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排列组合与二项式定理热点单选题1(2024·湖北武汉·模拟预测)在1+x-16+(1-x)6+(1-x)7展开式中，x3的系数为7+1+x-1()A.0B.-55C.-15D.55【答案】B【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为1+x-17与1+x-16的展开式中没有x3的项，只有(1-x)6与(1-x)7的展开式中有x3的项，其中(1-x)6的展开式的通项为T k+1=-1k⋅C k6x k，则x3的系数为-C36，(1-x)7的展开式的通项为T k+1=-1k⋅C k7x k，则x3的系数为-C37，所以展开式中x3的系数为-C36-C37=-55.故选：B2(2024·辽宁·模拟预测)为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A,B,C,D,E五个部分(如图所示)，现用4种颜色的鲜花进行装扮(4种颜色均用到)，每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有()A.48种B.36种C.24种D.12种．【答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为B,D区域同色，且和其它区域不同色和C,E区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类B,D区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域B,D有3种方法，第三步，摆放区域C有2种方法，第四步，考虑到区域A,B,C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域E有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有4×3×2×1=24种方案，第二类，C,E区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域B有3种方法，第三步，摆放区域C,E有2种方法，第四步，考虑到区域A,B,C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域D有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有4×3×2×1=24种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有48种，故选：A.3(2024·河北沧州·一模)截至2024年2月25日，2024年春节档4部影片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计票房已经突破100亿．某影城为了家庭中的大人和孩子观影便利，对《熊出没·逆转时空》不排最后一场，《第二十条》和《熊《热辣滚烫》不排第一场，影片播放顺序做出如下要求：出没·逆转时空》必须连续安排，则不同的安排方式有()A.12种B.10种C.9种D.7种【答案】D【分析】根据已知条件，分《热辣滚烫》排最后一场、《热辣滚烫》排第二场、《热辣滚烫》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可.【详解】分两种情况：第一种：《热辣滚烫》排最后一场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，所以用捆绑法有A22种可能，并看成一个元素，剩下元素有A22种排法，所以共有A22⋅A22=4种排法；第二种：《热辣滚烫》排第二场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，而且《熊出没·逆转时空》不排最后一场，所以《第二十条》和《熊出没·逆转时空》只能排在第四、第三两场，《飞驰人生2》排第一场，这种情况共1种排法；第三种：《热辣滚烫》排第三场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，而且《熊出没·逆转时空》不排最后一场，所以《第二十条》和《熊出没·逆转时空》排在前两场有A22种排法，《飞驰人生2》排最后一场，这种情况共有A22=2种排法.综上符合条件的电影安排方法总数为4+1+2=7种.故选：D热点多选题4(2024·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)()A.可以围成20个不同的正方形B.可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)C.可以围成516个不同的三角形D.可以围成16个不同的等边三角形【答案】ABC【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】不妨设两个钉子间的距离为1，对于选项A ，由图知，边长为1的正方形有3×3=9个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为3的正方形有1个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为5的有2个，共有20个，所以选项A 正确，对于选项B ，由图知，宽为1的长方形有3×3=9个，宽为2的长方形有4×2=8个，宽为3的长方形有5个，宽为2的有2个，共有24个，所以选项B 正确，对于选项C ，由图知，可以围成C 316-10C 34-4C 33=516个不同的三角形，所以选项C 正确，对于选项D ，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D 错误，故选：ABC .5(2024·辽宁·一模)在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是()A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732【答案】ABD【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A ：10分钟或10分钟以内到家只能是A →B →C →D ，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为12×12×12=18，故A 正确；选项B ：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于153=5步，可能顺时针A →D 走5步概率为12 5=132，可能逆时针A →D 走3步概率为123=18，或者逆时针走四步，顺时针走一步，概率为C 1312 5=332，故其概率概率为18+132+332=14，故B 正确；选项C ：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即A →H →G →F →E →D ，概率为125=132，可以逆时针走5步，概率为C 15125=532，故其概率为132+532=316≠532，故C 错误；选项D ：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为C 26+C 16+C 1727=732，故D 正确；故选：ABD .6(2024·山东济南·一模)下列等式中正确的是()A.8k =1C k 8=28B.8k =2C 2k =C39C.8k =2k -1k ! =1-18! D.8k =0C k 8 2 =C 816【答案】BCD【分析】利用1+x 8的展开式与赋值法可判断A ，利用组合数的性质C 2n +C 3n =C 3n +1可判断B ，利用阶乘的裂项法可判断C ，构造1+x 16=1+x 81+x 8求其含x 8的项的系数可判断D .【详解】对于A ，因为1+x 8=C 08+C 18x +C 28x 2+⋯+C 88x 8，令x =1，得28=1+C 18+C 28+⋯+C 88=1+8k =1C k 8，则8k =1C k 8 =28-1，故A 错误；对于B ，因为C 2n +C 3n =C 3n +1，所以8k =2C 2k =C 22+C 23+C 24+⋯+C 28=C 33+C 23+C 24+⋯+C 28=C 34+C 24+⋯+C 28=⋯=C 38+C 28=C 39，故B 正确；对于C ，因为1k -1 !-1k !=k !-k -1 !k !k -1 !=k -1 k -1 !k !k -1 !=k -1k !，所以8k =2k -1k ! =8k =21k -1!-1k ! =11!-12!+12!-13!+⋯+17!-18!=1-18!，故C 正确.对于D ，1+x 16=1+x 81+x 8，对于1+x 16，其含有x 8的项的系数为C 816，对于1+x 81+x 8，要得到含有x 8的项的系数，须从第一个式子取出k 0≤k ≤8,k ∈N 个x ，再从第二个式子取出8-k 个x ，它们对应的系数为8k =0C k8C8-k 8=8k =0C k 8 2，所以8k =0C k 8 2 =C 816，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式1+x 81+x 8中得到含有x 8的项的系数，从而得解.热点填空题7(2024·广东佛山·二模)甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是．【答案】120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有A 35=60种，3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有C 23A 25=60种，故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60=120种.故答案为：120.8(2024·河南·模拟预测)x +12x-2y 7的展开式中x 2y 3的系数为．【答案】-560【分析】首先将x +12x 看成一个整体，再结合x 2y 3的形式，利用二项式定理的通项公式求解.【详解】x +12x -2y 7的通项公式为T r +1=C r 7⋅x +12x7-r ⋅-2yr，当r =3时，T 3+1=C 37⋅-2 3⋅x +12x4⋅y 3，x +12x 4中，含x 2项的系数为C 14⋅x 3⋅12x=2x 2，所以展开式中x 2y 3的系数为C 37⋅-2 3⋅2=-560.故答案为：-5609(2024·浙江·模拟预测)已知(ax -1)2(2x -1)3=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5．若a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=0，则a 3=．【答案】38【分析】借助赋值法可得a ，结合二项式定理计算即可得解.【详解】令x =1，则有(a -1)2=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=0，即a =1，即有(x -1)2(2x -1)3，则a 3=C 02⋅2⋅C 23⋅-1 2+-C 12 ⋅22⋅C 13⋅-1 +1⋅23=38.故答案为：38.一、单选题1(2024·辽宁大连·一模)将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A ,B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有()A.12种 B.18种C.36种D.54种【答案】B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有C 24C 222种分法，故不同的分配方法共有C 24C 222×A 33=18种，故选：B .2(2024·山西晋中·模拟预测)若二项式2x -1xn的展开式中所有的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A.15B.60C.-60D.-160【答案】B【分析】利用二项式系数和求出n ，再根据通项公式可得答案.【详解】因为2x -1xn 的展开式中所有的二项式系数之和为64，所以2n =64，即n =6.2x -1x n 的展开式的通项公式为T r +1=C r 62x 6-r -1xr =-1 r 26-r C r 6x 6-32r，令6-32r =0，得r =4，故常数项为-1 422C 46=60.故选：B3(2024·广东湛江·二模)已知1-2x 9=a 0+a 1x +⋯+a 9x 9，则a 0+9i =2a i =()A.-2B.-19C.15D.17【答案】D【分析】令x =1得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出a 1，即可得解.【详解】令x =1，得a 0+a 1+a 2+⋯+a 9=-1，又1-2x 9展开式的通项为T r +1=C r 9-2x r =C r 9-2 r x r (0≤r ≤9且r ∈N )，所以a 1=-2 1×C 19=-18，所以a 0+9i =2a i =-1--18 =17.故选：D4(2024·山东·一模)甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A ，B ，C 三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A 学校实习，则不同的分配方案的种数是()A.48B.36C.24D.12【答案】C【分析】分A 学校只有1人去实习和A 学校有2人去实习两种情况讨论求解.【详解】①若A 学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是C 13C 23A 22=18，②若A 学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是C 23A 22=6，则不同的分配方案的种数共有18+6=24.故选：C .5(2024·安徽·二模)已知x -2xn的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【答案】C【分析】根据二项式系数和可得n =8，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.【详解】由已知2n =256，故n =8，故通项为T k +1=C k 8x 8-k -2xk =-1 k C k 82k x 8-2k(k =0，1，⋯，8)，故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，C 0820=1,C 2822<C 4824,C 6826=4C 6824,∴C 6826C 4824=4C 28C 48=85>1,C 6826C 8828=C 284>1故C 6826最大，因此第七项的系数最大，故选：C ．6(2024·湖南邵阳·二模)某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有()A.240种 B.120种 C.156种 D.144种【答案】D【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有A 44A 22=48种方法，故不同的安排方法共有3×48=144种.故选：D .7(2024·江苏南通·二模)若1+x 2+1+x 3+⋯+1+x 10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则a 2等于()A.49B.55C.120D.165【答案】D【分析】依题意可得a 2=C 22+C 23+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210，再根据组合数的性质计算可得.【详解】因为二项式1+x n 展开式的通项为T r +1=C r n x r (0≤r ≤n 且r ∈N )，又1+x 2+1+x 3+⋯+1+x 10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，所以a 2=C 22+C 23+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210=C 33+C 23+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210=C 34+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210⋯⋯=C 310+C 210=C 311=11×10×93×2×1=165.故选：D8(2024·湖北·模拟预测)能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为()A.228B.210C.240D.238【答案】A【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，所以3的倍数的三位数有：(A 33+A 33+A 34-A 23)+(C 13C 13C 14A 33-C 13C 13A 22)=228个.故选：A .9(2024·湖北·二模)把4个相同的红球，4个相同的白球，全部放入4个不同的盒子中，每个盒子放2个球，则不同的放法种数有()A.12B.18C.19D.24【答案】C【分析】先分成四组再分类放入盒子，根据加法计数原理计算即可.【详解】先把8个球分成4组，每组2个球，由于红球相同，白球也相同，所以记红球为R ，白球为W ，则分组方法共有3种：RR ，RR ，WW ，WW ；RW ，RW ，RR ，WW ；RW ，RW ，RW ，RW ．对于RR ，RR ，WW ，WW ．由于盒子是不同的，从4个盒子中选2个盒子放RR ，RR ，剩下2个盒子放WW ，WW ，有C 24种不同的放法．对于RW ，RW ，RR ，WW ，从4个不同的盒子中选2个盒子放RW ，RW ，有C 24种放法，剩下2个盒子放RR ，WW ，有2种放法，由分步乘法计数原理，这组的放法有2C 24种．对于RW ，RW ，RW ，RW ，显然只有1种放法．由分类加法计数原理知不同的放法共有2C 24+C 24+1=19(种)．故选：C10(2024·浙江台州·二模)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm ×11cm ×5cm ，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm ×11cm ×5cm ，24cm ×112cm ×5cm ，24cm ×11cm ×52cm 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm 3的不同规格长方体的个数为()A.8B.10C.12D.16【答案】B【分析】根据原长方体体积与得到的体积为165cm 3长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】由题意，V 长方体=24×11×5=8×165，为得到体积为165cm 3的长方体，需将原来长方体体积缩小为原来的18，可分三类完成：第一类，长减半3次，宽减半3次、高减半3次，共3种；第二类，长宽高各减半1次，共1种；第三类，长宽高减半0,1,2次的全排列A33=6种，根据分类加法计数原理，共3+1+6=10种.故选：B11(2024·贵州贵阳·模拟预测)2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是()A.18B.36C.54D.72【答案】B【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.【详解】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有C13A33=18种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有C23C11A33=18种选择，综上，共有18+18=36种选择.故选：B二、多选题12(2024·辽宁葫芦岛·一模)若m3x+x8展开式中常数项为28，则实数m的值可能为()A.-1B.1C.2D.3【答案】AB【分析】求出展开式的通项公式，利用x的幂指数为0求出m值.【详解】二项式m3x+x8展开式的通项公式T r+1=C r8m3x 8-r⋅x r=m8-r C r8x4r-83,r≤8,r∈N，由4r-83=0，解得r=2，则T3=m6C28=28m6，于是28m6=28，解得m=±1，所以实数m的值为-1或1.故选：AB13(2024·广东佛山·模拟预测)若(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则()A.a0=1B.a3=20C.2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0D.a0+a2+a4+a6=a1+a3+a5【答案】ACD【分析】将x=0，x=2，x=±1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.【详解】将x=0代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6得0-16=a0，解得a0=1，A正确；由二项式定理可知x-16展开式的通项为T r+1=C r6x6-r-1r，令6-r=3得r=3，所以a3=C36-13=-20，B错误；将x =2代入(x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6得2-1 6=a 0+2a 1+4a 2+8a 3+16a 4+32a 5+64a 6，即2a 1+4a 2+8a 3+16a 4+32a 5+64a 6=0，C 正确；将x =1代入(x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6得1-1 6=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6，即a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=0①，将x =-1代入(x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6得-1-1 6=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6，即a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6=64②，①+②得2a 0+a 2+a 4+a 6 =64，所以a 0+a 2+a 4+a 6=32，①-②得2a 1+a 3+a 5 =-64，所以a 1+a 3+a 5=-32，所以a 0+a 2+a 4+a 6 =a 1+a 3+a 5 ，D 正确；故选：ACD14(2024·山西晋中·模拟预测)某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是()A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法【答案】ACD【分析】利用捆绑法解决选项A ，利用插空法解决选项BC ，利用特殊元素优先法解决选项D .【详解】选项A ，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有A 22A 44=48(种)，故A 正确；选项B ，要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有A 22A 33=12(种)，故B 错误；选项C ，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，则有A 33A 24=72(种)，故C 正确；选项D ，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，则有A 13A 44=72(种)，故D 正确.故选：ACD .15(2024·湖北·二模)如果123100-1 =k ⋅m +n ，k ，m ，n ∈N ，则当k 取下列何值时，存在m ，使得n =0成立()A.9B.40C.121D.7381【答案】BCD【分析】方法一：123100-1 =1280+1 25-1 ，由二项式定理将80+1 25展开，再对选项一一判断即可得出答案；方法二：因为12(3100-1)=1+3+32+33+34+35+⋯+399，结合选项将1+3+32+33+34+35+⋯+399分解为k ⋅m +n ，即可得出答案.【详解】方法一：对于A ，如果k =9，n =0，那么123100-1 =9m ⇒3100=18m +1⇒8125=18m +1⇒80+1 25=18m +1⇒8025+C 24258024+⋯+C 12580+1=18m +1，因为80不是18的整数倍，所以当k =9时，n ≠0．所以A 错误；对于B ，如果k =40，n =0，那么123100-1 =40m ⇒3100=80m +1=80+1 25=80m +1，由二项式定理可知存在m ∈N ，使等式成立，所以B 正确；对于C ，如果k =121，n =0，那么123100-1 =121m ⇒3100=242m +1⇒242+1 20=242m +1，由二项式定理可知存在m ∈N ，使等式成立，所以C 正确；对于D ，如果k =7381，n =0，那么123100-1 =7381m ⇒3100=14762m +1⇒4×14762+1 10=14762m +1，由二项式定理可知存在m ∈N ，使等式成立，所以D 正确．故选：BCD ．方法二：因为12(3100-1)=1+3+32+33+34+35+⋯+399，所以12(3100-1)可表示为100项的和，因为1+3+32+33+34+35+⋯+399=4+9(1+3+32+33+⋯+397)，所以k =9时，n =4，A 错误；因为1+3+32+33=40，所以1+3+33+33+34+33+⋯+339=40(1+34+38+⋯+396)(共100项，每4项相加，然后提出40)，所以B 正确；由于1+3+32+33+34=121，同理可知C 正确；因为12(3100-1)=1+3+32+33+34+35+⋯+399．=(1+32+34+36+38+⋯+398)+(3+33+35+37+39+⋯+399)=4(1+32+34+36+38+⋯+398)=4[(1+32+34+36+38)+310(1+32+34+36+38)+⋯+390(1+32+34+36+38)]=4[7381(1+310+320+⋯+390)]，所以D 正确．故选：BCD ．三、填空题16(2024·山东·二模)已知二项式x -5x n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，n =．【答案】10【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得.【详解】因为二项式x -5x n 的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n =C 7n ，由组合数的性质可得n =10．故答案为：10.17(2024·江西赣州·一模)x 2+y +1x +1y 7展开式中的常数项为.【答案】630【分析】x 2+y +1x +1y7表示7个x 2+y +1x +1y 相乘，再结合组合即可得解.【详解】x 2+y +1x +1y 7表示7个x 2+y +1x +1y相乘，则常数项，应为1个x 2，2个1x ，2个y ，2个1y 相乘，所以x 2+y +1x +1y 7展开式中的常数项为C 17C 26C 24C 22=630.故答案为：630.18(2024·重庆·模拟预测)重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有种涂色方式．【答案】120【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解.【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况，所以不同的涂色共有5×A 44=120种.故答案为：120.19(2024·河北沧州·一模)有5位大学生要分配到A ,B ,C 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A 单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有种．(用数字作答)【答案】50【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，当A 单位只有甲时，其余四人分配到B ,C ，不同分配方案有C 14C 33A 22+C 24C 22=14种；当A 单位不只有甲时，其余四人分配到A ,B ,C ，不同分配方案有C 14C 13C 22A 22A 33=36种；合计有50种不同分配方案，故答案为：50.20(2024·山东枣庄·一模)x +y ⋅(x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为．(用数字作答)【答案】0【分析】由x +y ⋅(x -y )5=x (x -y )5+y (x -y )5，再写出x -y 5展开式的通项，即可求出展开式中x 3y 3的系数.【详解】因为x +y ⋅(x -y )5=x (x -y )5+y (x -y )5，其中x -y 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r -y r 0≤r ≤5,r ∈N ，所以x +y ⋅(x -y )5的展开式含x 3y 3的项为xC 35x 2-y 3+yC 25x 3-y 2=-C 35x 3y 3+C 25x 3y 3=0，即x +y ⋅(x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为0.故答案为：0。
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。
高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。
（1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差；4.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。
(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。
押新高考卷4题排列组合与二项式定理考点3年考题考情分析排列组合与二项式定理2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.组合数公式m n C=m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).5.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！.6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m mn A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- .（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.8.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B3．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（）A ．30种B ．60种C ．90种D ．120种【答案】B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有16C 种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有25C 种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有33C 种方法；总共有123653C C C 60=种方法；故选：B.2．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A ．12B ．18C ．36D ．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有13C 种，将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有23C 种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()123333C C A 36+=．故选：C3．（2023·广东佛山·统考二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A ．96种B ．64种C ．32种D ．16种【答案】B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法；第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264⨯⨯=.故选：B.12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为8，则我们称M 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（）A ．34个B ．35个C ．36个D ．37个【答案】C【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出33A 6=个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出13A 3=个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出1222A A 4=个“叔同数”，008只能排出800一个“叔同数”，所以它们排出的“叔同数”的个数共有366334442136+++++++++=，故选：C13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A ．56种B ．64种C ．72种D ．96种【答案】D【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=⨯⨯=种，共有32472⨯=种方法；若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=⨯⨯⨯=种方法，所以共有722496+=种不同的安排方法，故选：D .14．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A ．72种B ．81种C ．144种D ．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.15．（2023·重庆九龙坡·统考二模）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种【答案】A【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列.【详解】依题意分两种情况讨论：①将6种算法分成1、1、1、3四组，再分配给4人，则有3464C A 480=种；。
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A．B．C．D．【答案】【解析】从中随机抽取2听进行检测，总的方法数为，检测出至少有一听不合格饮料的方法数为，所以，检测出至少有一听不合格饮料的概率是，故选.【考点】组合问题，古典概型.2.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为【答案】【解析】根据题意，由于的展开式中各项系数的和为2，则可知令x=1,得到1+a=2,a=1，则可知表达式为展开式，当r=2,r=3对应的项的系数与，x陪凑相乘可知得到常数项为40，故答案为40.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式的运用，属于基础题。
3.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素，有种方法；与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有种方法；考虑与戊机的排法有种方法．由乘法原理可知共有种不同的着舰方法．故应选C.【考点】排列、组合。
点评：我们在排序过程中，常用到相邻“捆绑”和不相邻“插空”的方法进行排序，在捆绑时，我们要注意其内部的顺序。
4.设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2 个杯盖与茶杯编号相同的盖法有A．24种B．135种C．9种D．360种【答案】B2种结果，剩下的四个小球和四个盒【解析】首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C6子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法，根据分步计数原理的结果解：由题意知本题是一个分步计数问2=15种结果，剩下的四个小球和四个盒题，首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C6子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法共有3×3=9种结果，根据分步计数原理得到共有15×9=135种结果．故选B．【考点】分步计数问题点评：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是选出球号和盒子号一致的以后4个小球和四个盒子的方法，本题是一个基础题5.设，则二项式展开式中的项的系数为（）A．B．20C．D．160【答案】C【解析】根据题意，由于，那么可知a=-2，同时由于二项式，令12-3r=3,r=3，则可知展开式中的项的系数为，故答案为C【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。
高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：〔1〕掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．〔2〕理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．〔3〕理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．〔4〕掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．重复．．元素从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，一共有多少种不同放法？ 〔解：n m 种〕 二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵一样排列.假如；两个排列一样，不仅这两个排列的元素必须完全一样，而且排列的顺序也必须完全一样. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--= 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 那么S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==⑶两个公式：①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.〔或者者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C 〕②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，假如取这一元素，那么需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，假如不取这一元素，那么需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以一共有C m n 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联络与区别.联络：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排〞，后者是“并成一组〞，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n 〔利用!1)!1(1!1n n n n --=-〕ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法〔即用m n m n m n C C C 11+-=+递推〕如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“部分〞的排列.它主要用于解决“元素相邻问题〞，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-1111+-+-m n m n A 是一个“整体排列〞，而mm A 那么是“部分排列〞.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，那么有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，假设其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--. ③有n 件不同商品，假设其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位一样，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或者两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题〞.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅〔插空法〕，当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般〞的解题原那么.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进展全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有mm A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即假设n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，一共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，一共有多少种不同的排法？解法一：〔逐步插空法〕〔m+1〕〔m+2〕…n = n！/ m ！；解法二：〔比例分配法〕m m n n A A /.⑦平均法：假设把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，一共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C 〔平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了〕又例如将200名运发动平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ 〔!2/102022818CC C P =〕注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，一共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故〔4321,,,x x x x 〕是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式〔如图所示〕故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：假设为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个规定的正确位置那么有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在〔或者不固定在〕某一位置上，一共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或者11111----⋅+m n m m n A A A 〔一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的〕 ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列〔或者组合〕，规定某r 个元素都包含在内 。
专题19排列组合与二项式定理常考小题目录01二项式定理之特定项、三项式问题 (2)02二项式定理之系数和问题 (2)03二项式定理之系数最值问题 (3)04特殊优先与正难则反策略 (4)05相邻问题与不相邻问题 (4)06列举法 (4)07定序问题（先选后排） (5)08多面手问题 (6)09错位排列问题 (6)10涂色问题 (6)11分组与分配问题 (7)12隔板法 (8)13查字典问题 (8)14分解法模型与最短路径问题 (8)15构造法模型和递推模型 (10)16环排与多排问题 (11)17配对型模型 (11)18电路图模型 (12)19机器人跳动模型 (13)20波浪数模型 (13)01二项式定理之特定项、三项式问题1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）()423a b c --的展开式中2abc 的系数为（）A ．208B ．216-C ．217D ．218-2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若()()542x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）A ．8B ．7C ．9D ．103．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若8141x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x -=+++++++ ，则7a =（）A ．－960B ．960C ．－480D ．48002二项式定理之系数和问题5．（多选题）（2024·广东佛山·高三校考阶段练习）若5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中(0,1,,5)i a i = 为实数，则（）A ．01a =B ．310a =C ．13516a a a ++=-D ．1251a a a +++= 6．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++ ，则（）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++= C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++=D ．(0,1,2,,8,9)i a i = 的最大值为6a 7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知()210121nn n n n p x a a x a x a x a x --+=+++++ （0p >，*N n ∈且2n ≥），其中20log 12a =，2121log log 10n a a --=，则（）A ．24np =B ．0121n a a a a ++++= C ．120122n inn i iC a -==-∑D ．21231112322222n n a a a a -++++=- 8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+，则下列选项正确的是（）A ．01a =B ．01222nn a a a a +++⋅⋅⋅=C ．0242312n n a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．13521312n n a a a a --+++⋅⋅⋅+=9．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若()623601236(1)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+++++++++ ，则（）A ．064a =B ．0246365a a a a +++=C ．512a =D ．123456234566a a a a a a +++++=-03二项式定理之系数最值问题10．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知()13nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为.（不用计算，写出表达式即可）11．（2024·全国·高三专题练习）若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为.12．（2024·浙江·统考模拟预测）已知(13)n x -展开式中第三项的二项式系数是10，则n =，展开式中系数的绝对值最大的项是.04特殊优先与正难则反策略13．（2024·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（）A．81B．72C．48D．3614．（云南省红河州第一中学2024届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A．15种B．28种C．31种D．63种15．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．65B．73C．70D．60.16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（）A．360B．630C．1170D．84005相邻问题与不相邻问题17．（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有.（用数字作答）18．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．19．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有种(用数字作答)．06列举法20．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++．设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是（）A ．28B ．24C ．20D ．1621．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母x ，y ，z 各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如xxyzyz ），则不同的排法共有（）种A ．36B ．30C ．24D ．1622．（2024·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()A ．13B ．14C ．15D ．1607定序问题（先选后排）23．（2024·全国·高三专题练习）某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（）A ．120种B ．80种C ．20种D ．48种24．（2024·全国·高二专题练习）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）A ．8B ．1680C ．140D ．7025．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是A ．6B ．10C ．12D ．2408多面手问题26．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法．A．675B．575C．512D．54527．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．11028．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种09错位排列问题29．（2024·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（）A．6种B．9种C．11种D．23种30．（2024·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．4531．（2023·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（）A．42B．44C．46D．4810涂色问题32．（2024·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（）A ．72B ．96C ．108D ．14433．（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（）A ．48种B ．64种C ．96种D ．144种34．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A ．320B ．17C ．16D ．1511分组与分配问题35．（2024·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A ，B ，C ，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到C 地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（）A ．180种B ．240种C ．480种D ．540种36．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A 、B 两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）A ．15B ．30C ．25D ．1637．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有,,,A B C D 四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则甲志愿者被分到A 服务站的不同分法的种数为（）A ．80B ．120C ．160D ．6012隔板法38．（2024·全国·高三专题练习）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为（）A ．10B ．15C ．20D ．3039．（2024·全国·高三专题练习）11(2)x y z ++的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）A ．72项B ．75项C ．78项D ．81项40．（2024·全国·高三专题练习）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（）种分配方案．A ．135B ．10C ．75D ．12013查字典问题41．（2024·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小于5421的四位数有（）个A ．175B ．174C ．180D ．18542．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中比30000大的偶数共有（）A ．12个B ．18个C ．24个D ．30个43．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）A ．2301B ．2304C ．2305D ．231014分解法模型与最短路径问题44．（2024·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（）A ．20条B ．21条C ．22条D ．23条45．（2024·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种46．（2024·江苏扬州·高二统考）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角.18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸.令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是10928'︒，所有的锐角都是7032'︒.后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度.从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路径数为(),A n m .例如：()3,11A =，()4,23A =.则不等式()10,81A m ≤的解集为（）A ．{}1,2,3,7,8,9B ．{}1,2,3,8,9,10C ．{}1,2,3,9,10,11D ．{}4,5,6,7,847．（2024·江苏扬州·高二统考）如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 、5A 是道路网中的5个指定交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有30种B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的方法有6种C ．甲、乙两人在3A 处相遇的概率为6225D ．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为8122515构造法模型和递推模型48．将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）A ．33B ．56C ．64D ．7849．（2024·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）A ．4种B ．10种C ．12种D ．22种50．（2024·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种16环排与多排问题51．现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（）A ．3565A A ⋅B ．863863A A A -⋅C ．3353A A ⋅D ．753753A A A -⋅52．（2024·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种53．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m 位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（）A ．24B ．48C ．60D ．12017配对型模型54．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递A ､B ､C ､D 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲､乙､丙､丁四个地方，全部送错的概率是（）A ．14B ．13C ．38D ．51255．（2024·高二单元测试）箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（）A．16B．13C．15D．2556．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为．57．（2024·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992年至1995年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事.影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激励我们奋勇前行！该影片于2023年1月14日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有种．18电路图模型58．（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有种.59．（2024·高二课时练习）如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有种.60．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是．61．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有种．19机器人跳动模型62．（2024·北京大兴·高三统考期末）动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（）A ．7B ．9C ．11D ．1363．（2024·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）如图，由6636⨯=个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C 点出发，沿若小正方形的边走到D 点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB ，那么不同的走法共有种．20波浪数模型64．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）A ．13B ．16C ．18D ．11265．（2024·安徽六安·高二六安一中校考）因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有（）种．A ．181B ．109C ．84D ．9666．（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（）种．A．379B．360C．243D．21767．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有个。
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A．8B．6C．14D．48【答案】D【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.方法二:第一步,排百位有6种选择,第二步,排十位有4种选择,第三步,排个位有2种选择.根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.2.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记.若，且，则的值可以为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因此除的余数为，即，因此的值可以为，故选A.【考点】1.二项式定理；2.数的整除性3.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种．【答案】150【解析】将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙.(1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地.(2) 当分配的人数模式是“1、2、2”时,即甲、乙、丙3地中有一地是1个人，其他两地都有2人,则共有（种）.即先从三地中选一地是只分配1个人的，再从5名志愿者中选1人派到该地.剩余4人再选出2人分配至其余两地中的某地，那剩余2人即是最后一地所得.综上所述，共有60+90=150种方案.【考点】排列与组合4.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依次类推，则（1）按网络运作顺序第n行第一个数字（如第2行第一个数字为2，第3行第一个数字为4，…）是；（2）第63行从左至右的第4个数应是．【答案】（1）。
