1f x '=．分析 此处无法用求导公式和求导法则证明()1f x '=．由于()f x 的表达式未给出，故只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出(0)f ．证明 因为()f x 在0x =的某个邻域内有定义，记该邻域为E ，则对任意x 、y E ∈，有()()()1f x y f x f y +=++．令0y =，则(0)1f =-．于是对任意x E ∈，当x x E +∆∈及x E ∆∈时，考虑下列极限0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆=0[()()1]()limx f x f x f x x∆→+∆+-∆ =0()(1)lim x f x x∆→∆--∆ =0()(0)lim x f x f x∆→∆-∆ =(0)f '=1，故()1f x '=，x E ∈．例6（04研） 设函数()f x 连续，且(0)0f '>，则存在0δ>，使得（ ）．A ．()f x 在(0,)δ内单调增加．B ．()f x 在(,0)δ-内单调减少．C ．对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >．D ．对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >．解 由导数定义知()(0)(0)lim 00x f x f f x →-'=>-． 根据极限的保号性，知存在0δ>，当(,0)(0,)x δδ∈-U 时，有()(0)0f x f x->． 因此当(,0)x δ∈-时，有()(0)f x f <；当(0,)x δ∈时，有()(0)f x f >，故选C ． 注 函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论．例7 设不恒为零的奇函数()f x 在0x =处可导．试说明0x =为函数()f x x的哪一类间断点．解 由题设知()()f x f x -=-，令0x =可得(0)0f =．则()limx f x x→=0()0lim 0x f x x →--=(0)f '， 于是()f x x在0x =处有极限．从而0x =是()f x x的可去间断点．例8 设函数()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）． A ．充分必要条件 ． B ．充分条件但非必要条件． C ．必要条件但非充分条件． D ．既非充分条件又非必要条件．分析 ()F x 表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数．解 由导数定义()(0)(0)limx F x F F x →-'=-， 知00()(0)()(1sin )(0)(0)lim lim0x x F x F f x x f F x x---→→---'==- 00()(0)()sin lim lim0x x f x f f x xx x--→→-=-- (0)(0)(0)(0)f f f f -''=-=-，0()(0)()(1sin )(0)(0)lim lim0x x F x F f x x f F x x+++→→-+-'==- (0)(0)(0)(0)f f f f +''=+=+，可见(0)F '存在(0)(0)F F -+''⇔=，即(0)0.f =故选A ．例9（01研） 设(0)0f =，则()f x 在点0x =可导的充要条件为（ ）．A ．201lim(1cosh)h f h →-存在．B ．01lim (1)h h f e h→-存在． C ．201lim (sinh)h f h h →-存在．D ．01lim [(2)()]h f h f h h→-存在． 分析 本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号．解 注意到1cosh 0-≥，且0lim(1cosh)0h →-=． 如果201lim(1cosh)h f h→-存在．则22001(1cosh)(0)1cosh lim (1cosh)lim 1cosh 0h h f f f h h →→---⎡⎤-=⋅⎢⎥--⎣⎦200(1cosh)(0)1coshlim lim 1cosh 0h h f f h→→---=⋅-- 001(1cosh)(0)1()(0)1lim lim (0)21cosh 0202h u f f f u f f u ++→→---'===---． 所以A 成立只保证(0)f +'存在，而不是(0)f '存在的充分条件．如果01lim (1)h h f e h→-存在，则 001(1)(0)1lim (1)lim 10h h hh h h f e f e f e h e h →→⎛⎫----=⋅ ⎪--⎝⎭00(1)(0)1lim lim 10h hh h h f e f e e h→→---=⋅--()(0)(1)lim(0)0u f u f f u →-'=-=--， 故B 是(0)f '存在的充要条件．对于C ，221(sinh)(0)sinh(sinh)sinh 0f h f h f h h h h----=⋅--， 注意到20sinhlim 0h h h→-=，所以若(0)f '存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限存在，则由221(sinh)(sinh)(0)sinh sinh f h f h f h h h h ---=--知上式左边极限可能不存在，故(0)f '可能不存在．至于D ，00111lim [(2)()]lim ((2)(0))(()(0))h h f h f h f h f f h f h h h →→⎡⎤-=---⎢⎥⎣⎦， 若(0)f '存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在．故选B ．例10（99研）设20()(),0x f x x g x x >=⋅≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ ）．A ．极限不存在．B ．可导．C ．连续但不可导．D ．极限存在但不连续．解 由于()(0)lim 0x f x f x -→--=20()limx x g x x -→⋅=0=(0)f -'， 0()(0)lim 0x f x f x +→--=0limx →=0=(0)f +'，故选B ．例11 已知()f x 在x a =处可导且()0f a >．求1()lim[]()n n f a n f a →∞+． 分析 题目条件是()f x 在x a =处可导，必然有()f x 在x a =处连续，从而可知该极限属于1∞型．解 ()f x 在x a =处可导．则1()()lim ()1n f a f a n f a n→∞+-'= 且当n 充分大时1()0f a n+>．故1()lim[]()n n f a n f a →∞+=1()exp{lim ln }()n f a n n f a →∞+⋅=1()()exp{limln[1]}()n f a f a n n f a →∞+-⋅+ =1()()exp{lim}()n f a f a n n f a →∞+-⋅ =1()()1exp{lim }1()n f a f a n f a n→∞+-⋅=()exp{}()f a f a '． 注 此题用到当0x →时，ln(1)x x +:． 例12 讨论函数()|(1)|f x x x x =-的可导性． 分析 ()f x 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上()f x 为分段函数．解法1 由(1)0x x -≥可得1x ≥或0x ≤．由(1)0x x -<得01x <<．于是3223,10(),01x x x x f x x x x ⎧-≥≤⎪=⎨-<<⎪⎩ 或， 可求得2232,10()23,01x x x x f x x x x ⎧-><⎪'=⎨-<<⎪⎩或， 因为0()(0)lim 0x f x f x +→--=230lim x x x x+→-=0，0()(0)lim 0x f x f x -→--=320lim 0x x x x-→-=， 所以(0)0f '=，即()f x 在0x =处可导．而1()(1)lim1x f x f x +→--=321lim 1x x x x +→--=1， 1()(1)lim1x f x f x -→--=231lim 1x x x x -→--=1-，则()f x 在1x =处不可导．综上所述()f x 在1x =处不可导，()f x 在(,1)(1,)-∞+∞U 上均可导．解法2依题意，()f x x =且仅在0x =和1x =处可能不可导．故只需讨论在这两点的情形．（1）0x =时，由于0|||1|lim00x x x x x →⋅⋅-=-，故(0)0f '=．（2）1x =时，由于1|||1|lim1x x x x x →⋅⋅--不存在， 故()f x 只在1x =处不可导，在(,1)(1,)-∞+∞U 上均可导．解法3 由于()|(1)||||1|f x x x x x x x =-=⋅-，由导数定义可知，||x 在0x =处不可导，而||x x 在0x =处一阶可导，因此，||x x 在任意点处均可导，再只需考查|1|x -的可导性．由导数定义可知，|1|x -仅仅在1x =处不可导，故()f x 仅在1x =处不可导，在(,1)(1,)-∞+∞U 上均可导．例13 设2()lim 2tx t xf x x e→+∞=+-，讨论()f x 的可导性． 分析 先应求出()f x 的表达式．本质上()f x 为分段函数． 解 由于,0lim 1,00,0tx t x e x x →+∞+∞>⎧⎪==⎨⎪<⎩， 则有20,0(),02x f x x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩ ．显然当0x >或0x <时，函数()f x 可导．下面讨论0x =时()f x 的可导性．由于(0)f +'=0()(0)lim 0x f x f x +→--=000limx x+→-=0， (0)f -'=0()(0)lim 0x f x f x -→--=2002limx xx x -→-+=12，于是(0)f +'≠(0)f -'，从而可知()f x 仅在0x =处不可导．例14（05研）设函数()n f x =()f x 在(,)-∞+∞内（ ）．A ．处处可导．B ．恰有一个不可导点．C ．恰有两个不可导点．D ．至少有三个不可导点． 解 由于()n f x =133lim[||(1||)]nnnn x x -→∞+=133lim ||(1||)n nn x x -→∞+易求得33,1()1,11,1x x f x x x x ⎧>⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则310()(1)1(1)lim lim 311x x f x f x f x x +++→→--'===--， 11()(1)11(1)lim lim 011x x f x f f x x ---→→--'===--， 故1x =为不可导点．同理1x =-也为不可导点．故选C ．例15 设12()max{(),()}F x f x fx =的定义域为(1,1)-，其中1()1f x x =+，22()(1)f x x =+，试讨论()F x 的可导性．若可导，求其导数．分析 本质上()F x 是分段函数即112212(),()()()(),()()f x f x f x F x f x f x f x ≥⎧=⎨<⎩， 由此可知需先解出不等式12()()11f x f x x ≥⎧⎨-<<⎩与 12()()11f x fx x <⎧⎨-<<⎩．解由12()()11f x f x x ≥⎧⎨-<<⎩即21(1)11x x x ⎧+≥+⎨-<<⎩解得10x -<≤，此时()1F x x =+．而由12()()11f x f x x <⎧⎨-<<⎩即21(1)11x x x ⎧+<+⎨-<<⎩解得01x <<，此时2()(1)F x x =+．则有21,10()(1),01x x F x x x +-<≤⎧=⎨+<<⎩ 且1,10'()2(1),01x F x x x -<<⎧=⎨+<<⎩ 当0x =时，0()(0)limx F x F x +→--=20(1)1lim x x x +→+-=2， 0()(0)lim 0x F x F x -→--=0(1)1lim x x x-→+-=1， 即(0)(0)F F +-''≠，所以()F x 在0x =处不可导．故1,10()2(1),01x F x x x -<<⎧'=⎨+<<⎩ ． 例16 设函数21()1xe xf x ax bx ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若要()f x 为可导函数，应如何选择,a b ？解 显然当1x >及1x <时，()f x 可导，故要使()f x 为可导函数，只需使其在1x =处可导．由可导与连续的关系，应该首先选择,a b ，使其在1x =连续．因(1)f e =，(1)f e -=，(1)f a b +=+，故当a b e +=即b e a =-时，()f x 在1x =连续．又22121111()(1)11(1)lim lim lim lim 21111x x x x x x f x f e e e x f e e e x x x x ------→→→→----'=====----， 111()(1)()(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b e ax e a ef a x x x ++++→→→-+-+--'====---， 因此当2,a e b e ==-时，(1)f '存在，从而()f x 为可导函数．例17 设()sin f x x =，2()x x ϕ=．求[()]f x ϕ'，[()]f x ϕ'，[(())]f x ϕ'． 分析 三个函数中都有导数记号，其中[()]f x ϕ'表示函数()x ϕ对x 求导，求得()x ϕ'后再与f 复合；[()]f x ϕ'表示函数f 对()x ϕ求导，即()f u 对u 求导，而()u x ϕ=；[(())]f x ϕ'表示复合函数[()]f x ϕ关于自变量x 求导．解 ()cos f x x '=，()2x x ϕ'=．则[()]f x ϕ'=(2)f x =sin 2x ，[()]f x ϕ'=2cos x ，以及[(())]f x ϕ'=[()]()f x x ϕϕ''⋅=22cos x x ．例18 设21ln sin ()x y x-=．求dy dx．分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出dy ，然后可得dy dx．解法1 直接由复合函数求导法则，令sin u v =，1ln x v x-=，则dy dx =dy du dv du dv dx⋅⋅ =2ln 22cos x u v x-⋅⋅=2ln 21ln sin 2()x x x x--⋅． 解法2 利用一阶微分的形式不变性dy =21ln sin ()x d x -=1ln 1ln 2sin()sin()x xd x x--=1ln 1ln 1ln 2sin()cos()()x x x d x x x ---=2ln 21ln sin 2()x x dx x x --⋅故dy dx =ln 21ln sin 2()2x x x x--⋅．例19 设aa xax ay x a a =++，0a >．求dy dx．分析 aa x 为幂函数；ax a 为指数函数与幂函数复合而成的函数；而xa a 也为复合函数，它是指数函数与指数函数复合而成的函数．解 dy dx=()()()aaxax a x a a '''++=1ln ln ()()aaxa axaaaa x e e -⋅⋅''⋅++=1ln ()ln ()aaxa a xa a x a x a a x a a a -''⋅+⋅⋅+⋅⋅=112ln (ln )aaxa a xa a x a x a a a x a a a --⋅+⋅⋅+⋅⋅=112ln (ln )aaxa a a xaxa x ax a a a a --+⋅+⋅⋅+⋅．例20 若()x ϕ'存在，2(sec )arcsin y x x ϕ=+．求dy ．分析 可以先求出dy dx，也可利用微分的形式不变性求一阶微分．解法1 dydx=22(sec)(sec )x x ϕ''222(sec)sec tan x x x ϕ'⋅，所以dy =22[2(sec )sec tan x x x dx ϕ'⋅．解法2dy=2[(sec )arcsin ]d x x ϕ+=2(sec )arcsin d x d xϕ+=22(sec )sec x d x ϕ'+=22[2(sec)sec tan x x x dx ϕ'⋅．例21 设(cos )cos2f x x '=．求()f x ''． 解法1 在(cos )cos2f x x '=的两边微分，得(cos )cos 2sin 2f x d x xdx ''=-， 即(cos )(sin )4sin cos f x x dx x xdx ''⋅-=-，化简得(cos )4cos f x x ''=．令cos x t =，则()4f t t ''=．于是可得()4f x x ''=，||1x ≤．解法2 由于2(cos )cos22cos 1f x x x '==-，于是2()21f x x '=-，其中||1x ≤．所以()4f x x ''=，||1x ≤．注 本题作变换cos t x =，则要求||1t ≤．故在最后需指明{|11}x x -≤≤是()f x ''的定义域．例22 设2sin ()y f x =且f 有二阶导数．求22d ydx．解 y '=22cos ()()2f x f x x '⋅⋅=222()cos ()x f x f x '⋅⋅，y ''=22222()cos ()2()2cos ()f x f x x f x x f x '''⋅+⋅⋅⋅2222()[sin ()]()2x f x f x f x x ''+⋅⋅-⋅⋅ =2222222222()cos ()4()cos ()4[()]sin ()f x f x x f x f x x f x f x ''''⋅+⋅⋅-⋅⋅． 例23 已知函数()f x 具有任意阶导数且2()[()]f x f x '=．则当n 为大于2的正整数时()()n f x 是（ ）．A ．1[()]n n f x +⋅．B ．1![()]n n f x +⋅．C ．2[()]n f x ．D ．2![()]n n f x ⋅．分析 已知2()[()]f x f x '=．应求出()f x ''，(3)()f x ，L ．用数学归纳法推出n 阶导数．解 当2n ≥时，2()[()]f x f x '=，()f x ''=2()()f x f x '⋅=32[()]f x ⋅，以及(3)()f x =223[()]()f x f x '⨯⋅⋅=4123[()]f x ⨯⨯⋅=43![()]f x ⋅，L ， ()()n f x =(1)![()]n n f x '-⋅=1![()]'()n n f x f x -⋅⋅=1![()]n n f x +⋅．故选B ．例24 设32()3||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（ ）．A ．0．B ．1．C ．2．D ．3． 解 逐阶计算导数来验证，记31()3f x x =，易见()1(0)n f 都存在，再记22()||f x x x =，则由求导公式和定义，有323 0() 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，2223, 0 ()3, 0x x f x x x ⎧≥⎪'=⎨-<⎪⎩，26, 0()6, 0x x f x x x ≥⎧''=⎨-<⎩, 即2()6||f x x ''=，则有22(0)(0)0f f '''==．由||x 在0x =不可导，知(3)2(0)f 不再存在，即2n =，选C ．例25 设2sin y x =．求(100)(0)y ．分析 求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，．．．，找出n 阶导数的规律，然后用数学归纳法加以证明．或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式．用这种方法要求记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式．解法1 y =2sin x =11cos222x -．则sin 2y x '=， 2cos2y x ''=， (3)22sin 2y x =-⋅， (4)32cos 2y x =-⋅， (5)42sin 2y x =⋅，L， (100)992cos 2y x =-⋅，故(100)(0)y =992-．解法 2 利用公式()(sin )n kx =sin()2n k k kx π⋅+．由2sin cos sin 2y x x x '==，得(100)()y x =99992sin(2)2x π⋅+， 故(100)(0)y =992-．解法3 利用幂级数展开式()0()!n n f x a n =⋅．2sin y x ==11cos222x -=210011111[12(2)(2)]222!4!100!x x x --+-+-+L L L ， 故(100)(0)y =992-．注 解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容．例26 设2ln(32)y x x =-+．求(50)y ． 分析 先求出22332x y x x -'=-+，若继续求导，将很难归纳出n 阶导数的表达式．此类有理分式函数，常常是将其分解为部分分式之和，再使用已有的公式．解 由于223113212x y x x x x -'==+-+--，则 (50)y =(49)(49)11()()12x x +--=49495050(1)49!(1)49!(1)(2)x x -⋅-⋅+--=505049!49!(1)(2)x x ----．例27 设函数()y y x =由方程cos()0x y e xy ++=确定，求.dy dx分析 由方程(,)0F x y =确定的隐函数的求导通常有两种方法，一是只需将方程中的y 看作中间变量，在(,)0F x y =两边同时对x 求导，然后将y '解出即可；二是利用微分形式不变性，方程两边对变量求微分，解出dy ，则dx 前的函数即为所求．解法1 在方程两边同时对x 求导，有(1)sin()()0x y e y xy y xy +''+-+=，所以sin()sin()x yx yy xy e y e x xy ++-'=-． 解法2 在方程cos()0x y e xy ++=两边求微分，得cos()0x y de d xy ++=，即()sin()()0x yedx dy xy xdy ydx ++-+=，从而sin()sin()x yx y y xy e dy dx e x xy ++-=-，所以 sin()sin()x yx y y xy e y e x xy ++-'=-．例28 设函数()y f x =由方程1xy y xe =+所确定．求0|x y ='，0|x y =''．解 将0x =代入方程1xy y xe =+，得1y =．先求0|x y ='，下面用两种解法求0|x y ='．解法1 对方程两边关于x 求导，可得()xy xy y e x e y xy ''=+⋅⋅+．将0x =，1y =代入上式中可求得0|1x y ='=．解法2 对方程两边关于x 微分得xy xy dy xde e dx =+即2xyxyxydy x e dy xye dx e dx =++．化简得2(1)1xy xydy e xy dx x e +=-．将0x =，1y =代入上式中求得0|1x y ='=．下面求y ''．对等式()xy xy y e x e y xy ''=+⋅⋅+两边关于x 求导，得y ''=2()()()()xy xy xy xy e y xy e y xy xe y xy xe y y xy '''''''++++++++，将0x =，1y =，0|1x y ='=代入上式解得0|2x y =''=．注 求y ''时，也可将等式2(1)1xy xye xy y x e +'=-两边对x 求导求得，或利用对数求导法．请读者自行完成这两种方法，并比较一下孰优孰劣．例29 设函数()y y x =是由方程()f y y x e e ⋅=所确定，其中()f x 具有二阶导数且()1f x '≠．求22d ydx．解法1 对方程()f y y x e e ⋅=两边关于x 求导，得()()()f y f y y e x e f y y e y '''+⋅⋅⋅=⋅，即y '=()()()f y y f y e e xe f y '-⋅=1()y y y ex e e f y ⋅'-⋅=1[1()]x f y '-，上式两端再对x 求导得y ''=221{1()[()]}[1()]f y x f y y x f y ''''-⋅-+-⋅'-=223()[1()][1()]f y f y x f y '''--'-．解法2 方程()f y y x e e ⋅=两端取对数得ln ()x f y y +=，对其两端关于x 求导则有1()f y y y x'''+⋅=， 解得y '=1[1()]x f y '-．以下同解法1．注 利用原方程简化导数表达式是隐函数求导常用的方法之一，在求隐函数的高阶导数时尤其显得重要．例30 求函数()1x x y x=+的导数dy dx．分析 所给函数为幂指函数，无求导公式可套用．求导方法一般有两种：对数求导法和利用恒等式ln x x e =（0x >），将幂指函数化为指数函数．解法1 对数求导法．对等式()1x x y x=+两边取自然对数得ln [ln ln(1)]y x x x =-+，两边对x 求导得111[ln ln(1)]()1y x x x y x x'⋅=-++-+， 解得1()(ln )111x x x y x x x'=⋅++++． 解法2 利用恒等式ln x x e =，（0x >）．ln()[ln ln(1)]1()1xx xx x x xx y e e x⋅-++===+． 于是y '=[ln ln(1)]{[ln ln(1)]}x x x e x x x ⋅-+'⋅⋅-+=1()(ln )111x x x x x x⋅++++． 注 一般的可导幂指函数()()v x y u x =均可采用上述两种方法求导．例31 求由方程(cos )(sin )y x x y =所确定的函数()y x 的导数dy dx．分析 此题为幂指函数和隐函数求导数的综合问题． 解法1 对方程(cos )(sin )y x x y =两边取自然对数得lncos lnsin y x x y =，两端对x 求导，则有sin cos ln cos lnsin cos sin x yy x y y x y x y-''⋅+⋅=+⋅⋅， 解得lnsin tan ln cos cot dy y y xdx x x y+=-．解法2 原方程可变为ln cos lnsin y x x y e e =，即lncos lnsin y x x y =．对上式两边微分：(lncos )(lnsin )d y x d x y =即lncos lncos lnsin lnsin xdy yd x ydx xd y +=+，于是有sin cos ln cos lnsin cos sin y x x y xdy dx ydx dy xy-=+，由此解得lnsin tan ln cos cot dy y y x dx x x y+=-．例32求函数y =的导数．分析 该题属于求多个函数的乘积或幂的导数，用对数求导法较好．解法1 两端先取绝对值，再取对数得1ln ||ln(2)4ln |3|5ln |1|2y x x x =++--+，两边对x 求导，得11452(2)31y y x x x '⋅=--+-+．所以145()2(2)31y x x x '--+-+．解法2y ==1452(2)(3)(1)x x x -+⋅-+y '=14521(2)(3)(1)2x x x --+⋅-+13524(2)(3)(1)x x x --+⋅-+14625(2)(3)(1)x x x --+⋅-+145()2(2)31x x x --+-+．例33 设21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩，则22d y dx =________．分析 这是要求由参数方程确定函数的二阶导数，需要先求一阶导数．解 dy dx=dy dt dx dt=sin 2t t-，22d ydx =sin ()()2d dy d t dx dx dx t -=sin ()2d t dt dt t dx -=⋅=3sin cos 4t t t t -．错误解答 dy dx=dy dt dx dt=sin 2tt -，22d y dx=sin ()2t t-'=2sin cos 2t t t t-．错解分析 出错的原因在于忽视了dy dx=sin 2t t -是t 的函数，t 为参数且是中间变量，而题目的要求是求()d dy dx dx．因此，在求这类函数的二阶或三阶导数时要注意避免这类错误发生．例34 设()x f t '=，()()y tf t f t '=-且()0f t ''≠．求22d y dx ．解 dy dx=dy dt dx dt=(()())(())dtf t f t dt df t dt'-'=t ， 22d y dx =()d dy dx dx =()d dy dt dt dx dx ⋅=()d dtt dt dx⋅=11()f t ⋅''=1()f t ''． 例35 设()y y x =是由2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定．求202|t d y dx =．分析 此题为隐函数求导与由参数方程所确定函数的求导的综合问题．解法1 在2323x t t =++两边对t 求导得62dxt dt=+．由sin 10y e t y -+=得0|1t y ==，对方程两边关于t 求导得cos 1sin y y dy e t dt e t=-=cos 2y e t y-．则有0|t dy e dt ==，dy dx=dy dt dx dt =cos (2)(62)y e t y t -+．故22d y dx =()d dy dt dt dxdx⋅=23(cos sin )(2)(62)cos [6(2)(62)](2)(62)y y y dy dye t e t y t e t y t dt dty t ⋅--+---⋅+-+，所以202|t d y dx ==2234e e-．解法2 由0t =得3x =，1y =．又62dx t dt=+，cos 1sin y y dy e t dte t =-=cos 2y e t y-，故dy dx=dy dt dx dt=cos (2)(62)y e t y t -+，0|2t dy e dx==，22d y dx =cos ()262y d e t dx y t ⋅-+=cos cos ()()622262y y t d e e d t dt t dx y y dt t dx⋅+⋅⋅+--+=23cos (2)(62)sin 6cos 62(2)2(62)y y y t y e e dy e t t t t y dx y t -+-+-⋅⋅+⋅+--+，所以202|t d y dx ==2234e e-．解法3 运用公式22d ydx=22223()d y dx dy d xdt dt dt dt dx dt⋅-⋅．容易求出00|(62)|t t dx t dt===+2=，226d xdt =，0|1t y ==，对sin 10y e t y -+=两边分别关于t 求一阶导数，得sin cos 0y y dy dye t e t dt dt ⋅-+=从而0|t dy e dt==，对sin cos 0y y dy dy e t e t dtdt⋅-+=两边分别关于t 求一阶导数，得22222sin ()sin 2cos sin 0y y y y d y dy dy d ye t e t e t e t dt dt dt dt⋅+⋅+⋅--=， 由此可得2202|2t d y e dt ==．于是将0|t dx dt =2=，226d x dt =，0|t dy e dt==，2202|2t d y e dt ==代入公式22d ydx =22223()d y dx dy d xdt dt dt dt dx dt⋅-⋅，得202|t d y dx ==2234e e-．例36（04研） 曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为________．分析 求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，利用两直线（不平行坐标轴）垂直的关系：斜率互为负倒数．解 直线1x y +=的斜率为11k =-，由1(ln )y x x ''==得21k x=，由121k k ⋅=-得1x =，从而切点为(1,0)，于是所求切线方程为 01(1)y x -=⋅-，即1y x =-为所求．例37（97研） 求对数螺线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程．分析 求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，而对数螺线的方程为极坐标形式，故应先化为参数方程形式．解 由e θρ=知cos sin x e y e θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，点2(,)2e ππ的直角坐标为2(0,)e π．又由dy dx=dyd dx d θθ=cos sin cos sin θθθθ+-可知，当2πθ=时1dydx=-．故所求切线方程为2(1)(0)y e x π-=-⋅-即20x y e π+-=为所求．例38 已知曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ．求lim ()n n f ξ→∞．分析 先求出切线方程，然后求出该切线与x 轴的交点坐标即可．解 曲线在(1,1)处的切线斜率为11(1)|n x k f n x n -='==⋅=，故切线方程为1(1)y n x -=-．令0y =，得该切线与x 轴的交点的横坐标为11n nξ=-．于是lim ()n n f ξ→∞=1lim(1)n n n→∞-=()(1)1lim(1)n n n-⋅-→∞-=1e -． 例39 已知()f x 是周期为5的连续函数，其在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小且()f x 在1x =处可导．求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程．分析 求()f x 在(6,(6))f 处的切线方程，需求(6)f 与切线斜率(6)f '，而由(5)f x +=()f x ，可得(6)(1)f f =和(5)()f x f x ''+=，从而(6)(1)f f ''=．故问题转化为求(1)f 与(1)f '．解 由题设条件有00lim[(1sin )3(1sin )]lim[8()]x x f x f x x x α→→+--=+， 从而(1)3(1)0f f -=，得(1)0f =．又0(1sin )3(1sin )8()limlim[]8x x f x f x x x x x xα→→+--=+=，从而 0(1sin )3(1sin )sin lim 8sin x f x f x xx x→+--⋅=， 即 0(1sin )3(1sin )lim 8sin x f x f x x→+--=． 令sin t x =，则有0(1sin )3(1sin )(1)3(1)limlim 8sin x t f x f x f t f t x t→→+--+--==, 即000(1)3(1)(1)(1)(1)(1)lim lim 3lim t t t f t f t f t f f t f ttt→→→+--+---=+⋅-4(1)8f '==．所以(1)2f '=．由(5)f x +=()f x ，可得(5)()f x f x ''+=．则 (6)(1)0f f ==，(6)(1)2f f ''==， 故所求切线方程为02(6)y x -=-，即2120x y --=为所求．例40 现有一深为18cm 顶部直径为12cm 的正圆锥漏斗，内盛满水，下接一直径为10cm 的圆柱形水桶，水由漏斗进入水桶．试问当漏斗中水深为12cm 且其水面下降速度为1cm/min 时，圆柱形水桶中水面上升的速度为多少?(其中cm 表示厘米，min 表示分钟．)分析 设在时刻t 时刻漏斗水平面的高度为()h t cm ，水桶水平面的高度为()H t cm ．关键在于建立()h t 与()H t 之间的函数关系，然后用导数的物理意义即可求解．而由题设可知如下等量关系：在任何时刻t ，漏斗中的水量与水桶中的水量之和等于原来漏斗中的水量，据此问题不难求解．解 设在时刻t 时漏斗中的水量与水桶中水量分别为1V 、2V ，则22313111()()[()]()()3333V r t h t h t h t h t πππ=⋅⋅=⋅⋅=⋅，225()V H t π=⋅⋅，由于在任何时刻，12VV +均应等于开始时漏斗中的水量，即23161863V ππ=⋅⨯=， 即3233()5()63h t H t πππ⋅+⋅⋅=，解得33311()[6()]253H t h t =⋅-．对该等式两边关于t 求导得2211()()()253H t h t h t ''=-⨯⋅⋅， 将()12h t =cm ，()1h t '=-厘米/分钟代入上式则求得水桶中水平面上升的速度为22111612(1)25325v =-⨯⨯⨯-=厘米/分钟．。

⾼等数学第⼆章课后习题答案第⼆章导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x xx x x x→?→?→?→-+?--?---==-?==?-=-?2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表⽰什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()=?-?-→?xx f x x f x 000lim（0'()f x -）；⑵ ()=→?xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线⽅程和法线⽅上点??=πx y'sin ,'()3y x y π=-==-2(1)0y +-=法线⽅程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以⽆穷⼩所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x→?→?→?+?-==?=所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？⼜及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='0lim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '??≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x xx y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+g g 2'364652'20282y x x x ---=--+（3）;3253xxe x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+= 123'ln10ln 2y x x x =-+'422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22 xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+ （10）.ln 3ln 223xx x x y ++= 2232223(3)(3ln )(2ln )(2)x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+9. 已知. ,cos 21sin 4πρρ=+=d d 求因为1sin cos sin 2d d ρ=+-所以412422284d d πρπ?==+-=+10. .1轴交点处的切线⽅程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线⽅程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线⽅程为2(1)y x =+，即220x y -+=。