湖南省长沙市长郡中学2015届高三高考仿真试题数学(文)试题 扫描版含答案

湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．{2，3，4}2．（5分）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C 对应的复数为（）A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i3．（5分）“m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm35．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣3）6．（5分）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为（）A．20℃B．20.5℃C．21℃D．21.5℃7．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．8．（5分）设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1﹣c4=（）A．11 B．13 C．7D．99．（5分）在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知m∈R，函数f（x）=g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．（1，3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）已知实数，x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为．12．（5分）在极坐标中，圆ρ=2cosθ与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）14．（5分）设x为实数，为不超过实数x的最大整数，记{x}=x﹣，则{x}的取值范围为20．（13分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式；（3）若f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），b i=，试求一个等比数列g（i）（i=1，2，…，n），使得S n=b1g（1）+b22g（2）+…+b n g（n）＜，且对于任意的m∈（，）均存在实数λ，当n＞λ时，都有S n＞m．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．{2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先解出A的补集，再求出结果即可解答：解：因为全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，所以C U A={2，4}，又因为集合B={3，4}，所以（∁U A）∩B={4}，故选B．点评：本题主要考查集合的运算，属于基础题．2．（5分）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C 对应的复数为（）A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．解答：解：∵i（2+i）=﹣1+2i，∴复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：A（3，﹣4），B（﹣1，2）．∴线段AB的中点C的坐标为（1，﹣1）．则线段AB的中点C对应的复数为1﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．3．（5分）“m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性．解答：解：先证明充分性：∵m＜，∴△=1﹣4m＞0，∴方程x2+x+m=0有实数解，∴是充分条件；再证明必要性：∵方程x2+x+m=0有实数解，∴△=1﹣4m≥0，∴m≤，∴不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了一元二次方程根的判别式，是一道基础题．4．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣3）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案．解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则；故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．6．（5分）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为（）A．20℃B．20.5℃C．21℃D．21.5℃考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：令，利用可求得a与A，从而可求得f（10）．解答：解：令，由得：；解得a=23，A=5，∴f（10）=23+5cos=20.5．故选B．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查方程组法与代入法，属于中档题．7．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．考点：圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF'的中点，E为FP的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求|PF|，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，属于OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选D．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．8．（5分）设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1﹣c4=（）A．11 B．13 C．7D．9考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由已知中集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，结合函数f（x）的解析式，及韦达定理，我们易求出c1及c4的值，进而得到答案．解答：解：由根与系数的关系知x i+y i=8，x i•y i=c i，这里x i，y i为方程x2﹣8x+c i=0之根，i=1， (4)又∵M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，由集合性质可得（x i，y i）取（1，7），（2，6），（3，4），（4，4），又c1≥c2≥c3≥c4，故c1=16，c4=7∴c1﹣c4=9故选D．点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，其中根据韦达定理，求出c1及c4的值，是解答本题的关键．9．（5分）在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．考点：平面向量的综合题．专题：计算题；压轴题．分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．解答：解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C点评：题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值10．（5分）已知m∈R，函数f（x）=g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．（1，3）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．可得当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m ﹣3|．当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出．解答：解：∵函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．∴当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1时，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，则y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1时，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2．①当3﹣2m≤0即m≥时，y=m只与y=f（g（x））=log2的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．②当m＜时，y=m与y=f（g（x））=log2的图象有两个交点，需要直线y=m与函数y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|的图象有四个交点时才满足题意．∴0＜m＜3﹣4m，又m＜，解得0＜m＜．综上可得：m的取值范围是0＜m＜．故选A．点评：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）已知实数，x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为．考点：几何概型；循环结构．专题：图表型．分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于47得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于47的概率．解答：解：设实数x∈，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥47得x≥5由几何概型得到输出的x不小于47的概率为P==故答案为：．点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律．12．（5分）在极坐标中，圆ρ=2cosθ与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是（1，）．考点：极坐标刻画点的位置；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求得2个图形交点的直角坐标，再化为极坐标．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．θ=（ρ＞0），即y=tan x=x （x＞0）．由，求得，∴2个图形交点的直角坐标为（，），再根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，化为极坐标是（1，），故答案为：（1，）．点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，属于基础题．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是④．（写出所有正确命题的序号）考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，解答：解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解本题关键是有较好的空间想像能力，对空间中点线面的位置关系可以准确判断，再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件．14．（5分）设x为实数，为不超过实数x的最大整数，记{x}=x﹣，则{x}的取值范围为a2={}=﹣2，∵当a≤时，对任意的自然数n都有a n=a，∴a=﹣2，即a2+2a﹣1=0，∴a=或a=﹣﹣1（不合2≤a＜3，舍去）故答案为：﹣1．点评：本题考查的是取整函数，数列的函数特性．解答此题的关键是计算数列的前几项，进而得到关于未知数的方程，利用方程思想求解．15．（5分）给机器人输入一个指令（m，2m+48）（m＞0），则机器人在坐标平面上先面向x 轴正方向行走距离m，接着原地逆时针旋转900再面向y轴正方向行走距离2m+48，这样就完成一次操作．机器人的安全活动区域是：，开始时机器人在函数f（x）=2x图象上的点P处且面向x轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q 恰好也在函数f（x）图象上，则向量的坐标是（3，56）．考点：指数函数综合题；基本不等式．专题：压轴题．分析：先将点P、Q设出，根据两点均在安全区域内可得到x0+m≤6，然后根据题中所给关系，找到对应等式由基本不等式可确定其值．解答：解：由题意可设P，则Q为在安全区域，∴x0+m≤6∴x0≤6﹣m∴又因为∴26﹣m（2m﹣1）≥2m+48整理可得：又因为当成立时等号取到．∴m=3=﹣P=（3，56）故答案为：（3，56）点评：本题主要考查指数函数的综合应用．注意题中所给“安全区域”的条件的使用．三、觯答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数f（x）=•，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）利用向量的数量积通过二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求f（x）的最小正周期，借助正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；（2）通过f（A）=2，利用三角形的内角，求出A的值，利用△ABC的面积为．解答：解：（1）．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由，，∵0＜A＜π，∴．∴．﹣（6分），∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 由，∴．﹣﹣（10分）点评：本题是中档题，通过向量数量积考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，正弦定理的应用三角形的面积公式的应用，考查计算能力，常考题型．17．（12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45 9 54大于50岁 10 36 46总计55 45 100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；分层抽样方法；等可能事件的概率．专题：应用题．分析：（1）利用独立性检验的基本思想，只要在每个年龄段计算它们节能意识强的概率，若差距较大说明与年龄有关，也可利用|ad﹣bc|的值的大小来直观判断；（2）先利用统计数据计算在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率，再由总体乘以概率即可得总体中年龄大于50岁的有多少人；（3）先确定抽样比，即每层中应抽取，故再抽到的5人中，一人年龄小于50，4人年龄大于50，从中取两个，求恰有1人年龄在20至50岁的概率为古典概型，利用古典概型的概率计算公式，分别利用列举法计数即可得所求概率解答：解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为∴年龄大于50岁的约有（人）（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4．从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）故所求概率为点评：本题主要考查了独立性检验的基本思想，对统计数据的理解和应用，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，分层抽样的定义和运用，属基础题18．（12分）平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；（Ⅱ）求AA1的长；（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（Ⅰ）证明AA1⊥BC，只需证明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，即可证得；（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D=OA，则可得AD∥OO1，AD=OO1，可证OO1⊥面A1B1C1，从而AD⊥面A1B1C1，即可求AA1的长；（Ⅲ）证明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，∵AB=AC，∴AO⊥BC∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC∴AO⊥平面BB1C1C同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A∵AA1⊂平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；（Ⅱ）解：延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1，∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，∴OO1⊥面A1B1C1，∵AD∥OO1，∴AD⊥面A1B1C1，∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3∴AA1==5；（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角在直角△OO1A1中，A1O=在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣．点评：本题考查线线垂直，考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角．19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）先由已知可得，得出3a2=4b2①又点在椭圆C 上，得到解之即得a，b．从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，所以；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a2=4b2①（1分）又点在椭圆C上，所以②（2分）由①②解之，得a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（5分）（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，所以．（6分）当k≠0时，则由消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0③（8分）设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则．（9分）由于点P在椭圆C上，所以．（10分）从而，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．（11分）又==．（12分）因为，得3＜4k2+3≤4，有，故．（13分）综上，所求|OP|的取值范围是．（14分）点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．20．（13分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式；（3）若f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），b i=，试求一个等比数列g（i）（i=1，2，…，n），使得S n=b1g（1）+b22g（2）+…+b n g（n）＜，且对于任意的m∈（，）均存在实数λ，当n＞λ时，都有S n＞m．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．（3）根据条件寻找等比数列g（i），即可得到结论．解答：解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n﹣1）f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n﹣2）．（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i（1≤i≤n﹣3）行是以d i为公差的等差数列，则由f（i+1，j+1）﹣f（i+1，j）=﹣=f（i，j+2）﹣f（i，j）=2d i（常数）知第i+1（1≤i≤n﹣3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2d i．综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；由于d1=4，d i=2d i﹣1（i≥2），∴，即f（i，1）=f（i﹣1，1）+f（i﹣1，2）=2f（i﹣1，1）+d i﹣1，由，得f（i，1）=2f（i﹣1，1）+2i，于是，即，又∵，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，∴，∴f（i，1）=（i+1）•2i（i=1，2，…，n）．（3）f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），，令g（i）=2i，=．S n＞m，，，令λ=，则当n＞λ时，都有S n＞m，∴适合题设的一个等比数列为g（i）=2i．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数即为g′（x）≥0，x＞0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令e x=t，则t∈，则h（x）=H（t）=t3﹣3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=，讨论①若1＜t，②若＜t≤2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证．解答：解：（1）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）=+2x﹣a由题意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+）min．又x＞0，2x+，当且仅当x=时等号成立．故（2x+）min=2，所以a．（2）由（Ⅰ）知，1＜a，令e x=t，则t∈，则h（x）=H（t）=t3﹣3atH′（t）=3t2﹣3a=3（t﹣）（t），由H′（t）=0，得t=，由于1＜a，则∈，①若1＜t，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln]也单调递减；②若＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=﹣2a．（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．证明：F（x）=2lnx﹣x2﹣k.x、F'（x）、F（x）的变化如下：x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗↘即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，即G（x）=（2lnx﹣x2）﹣=2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，=，当且仅当x=1时G'（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）＜G（1）=0．所以0＜x＜1时，F（x）＜F（2﹣x）．又0＜m＜1＜n，所以F（m）＜F（2﹣m），所以F（n）=F（m）＜F（2﹣m）．因为n、2﹣m∈（1，+∞），所以根据y=F（x）的单调性知n＞2﹣m，即．又在（0，+∞）单调递减，所以．即函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题．。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3} 2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=xe x C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx 7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9B．18+9C．18+3D．9+188．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6B．3C．D．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f（x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接由并集运算求解．解答：解：由集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|x＞﹣2}∪{x|﹣3＜x＜3}={x|x＞﹣3}．故选：C．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先根据x的范围，判定（x﹣1）tanx的符号，然后取x=4时，（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，），从而说明若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．解答：解：∵1＜x＜∴（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0而当x=4时，（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，）∴不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的充分不必要条件故选A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9B．18+9C．18+3D．9+18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC 的三棱锥，结合图形，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面是等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；且AC=6，PB=3；取AC的中点D，连接PD，BD，∴BD⊥AC，BD=3；∴S△ABC=AC•BD=×6×3=9，S△PAB=S△PBC=AB•PB=××3=，S△PAC=AC•PD=×6×=9，∴该几何体的表面积为S=S△ABC+S△PAD+S△PBC+S△PAC=9+++9=9+18．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若，则|QF|=（）A．6B．3C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．解答：解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f（x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，分类讨论求得实数a的最大值．解答：解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．此不等式中，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，当x＜时，不等式即a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．当≤x＜a时，不等式即2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤．当a≤x＜2a时，不等式即2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤．当2a≤x＜4a时，不等式即2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤．当x≥4a时，不等式即2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．综上可得，a≤，故a的最大值为，故选：B．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=1+3i．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．解答：解：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为﹣．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线的参数方程化为直角坐标方程，即可求出直线的斜率．解答：解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程为3x+2y﹣7=0，故直线的斜率为﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，求直线的斜率，属于基础题．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．解答：解：，（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，∴方程在区间x∈（0，+∞）上有解．即在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时．综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．故答案为：（﹣∞，2﹣）∪．点评：本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．分析：当方程表示离心率大于的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．解答：解：∵方程表示离心率大于的双曲线，∴＞，∴b＞2a，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示离心率大于的双曲线的概率为：P===，故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查几何概型的概率的求法，属于中档题．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是．．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据三角形为锐角三角形，解不等式得＜A＜．再由正弦定理，得BC=，结合余弦函数的单调性加以计算，即可得到BC的取值范围．解答：解：∵锐角△ABC中，B=2A，∴，解之得＜A＜，∵AC=1，且=，∴BC==6•=，∵＜A＜，得＜cosA＜，∴2＜3，得BC=∈（2，3），故答案为：．点评：本题给出锐角三角形的一个角是另一角的二倍，求边BC的取值范围，着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间人数 4 6 6（2）从得分在区间即（A3，A4）、（A3，A5）、（A3，A10）、（A3，A11）、（A3，A13）、（（A4，A5）、（A4，A10）、（A4，A11）、（A4，A13）、（A5，A10）、（A5，A11）、（A5，A13）、（A10，A11）、（A10，A13）、（A11，A13）．而满足2人得分之和大于50分的有5个，故这2人得分之和大于50分的概率为=．点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，频率分布表的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．17．（12分）如图，已知四棱锥的侧棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BD⊥BC，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面BDP；（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角，在△PAN 中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值．解答：（1）证明：由已知可算得，∴BD2+BC2=16=DC2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．…12分．点评：本题考查线面垂直，考查异面直线BM与PA所成角的余弦值，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求s n，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和可求T n，求出T n的范围可求a的范围解答：解：（I）∵∴∴∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列∴=n∴∴=n+n﹣1=2n﹣1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合∴a n=2n﹣1（II）∵==∴==∴T n∵4T n＜a2﹣a恒成立∴2≤a2﹣a，解得a≥2或a≤﹣1点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．19．（13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，设EF=l，∠EFB=θ，那么的l长度取决于角θ的大小．（1）写出用θ表示l的函数关系式，并给出定义域；（2）求l的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，利用直角三角形的边角关系可得：，可得BF=≤16，可得，又显然，即可得出函数定义域．（2）由，，令f（x）=x﹣x3（），利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得，，即所求函数关系式为，由得，，又显然，∴，即函数定义域为．（2）∵，，令f（x）=x﹣x3（），f′（x）=1﹣3x2=≥0，∴函数f（x）在单调递增，∴当时，，∴l的最小值为．点评：本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知，=，e=，结合a2=b2+c2，可得椭圆C的方程；（2）通过联立直线D1D2与椭圆方程、利用韦达定理，得，，设直线A1D1、A2D2，并联立两直线方程，消去y得，计算即得结论．解答：解：（1）由已知，=，e=，且a2=b2+c2，∴，b=1，因此椭圆C的方程；（2）由题意，设直线D1D2：y=k（x﹣2），D1（x1，y1），D2（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由韦达定理，得，①设直线A1D1：，A2D2：，联立两直线方程，消去y得：②又，，并不妨设D1，D2在x轴上方，则，，代入②中，并整理得：=，将①代入上式，并化简得，解得x=1，因此直线A1D1，A2D2交于点K在定直线x=1上．点评：本题主要考查椭圆的定义和简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．讨论①当﹣2≤a≤2时，②当a＜﹣2时，③当a＞2时，由导数符号确定函数的单调性，即可得到a的范围；（2）运用韦达定理可得a=x1+x2=x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．解答：解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣﹣1+=﹣，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，故在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．③当a＞2时，△＞0，设g（x）=0的两个根x1，x2都大于零，令x1=，x2=，x1x2=1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，综上所述，a的取值范围是（2，+∞）．（2）依题意及（1）知，a=x1+x2=x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）=+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴k==﹣﹣1+a•=﹣2+a•．若k≤•a﹣2，则﹣2+a•≤•a﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1=，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）=﹣﹣1+•，记x1′=，x2′═，由（1）③知F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）=0，F（e）=0，所以，当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）=x22﹣ax2+1=0，得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，所以a的取值集合是{a|a≥e+}．点评：本题考查导数的运用：求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．。

2015湖南省长郡中学高三月考数学文试题及答案以下2015湖南省长郡中学高三月考数学文试题及答案由高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。

长郡中学2015届高三第五次月考数学文试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（ B=A．{3} B．{4}C．{3，4} D．{2，3，4}2．在复平面内，复数3 -4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为A．- 2+21 B．2- 21C．-l十i D．l-i3．“m< ”是“方程x2+x+m=0有实数解”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A．108 cm3B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm35．定义在R上的函数满足．为的导函数，已知函数y= 的图象如图所示．若两正数a，6满足，则的取值范围是A．（） B．C．（，3） D．6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为A．20℃ B．20．5℃ C．21℃ D．21．5℃7．过双曲线的左焦点F（一c，0）作圆'的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2 =4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A． B． C．＋1 D．8．设函数，集合，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1—c4=A．11 B．13 C．7 D．99．在△ABC中，已知S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且则的最小值为A． B． C． D． +10．已知m∈R，函数,若函数有6个零点，则实数m的取值范围是A． B． C． D．（1，3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．已知实数z∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47概率为。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3} 2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=xe x C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9 B．18+9C．18+3D．9+188．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f （x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接由并集运算求解．解答：解：由集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|x＞﹣2}∪{x|﹣3＜x＜3}={x|x＞﹣3}．故选：C．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先根据x的范围，判定（x﹣1）tanx的符号，然后取x=4时，（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，），从而说明若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．解答：解：∵1＜x＜∴（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0而当x=4时，（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，）∴不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的充分不必要条件故选A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9 B．18+9C．18+3D．9+18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，结合图形，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面是等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；且AC=6，PB=3；取AC的中点D，连接PD，BD，∴BD⊥AC，BD=3；∴S△ABC=AC•BD=×6×3=9，S△PAB=S△PBC=AB•PB=××3=，S△PAC=AC•PD=×6×=9，∴该几何体的表面积为S=S△ABC+S△PAD+S△PBC+S△PAC=9+++9=9+18．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．解答：解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f （x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，分类讨论求得实数a的最大值．解答：解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．此不等式中，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，当x＜时，不等式即 a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．当≤x＜a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤．当a≤x＜2a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤．当2a≤x＜4a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤．当x≥4a时，不等式即 2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．综上可得，a≤，故a的最大值为，故选：B．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=1+3i．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．解答：解：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为﹣．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线的参数方程化为直角坐标方程，即可求出直线的斜率．解答：解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程为 3x+2y ﹣7=0，故直线的斜率为﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，求直线的斜率，属于基础题．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．解答：解：，（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，∴方程在区间x∈（0，+∞）上有解．即在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时．综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．故答案为：（﹣∞，2﹣）∪．点评：本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．分析：当方程表示离心率大于的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．解答：解：∵方程表示离心率大于的双曲线，∴＞，∴b＞2a，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示离心率大于的双曲线的概率为：P===，故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查几何概型的概率的求法，属于中档题．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是．．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据三角形为锐角三角形，解不等式得＜A＜．再由正弦定理，得BC=，结合余弦函数的单调性加以计算，即可得到BC的取值范围．解答：解：∵锐角△ABC中，B=2A，∴，解之得＜A＜，∵AC=1，且=，∴BC==6•=，∵＜A＜，得＜cosA＜，∴2＜3，得BC=∈（2，3），故答案为：．点评：本题给出锐角三角形的一个角是另一角的二倍，求边BC的取值范围，着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间人数 4 6 6（2）从得分在区间即（A3，A4）、（A3，A5）、（A3，A10）、（A3，A11）、（A3，A13）、（（A4，A5）、（A4，A10）、（A4，A11）、（A4，A13）、（A5，A10）、（A5，A11）、（A5，A13）、（A10，A11）、（A10，A13）、（ A11，A13）．而满足2人得分之和大于50分的有5个，故这2人得分之和大于50分的概率为=．点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，频率分布表的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．17．（12分）如图，已知四棱锥的侧棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BD⊥BC，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面BDP；（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值．解答：（1）证明：由已知可算得，∴BD2+BC2=16=DC2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．…12分．点评：本题考查线面垂直，考查异面直线BM与PA所成角的余弦值，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求s n，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和可求T n，求出T n的范围可求a的范围解答：解：（I）∵∴∴∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列∴=n∴∴=n+n﹣1=2n﹣1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合∴a n=2n﹣1（II）∵==∴==∴T n∵4T n＜a2﹣a恒成立∴2≤a2﹣a，解得a≥2或a≤﹣1点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．19．（13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，设EF=l，∠EFB=θ，那么的l长度取决于角θ的大小．（1）写出用θ表示l的函数关系式，并给出定义域；（2）求l的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，利用直角三角形的边角关系可得：，可得BF=≤16，可得，又显然，即可得出函数定义域．（2）由，，令f（x）=x﹣x3（），利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得，，即所求函数关系式为，由得，，又显然，∴，即函数定义域为．（2）∵，，令f（x）=x﹣x3（），f′（x）=1﹣3x2=≥0，∴函数f（x）在单调递增，∴当时，，∴l的最小值为．点评：本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知，=，e=，结合a2=b2+c2，可得椭圆C的方程；（2）通过联立直线D1D2与椭圆方程、利用韦达定理，得，，设直线A1D1、A2D2，并联立两直线方程，消去y得，计算即得结论．解答：解：（1）由已知，=，e=，且a2=b2+c2，∴，b=1，因此椭圆C的方程；（2）由题意，设直线D1D2：y=k（x﹣2），D1（x1，y1），D2（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由韦达定理，得，①设直线A1D1：，A2D2：，联立两直线方程，消去y得：②又，，并不妨设D1，D2在x轴上方，则，，代入②中，并整理得：=，将①代入上式，并化简得，解得x=1，因此直线A1D1，A2D2交于点K在定直线x=1上．点评：本题主要考查椭圆的定义和简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．讨论①当﹣2≤a≤2时，②当a＜﹣2时，③当a＞2时，由导数符号确定函数的单调性，即可得到a的范围；（2）运用韦达定理可得a=x1+x2=x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．解答：解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣﹣1+=﹣，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，故在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．③当a＞2时，△＞0，设g（x）=0的两个根x1，x2都大于零，令x1=，x2=，x1x2=1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，综上所述，a的取值范围是（2，+∞）．（2）依题意及（1）知，a=x1+x2=x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）=+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴k==﹣﹣1+a•=﹣2+a•．若k≤•a﹣2，则﹣2+a•≤•a﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1=，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）=﹣﹣1+•，记x1′=，x2′═，由（1）③知F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）=0，F（e）=0，所以，当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）=x22﹣ax2+1=0，得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，所以a的取值集合是{a|a≥e+}．点评：本题考查导数的运用：求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．。

2015年长沙市高考模拟试卷（文）说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量，若∥，则实数=（ ） A ．B ．－2C ．－7D ．3 3．在△ABC 中，，△ABC 的面积等于（ ）AB.C.或D.4．下列关于函数（ ） A ． B ． C ． D ．5．下图是一个几何体的三视图，其中正（主）视图、侧（左）视图都是矩形，则该几何体的体积是（ ）A ．24B ．18C ．16D ．126． ，，，（ ）iiz -+=151()i 为虚数单位在复平面内对应的点在(2,1),(1,)a a b k →→=+=→a →b →k 216,1,3π===B AC AB 则24242x xxx x f 22)(-⋅=,m n 和实数的结论中正确的是3,()()m n f m f n -<<<若则0,()()m n f m f n <<<若则33()(),f m f n m n <<若则22()(),f m f n m n <<若则121m n +=已知0(>m )0>n mn 当取最小值时2221x y m mn=-双曲线的离心率为A.B.C. D.7．已知的导函数是，，则有（ ）A ．B ．C ．D ．8．设，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）A ．S=2,这5个数据的方差B ．S=2,这5个数据的平均数C ．S=10,这5个数据的方差D ．S=10,这5个数据的平均数 9. ，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．10.函数的定义域是 .11.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）. . 12. 已知区域，定点A （3，1），在M 内任取一点P ，使得的概率为13. 已知抛物线,是抛物线,，+14. 给出下列四个命题：212()log (1)a f x x a =>()f x '(),A f a '=记(1)(),B f a f a =+-C =(1)f a '+A B C >>A C B >>B A C >>C B A >>1234518,19,20,21,22x x x x x ====={}n n a n S 设等差数列的前项和为，已知388(1)2015(1)1,a a -+-=320082008(1)2015(1)1a a -+-=-2015200882015,S a a =<2015200882015,S a a =>2015200882015,S a a =-≤2015200882015,S a a =-≥23()log (32)f x x x =+-OP OA t AB =+P x 若点在轴上，t 则实数的值为02:02x M y ≤≤≤≤⎧⎨⎩2PA ≥2:4C y x =及直线:40.l x y P -+=C 上的动点P y 记到轴的距离为1,d p l 到的距离为2d 则1d 2d 的最小值为①的充分不必要条件是；②; ③已知点若，则动点的轨迹为双曲线的一支； ④若，则其中所有真命题的序号是15.已知函数＜，:三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015·湖南卷(文数)1．L4[2015·湖南卷] 已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i1．D [解析] 由题得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.2．I1、I2[2015·湖南卷] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图1-1所示．图1-1若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．B [解析] 将运动员按成绩由好到差分为七组，则第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在[139，151]内的恰有四组，故有4人，选B.3．A2[2015·湖南卷] 设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．C [解析] ∵x >1，∴x 3>1，由x 3－1>0得(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，选C.4．E5[2015·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．A [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线2x －y ＝0，可知在直线x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点A (0，1)处z 取最小值，z min ＝0－1＝－1，选A.5．LI 、D4[2015·湖南卷] 执行如图1­2所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.67B.37C.89D.495．B [解析] 第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝12×1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×1－13＋13－15＋15－17＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝37，选B.6．H6[2015·湖南卷] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.536．D [解析] 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故ba＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D. 7．E6[2015·湖南卷] 若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．47．C [解析] 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，所以ab ≥2 2.方法二：ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，选C.8．B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数8．A [解析] 由已知可得，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 21－x －1，y ＝21－x－1在(0，1)上为增函数，故y ＝f (x )在(0，1)上为增函数．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故y ＝f (x )为奇函数，选A.9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B [解析] 方法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.方法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，令A (cos x ，sin x )，B (cos (x ＋α)，sin (x ＋α))，C (－cos x ，－sin x )，0<α<π，则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))， |P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7，故选B. 10．G2、G7、K3[2015·湖南卷] 某工件的三视图如图1-3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )1-3A.89πB.827πC.24（2－1）3πD.8（2－1）3π10．A [解析] 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥． 设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x 1，得x＝223，故V 正＝x 3＝16227，又V 圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.11．A1[2015·湖南卷] 已知集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∪(∁U B )＝________．11．{1，2，3} [解析] ∁U B ＝{2}，故A ∪(∁U B )＝{1，3}∪{2}＝{1，2，3}． 12．N3[2015·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．12．x 2＋y 2－2y ＝0 [解析] 将曲线C 的极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘一个ρ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.13．H4[2015·湖南卷] 若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．13．2 [解析] 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|0－0＋5|32＋（－4）2＝1，又△OAB 中点O 到AB 边的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.14．B8[2015·湖南卷] 若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．14．(0，2) [解析] 令|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b ，令y ＝|2x －2|，y ＝b ，其函数图像有两个交点，结合函数图像可知，0<b <2，即b ∈(0，2)．15．C4[2015·湖南卷] 已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．15.π2[解析] 设距离最短的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．根据正弦函数、余弦函数的性质，不妨设距离最短的两个交点的横坐标满足ωx 1＝π4，ωx 2＝5π4，即x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，此时y 1＝2，y 2＝－2，由两点间距离公式得5π4ω－π4ω2＋(2＋2)2＝12，解得ω＝π2.16．K2[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．16．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．17．C5、C8[2015·湖南卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B＝sin(A ＋B )－sin A cos B＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34.由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34，又B 为钝角，所以sin B ＝32，B ＝120°.由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°. 18．G1、G5[2015·湖南卷] 如图1-4，直三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F - AEC 的体积．18．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC . 因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB . 又三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3.在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F - AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612.19．D3、D4[2015·湖南卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .19．解：(1)证明：因为对任意n ∈N *，有 a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，所以对任意n ∈N *，n ≥2，有 a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2×(1＋3＋…＋3n －1)＝3×(1＋3＋…＋3n －1) ＝3×（3n －1）2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3×（3n －1）2－2×3n －1＝32×(5×3n －2－1)．综上所述，S n ＝⎩⎨⎧32×5×3n －32－1，n 为奇数，32×3n2－1，n 为偶数.20．H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a2＋x2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.21.D3、B12[2015·湖南卷] 已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))，记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点．(1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围． 21．解：(1)证明：f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e x cos x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋π4＝m π－π2，m ∈N *，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2<x ＋π4<2k π＋π2，即2k π－3π4<x <2k π＋π4，则cos x ＋π4>0；若2k π＋π2<x ＋π4<2k π＋3π2，即2k π＋π4<x <2k π＋5π4，则cos x ＋π4<0.因此，在区间(m －1)π，m π－3π4与m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4，m ∈N *时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π，n ∈N *.此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos n π－3π4＝(－1)n ＋1·2a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，且f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列．(2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－34π恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a >0)．设g (t )＝e tt (t >0)，则g ′(t )＝e t （t －1）t 2.令g ′(t )＝0得t ＝1.当0<t <1时，g ′(t )<0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减； 当t >1时，g ′(t )>0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增． 因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n <x n ＋1，所以 [g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g π4，g 5π4＝g π4＝4πe π4.因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4，解得a ≥2π4e －π4.故a 的取值范围是2π4e －π4，＋∞.。

2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟第1页2015年湖南高考数学模拟试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡上．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．（2015•郴州二模）设集合M={x ∈R|lgx=0}，N={x ∈R|﹣2＜x ＜0}，则（ ） A ． M ⊆N B ． M ⊇NC ． M=ND ． M∩N=∅2．（2015•衡阳二模）设复数z=﹣l ﹣i （i 为虚数单位），z 的共轭复数为，则等于（ ） A ．﹣1﹣2iB ． ﹣2+iC ． ﹣l+2iD ． 1+2i3．（2015•株洲一模）命题“∀x ∈R ，x 2+x≥2”的否定是（ ） A ． ∃x0∈R ，x 2+x≤2 B ． ∃x0∈R ，x 2+x ＜2 C ． ∀x ∈R ，x 2+x≤2 D ．∀x ∈R ，x 2+x ＜24．（2015•永州一模）下列函数中是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ． y=2xB ． y =﹣x 2C ． y =x 3D ． y =﹣3x5．（2015•衡阳二模）甲，乙，丙，丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分A ．甲B ．乙C ．丙D ． 丁 6．（2015•永州一模）一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ． 4πD ． 8π第2页7．（2015•衡阳二模）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2012•枣庄三模）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=π，则cos （a 2+a 8）的值为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（2015•衡阳二模）已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是（ ） A ．（1，2014） B ．（1，2015） C ．（2，2015） D ． [2，2015] 10．（2015•株洲一模）在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的三边a ，b ，c 成等差数列，给出下列结论：①b 2≥ac；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ． ①④二．填空题（共5小题）11．（2006•四川）设x 、y 满足约束条件：则z=2x ﹣y 的最小值为 ．12．（2015•株洲一模）记集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤4}和集合B={（x ，y ）|x+y ﹣2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2的概率为 ． 13．（2015•潮南区模拟）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cos θ+sin θ）=2的距离为 ． 14．（2015•烟台一模）已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK 的面积为 ．2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟15．（2015•菏泽二模）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题（共6小题）16．（2015•永州一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若b=，sinB=sinC，求a．17．（2015•郴州二模）为了解甲、乙两种品牌手机的电池充满电后的待机时间（假设都在24～96小时范围（Ⅱ）这两种品牌的手机的电池充满电后，某个电池已使用了48小时，试估计该电池是甲品牌手机的电池的概率；（Ⅲ）由于两种品牌的手机的某些差异，普遍认为甲品牌手机比乙品牌手机更显“低调”，销售商随机调查了110名购买者，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表，写出表中A、B、C、D、E的值，并判附：K2=，其中n=a+b+c+d第3页18．（2015•永州一模）在△ABC中（如图1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，EF交CD于G，把△ADC沿CD折成如图2所示的三棱锥C﹣A1BD．（1）求证：E1F∥平面A1BD；（2）若二面角A1﹣CD﹣B为直二面角，求直线A1F与平面BCD所成的角．19．（2015•株洲一模）已知数列{a n}是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，满足2S n+b n=1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）如果c n=a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n＞S n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．第4页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟20．（2015•济宁一模）已知函数f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；（Ⅲ）当a=﹣1时，试判断函数g（x）=f（x）+在其定义域内的零点的个数．21．（2015•威海一模）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B 的坐标分别是（﹣，0），（，0），点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）不过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q．若以PQ为直径的圆过点A时，试判断直线l是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由．第5页2015年湖南省高考数学(文科)模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）2．（2015•衡阳二模）设复数z=﹣l﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则等于（）===2第6页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟5．（2015•衡阳二模）甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析第7页6．（2015•永州一模）一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）几何体为一个球切割掉球体，根据几何体的体积为几何体为一个球切割掉球体，V==87．（2015•衡阳二模）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=（）第8页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟．所以要求的概率，．第9页．，进而有，再代入所求即可．第10页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟，=9．（2015•衡阳二模）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）x=第11页10．（2015•株洲一模）在△ABC 中，若角A ，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论：①b2≥ac；②；③；④．对于①，2b=a+c≥2对于②，则对于③，≥=，③错误；则cosB=≥=则二．填空题（共5小题）第12页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟第13页11．（2006•四川）设x 、y 满足约束条件：则z=2x ﹣y 的最小值为 ﹣6 ．满足约束条件：，12．（2015•株洲一模）记集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤4}和集合B={（x ，y ）|x+y ﹣2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2的概率为 ．第14页=2的概率为故答案是：13．（2015•潮南区模拟）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cos θ+sin θ）=2的距离为 ．）到直线的距离是故答案为：2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟14．（2015•烟台一模）已知抛物线y2=2px的焦点F 与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为32 ．由双曲线=1|AM|由双曲线﹣∴∴|AK|=|AM|的面积为|KF|15．（2015•菏泽二模）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．，可得第15页，故有三．解答题（共6小题）16．（2015•永州一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若b=，sinB=sinC，求a．sinA=，∴sinA=，；sinB=c∵b=﹣2××1×17．（2015•郴州二模）为了解甲、乙两种品牌手机的电池充满电后的待机时间（假设都在24～96小时范围内），从这两种第16页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟（Ⅱ）这两种品牌的手机的电池充满电后，某个电池已使用了48小时，试估计该电池是甲品牌手机的电池的概率；（Ⅲ）由于两种品牌的手机的某些差异，普遍认为甲品牌手机比乙品牌手机更显“低调”，销售商随机调查了110名购买者，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表，写出表中A、B、C、D、E附：K2=，其中n=a+b+c+d通过列联表求得=7.486小时的概率第17页第18页根据列联表可得：=7.48618．（2015•永州一模）在△ABC 中（如图1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点，EF 交CD 于G ，把△ADC 沿CD 折成如图2所示的三棱锥C ﹣A 1BD ． （1）求证：E 1F∥平面A 1BD ；（2）若二面角A 1﹣CD ﹣B 为直二面角，求直线A 1F 与平面BCD 所成的角．则2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟19．（2015•株洲一模）已知数列{a n}是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，满足2S n+b n=1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）如果c n=a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n＞S n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．（Ⅰ）由已知得，得是首项为，公比为从而，由此利用错位相减法求出，由此得到所∴依条件有即，解得，得，解得时，所以是首项为，公比为故）知，第19页所以得又所以时，20．（2015•济宁一模）已知函数f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；（Ⅲ）当a=﹣1时，试判断函数g（x）=f（x）+在其定义域内的零点的个数．时，求出函数时，第20页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟（Ⅱ）因为所以时，函数，而，所以函数21．（2015•威海一模）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣，0），（，0），点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）不过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q．若以PQ为直径的圆过点A时，试判断直线l是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由．点坐标为，由第21页设直线的两交点为联立：利用韦达定理，结合点坐标为，∴，…（即的方程是…（（Ⅱ）设直线联立：消去且时，则有∴故代入整理得：…（．时，，直线过点综上知：直线过定点第22页2015年全国高考湖南卷（文科）数学模拟第23页。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是A.3B.4C.5D.63.设x R ∈，则“1x >”是“31x >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若变量,x y 满足约束条件则2z x y =-的最小值为A.-1B.0C.1D.25.执行如图2所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =A. B. C. D.6. 若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A.7 B.54 C.43 D.537. 若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为 A.2 B.2 C.22 D.4 8. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数9. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.9 10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积） A.89πB.827πC.()32421π-D.()3821π-二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则()U AB =________12. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为______13. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =___________.14. 若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是____________15. 已知0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω=________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）数学（文）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}2|log 10,|3,R xA x xB y y x =+>==∈,则R ()A B =ðA ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C.(0,1)D ．(]0,1.2．复数12ii +（i 是虚数单位）的虚部是 A ．15i B ．25 C.15- D.153．下列命题错误的是A.命题“若2320x x -+=则1x =”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠” B.若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题C.命题p ：存在0R,x ∈使得20010x x ++<，则:p ⌝任意R,x ∈都有210x x ++≥ D.“x >2”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 4．如图给出的是计算11113529+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是A ．2,15n n i =+=B ．2,15n n i =+>C ．1,15n n i =+=D ．1,15n n i =+>5.则两变量的回归直线方程为A.0.56997.4y x =+B.0.63231.2y x =-C.50.2501.4y x =+D.60.4400.7y x =+6.已知函数21,(0),()(1)1,(0),x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩把方程()0f x x -=的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和为A.21(N )n n S n +=-∈B.(1)(N )2n n n S n +-=∈ C.1(N )n S n n +=-∈D.12(N )n n S n -+=∈7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于8．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 是A.12 B. 2 C. 13 D 9．已知函数()xf x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为B.2eC.eD.2e 10.A ，B ，C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有23PA PB PC ++=0,现将一粒芝麻随机撒在△ABC 内，则这粒芝麻落在△PBC 内的概率为A.13B.14C.15D.16二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则()M N ð等于A ．{1，3，5}B ．{1，5}C ．{l ，6}D ．{2，4，6}2．“x<0”是“1n （x+1）<0，，的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下图所示的算法流程图中，若输出的T= 720，则正整数a 的值为A ．5B ．6C ．7D ．84．一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于A B ． C ． D ．5．在区间[一π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数222()44f x x ax b π=+-+2有零点的概率为A ．4π B ．1一4π C ．2π D ．l －2π6．已知双曲线2222:x y C a b-=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为 A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 7．设()1(101)x f x g ax =++是偶函数，4()2x b g x -=是奇函数，那么a 十6的值为 A ．1 B ．一1 C ．一12 D ．128．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为39．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，D 、E分别是BC 、AB 的中点，P 是△ABC （包括边界）内任一点，则.AD EP 的取值范围是A ．[-7，7]B ．[-8，8]C ．[-9，9]D ．[-10，J ．O]10．已知函数321,(,1],12()111,0,.362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数()s i n ()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1(0,]2 C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C的极坐标方程：)4πρθ=+，则直线l 和圆C 的位置关系为12．在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是（11，-7），（1，-2），且12z x yi z =+（其中,,x y R i ∈为虚数单位），则z+y 的值为 .13．如图，函数21()()5F x f x x =+的图象在点P （5，F （5））处的切线方程是y=ax 十8，若(5)'(5)5f f +=-，则实数a= .14．若向量a=（x 一1，2），b=（4，y ）相互垂直，则9x +3y 的最小值为15．如图，直线与抛物线y 2 =2px （p>0）交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D ，若点D 的坐标为（2，1），则p 的值等于.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样．．．．抽取10 名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边之长依次为a ，b,c ，且2225()a b c +-= （1）求cos 2C 和角B 的值；（2）若1，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D为线段AB 上一点，且AD=13DB ，点C 为圆O上一点，且．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=B D ．（1）求证：CD ⊥平面PAB ；（2）求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．19．（本小题满分13分）已知无穷数列{a n }中，a 1、a 2、…a m 构成首项为2，公差为－2的等差数列，a m+1、a m+2、…a 2m 构成首项为12，公比为12的等比数列，其中m≥3，m ∈N *． （1）当1≤n≤2rn ，m ∈N*时求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的m ∈N*，都有a n+2m =a n 成立，①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{a n }的前n 项和为S n 判断是否存在m ，使得S 4m ＋3≥2成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由，20．（本小题满分13分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过 点3(1,)2P ，离心率e=12直线l 的方 程为x=4．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）设函数22()(1)(x e f x k nx k x x=-+为常数，e=2．718 28…是自然对数的底数）． （1）当k≤0时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围。