【精选】广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题27基本不等式

基本不等式例 1 ：求证、-a2b2：b2c2. c2a2 _ . 2(a b e)。

分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a2 b2 _2ab ,并能由...2(a b c)这一特征, 思索如何将a2・b2亠2ab进行变形，进行创造”。

证明：••• a2・b2 _2ab，两边同加a2 - b2得2(a2 - b2) _(a - b)2,即a2+b2 (a 2" ;二Ja2+b2色占|a + b 王乎(a +b),同理可得：..b2 c2 2 (b c), ■. c2 a2 2 (c a),2 2三式相加即得 \ a2b^ . b2c^ \ c2a2. 2(a b c)。

例2:若正数a、b满足a^ a b 3，则ab的取值范围是_________________________ 。

丄f,1 n解：••• a,b R，二ab 二 a b 3_2 ：ab 3，令y f ab , 得y -2y-3_0 ,••• y _3，或y 一-1 (舍去)，二y2二ab _9 ,二ab的取值范围是 0 =.。

说明：本题的常见错误有二。

一是没有舍去y乞-1 ;二是忘了还原，得出ab 3「：。

前者和后者的问题根源都是对.ab的理解，前者忽视了. ab _ 0.后者错误地将y2视为■. ab。

因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。

例3:已知a,b,c • R，求证a2 b2 c^- ab bc ca.证明：••• a2 b2 _ 2ab , b2c2— 2bc , c2a2 _ 2ca ,三式相加，得2(a2 b2c2) 一2(ab bc ca)，即a2 b2c2一ab be ca.说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。

例4:已知a、b、c是互不相等的正数，求证：a(b2- c2) b(a2c2) - c(a2b2) 6abc证明：T b 2 c 2 2bc , a 0，二 a(b 2 c 2) 2abc 同理可得：b(a 2+c 2) > 2abc , c(a 2+b 2) >2abc三个同向不等式相加，得 a(b 2 c 2) b(a 2 c 2) c(a 2 b 2) . 6abc ①说明：此题中a 、b 、c 互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立。

- 让每一个人同等地提高自我不等式证明例 1：设 ab 0 ，求证： a a b ba b b a .剖析：发现作差后变形、判断符号较为困难。

考虑到两边都是正数，能够作商，判断比值与 1 的大小关系，进而证明不等式。

证明： a a bba ab b b a( a)a b，∵ ab 0 ，∴a1, a b 0.∴ ( a) a b 1 a b b abb b∴ a a b b 1.又∵ a b b a 0 ，∴ a a b b a b b a . 。

a b b a说明：本题考察不等式的证明方法——比较法 ( 作商比较法 ) 。

作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1 的大小。

例 2：关于随意实数 a 、 b ，求证a 4b 4(a b)4 （当且仅当 a b 时取等号）。

22剖析：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦， 因为，所要证明的不等式中有 (ab ) 4 ，2睁开后很复杂。

若使用综合法，从重要不等式：a 2b 2 2ab 出发，再适合地利用不等式的相关性质及“配方”的技巧可获得证明。

证明：∵a 2b 2 2ab （当且仅当 a 2 b 2 时取等号）两边同加 4444 22 2a 4b 4 a 2b 2 2(ab ) : 2( ab ) (ab )，即：()1（）22又：∵ a 2 b 2 2ab （当且仅当 a b 时取等号），两边同加 (a 2b 2 ) : 2( a 2 b 2 )( a b) 2∴ a2b 2( a b )2 ，∴ ( a2b 2) 2 (a b)4 （2）2222由（ 1）和（ 2）可得a 4b 4 ( a b )4（当且仅当 ab 时取等号） 。

22- 让每一个人同等地提高自我说明：本题参照用综合法证明不等式。

综合法证明不等式主假如应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后能够考虑用综合法来解。

例3：若0x1，证明 log a (1 x)log a (1x) ，（ a 0 且 a1）。

不等式一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若011<<b a ，则下列不等式：①a ＋b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④2>+baa b 中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③C ．①④D ．③④【答案】C2．已知a > 0，b > 0，a 、b 的等差中项是12，且11x a y b a b=+=+，，则x + y 的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B3．设M ＝2a(a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N 【答案】B4．若)0,0(1>>=+b a b a ，则ba 11+ 的最小值为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B5．下列命题中正确的是( )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0ab >，a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a bc d>【答案】B6．实数,a b 满足01a b <<<，则下列不等式正确的是( )A ．b a a b <B ．b b a b --<C ．ab ab --<D ．b bb a <【答案】A7．若方程ax 2+bx+c=0的两实根为x 1、x 2,集合S={x|x>x 1},T={x|x>x 2},P={x|x<x 1},Q={x|x<x 2},则不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为( ) A ．(S ∪T)∩(P ∪Q) B ．(S ∩T)∩(P ∩Q) C ．(S ∪T)∪(P ∪Q) D ． (S ∩T)∪(P ∩Q)8．函数y = ）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤【答案】D9．当x>1时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]【答案】D10．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为( ) A ．－10 B ． －14 C ． 10 D ． 14【答案】B11．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则12m n+的最小值等于( ) A ．16 B ．12C ．9D ．8【答案】D12．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是( ) A ．3519a -≤≤-B ．31a -≤≤-C ．3a ≥-D ．1a ≥-【答案】D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式0)1(122≥---x x x x 的解集为 。

2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是()A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |2．若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是()A ．a >b B ．a ≥b C ．a ≤bD ．a <b3．下列结论不成立的是()A ．若a ，b ∈R ，则a 10＋b 10≥2a 5b 5B ．若x ≠0，则x 2＋1x 2≥2C ．若a b ＋ba ≥2，则必有a >0，b >0D ．若a ∈R ，则有a 2＋9≥6a4．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则()A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b25．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是()A.1a ＋1b<1 B.1a ＋1b≥1C.1＋1<2D.1＋1≥26．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么()A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一7．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋ab ≥2；③ab≤a 2＋b 22这四个不等式中，恒成立的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．48．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是()A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定二、填空题9．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是.10．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx＝－＝－2.其中正确的推导过程为.三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.12．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c 4.13．(多选题)设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是()A ．a 2＋1>a4C ．(a ＋b 4D ．a 2＋9>6a14.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)15．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是；a ＋b 的取值范围是.16．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；9.2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是(A )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是(D )A ．a >bB ．a ≥bC ．a ≤bD ．a <b 解析：a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，∴(1－a )b >12，又(1－a )＋b 2≥(1－a )b ，∴1－a ＋b 2>12，∴a <b .故选D.3．下列结论不成立的是(C )A ．若a ，b ∈R ，则a 10＋b 10≥2a 5b 5B ．若x ≠0，则x 2＋1x 2≥2C ．若a b ＋ba ≥2，则必有a >0，b >0D ．若a ∈R ，则有a 2＋9≥6a解析：由基本不等式可知，若a b ＋b a ≥2成立，则有a b >0，ba>0，因此a >0，b >0或a <0，b <0，故C 选项不成立．4．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则(B )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤12[(1＋a )＋(1＋b )]＝1＋a ＋b 2，则x ≤a ＋b2，故选B.5．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是(B )A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2 D.1a ＋1b≥2解析：因为ab＝4，所以1a ＋1b≥21ab≥214＝1.6．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么(A )A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一解析：∵a ＋b ≥2ab ，∴ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∵c ＋d ≥2cd ，∴c ＋d ≥2cd ＝4，当且仅当c ＝d ＝2时取等号．故c ＋d ≥ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时取等号．7．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋ab ≥2；③ab≤a 2＋b22这四个不等式中，恒成立的个数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由a ，b ∈R ，得a 2＋b 22≥ab ；②由a ，b ∈R ，得b a 与ab 不一定是正数，不等式不一定成立；③ab＝－(a －b )24≤0；④－a 2＋b 22＝－(a －b )24≤0，故①③④恒成立，故选C.8．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是(A )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：因为a >2，所以a －2>0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．故m ≥4.由b ≠0得b 2≠0.所以22－b 2<4，即n <4.综上易知m >n ，故选A.二、填空题9．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是a ＋1a －1≤－1.解析：∵a <1，即a －1<0，－1(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a ＝2，当且仅当1－a ＝11－a，即a ＝0时取等号，∴a －1＋1a －1≤－2，则a ＋1a －1≤－1.10．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx ＝－＝－2.其中正确的推导过程为①③.解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得x y ，yx均为负数，均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确．故选①③.三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb≥2，所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc ，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.12．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b＋c4.证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c)＝4＝右边，当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．13．(多选题)设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是(ABC )A ．a 2＋1>a4C ．(a ＋b 4D ．a 2＋9>6a解析：由于a 2＋1－a ＋34>0，∴a 2＋1>a ，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥24，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，∴(a ＋b 4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立．14.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为(D )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)解析：由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝(a ＋b 2)2＋(a －b 2)2＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．15．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是ab ≥9；a ＋b 的取值范围是a ＋b ≥6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9.∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6(a ＋b ≤－2舍去)．16．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；9.证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，∴1＋1＋1≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．(2)方法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b，＝5＋5＋4＝9，9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．。

考点27 基本不等式基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R（4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122ab a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【解析】解法一：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ⇒(a −1)·(b −1)=1，所以1911a b +≥--当且仅当43a =，b =4时取“=”). 故1911a b +--的最小值为6. 解法二：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ，所以19199910111b a b a a b ab a b -+-+==+-----+119(9)()101910b a b a a b a b =+⋅+-=+++-≥6=(当且仅当43a =，b =4时取“=”)． 故1911a b +--的最小值为6. 解法三：因为111a b +=，所以111b a -=-，所以199(1)6111b a b b +=-+≥=---(当且仅当b =4时取“=”)． 故1911a b +--的最小值为6. 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为______，此时x 的值为______.考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a 元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b 元（a 、b 是常数），用t 表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y ，即y = (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数． （1）求y 关于t 的函数关系式；（2）当a =112500，b =1000时，求这种设备的最佳更新年限．【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以b 为首项，b 为公差的等差数列， 因此年平均维修和消耗费用为()2312b b b tbbt t++++=+(元). 于是有y =b2(t +1)+at=b2+bt 2+at,t >0.（2）由（1）可知，当a =112500，b =1000时，11250022550050050050050050021515500y t t t t ⎛⎫=++=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当t =225t,即t =15时，等号成立.答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢.2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为m x .（1）将总造价y （元）表示为长度m x 的函数； （2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确；对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设a b c >>，n ∈N ，且218n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是 A ．2 B ．3 C ．4D ．5典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【解析】因为20176051S =，所以120172017()6051,2a a += 则120176,a a +=即420146a a +=.所以()420144201442014141146a a a a a a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()20144201444113554662a a a a ⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎝⎭.当且仅当420142,4a a ==时取等号. 故答案为：32. 【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．已知向量(),2x =a ，()1,y =b 且,x y 为正实数，若满足2xy ⋅=a b ，则34x y +的最小值为 A ．526+ B ．56+ C ．46D ．431．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为 A ．1 B ．12 C ．13D ．142．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则a b +的最小值等于 A ．3B ．4C ．322+D ．422+3．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．54．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是 A ．8m ≤ B ．8m < C ．8m ≥D ．8m >5．已知正数,m n 满足22100m n +=，则m n + A ．有最大值102B ．有最小值102C ．有最大值10D ．有最小值106．已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab = A ．3B ．4C ．6D ．97．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是 A ．30 m B ．36 m C ．40 mD ．50 m8．下列式子的最小值等于4的是 A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin +sin x x ，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．e 4e x x -+，x ∈RD 29．已知0x >，0y >，满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值是ABCD10．△ABC 中，角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，则角B 的取值范围是A ．π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．π,π2⎛⎫⎪⎝⎭11．已知0a b >>，则412a a b a b+++-的最小值为A ．4B ．6C ．3D ．12．已知实数0,0a b >>是8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是______．13．已知正数a 、b 满足226a b +=，则__________．14．已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为ab 的最大值为________.15．设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b +的最小值为________.16．已知函数()()()()4f x x a x a =--∈R .（1）解关于x 的不等式()0f x >； （2）若1a =，令()()()0f x g x x x=>，求函数()g x 的最小值.17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ． 2．（2018天津理科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 3．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．4．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 5．（2019年高考天津卷理数）设0,0,25x y x y >>+=__________．6．（2017年高考天津卷理数）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a ba ab b +<+<()21log 2aba b a b +<+<1．【答案】−3 2【解析】因为244()()1x x f x x x x-+-==-++，又0x >，所以44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号. 此时244()()1413x x f x x x x-+-==-++≤-+=-.即()f x 的最大值为3-，此时2x =.【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为4()()1f x x x=-++，再由基本不等式，即可求出结果.2．【答案】（1）20018400400y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，(4,50)x ∈；（2）当x =总造价最低为18400+元.【解析】（1）由矩形的长为x m ，得矩形的宽为200xm ， 则中间区域的长为(4)x -m ，宽为200(4)x-m ， 则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，定义域为(4,50)x ∈. 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，(4,50)x ∈. （2）200x x +≥= 当且仅当200x x=，即(4,50)x =时取等号. 所以当x =时，总造价最低为18400+.【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.（1）根据题意得矩形的长为x m ，则矩形的宽为200xm ，中间区域的长为(4)x -m ，宽为200(4)x -m ，列出函数关系式即可.（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可. 3．【答案】B【解析】218n a b b c a c+≥---等价于218()()a c n a b b c +-≥--， 而()1818()()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+-=+-+- ⎪----⎝⎭8()999b c a b a b b c --=++≥+=+-- 当且仅当8()b c a b a b b c--=--，即)b c a b -=-时取等号，故得到29,n n +≥∈N ，则n 的最大值是3. 故答案为B.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 4．【答案】A【解析】由题意得112212x y xy y x⋅=+=⇒+=a b ，因为x ，y 为正实数，则11(34)1(34)2x y x y y x ⎛⎫+⨯=++= ⎪⎝⎭3432552x y yx +++≥+=+当且仅当342x y y x =，即x y ==时取等号. 所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.1．【答案】D【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D. 【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出xy 的最大值. 2．【答案】C【解析】将()1,2代入直线方程得到121a b+=， 122()()33a ba b a b a b b a+=++=++≥+，当1,2a b ==时等号成立.故选C.【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将()1,2代入直线方程得到121a b+=，利用均值不等式得到a b +的最小值. 3．【答案】D【解析】由题意知，()()2211436411111x x x x f x x x x x ++++++===++++++， 因为0x >，所以10x +>，则411151x x +++≥=+（当且仅当411x x +=+，即1x =时取“=”）， 故()f x 的最小值是5. 故答案为D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题. 4．【答案】A【解析】∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=--， 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题. 5．【答案】A【解析】由不等式的性质有：222m n +≥（2m n +）2，当且仅当m n ==2m n +）2≤50， 又m ＞0，n ＞0，所以2m n+≤m n +≤ 故选A ．【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题. 6．【答案】D【解析】由()()22log 2log 11a b -+-≥，可得20a ->，10b ->且()()212a b --≥. 所以()()22215559a b a b +=-+-+≥≥=， 当()221a b -=-且()()212a b --=时等号成立，解得3a b ==. 所以2a b +取到最小值时339ab =⨯=.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足. 7．【答案】C【解析】设矩形的长为(m)x ，则宽为100(m)x ，设所用篱笆的长为(m)y ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=（当且仅当10022x x =⋅，即10x =时取等号），故本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键. 8．【答案】C【解析】选项A ，设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值；选项B ，4sin sin y x x =+，令sin x a =，π0,,(0,1)2x a ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时单调递减，故当(0,1)a ∈时4y a a=+是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C ，4e 4e e 4e x x x x -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时取等号，故符合题意；选项D ，令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t =+在1t ≥时是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t =+也单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 9．【答案】D 【解析】正实数x ，y 满足2210x xy +-=，122xy x ∴=-，13111122323222222x x y x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-=+=+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当x =2x y ∴+故选D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是31222x y x x+=+，使它能利用基本不等式，是基础题目． 10．【答案】C【解析】由,,a b c 成等差数列，可得2b a c =+，即2a cb +=，则22222222()3()26212cos 22882a c a c a c ba c ac ac ac B acac ac ac ++-+-+--===≥=（当且仅当a c =时取等号）；由于在三角形中(0,π)B ∈，且cos B 在(0,π)上为减函数，所以角B 的取值范围是：π0,3⎛⎤⎥⎝⎦.故选C.【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由,,a b c 成等差数列，可得2b a c =+，然后利用余弦定理表示出cos B ，进行化简后，利用基本不等式即可求出cos B 的最小值，根据B 的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角B 的取值范围. 11．【答案】B【解析】∵0a b >>，∴41412()()a a b a b a b a b a b a b++=+++-++-+-，∵4()4a b a b ++≥=+，1()2a b a b -+≥=-， ∴4126a a b a b ++≥+-，当且仅当2,1a b a b +=-=，即31,22a b ==时等号成立. 故选B.【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证. 12．【答案】5+【解析】∵实数00a b >>，是8a 与2b 的等比中项，3822,22a b a b +∴⋅=∴=，即31a b +=．则()121263555b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即12a b =-=时取等号． 故答案为:5+【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.是8a 与2b 的等比中项得到31a b +=，利用均值不等式求得最小值. 13．【答案】5【解析】226a b +=，22452b a ++=，当b =1,a b ==. 故答案为5.【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力. 14．【答案】92【解析】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=，则圆心为()1,2，半径为r =，又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =， 所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心，即260a b +-=，化为26,0,0a b a b +=>>，62a b ∴=+≥2a b =，即33,2a b ==时取等号， 9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92，故答案为92.【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键. 15．【答案】256【解析】由可行域可得，当4x =，6y =时，目标函数z ax by =+取得最大值，4612a b ∴+=，即132a b +=，2323131325232666a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当b a a b=，即65a b ==时取等号， 故答案为256.【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式. 16．【答案】（1）见解析；（2）1-.【解析】（1）①当4a >时，不等式()0f x >的解集为{}4x x a x ><或， ②当4a <时，不等式()0f x >的解集为{}4x x x a ><或， ③当4a =时，不等式()0f x >的解集为{}4x x ≠.（2）当1a =时，令()()()21454x x x x g x xx---+==4()551x x=+-≥=-（当且仅当4x x=，即2x =时取等号）. 故函数()g x 的最小值为1-.【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力. 17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）012.25a <<．【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则24163(3002400)144001800()14400(36)y x x x x x=⨯+⨯+=++≤≤，161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=． 当且仅当16x x=，即4x =时等号成立． 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．（2）由题意可得，161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[36]x ∈，恒成立． 即2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立，令1x t ，则22(4)(3)96,1x t t x t t++==+++[4,7]t ∈，又96y t t=++在[4,7]t ∈时为单调增函数，故min 12.25y =． 所以012.25a <<．【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）设甲工程队的总造价为y 元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；（2）由题意可得，161800(1)1800()14400a x x x x +++>对任意的[36]x ∈，恒成立，从而2(4)1x ax +>+恒成立，求出左边函数的最小值即得解.1．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 2．【答案】14【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3ba −3b =6，即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；221,01,1,log ()log 1,2a ba b a b ><<∴<+>=②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 3．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 4．【答案】9【解析】由题意可知，S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°，化简得ac =a +c,1a +1c =1， 因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+ca+4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号，则4a +c 的最小值为9.5．【答案】方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>===≥.1 当且仅当3xy =时等号成立，【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.6．【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当2224a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．。

基本不等式例1：求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。

分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”。

证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+，即2)(222b a b a +≥+；∴)(222122b a b a b a +≥+≥+，同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+， 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。

例2：若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。

解：∵+∈R b a ,，∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去），∴92≥=ab y ，∴ab 的取值范围是[).,9+∞。

说明：本题的常见错误有二。

一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab 。

前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab 。

因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。

例3：已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。

例4：已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++。

广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练不等式1、（广州市2018高三一模）若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-2、（珠海市2019届高三9月摸底考试）变量x y ，满足034040x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤，则2z x y =+的最小值为_____． 3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是 A.b a 11<B.b a 11>C.2a b >D.22a b >4、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元.5、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设变量,x y 满足约束条件：-222x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是 .6、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）若实数x ，y 满足||||2x y +≤，则222M x y x =+-的最小值为（ ）A ．2-B ．0C ．212- D ．12- 7、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））设实数x ，y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-00201y y x y x ，则yx z +=的取值范围是（ ）A ．]1,1[-B ．]2,1[-C ．]3,1[-D ．]4,0[8、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））若曲线y ＝ x 3 －2x 2 ＋2在点A 处的切线方程为y ＝4x －6，且点A 在直线mx ＋ny －l ＝0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为A.4B. 3＋2C. 6＋4D.89、（揭阳市2019届高三第二次模拟）若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最小值为 ．10、（湛江市2019届高三调研）设x 、y 满足不等式组10401--⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥x y x y y ，则y x z +=2的最大值为 ．11、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,则2z x y =+的最小值为( )A . 4-B . 2C .83D . 4 12、（广州市2019届高三12月调研考试）已知实数x , y 满足20,350,0,0,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪>⎪⎩则1142x yz ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．13、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有A ．最大值16 B ．最大值22C ．最小值16D ．最小值2214、（揭阳市2019届高三上学期期末）若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． 1B ．2C ．-2D ．-115、（雷州市2019届高三上学期期末）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-100y y x y x ，则目标函数yx z -=2的最小值为 ．16、（清远市2019届高三上期末）已知011<<ba ，给出下列三个结论：①22b a <；②2>+baa b ；③ab a lg lg 2>．其中所有的正确结论的序号是 A ． ①② B ． ①③ C ． ②③ D ． ①②③17、（汕头市2019届高三上学期期末）已知 x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩， 则 z = 2x - y + 2 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、418、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．19、（广东省2019届高三3月一模）设满足约束条件则的最大值为__________．20、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知关于x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，则m 的取值范围是 。

不等式01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出如下四个命题：①||||yz xy z y x >⇒>>；②y x y a x a >⇒>22； ③d bc aabcd d c b a >⇒≠>>0,,； ④2011b ab b a <⇒<<．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B2．设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为( )A ． 5B ． 3C ． 7D ． -8【答案】C3．下列命题中正确的是（ ）A ．1y x x =+的最小值是2B．2y = 2C ．423(0)y x x x =-->的最大值是2-D ．423(0)y x x x =-->的最小值是2-【答案】C4．若log 2x+log 2y=3，则2x+y 的最小值是( )A ．24B ．8C ．10D ．12 【答案】B5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，b d c d a d c c d b a b c b a a S +++++++++++=，则有( )A ． 0＜S ＜1B ． 1＜S ＜2C ． 2＜S ＜ 3D ． 3＜S ＜4【答案】B6．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 【答案】D7．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．b>c>aB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a 【答案】A8．当a<0时,不等式42x 2+ax-a 2<0的解集为( )A ．{x|7a <x<-6a } B ．{x|-6a <x<7a } C ．{x|7a <x<-72a } D ．空集【答案】A9．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++ ( ) A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C10．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( )A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >【答案】A11．今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。

基本不等式例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；解：当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.例2、已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6.变式、已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．答案：23例3、已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝）（yx 91+(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.例4、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋23例5、若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.答案：27例6、已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B. 答案：B作业1：1、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2．下列结论正确的是（ ）A ．当0<x 2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92对于选项B ，当2x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但2x >，等号取不到，因此1x x+的最小值不是2，故B 错误； 对于选项C ，因为54x <，所以540x ->，则114254324554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-⨯ ⎪--⎝⎭31=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时取等号，故C 错误； 对于选项D ，因为0x >，0y >，则()141141419552222y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：D.3．已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．1由于0,0x y >>，3xy =，所以x y +≥=x y ==.所以x y +的最小值为 故选：C ．4．已知正实数x ，y 满足22x y xy +=.则x y +的最小值为（ ）A ．4B C D 32解：由22x y xy +=，得1112x y+=， 因为x ，y 为正实数，所以11133()()122222x y x y x y x y y x +=++=+++≥=，当且仅当2y x x y =，即21,22x y ==时取等号，所以x y +32， 故选：D5．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A ．52 B ．3C ．72D ．4当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6、若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C. 答案：C7．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.8、已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析：由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 答案：B9、已知x >0，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值是：解：∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.10、设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值是：解：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. 11、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值 ． 解析：方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )）（yx 28+ ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 答案：1812、已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.则1x ＋1y 的最小值为 ．解析：∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 答案：7＋2102013．若x y ∈R 、且满足32x y +=，则327x y +的最小值是____. 【答案】6 【解析】 【分析】本题首先可以根据基本不等式得出327x y +≥，然后代入32x y +=，即可得出结果. 【详解】332733x y x y +=+≥=，因为32x y +=，所以3276x y +≥=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查通过基本不等式求和的最小值，考查幂的运算，考查计算能力，是简单题.14．已知0x >，0y >且32x y xy +=，不等式23x y+的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得231x y+=，则232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，再根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：，0x >，0y >且32x y xy +=，∴231x y+=，∴232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪231132y x x y =+++23232y x x y =++24≥+=， 当且仅当2332y xx y=即4,6x y ==时，等号成立， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查“1”的代换，属于基础题． 选：B15、设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为 8 ．解析：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则＝+＝++4≥2+4＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立；∴的最小值为8．故答案为：8． 答案：89、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， 因为x >1，所以2(x －1)＋8x －1≥22（x －1）·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，所以－m －2<8.解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)16．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a 的最小值为______， 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得42a =，由此可求得n a ，n S ，从而表示出2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a ，再根据基本不等式求解即可． 【详解】解：∵264a a =，且0n a >，∴42a =，∴公比432a q a ==， ∴43222n n n a --=⋅=，2222212124n n n S ----==--，∴()2222922422n n n n S a --⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=224242n n --=++48≥=， 当且仅当224222n n --==， 即3n =时等号成立，故答案为：8．17．设ABC中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=， ∴ABC 面积S且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =18．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()7≤f x ；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求1123a b+的最小值. （1）当2x <-时，237x x ---+≤，解得32x -≤<-；当23x -≤≤时，237x x +-+≤恒成立；当3x >时，237x x ++-≤，解得34x <≤.故所求不等式的解集为[3,4]-. （2）因为()|2||3|(2)(3)5f x x x x x =++-≥+--=，所以()f x 最小值为M =5，即235(0,0)a b a b +=>>，则1111113214()(23)(11)(22352352355b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 当且仅当5322b a ==时取等号， 故1123a b +的最小值为45.作业2：一、单选题1．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于（ ）A ．6B ．C ．3+D ．4+()212333y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭,故选C. 2．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B.3．已知1x >，1y >，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y ⋅的最大值是( )A ．4B ．2C ．1D ．14因为1x >，1y >，所以lg 0x >，lg 0>y ；又lg lg 4x y +=，所以2lg lg lg lg 42+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭x y x y ， 当且仅当lg lg 2==x y ，即100x y ==时，等号成立. 故选：A4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）A ．30B ．36C ．40D ．50设矩形的长为()x m ，则宽为100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=，（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C.5、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.答案：C6．若实数a b 、满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）A ．18B ．C ．D ．6【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】∵实数a b 、满足2a b +=，∴336a b +≥==，当且仅当33a b =即1a b ==时取等号，∴33a b +的最小值为6故选：D7．下列不等式恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确.8．已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】A解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12， 故选A9、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：B10．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】 对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b 1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即13 43a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛，本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11．若关于x 的方程()94340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,8][0,)-∞-+∞ B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【答案】D【解析】【分析】 可将9x 看成3x 的平方，等式两边同时除以3x ，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由9(4)340x x a ++⋅+=，得443(4)0,(4)3433x x x xa a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立），解得8a ≤- 故选D二、填空题12、已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． 解：∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.答案：3＋2213．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值是： 解：∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.14、已知0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则1x x y+的最小值为__________． 由题得2242,22,21x y x y x y +⋅=∴=∴+=.所以1x x y +=22111x y x y x x y x y ++=++≥+=+.当且仅当21,2x y -==时取等.所以1x x y+的最小值为.故答案为15、已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy ．所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2．当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2．答案：216、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－y y ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．答案：26－317、若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1)恒成立，∵x ∈(0,1)，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴a ≤2.答案：(－∞，2]四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （1）求B ；（2）若ABC ABC 的周长的最小值.（1）2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2sin cos cos sin 66b C C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos C b C =-由正弦定理得：sin sin sin sin cos C A B C B C -=- ∵sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴①式可化为：sin cos sin sin C B C B C -= ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠cos 1B B += 即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，(0,)B π∈ ∴66B ππ+=或56π∴0B =（舍）或23π（2）11sin 22S ac B ac ==∴4ac =∴4a c +≥=22222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a c =等号成立∴4l a b c =++≥+【点睛】本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换112x y+=是解题的关键.19．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34120a a ⋅=，2522a a +=．（1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c=+，求非零常数c ； （3）在（2）的条件下，求()*1()(36)n n b f n n n b +=∈+⋅N 的最大值． 【答案】（1）24n a n =+；（2）5c =；（3）149【解析】【分析】 （1）利用等差数列的通项公式，由253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，即可求得首项与公差，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由n a ，可求得n S ，从而得n b ，再利用{}n b 是等差数列由2132b b b =+，即可求得c 的值；（3）由（2）求得n b ，于是1()(36)n n b f n n b +=+⋅，利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）由题知253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，所以，4312,10a a ==或4310,12a a ==所以公差2d =或2d =-，又因为0d >所以2d =，又310a =，因此16a =，所以24n a n =+.（2）由（1）知，21(1)52n n n S na d n n -=+=+， 所以25n n S n n b n c n c+==++，12361424,,123b b b c c c ===+++ 由{}n b 是等差数列得，2132b b b =+，即146242213c c c⨯=++++ 解得: 5c =，或0c(其中0c ≠舍去)， 此时255n n S n n b n n c n +===++，1(1)1n n b b n n +-=+-=，{}n b 是公差为1等差数列， 所以5c =.（3）由（2）知2+55n b n n n n ==+ 111()36(36)(36)(1)4937n n b n f n n b n n n n+∴===≤+⋅++++ 当且仅当36n n =，即6n =时取得等号，即()f n 的最大值为149. 20．已知x ∈R ，0y >，2x y xy +=.（1）若0x >，求证：1xy ≥；（2）若0x ≠，求2y x x+的最小值.【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.（2）变换得到112x y+=，故1112x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入不等式，整理化简利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立.（2）由2x y xy +=得112x y+=. 2111223222222x x x y y y x x x x y x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当22x y y x=，且0x <时，两个等号同时成立. 即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32.。

§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。