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2020-2021学年四川省南充市高一上学期期末考试数学试卷及答案一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{|12}A B x x =-=-<<，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,1}-C.{0,1}D.{1,0,1}-2.cos 210︒=（）A.2B. C.12D.12-3.已知函数22()1x f x x=+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.5B.3C.13D.154.已知向量(2,1),(3,5)a b =-= ，则2a b =-r r （）A.(8,9)-- B.(4,9)-- C.(5,6)-- D.(8,11)5.若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个不同零点，则a 的取值范围是（）A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(0,)+∞ D.(0,1)6.角α的终边上有一点(,)P a a ，(0)a ≠，则sin α=（）A.22B.22-C.22±D.17.为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A 向右平移6π个单位长度 B.向左平移12π个单位长度C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度8.已知f （x ）=5x +a 3x +bx -8，且f （-2）=10，那么f （2）等于（）A.-26B.-18C.-10D.109.已知1tan 2α=，则2sin sin cos ααα+=（）A.15B.25C.35D.4510.给定集合A ，B ，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈，若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *中的所有元素之和为（）A.15B.14C.27D.14-11.已知12,e e 是单位向量，1223e e ⋅=- ，若平面向量a 满足11a e ⋅= ，22a e ⋅= 且12a xe ye =+ ，则x y +=（）A.9B.8C.7D.612.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,(2)a f b f c f m ===，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(1,),(2,2)a m b ==- ，且a b ⊥ ，则m =__________．14.若12sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 6πα-=__________．15.幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则(3)f -=__________.16.函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知函数1()1f x x =++．（1）求()f x 的定义域；（2）若0a >，求(1)f a -的值．18.已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且()12f =．（1）求a ，b ；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在R 上是增函数．19.已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=.（1）求a 与b的夹角为θ；（2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b，求△ABC 的面积．20.设函数()2sin 26f x x m πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称，其中102ω<<．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图象过点(,0)π，求()f x 在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；21.已知二次函数()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1)，函数()kg x x=的图象过点(1,8),()()()h x f x g x =+．（1）求()h x 的解析式；（2）证明：当3m >时，函数()()()H x h x h m =-有三个零点．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.23.若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，求实数k 的取值范围．数学试题参考答案1-10CBDAB CDACA 11-12AD 13.1；14.1213；15.19；16.7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦17.（1）由1020x x +≠⎧⎨+≥⎩，解得2x ≥-且1x ≠-故()f x 的定义域为{|2x x ≥-且}1x ≠-（2）若0a >，11(1)11f a a a-=+=+-+18.（1）因为()f x ax b =+是R 上的奇函数，所以()00f b ==，则()f x ax =；又()12f =，所以2a =，则()2f x x =，此时()()2f x x f x -=-=-，所以()2f x x =是奇函数，满足题意；故2a =，0b =；（2）任取12x x <，则()()()121220f x f x x x -=-<显然成立，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是增函数.19.（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，所以2244361a a b b -⋅-= .又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=，所以6a b ⋅=-，所以61cos 432a b a b θ⋅-===-⨯ .又0≤θ≤π，所以23πθ=.（2）2222()2a b a b a a b b+=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以a b +=；（3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=，所以∠ABC ＝233πππ-=.又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC＝134322⨯⨯⨯=20.（1）函数()2sin 26f x x m πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称，则2,62k k Z ππωππ⨯-=+∈，解得1,23k k Zω=+∈又102ω<<，则当0k =时，13ω=即2()2sin 36f x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2323T ππ==；（2）函数()y f x =的图象过点(,0)π，则()22sin 036f m πππ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，解得2m =-故2()2sin 236f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭302x π≤≤，203x π∴≤≤，256366x πππ-≤-≤则12sin 1236x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，232sin 2036x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭()f x 在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,0-．21.（1）设2()=f x ax ，由(1)1f a ==可得2()f x x =(1)8g k ==，()8g x x=故28()h x x x=+（2）令()()()0H x h x h m =-=故22880x m x m-+-=即()()1180x m x m x m ⎛⎫-++-=⎪⎝⎭，故()()80m x x m x m xm -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭即()()80x m x m xm ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦，0x ≠ 故()280x m x mx m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭①当3m >时，22288821803m m m m m +-=->->，2320m m+>故280x mx m+-=有两实根，且不为0和m 0x m -=有一根，为m故()()()0H x h x h m =-=有三实数根故()()()H x h x h m =-有三个零点.22.解：∵B A ⊆，∴当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．23.解：根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．∵ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π20,33x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴π0tan 23x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭πtan 203x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，∴min πtan 23x k ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴k ≤．。
南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A .1x ∀>，210x ax ++≤ B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤ D.1x ∀≤，210x ax ++>3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,45.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.36.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c<< B.b c a << C.c a b<< D.b a c<<7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.108.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭______.15.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2xn f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.21.已知()22xxf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350xxf f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22xg x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅【答案】A 【解析】【分析】应用集合的交补运算求集合.【详解】由题设{|2U A x x =≤ð或6}x ≥，故(){|02}U A B x x ⋂=<≤ð.故选：A2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A.1x ∀>，210x ax ++≤B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤D.1x ∀≤，210x ax ++>【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题知：原命题的否定为1x ∀>，210x ax ++>.故选：B3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】定义判断函数的奇偶性并结合π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，应用排除法即可得答案.【详解】由()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-==且定义域为R ，即函数为偶函数，排除A 、C ；由πππsin 0444f ⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭，排除B.故选：D4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间.【详解】由解析式知()2log 4f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又()130f =-<，()210f =-<，()23log 310f =->，所以零点所在的一个区间为()2,3.故选：C5.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B6.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及中间量0和2即可求解.【详解】因为333log 2log 8a ==，函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，所以330log 8log 92<<=，即02a <<.又因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 5log 42>=，即2b >.又因为3πcos 042c ==-<，所以c a b <<.故选：C.7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.10【答案】A 【解析】【分析】构造(x)(x)4g f =+并判断其奇偶性，利用奇偶性求()2f -即可.【详解】令33()()4ln3xg x f x ax b x+=+=+-，且定义域为()3,3-，3333()ln ln ()33x xg x ax b ax b g x x x-+-=-+=--=-+-，即()g x 为奇函数，所以()()()()80g x g x f x f x -+=-++=，即()(2)28(2)14f f f -+=-⇒-=-.故选：A8.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h【答案】D 【解析】【分析】由题设有103000e1000t-≥，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.【详解】由题意()103000e 1000t c t -=≥，则1ln 10ln 310.99103t t -≥⇒≤≈小时.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质判断A 、C 、D ；特殊值0c =判断B.【详解】由0a b >>，则22a ab b >>，110b a >>，故11a b b a+>+，A 、C 对，D 错；当0c =时22ac bc =，故B 错.故选：AC10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.【答案】BCD 【解析】【分析】由0x <对应函数符号即可判断A ；应用基本不等式及其“1”的代换、一元二次不等式解法判断B 、C 、D ，注意取最值条件.【详解】A ：当0x <时，210x y x+=<，若存在最小值，不可能为2，错；B ：由10x ->，411151y x x =-++≥=-，当且仅当3x =时取等号，所以41y x x =+-的最小值为5，对；C ：由题设12112212(2)((5)(53333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时取等号，所以2x y +的最小值为3，对；D ：22222()()3()4x y x y xy x y xy x y +=+-=++-+≥，可得2()4x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，则22x y -≤+≤，故x y +的取值范围为[]22-,，对.故选：BCD11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴【答案】CD 【解析】【分析】由题设()()f x f x -=-且()(4)f x f x =-+、()f x 在[]2,0-上递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性.【详解】由()()0()()f x f x f x f x +-=⇒-=-，函数为奇函数，A 错；由()()40()(4)(8)f x f x f x f x f x ++=⇒=-+=+，函数的周期为8，B 错；对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，所以()f x 在[]2,0-上递减，结合奇函数知：函数在[0,2]上递减，即函数[2,2]-上函数递减，由上可知()()(4)f x f x f x =--=-+，即()(4)f x f x -=+，故()f x 关于2x =对称，所以()f x 在[]26,上单调递增，且直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴，C 、D 对.故选：CD12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7【答案】ABD 【解析】【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，结合对数函数、正弦型函数性质可得121=x x 、3420x x +=，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，由上图，要使方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，3421020x x +=⨯=，由2122|log ||log |x x =，则212221212log log log ()01x x x x x x -=⇒=⇒=，A 、B 对；所以1234111202022x x x x x x +++=++≥+，又1114x <<，即等号取不到，所以()1234(22,)x x x x ∞+++∈+，C 错；由图知：()f x 在区间(1,14)、(4,7)上单调性相同，且1311,474x x <<<<，所以13,x x 随m 变化同增减，故31x x 取值范围为()1,7，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，从内到外运算求解即可．【详解】由题意，()20241log 10f ==，则()()1f f =0(0)31f ==．故答案为：1．14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】3【解析】【分析】由平方关系及角所在象限得cos 3α=-，应用诱导公式即可求函数值.【详解】由1sin 3α=-，α为第三象限角，则cos 3α=-，33πsin cos 2αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：315.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,2,12⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【解析】【分析】利用函数1y x -=的单调性，分三类讨论即可求解.【详解】考虑函数1y x -=.因为函数1y x -=的单调递减区间为()0,∞+和(),0∞-.所以不等式()()11121a a ---<+等价于10210121a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪->+⎩或者10210a a -<⎧⎨+>⎩或者10210121a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得：2a <-或112a -<<.所以实数a 的取值范围为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭.故答案为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2x n f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.【答案】2±【解析】【分析】由题设定义有()11[()]22f x f x -+=-+，进而得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，求参数值，即可得答案.【详解】由题意()12y f x =+为奇函数，所以()11[()]22f x f x -+=-+，则112222x x n n m m -=+++--，所以202(2221)(12)(2)122(12)(2)10x x x x x x x x x n n n m m m m m m m ⋅+⋅+++=⋅+++⋅++++⇒=⋅，所以22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，故2012101m n m m mn n +==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩或11m n =⎧⎨=-⎩，所以2m n -=±.故答案为：2±【点睛】关键点点睛：根据定义得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立为关键.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}45A B x x ⋃=-≤≤（2）[]2,3【解析】【分析】（1）先将集合A 化简，利用并集运算得解；（2）根据题意可得AB ，列式运算可求解.【小问1详解】由y =+，所以2050x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得25x ≤≤，{}25A x x ∴=-≤≤，当1m =时，{}43B x x =-≤≤，{}45A B x x ∴⋃=-≤≤.【小问2详解】由题x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，即A B ，则25521521m m m m -≥-⎧⎪≤+⎨⎪-≤+⎩（等号不同时取），解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.【答案】（1）3；（2）75.【解析】【分析】（1）应用指对数运算性质及指对数关系化简求值；（2）由题设tan 2α=，再应用“1”的代换及齐次运算求值即可.【详解】（1）原式232lg 5lg 222log 3log 2523=+++-⨯=-=；（2）由()tan πtan 2αα+==，22222222222sin sin cos cos 2tan tan 1222172sin sin cos cos sin cos tan 1215ααααααααααααα-⋅+-+⨯-+-⋅+====+++.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.【答案】19.π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈20.最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2-，相应的0x =.【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：函数()f x 的周期为2ππ2T ==.令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解得：π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】令π23t x =-，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最大值，最大值为1；当233x -=-ππ，即0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最小值，最小值为.故()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2，相应的0x =.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.【答案】（1）1,2m n ==-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式解集可得1,2-是20x mx n -+=的两个根，利用根与系数关系求参数值；（2）由题意有()(1)0x m x -->，讨论1m <、1m =、1m >求不等式解集.【小问1详解】由题设20x mx n -+≤的解集为[]1,2-，即1,2-是20x mx n -+=的两个根，所以121,122m n =-+==-⨯=-.【小问2详解】由题意()21(1)()(1)0f x x m x m x m x m x -+-=-++=-->，当1m <时，解得x m <或1x >，故解集为(,)(1,)m -∞+∞ ；当1m =时，解得1x ≠，故解集为{|1}x x ∈≠R ；当1m >时，解得1x <或x >m ，故解集为(,1)(,)-∞+∞ m ；21.已知()22x xf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】21.1a =22.单调递增，答案见解析23.(,∞-【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出a 的值；（2）先判断单调性，再根据函数单调性的定义判断即可；（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为3t m m<+，利用基本不等式求出最值即可．【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，对任意x ∈R ，即()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-，即()()1220x x a --+=，对任意x ∈R 恒成立，10a ∴-=，即1a =.【小问2详解】()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x ，2R x ∈，且12x x <，()()()1122122222x x x x f x f x ---=---()121212222222x x x x x x -=-+⋅()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭，12x x < ，1212122,1022x x x x ∴<+>⋅，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 为R 上的增函数.【小问3详解】不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在R 上恒成立，()()()929235x x x f f f t ∴--+=->⋅-，又()f x 为R 上的增函数，9235x x t ∴->⋅-在R 上恒成立，即()23330x x t -⨯+>，令3x m =，0m >，上式等价于230m tm -+>对0m >恒成立，即3t m m <+，令()3g m m m =+，只需()min t g m <即可，又()3g m m m =+≥()min g m ∴=，t ∴<.所以实数t的取值范围为(,∞-.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22x g x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）25n ³【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()[]()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =换元后()F x 变为2223y t mt m =--+，利用二次函数的性质确定最小值；（2）求出()2log 12222x h x x +=-=-，进而确定()()()22h g x g x =-，令()g x a =换元后有()()y h g x =化为22y a =-，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+，问题转化为()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，通过限制二次函数根所在区间得出不等式，求解不等式即可解出实数n 的取值范围.【小问1详解】()()()()2123F x f x mf x m ⎡⎤=--+∈⎣⎦R ，所以()()()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =，因为[]2,4x ∈，则[]1,2t ∈，所以()F x 变为2223y t mt m =--+，函数的对称轴为t m =，当1m £时，函数在[]1,2上单调递增，1t =时，函数有最小值44m -；当12m <<时，函数在[]1,m 上单调递增减，函数在(],2m 上单调递增，t m =时，函数有最小值223m m --+；当2m ≥时，函数在[]1,2上单调递减，2t =时，函数有最小值67m -+.【小问2详解】()()()h x g f x =即()()2log 122220x h x x x +=-=->，所以()22y g x =-，令()g x a =，所以()()y h g x =化为：()220y a a =->，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+；令22243a a na n -=-+，整理有：()242320a n a n -+++=；因为()22xa g x ==-，作出简图如下注意到0a >，可得：当02a <<时，22x a =-有两个根；当2a ≥时，22x a =-有一个根；因为()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦的图象有3个不同的交点，所以()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，则有：()x ϕ为关于a 的二次函数，图象开口向上，对称轴为21a n =+，根据题意有：()()0020ϕϕ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即320520n n +>⎧⎨-+<⎩解得25n >，或()()00200212n ϕϕ⎧>⎪=⎨⎪<+<⎩，即3205201122n n n ⎧⎪+>⎪-+=⎨⎪⎪-<<⎩解得25n =综上所述：25n ³.【点睛】方法点睛：①换元法的应用，注意取值范围；②数形结合的应用.。
2023-2024学年四川省南充市高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【正确答案】B【分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．命题“20,10x x ∃>->”的否定是（）A ．20,10x x ∃≤->B ．20,10x x ∃>-≤C ．20,10x x ∀>-≤D ．20,10x x ∀≤->【正确答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“20,10x x ∃>->”的否定是:20,10x x ∀>-≤.故选：C.3．若a >b ，则下列结论正确的是（）A ．22ac bc >B ．22a b >C ．||||a b >D ．a c b c+>+【正确答案】D【分析】根据不等式的性质以及特殊值确定正确答案.【详解】A 选项，当0c =时，22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，当1,1a b ==-时，22a b =，所以B 选项错误.C 选项，当1,1a b ==-时，a b =，所以C 选项错误.D 选项，由于a b >，所以a c b c +>+，所以D 选项正确.故选：D4．下列各组函数()f x 与()g x 的图象相同的是（）A ．()f x ()g x =B ．()1f x =和0()g x x =C ．2()f x =和,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D ．()1f x x =+和21()1x g x x -=-【正确答案】A【分析】根据函数相等的知识确定正确答案.【详解】A 选项，()f x =和()g x =所以()f x =和()g x =.B 选项，()1f x =的定义域是R ，0()g x x =的定义域是{}|0x x ≠，所以()1f x =和0()g x x =的图象不相同.C 选项，2()f x =的定义域是{}|0x x ≥，,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域是R ，所以2()f x =和,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图象不相同.D 选项，()1f x x =+的定义域是R ，21()1x g x x -=-的定义域是{}|1x x ≠，所以()1f x x =+和21()1x g x x -=-的图象不相同.故选：A5．用二分法求函数3()3f x x =-+的零点可以取的初始区间是（）A ．[]2,1-B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．[]1,2【正确答案】D【分析】首先判断函数的单调性，再计算特殊点的函数值，最后根据零点存在性定理判断即可.【详解】因为3()3f x x =-+在定义域R 上单调递减，且()030f =>，()301132f -==+>，()322350f =-+=-<，即()()120f f ⋅<，所以()f x 在区间[]1,2上存在唯一零点.故选：D6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数1()f x x x=-的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】解：对于函数1()f x x x=-，则函数的定义域为{}|0x x ≠，又y x =在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，所以1()f x x x =-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，又11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以1()f x x x=-为奇函数，函数图象关于原点对称，故符合题意的只有D.故选：D7．设0.440.24,0.4,log 0.03a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<a<cD ．c<a<b【正确答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】00.40.514442=<<=，400.41<<，()20.20.2log 0.03log 0.22>=，所以b a c <<.故选：C8．已知函数25,()68,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩()λ∈R ，若函数f (x )恰有2个零点，则实数λ的取值范围是（）A ．(2,4][5,)⋃+∞B ．()(2,4]5,⋃+∞C ．()(2,4]6,⋃+∞D ．()(3,4]6,⋃+∞【正确答案】B【分析】根据25,68y x y x x =-=-+的图象进行分析，由()f x 的零点个数确定λ的取值范围.【详解】画出函数25,68y x y x x =-=-+的图象如下图所示，依题意25,()68,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩有2个零点，所以实数λ的取值范围是()(2,4]5,⋃+∞.故选：B二、多选题9．命题“[1,2]x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．4a >B ．4a ≥C ．1a >D ．1a ≥【正确答案】CD【分析】先求得原命题是真命题时a 的取值范围，再结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】依题意，命题“[1,2]x ∀∈，20x a -≤”是真命题，所以2a x ≥对任意[]1,2x ∈上恒成立，所以4a ≥，其必要不充分条件是1a >或1a ≥.故选：CD10．若函数()y f x =在区间[],a b 上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中正确的有（）A ．若()()0f a f b >，则一定不存在实数[],c a b ∈，使得()0f c =B ．若()()0f a f b >，则可能存在实数[],c a b ∈，使得()0f c =C ．若()()0f a f b <，则一定存在实数[],c a b ∈，使得()0f c =D ．若()()0f a f b <，则存在且只存在一个实数[],c a b ∈，使得()0f c =【正确答案】BC【分析】构造特殊函数即可判断A 、B 、D ，根据零点存在性定理判断C.【详解】解：令()21f x x =-，区间取为[]22-,，满足()()220f f ->，但是()f x 在[]22-,内存在两个零点1-，1，故A 错误，B 正确；令()sin f x x =，区间取为π19π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足π19π111066224f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，但是()f x 在π19π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在三个零点π，2π，3π，故D 错误；根据函数零点存在定理可知C 正确．故选：BC11．若正实数m 、n ，满足1m n +=，则以下选项正确的有（）A ．mn 的最大值为14B ．22m n +的最小值为12C ．44m n +的最小值为4D ．2212m n +++的最小值为2【正确答案】ABC【分析】根据基本不等式求得正确答案.【详解】A 选项，2124m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时等号成立，所以A 选项正确；B 选项，2221222m n m n +⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时等号成立，所以B 选项正确；C 选项，444m n +≥==，，当且仅当12m n ==时等号成立，所以C 选项正确；D 选项，()222211212124m n m n m n ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭()()2221114424124n m m n ⎡++⎡⎤=++≥+=⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣,但()()2221,2112n m n m m n ++=+=+++，1n m +=，与已知,m n 为正数，且1m n +=矛盾，所以等号不成立，D 选项错误.故选：ABC12．已知()221,0ln ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在1234x x x x <<<，使得()()()()1234f x f x f x f x m ====，则下列结论正确的有（）A ．实数m 的取值范围为(]0,1B ．12x x 的最大值为1C ．341x x =D ．1234x x x x +++取值范围为()0,∞+【正确答案】ACD【分析】作出函数()f x 的图象，利用()y f x =和y m =的图象有4个交点解出m 的范围判断A ，根据12,x x 是方程221x x m ++=的两根判断B ，根据34,x x 是方程ln x m =的两个根结合对数的运算性质判断C ，利用34331x x x x+=+及对勾函数的单调性判断D.【详解】根据题意作出()f x 的图象如下：由图象可知当01m <≤时函数()f x 的图象与y m =有4个交点，即存在1234x x x x <<<，使得()()()()1234f x f x f x f x m ====，且121x -≤<-，210x -<≤，311ex ≤<，41e x <≤，选项A 正确；因为12,x x 是方程221x x m ++=，即2210x x m ++-=的两根，所以根据韦达定理得121x x m =-，结合01m <≤可得12x x 不存在最大值，B 错误；因为34,x x 是方程ln x m =的两个根，且311ex ≤<，41e x <≤，所以34ln ln x x =，即34ln ln x x -=，所以3434ln ln ln 0x x x x +==，解得341x x =，C 正确；由12,x x 是方程2210x x m ++-=的两根可得122x x +=-，因为341x x =，311ex ≤<，所以34331x x x x +=+，令()1g x x x =+，11e x ≤<,由对勾函数的性质可得()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()2g x >，即342x x +>，所以12340x x x x ++>+，D 正确；故选：ACD三、填空题13．若{}|12A x x =>，{}|6B x x =<，全集R I =，则()I A B ð=______.【正确答案】{}|612x x ≤≤【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】因为{}|12A x x =>，{}|6B x x =<，所以{|6A B x x =< 或12}x >，所以(){}|612I A B x x =≤≤ ð.故{}|612x x ≤≤14．函数1()log(2)1f x x x =++-的定义域是______.【正确答案】()()2,11,-⋃+∞【分析】根据分母不为零，对数的真数大于零得到不等式组，解得即可.【详解】因为1()log(2)1f x x x =++-，所以1020x x -≠⎧⎨+>⎩，解得2<<1x -或1x >，所以函数1()log(2)1f x x x =++-的定义域为()()2,11,-⋃+∞.故()()2,11,-⋃+∞15．幂函数y=xa ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=xa ，y=xb 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么ab=______.【正确答案】1【分析】求得,M N 的坐标，进而求得,a b ，从而求得ab .【详解】依题意，BM MN NA ==，所以,M N 是线段AB 的三等分点，而()()1,0,0,1A B ，所以1221,,3333M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1221,3333ab⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，121233332121log ,log ,log log 13333a b ab ===⋅=.故116．“大胆猜想，小心求证”是科学研究发现的重要思路.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测“固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是抛物线”，直到17世纪，瑞典数学家雅各布.伯努利提出该曲线为“悬链线”而非抛物线并向数学界征求答案.其中双曲余弦函数cosh x 就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为e e cosh 2x xx -+=，对应的双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=.设函数sinh ()cosh =x f x x ，若实数满足不等式2(2)(3>)0f m f m +-，则m 的取值范围是______.【正确答案】()(),31,-∞-⋃+∞【分析】根据函数()f x 的单调性、奇偶性化简不等式2(2)(3>)0f m f m +-，从而求得m 的取值范围.【详解】依题意()e e e ex xx x f x ---=+，()f x 的定义域是R ，()()e e e ex xx x f x f x ----==-+，所以()f x 是奇函数，()22222e e e 1e 1221e e e 1e 1e 1x x x x x x x x x f x ----+-====-++++，所以()f x 在R 上递增，所以，由2(2)(3>)0f m f m +-得()22(2)(3)3f m f m f m >--=-，则()()2223,23310m m m m m m >-+-=+->，解得3m <-或1m >，所以m 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞.故()(),31,-∞-⋃+∞四、解答题17．计算：(1)1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭(2)2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+.【正确答案】(1)94(2)1【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则及根式的性质计算可得；（2）根据对数的运算法则计算可得.【详解】（1）解：1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭1132233223-⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ =⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123223323232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭33992244-+==.（2）解：2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+()lg 2lg5lg 2lg5=++()lg 2lg5lg 25=+⋅⨯()lg 2lg5lg 251=+=⨯=.18．在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充分必要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的m 存在，求m 的取值集合M ，若问题中的m 不存在，说明理由.问题：已知集合2{|90}A x x x =-≤，集合{|22}()>0B x m x m m =-≤≤+，是否存在实数m ，使得x A ∈是x B ∈成立的______？【正确答案】答案详见解析【分析】根据充分、必要条件的知识列不等式，由此确定正确答案.【详解】()2990x x x x -=-≤，解得09x ≤≤，所以[]0,9A =.集合{|22}()>0B x m x m m =-≤≤+是非空集合.若选①充分不必要条件：则2029m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得7m ≥，所以存在7m ≥，使得x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件.若选②必要不充分条件：则20290m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得02m <≤，所以存在02m <≤，使得x A ∈是x B ∈成立的必要不充分条件.若选③充分必要条件：则2029m m -=⎧⎨+=⎩，无解，所以不存在m 使得x A ∈是x B ∈成立的充分必要条件.19．已知函数2()0>()x f x k x k=+.(1)若不等式()0f x m ->的解集为{|2x x <-或}1x >-，若不等式20mx x km ++>的解集；(2)若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()13f x >成立，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)()1,2(2)9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据不等式()0f x m ->的解集求得,m k ，进而求得不等式20mx x km ++>的解集.（2）利用分离常数法化简不等式()13f x >，结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）不等式()0f x m ->，即20x m x k ->+，由于0k >，所以()22,0x m x k mx x mk >+-+<，其解集为{|2x x <-或}1x >-，所以0m <，且()()()12121m mk k m ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-==⎪⎩，解得1,23m k =-=，所以不等式20mx x km ++>即212033x x -+->，即2320x x -+<，解得12x <<，所以不等式20mx x km ++>的解集为()1,2.（2）依题意，1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()13f x >成立，1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得213x x k >+成立，由于0k >，所以223,3x x k k x x >+<-+，由于函数23y x x =-+的开口向下，对称轴为32x =，所以23393224k ⎛⎫<-+⨯= ⎪⎝⎭，即k 的取值范围是9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.20．流感是由流感病毒引起的一种急性呼吸道传染病，冬天空气干燥、寒冷，大多数人喜欢待在较为密闭的空间里，而这样的空间空气流通性不强，有利于流感病毒的传播.为了预防流感，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：小时）成正比例；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为132t ay+⎛⎫= ⎪⎝⎭（a为常数），如图所示(1)求从药物释放开始，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：小时）的函数关系式；(2)实验表明，当室内每立方米空气中药物含量不超过0.125毫克时对人体无害，求从药物释放开始，同学们至少要经过多少分钟方可进入教室.【正确答案】(1)1212,0211,322tt tyt-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪>⎪⎪⎝⎭⎩(2)至少要经过66分钟方可进入教室【分析】（1）当12t≤≤时，设y kt=()0k≠，代入点1,12⎛⎫⎪⎝⎭求出k，再将点1,12⎛⎫⎪⎝⎭代入132t ay+⎛⎫= ⎪⎝⎭求出参数a的值，即可得解；（2）令125120.123t-⎛≤⎫⎪⎝⎭，根据指数函数的性质求出t的取值范围，即可得解.【详解】（1）解：当12t≤≤时，设y kt=()0k≠，则112k=，解得2k=，所以2y t=，把点1,12⎛⎫⎪⎝⎭代入132t ay+⎛⎫= ⎪⎝⎭得121132a⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a=-，所以12132t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以1212,0211,322t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）解：由题意显然在药物释放的时候学生不能进入教室，则令125120.123t -⎛≤⎫ ⎪⎝⎭，即31521212t ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎫⎛⎛⎫≤ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪，即1532t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得1110t ≥（小时），即11606610t ≥⨯=（分），所以同学们至少要经过66分钟方可进入教室.21．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.(1)若3()(1)32f x x x =+--.①求此函数图象的对称中心；②求()()()()2022202320242025f f f f ++-+-的值；(2)类比上述推广结论，写出“函数y =f (x )的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y =f (x )为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.【正确答案】(1)①()1,1-；②4(2)答案详见解析【分析】（1）根据题目所给推广知识求得()f x 的对称中心并由此求得()()()()2022202320242025f f f f ++-+-的值.（2）结合函数奇偶性、对称性等知识写出推广结论.【详解】（1）①，()()33()(1)321311f x x x x x =+--=+-++，而()()3113F x f x x x =--=-满足()()33F x x x F x -=-+=-，即()F x 为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,1-中心对称.②，由①得()()112f x f x --+-+=，即()()22f x f x +--=，所以()()()()2022202320242025f f f f ++-+-()()()()2022202420232025224f f f f =+-++-=+=.（2）“函数y =f (x )的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y =f (x )为偶函数”，类比已知条件可得，一个一个推广结论为：函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数.（答案不唯一）22．已知函数121()log 1x f x x +=-.(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)若关于x 的方程2)()log (f x k x =+在()3,1--内有实根，求实数k 的取值范围；(3)已知函数11()42x xg x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，若对1[0,1]x ∀∈，2[2,3]x ∃∈，使得12()()g x f x ≤成立，求实数m 的最小值.【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)2k ≥+(3)3m ≥【分析】（1）利用奇函数的定义，计算函数的单调性，证明()()f x f x -=-，可得答案；（2）利用对数运算的性质，化简方程，将问题转化为二次方程在定区间上有根问题，利用二次函数的性质，以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；（3）利用函数解析式，明确函数的单调性，求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.【详解】（1）奇函数，理由如下：由函数()121log 1x f x x +=-，令101x x +>-，整理可得()()110+->x x ，解得1x <-或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，由()()1111122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x --+-++⎛⎫-====-=- ⎪--+--⎝⎭，则函数()f x 为奇函数.（2）由方程()()2log f x k x =+在()3,1--内有实数根，则0k x +>在()3,1--内恒成立，由函数y x k =+在()3,1--上单调递增，则30k ->，解得3k >，将函数()121log 1x f x x +=-代入方程()()2log f x k x =+，整理可得()1221log log 1x k x x +=+-，()1221log log 1x k x x -+=+-，()221log log 1x k x x +-=+-，()1221log log 1x k x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，11x k x x -=++，化简可得210x kx k +++=，则问题等价于方程210x kx k +++=在()3,1--上有实数根，令0∆≥，2440k k --≥，解得2k ≤-2k ≥+3k >，则2k ≥+令()21h x x kx k =+++，其对称轴为12k x =-≤-()()31h h -<-，当32k ->-，k 6<时，()0210k h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪->⎩，则221042110k k k k k ⎧-++≤⎪⎨⎪-++>⎩，解得2k ≤-2k ≥+故62k >≥+；当32k -≤-，6k ≥时，()()3010h h ⎧-<⎪⎨->⎪⎩，则9310110k k k k -++<⎧⎨-++>⎩，解得5k >，故6k ≤；综上可得，2k ≥+（3）由函数()1142x x g x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内单调递减，则()g x 在[]0,1上单调递减，即()()max 02g x g m ==-，由函数()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，易知函数211y x =+-在[]2,3上单调递减，函数12log y x =在其定义域上单调递减，则()f x 在[]2,3上单调递增，即()()1max 2313log 131f x f +===--，由题意，可得21m -≤-，解得3m ≥.。
2021-2022学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0<x ≤3}，则A ∩B =( )A. {x|−1≤x <0}B. {x|−1≤x ≤0}C. {x|0<x <2}D. {x|0<x ≤2}2. 40°角的弧度数为( ) A. 40 B. 2π9 C. 4π9 D. 7200π3. 若(12)2a+1>(12)4−a ，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (3,+∞)D. (−∞,3)4. 半径为2且周长为6的扇形面积为( )A. 6B. 4C. 2D. 15. 下列各图中，可表示函数y =f(x)的图象的是( )A. ．B. ．C. D.6. 设函数f(x)={e x +2,x <3log 2(x 2−5),x ≥3，则f(f(0))的值为( ) A. 2 B. 3 C. e 3−1 D. e 2−17. 下列函数为奇函数的是( )A. y =3xB. y =cos5xC. y =2x +2−xD. y =2x −2−x8. 已知a =0.52.1，b =20.5，c =0.22.1，则a 、b 、c 的大小关系是( )A. a <c <bB. b >a >cC. b <a <cD. c >a >b 9. 已知函数f(x)=6x −log 2x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)10.若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为()A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 无法确定11.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f(x)=10lg(100x)(dB).听力会受到严重影响的声音约为90dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的()倍．A. 103B. 11000C. 3 D. 3212.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x−1)是定义在R上的奇函数，则f(2022)+f(2020)的值为()A. 0B. 1C. −1D. 无法计算二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.tan405°=______．14.函数f(x)=kx−1(k>0)在[4,5]上的最大值为1，则k的值为______．15.函数y=log a(x−1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过一定点是______．16.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是减函数，若f(m2)+f(−3−2m)>f(0)，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=1x2−4．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性，并用定义加以证明．18.设角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P(35,a5)，且tanα=−43．(1)求a及sinα，cosα的值；(2)求sin(π−α)cosα+cos2(π+α)1+tan(π+α)的值．19.今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元：生产B芯片的净收入y(千万元)是关于投入的资金x(千万元)的幂函数，其图象如图所示．(1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式；(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片．设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金．(利润=A芯片净收入+B芯片净收入−研发耗费资金))20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象，如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度，再将得到3，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈的图象上各点的横坐标缩短为原来的12]时，求函数g(x)的值域．[0,π321.已知f(x)是二次函数，其两个零点分别为−3、1，且f(0)=−3．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)=f(x)+kx+5，x∈[−1,2]，g(x)的最小值为ℎ(k)，若方程ℎ(√t−4)=λ有两个不等的实数根，求λ的取值范围．22.设全集为R，集合A={x|a−1<x<2a+1}，B={x|0<x<1}．(1)若a=1，求A∩(∁R B)；2(2)若集合A不是空集，且A∩B=⌀，求实数a的取值范围．23.计算：(1)(27)12−(2√3−π)0+0.25−32；9(2)2log24+4log21−lg3⋅log32−lg5．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0<x ≤3}，所以A ∩B ={x|0<x ≤2}．故选：D ．利用集合交集的定义，即两个集合公共元素所组成的集合进行分析求解，即可得到答案． 本题考查了集合交集及其运算，解题的关键是熟练掌握集合交集的定义，即两个集合公共元素所组成的集合．2.【答案】B【解析】解：依题意，40°角的弧度数为40×π180=2π9．故选：B ．利用角度制与弧度制的互化即可求解．本题考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若(12)2a+1>(12)4−a ，则2a +1<4−a ，求得a <1，故实数a 的取值范围为(−∞,1)，故选：A ．由题意利用指数函数的单调性，解指数不等式，求得实数a 的取值范围．本题主要考查指数函数的单调性，解指数不等式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设扇形的半径为R ，扇形的弧长为L ，则R =2，L +2R =6，所以解得扇形的弧长L 为：2，可得扇形的面积为：S =12×2×2=2．故选：C ．设出扇形的半径，扇形的弧长，利用周长公式，求出弧长，然后即可求出扇形的面积． 本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．5.【答案】B【解析】解：A 中，存在一个x ，有两个y 对应的情况，不满足函数的定义． B 中每一个x 都有唯一的一个y 与x 对应，满足函数的定义，C .当x =0时，有两个y 值与x =0对应，不满足条件．D .存在一个x ，有两个y 对应的情况，不满足函数的定义．故选：B ．根据函数的定义分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)={e x +2,x <3log 2(x 2−5),x ≥3，则f(0)=e 0+2=3， 则f(f(0))=f(3)=log 24=2，故选：A ．根据题意，先求出f(0)的值，再计算可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：A.函数为增函数，不是奇函数，不满足条件．B .f(−x)=cos(−5x)=cos5x =f(x)，函数为偶函数，不满足条件，C .f(−x)=2−x +2−x =2x +2−x =f(x)，f(x)是偶函数，不满足条件．D .f(−x)=2−x −2−x =−(2x −2−x )=−f(x)，f(x)是奇函数，满足条件， 故选：D ．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】B【解析】解：a =0.52.1∈(0,1)，b =20.5>1，c =0.22.1，∵y =x 2.1为增函数，∴0.52.1>0.22.1，∴a >c ，∴b >a >c ．故选：B ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=6x −log 2x ，在其定义域上连续，f(4)=32−2<0， f(2)=3−1>0；故函数f(x)的零点在区间(2,4)上，故选：C ．【分析】函数f(x)在其定义域上连续，同时可判断f(4)<0，f(2)>0；从而判断．本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：∵(sinα+cosα)2=125，∴2sinαcosα=−2425，∵α是三角形的一个内角，则sinα>0，∴cosα<0，∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．故选A．把所给的等式两边平方，得2sinαcosα<0，在三角形中，只能cosα<0，只有钝角cosα< 0，故α为钝角，三角形形状得判．把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的实际运用，考查对数方程的解法，是基础题．设听力会受到严重影响的声音强度和室内正常交谈的声音强度分别为x1,x2，将(x1,90)和(x2,60)代入f(x)=10lg(100x)，求得x1,x2可得结果．【解答】解：设听力会受到严重影响的声音强度和室内正常交谈的声音强度分别为x1,x2，∵听力会受到严重影响的声音约为90dB，∴10lg(100x1)=90，得x1=107，∵室内正常交谈的声音约为60dB，∴10lg(100x2)=60，得x2=104，∴x1x2=107104=103，则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的103倍.故选：A．12.【答案】A【解析】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(−x)=f(x)，因为f(x−1)是定义在R上的奇函数，所以f(−x−1)=−f(x−1)，所以f(x+1)=f[−(x+1)]=f(−x−1)=−f(x−1)，即f(x+1)+f(x−1)=0，则f(2022)+f(2020)=f(2021+1)+f(2021−1)=0．故选：A．根据函数奇偶性的关系进行转化，即可得到结论．本题主要考查函数值的求解，根据函数奇偶性的关系是解决本题的关键．属于基础题．13.【答案】1【解析】解：tan405°=tan(360°+45°)=tan45°=1．故答案为：1．利用诱导公式，即可得解．本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：∵函数f(x)=kx−1(k>0)在[4,5]上为减函数，∴f(x)max=f(4)=k4−1=k3=1，∴k=3，故答案为：3．利用函数f(x)=kx−1(k>0)在[4,5]上的单调性，结合题意可求得答案．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．15.【答案】(2,2)【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到函数y=log a(x−1)+2(a>0,a≠1)的图象．又∵函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点由平移向量公式，易得函数y=log a(x−1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过(2,2)点故答案为：(2,2)本题考查的对数函数图象的性质，由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．函数y=log a(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象恒过(1−m,n)点；函数y=a x+m+n(a>0,a≠1)的图象恒过(−m,1+n)点；16.【答案】(−1,3)【解析】解：∵定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是减函数，∴f(x)在R上是减函数，且f(0)=0，∴f(m2)+f(−3−2m)>f(0)=0⇔f(m2)>−f(−3−2m)=f(3+2m)⇔m2< 2m+3，解得：−1<m<3．故答案为：(−1,3)．利用奇函数的性质，可得f(x)在R上是减函数，且f(0)=0，f(m2)+f(−3−2m)>f(0)可等价转化为m2<2m+3，解之即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)要使函数有意义，当且仅当x2−4≠0．由x2−4≠0得x≠±2，所以，函数f(x)=1x2−4的定义域为{x∈R|x≠±2}．(2)函数f(x)=1x2−4在(2,+∞)上单调递减．证明：任取x1，x2∈(2,+∞)，设x1<x2，则Δx=x2−x1>0，Δy=y2−y1=1x22−4−1x12−4=(x1−x2)(x1+x2)(x12−4)(x22−4)．∵x1>2，x2>2，∴x12−4>0，x22−4>0，x1+x2>0又x1<x2，所以x1−x2<0，故Δy<0，即y2<y1，因此，函数f(x)=1x2−4在(2,+∞)上单调递减．【解析】(1)要使函数有意义，当且仅当x2−4≠0，解不等式可求函数定义域；(2)任取x1，x2∈(2,+∞)，x1<x2，然后利用作差法比较函数值大小即可判断函数的单调性．本题主要考查了函数定义域的求解及函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意可得，tanα=yx =a 535=a 3=−43，∴a =−4．又点P ，即P(35,−45)，∴|OP|=1，∴sinα=y =−45，cosα=x =35． (2)原式=sin(π−α)cosα+cos 2(π+α)1+tan(π+α)=sinαcosα+cos 2α1+tanα=cosα(sinα+cosα)cosα+sinαcosα=cos 2α=925．【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论． (2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求出式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．19.【答案】解：(1)设芯片的净收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y =kx ，∵已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元， ∴k =0.25， 故y =0.25x ，生产B 芯片的净收入y(千万元)是关于投入的资金x(千万元)的幂函数关系式为y =x α， 由图象可知，y =x α 的图象过点(4,2)，即2=4α，解得α=12， 故所求函数的关系式为y =x 12．(2)由题意可知，f(x)=0.25(40−x)+x 12−2=x 12−0.25x +8=−0.25(x 12−2)2+9， 故当x 12=2，即x =4时，f(x)有最大值9，故公司最大利润为9千万元，此时生产B 芯片投入的资金为4千万元．【解析】(1)根据已知条件，分别设出正比例函数，以及幂函数，通过代入对应点的坐标，即可求解．(2)由题意可知，f(x)=0.25(40−x)+x 12−2=x 12−0.25x +8=−0.25(x 12−2)2+9，再结合二次函数的性质，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查数形结合的能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象， 可得A =√3，12⋅2πω=5π6−π3=π2，所以ω=2，再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π， 所以φ=π3，故f(x)=√3sin(2x +π3)． (2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，可得y =√3sin[2(x −π3)x +π3]=√3sin(2x −π3)的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变， 得到函数g(x)=√3sin(4x −π3)的图象， 由x ∈[0,π3]，可得4x −π3∈[−π3,π]，由于函数g(x)在[0,5π24]上单调递增，在[5π24,π3]单调递减， g(0)=−32，g(5π24)=√3，g(π3)=0 所以，g(x)=√3sin(4x −π3)∈[−32,√3] 所以，函数g(x)在[0,π3]的值域为[−32,√3]．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得函数g(x)的值域．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)是二次函数，其两个零点分别为−3、1，∴设f(x)=a(x +3)(x −1)(a ≠0)，∵f(0)=−3a =−3⇒a =1，∴函数f(x)的解析式为(x)=(x +3)(x −1)=x 2+2x −3；(2)∵g(x)=f(x)+kx +5=x 2+(k +2)x +2(−1≤x ≤2)，其对称轴方程为x =−k+22，①若−k+22≤−1，即k ≥0时，g(x)在[−1,2]上单调递增，g(x)min =g(−1)=1−k ；(2)若−1<−k+22<2，即−6<k <0时，g(x)min =g(−k+22)=2−(k+22)2， ③若−k+22≥2，即k ≤−6时，g(x)在[−1,2]上单调递减，g(x)min =g(2)=10+2k ，∵g(x)的最小值为ℎ(k)，∴ℎ(x)={10+2k,k ≤−62−k 2+4k+44,−6<k <01−k,k ≥0，∵√t −4≥−4，令s =√t −4，则s ≥−4y =ℎ(s)={2−s 2+4s+44,−4≤s <01−S,s ≥0，作图如下：由图可知，若方程ℎ(√t −4)=λ有两个不等的根，则1≤λ<2， 即λ的取值范围为[1,2)．【解析】(1)根据已知设出二次函数的解析式为f(x)=a(x +3)(x −1)，然后根据由已知求出a 的值，由此即可求解；(2)求出g(x)的解析式以及对称轴方程，然后讨论对称轴与区间端点的三个位置关系，再结合二次函数的性质即可求出ℎ(k)的解析式，然后令s =√t −4，然后利用换元法画出函数ℎ(s)的图象，利用数形结合即可求解．本题考查了二次函数的图象性质，涉及到分类讨论思想的应用以及求解二次函数解析式的问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =12时，A ={x|−12<x <2}，B ={x|0<x <1}，C R B ={x|x ≤0，或x ≥1}，∴A ∩C R B ={x|−12<x <2}∩{x|x ≤0，或x ≥1}={x|−12<x ≤0或1≤x <2}． (2)∵A ≠⌀，∴a −1<2a +1，解得a >−2． ∵A ∩B =⌀，∴a −1≥1或2a +1≤0， 解得：a ≤−12或a ≥2，综上：{a|−2<a ≤−12或a ≥2}．【解析】(1)当a =12时，求出集合A ，C R B ={x|x ≤0，或x ≥1}，由此能求出A ∩(∁R B)； (2)由A ≠⌀，解得a >−2，由A ∩B =⌀，解得：a ≤−12或a ≥2，由此能求出结果． 本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：(1)原式=(259)12−1+(14)−32=[(53)2]12−1+[(2)−2]−32=53−1+8=263．(2)原式=4+40−lg3⋅lg2lg3−lg5=4+1−(lg2+lg5)=4．【解析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解． (2)利用对数的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．。
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4 页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿 纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用23铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第I 卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合A = {-1,0,1}, 3 = {0,1,2},则（ ）A. {—1,1,2}B. {0,1}C. -1,0,1,2D.{-1,0,2}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合A = {-1,0,1}, 3 = {0,1,2}, 则 4U3= -1,0,1,2 . 故选：C【点睛】此题考査集合的并集运算，根据给立集合直接写岀并集，属于简单题.2. log, 6-log, 3=（ ） A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：Iog26 — log2 3 = log2 2 = l. 故选：D【点睛】此题考査对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.四川省南充市2021-2022高一数学上学期期末考试试（含解析）3.tan 225° =()A. 1 B・-1 C・y/2D・一JJ 【答案】A【解析】【分析】处理tan 225° = tan (180°+45°) = tan 45° 即可得解.【详解】由题：tan225° = tan(180°+45°) = tan45° = 1.故选：A【点睛】此题考査求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4•若函数/(x) = VTT3 + —,则/(-1)=( )x + 2A. ^2-1B. ^2 + 1C. y/3-1D. VJ+1 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数+.X I 2— 1 + 2故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式il•算即可.5•若角&的终边经过点P(6,8),则sina=( )A.D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角&的终边经过点P(68),. 8 8 4mil sin a = •才 =—=—io 5-故选：A【点睛】此题考査根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法,12 3T =八=2龙则/(x)的最小正周期一丄一2故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致岀错.7.已知/(X)是偶函数，且在区间(—8,0］上单调递减,则满足/(3x + 1) v / j的实数x的取值范围是()【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得/(X)在(0,+s)上单调递增，从而可得一］V 3x + 1 V ］,解不等式即可.2 2【详解】解析：由/(A )是偶函数且在(-。
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{3}$B. $\pi$C. $\frac{2}{3}$D. $\sqrt{5}$2. 已知$a^2 + b^2 = 1$，则下列各式中，正确的是（）A. $a + b = 1$B. $a - b = 1$C. $ab = 1$D. $a^2 - b^2 = 1$3. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. $y = \sqrt{x}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = \log_2 x$D. $y = |x|$4. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则$f(-1)$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列各式中，能表示直线$2x + 3y - 6 = 0$的是（）A. $y = -\frac{2}{3}x + 2$B. $y = \frac{2}{3}x - 2$C. $y = \frac{3}{2}x + 2$D. $y = -\frac{3}{2}x - 2$二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知$a + b = 3$，$ab = 2$，则$a^2 + b^2$的值为________。
7. 函数$f(x) = 2x - 1$在$x = 2$时的函数值为________。
8. 在直角坐标系中，点$(3, -2)$关于原点的对称点坐标为________。
9. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项为4，第六项为12，则该数列的公差为________。
10. 二项式$(x + 1)^5$展开式中$x^3$的系数为________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程：（1）$2x^2 - 5x + 2 = 0$（2）$x^2 - 4x + 4 = 0$12. 已知函数$f(x) = -2x^2 + 3x + 1$，求：（1）函数的对称轴（2）函数的顶点坐标13. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足$a^2 + b^2 = c^2$，求证：三角形ABC是直角三角形。
2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5} B．{1，2，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5}2．计算：lg2+lg5=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定5．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．6．已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）A．（﹣1，5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+18．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位9．已知tanα=2，则=（）A．2 B．3 C．4 D．610．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．912．如图，在四边形ABCD中， ++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是．14．已知cos（﹣α）=，则cos（+α）= ．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）= ．16．有下列叙述：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f（a•b）=f （a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；以上叙述正确的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．18．已知向量=3﹣3， =4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（Ⅰ）•和|+|的值；（Ⅱ）与夹角的余弦值．19．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．20．函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求A，ω；（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．21．已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]22．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）[选修题]23．（2015秋•南充期末）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin （ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．[选修题]24．（2015秋•南充期末）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5} B．{1，2，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，5}，∴A∩B={2，3}，故选： C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．计算：lg2+lg5=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：lg2+lg5=lg10=1．故选：D．【点评】本题考查对数运算法则的应用，基本知识的考查．3．已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数性质求解．【解答】解：∵f（x）=+，∴f（﹣3）==﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．5．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】利用三角函数定义求解．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r==5，∴sinα==﹣．故选：A．【点评】本题考查三角函数值求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数定义的合理运用．6．已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）A．（﹣1，5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量的加法运算法则求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（﹣1，5）．故选：A．【点评】本题考查向量的加法运算法则的应用，是基础题．7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．8．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．9．已知tanα=2，则=（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】由已知及同角三角函数基本关系的运用即可化简求值．【解答】解：∵tanα=2，∴===4．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系的运用，比较基础．10．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】奇函数；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．12．如图，在四边形ABCD中， ++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】压轴题．【分析】先根据++=4，•+•=4，求出+=2，，再由•=•=0，确定∥，再由向量的点乘运算可解决．【解答】解：∵++=4，•+•=4，∴+=2，，由已知•=•=0，知⊥⊥，∴∥，作如图辅助线∴=+=，即三角形AEC是等腰直角三角形，∠CAE=45°|，∴（+）•=||cos∠CAE=2×=4，故选C．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．注意向量点乘为0时两向量互相垂直．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是y=x2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】设出幂函数y=f（x）的解析式，把点（2，4）代人解析式，即可求出函数的解析式．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象经过点（2，4），所以2α=4，解得α=2；所以这个函数的解析式是y=x2．故答案为：y=x2．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题，是基础题目．14．已知cos（﹣α）=，则cos（+α）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（+α）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）= 0 ．【考点】函数的周期性．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系将函数值进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），则函数的周期是6，则f（9）=f（9﹣6）=f（3）=﹣f（0），∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0，则f（9）=﹣f（0）=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．16．有下列叙述：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f（a•b）=f （a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；以上叙述正确的序号是①③⑤．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；平面向量及应用；简易逻辑．【分析】①根据向量平行的坐标公式进行求解判断．②根据角的终边的性质进行判断．③根据抽象函数的定义和奇偶性的定义进行判断．④根据三角函数的性质进行判断．⑤根据平面向量的基本定理进行判断．【解答】解：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则﹣2k﹣6=0得k=﹣3，故①正确；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}，故②错误；③令a=2，b=1，则f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，令a=﹣1，b=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，则f（﹣1）=0，令b=﹣1，代入上式，∴f（﹣a）=f（﹣1）+f（a）=f（a），∴f（x）是偶函数．故③正确；④函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④错误；⑤由已知条件知： ==x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy；∴（x+y）2﹣1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故⑤正确，故答案为：①③⑤【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及平面向量的基本内容以及三角函数，函数奇偶性的判断，涉及的知识点较多，综合性较强．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据幂的运算法则进行化简、计算即可；（Ⅱ）由分母不为0，列出不等式求出解集即可，再计算g（2）与f（g（2））的值．【解答】解：（Ⅰ）﹣（）0+25=﹣4﹣1+5=0；（Ⅱ）∵函数f（x）=，∴x+1≠0，解得x≠﹣1，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；又g（x）=x2+2，∴g（2）=22+2=6，∴f（g（2））=f（6）==．【点评】本题考查了根式与幂的运算法则的应用问题，也考查了求函数的定义域和计算函数值的应用问题，是基础题18．已知向量=3﹣3， =4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（Ⅰ）•和|+|的值；（Ⅱ）与夹角的余弦值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件可以求出向量的坐标，进行数量积的坐标运算求出，求出的坐标，从而可以得出的值；（Ⅱ）根据的坐标可以求出的值，从而根据向量夹角的余弦的计算公式即可求出的值．【解答】解：∵；∴；（Ⅰ）；；∴；（Ⅱ），；∴=．【点评】考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，向量数量积的坐标运算，以及根据向量的坐标可求向量的长度，向量夹角余弦的计算公式．19．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．【考点】函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间．【专题】函数的性质及应用．【分析】（I）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，根据奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），求出b的值，从而求出函数f（x）的解析式；（II）可以设0＜x1＜x2＜1，根据定义法判断f（x2）﹣f（x1）与0的大小关系，从而进行证明；【解答】解：（ I）∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）…（2分）故，所以b=0，…（4分）所以．…（5分）（ II）设0＜x1＜x2＜1，△x=x2﹣x1＞0，…（6分）则△y=f（x2）﹣f（x1）==…（8分）∵0＜x1＜x2＜1，∴△x=x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0…（10分）∴而，∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0…（11分）∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）【点评】此题主要考查奇函数的性质及其应用，利用定义法求证函数的单调性，解题的关键是会化简，此题是一道基础题；20．函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求A，ω；（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据函数的最值以及对称轴之间的关系即可求A，ω；（Ⅱ）求出函数f（x）的解析式，解方程f（）=2即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期为T=π，即=π，得ω=2，则A=2，ω=2．（Ⅱ）∵A=2，ω=2．∴f（x）=2sin（2x﹣）+1则f（）=2sin（α﹣）+1=2，即sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，即α=．【点评】本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出A，ω的值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理了能力．21．已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可．（2）根据对数函数的单调性和二次函数的性质进行求值．【解答】解：（1）设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）=0，解得a=1，∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．（2）∵x∈，∴log，设t=log，则t∈[﹣1，3]，则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t=2即x=时，函数y有最小值﹣4，当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质以及对数函数的基本运算，利用换元法将条件转化为二次函数是解决本题的关键．请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]22．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，根据条件即可写出水中杂质含量y与过滤次数x 之间的函数关系式；（Ⅱ）建立不等式关系，利用取对数法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y=1﹣20%，第2次过滤后，y=（1﹣20%）（1﹣20%）=（1﹣20%）2，第3次过滤后，y=（1﹣20%）2（1﹣20%）=（1﹣20%）3，…第x次过滤后，y=（1﹣20%）x=0.8x，．∴水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；y=（1﹣20%）x=0.8x，（x≥1且x∈N）．（Ⅱ）由题意列式0.8x＜5%，两边取对数得x＞log0.80.05===≈13.4．故x≥14．∴至少需要过滤14次．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系以及利用对数法是解决本题的关键．[选修题]23．（2015秋•南充期末）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin （ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【专题】计算题；数形结合；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30℃﹣10℃=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期，∴=14﹣6，解得ω=，由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，这时，y=10sin（x+φ）+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=，综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）+b的部分图象确定其解析式的基本方法．[选修题]24．（2015秋•南充期末）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB﹣2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以，即．又AD=x，AB=4，所以．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函数为y=﹣+2x+8（0＜x）．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题．射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．。
四川省南充市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={2,4，5}，B ={3,5，7}，则A ∪B =( )A. {5}B. {2,4，5}C. {3,5，7}D. {2,3，4，5，7}2. log 69+log 64=( ) A. log 62 B. 2 C. log 63 D. 33. 求值：tan210°=( ) A. √33 B. −√33 C. √3 D. −√34. 已知函数f(x)满足f(3x +1)=2x −3，则f(4)为( )A. −1B. 5C. 1D. −55. 已知角α的终边经过点P(4,−3),则2sinα+cosα的值等于( ) A. −35 B. 45 C. 25 D. −25 6. 函数的最小正周期是( ) A. 4π B. 2π C. π D. π2 7. 已知函数f(x)为定义在[−3,t −2]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，则满足f(−x 2+2x −3)<f(x 2+t5)的x 的取值范围( ) A. (1,+∞) B. (0,1] C. (1,√2] D. [0,√2]8. 为了得到函数y =sin(2x +1)的图象，只需把函数y =sin2x 的图像上所有的点( )A. 向左平行移动12个单位长度B. 向右平行移动12个单位长度 C. 向左平行移动1个单位长度D. 向右平行移动1个单位长度 9. 已知tanα=2，则sinαcosα=( ) A. −23 B. 25 C. −45 D. 45 10. 若2x −2y <3−x −3−y ，则( )A. ln (y −x +1)>0B. ln (y −x +1)<0C. ln |x −y|>0D. ln |x −y|<011. 函数的最大值是3，则它的最小值是( )A. 0B. 1C. −1D. 与a 有关12. 已知函数f(x)={log 5(1−x)(x <1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f(x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，则f(−1)的值为______．14. 若1+sinx cosx =2，则1−sinx cosx =______．15. 已知偶函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x −2)=−f(x)，且当x ∈[−1,0]时，f(x)=2x ，则f(2 015)=________．16. 函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=√2x −1+1(1)求函数f(x)的定义域及其值域．(2)若函数y =2x −mf(x)有两个零点，求m 的取值范围．18. 计算下列各式的值：(1)(−338)−23+(0.002)−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0 (2)lg25+23lg8+lg5×lg20+(lg2)2 (3)sin(α−3π)cos(2π−α)sin(−α+3π2)cos(−π−α)sin(−π−α)cos(3π+α)．19.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=−4，f(x+1)为偶函数，且x=−2是函数f(x)−4的一个零点．又g(x)=mx+4(m>0)．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=g(x)在x∈(1,5)上有解，求实数m的取值范围；(Ⅲ)令ℎ(x)=f(x)−|g(x)|，求ℎ(x)的单调区间．20.已知函数f(x)=cos2(ωx−π6)+√3sin(ωx−π6)sin(ωx+π3)−12(ω>0)，满足f(α)=−1，f(β)=0，且|α−β|的最小值为π4．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的单调区间和最大值、最小值．(x+1)．21.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)=log12(1)求f(0)，f(−1)；(2)求函数f(x)的表达式；(3)已知f(x)在x∈[0,+∞)单调递减，若f(a−1)−f(3−a)<0，求a的取值范围．(a≠0)在(−1,1)内的单调性．22.试讨论函数f(x)=axx−123.设函数．(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间；(3)求不等式–1≤f(x)≤√3的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A={2,4，5}，B={3,5，7}；∴A∪B={2,3，4，5，7}．故选：D．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的运算．2.答案：B解析：本题考查对数运算，是基础题．利用对数的运算法则直接求解．解：log69+log64=log636=2．故选：B．3.答案：B解析：解：tan210°=tan(180°+30°)=−tan30°=−√3，3故选：B．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．4.答案：A解析：本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是整体思想的应用．3x+1=4可得，x=1，然后代入即可求解．解：∵f(3x+1)=2x−3，令3x+1=4，可得x=1，则f(4)=−1．故选A．5.答案：D解析：本题主要考查任意角三角函数的定义，属于基础题．根据任意角三角函数的定义得到，代入求值即可．解：∵角α的终边经过点P(4,−3),，，则．故选D．6.答案：B解析：本题主要考查正切函数的性质，属于基础题．利用y=Atan(ωx+φ)的最小正周期等于T=π|ω|，得出结论．解：∵y=Atan(ωx+φ)的最小正周期等于T=π|ω|，∴函数的最小正周期为，故选B.7.答案：C解析：根据函数的奇偶性和单调性可得．本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．解：因为函数f(x)为定义在[−3,t−2]上的偶函数，所以−3+t−2=0，t=5，因为函数f(x)为定义在[−3,3]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，所以f(−x 2+2x −3)<f(x 2+t 5)等价于f(−x 2+2x −3)<f(−x 2−1)，即0≥−x 2+2x −3>−x 2−1≥−3，1<x ≤√2．故选：C ．8.答案：A解析：因为y =sin(2x +1)=sin[2(x +12)]，故可由函数y =sin2x 的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到． 9.答案：B解析：解：∵tanα=2，则sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25，故选：B ．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinαcosα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 10.答案：A解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．将原式变形可得2x −3−x <2y −3−y ，设f(x)=2x −3−x ，利用导数判断函数的单调性，即可得解． 解：2x −3−x <2y −3−y ，设f(x)=2x −3−x ，则f ′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R 上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x <y ，则y −x +1>1，ln (y −x +1)>0．故选A ．11.答案：C解析：本题考查正弦函数的最值，得到|a|=2，函数的最小值为1−|a|，是解题的关键，属于基础题．由函数y=asinx+1的最大值是3，可得|a|=2，故函数的最小值1−|a|．解：∵函数y=asinx+1的最大值是3，|a|+1=3，∴|a|=2，故函数的最小值1−|a|=−1，故选C．12.答案：B−2=t，则f(t)=a，解析：解：令x+1x做出y=f(x)的函数图象如图所示：由图象可知：当1<a<2时，关于t的方程f(t)=a有3解．不妨设3个解分别为t1，t2，t3，且t1<t2<t3，则−24<t1<−4，1<t2<2，2<t3<3，−2=t1，即x2−(2+t1)x+1=0，当x+1x∵−24<t1<−4，∴△=(2+t1)2−4>0，−2=t1有2解，∴方程x+1x同理：方程x+1x −2=t2有2解，x+1x−2=t3有2解，∴当1<a<2时，关于x的方程f(x+1x−2)=a有6解．故选B．令x+1x−2=t，则f(t)=a，结合f(x)的函数图象可知关于t的方程f(t)=a的解的个数和解的范围，利用t的范围得出关于x的方程x+1x−2=t的解的个数即可得出答案．本题考查了函数的零点的个数判断与函数图象的关系，属于中档题．13.答案：−1解析：本题考查了幂函数的解析式与求值问题，是基础题．利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再计算f(−1)的值．解：设幂函数f(x)=xα，其图象经过点(2,8)，∴2α=8，解得α=3；∴f(x)=x3，∴f(−1)=(−1)3=−1．故答案为：−1．14.答案：12解析：解：由1+sinxcosx=2，得sinx=2cosx−1，代入sin2x+cos2x=1，得cosx=45，∴sinx=35，∴1−sinxcosx =1−3545=12．故答案为：12．由已知结合平方关系求得sin x，cos x的值，代入得答案．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查三角函数值的求法，是基础题．15.答案：12解析：本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，属于基础题．根据题意，求出f(x)是周期等于4的周期函数；然后把求f(2015)的值转化成求f(−1)的值，代入函数的解析式，求解即可．解：因为函数f(x)对于任意的x ∈R 都有f(x −2)=−f(x)， 所以f(x +2−2)=−f(x +2) =−f(x +4−2)=f(x +4)， 即f(x)=f(x +4)，故f(x)是周期等于4的周期函数， 可得f(2015)=f(4×503+3) =f(3)=f(4−1)=f(−1)， ∵x ∈[−1,0]时，f(x)=2x ， ∴f (−1)=12． 故答案为12．16.答案：[−π,π3]解析：本题考查正弦函数的单调性，求得12 x + π 3∈[− π6 , 7π 12]是基础，利用y =sinx 在[− π6 , π2 ]上单调递增解决是关键，属于中档题． 解：∵x ∈[−π, π 2]，∴ 12 x + π3 ∈[− π 6, 7π 12]，∵y =sinx 在[− π 6, π 2]上单调递增，∴− π6 ≤ 12 x + π3 ≤ π 2，解得−π≤x ≤ π 3，∴当x ∈[−π, π 2]时，y =sin( 12 x + π3 )的单调递增区间为[−π, π3 ]， 故答案为[−π, π3 ]．17.答案：解：(1)由题意可知2x −1≥0，∴x ≥0，函数f(x)的定义域为[0,+∞)，f(x)=√2x −1+1≥1，函数f(x)的值域为[1,+∞)； (2)∵f(x)=√2x −1+1，∴y =2x −m(√2x −1+1)， 令t =√2x −1+1(t ≥1)，可得2x =1+(t −1)2=t 2−2t +2，所以原函数转化为y =t 2−(m +2)t +2(t ≥1)，记ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2(t ≥1)， 要使得函数y =2x −mf(x)有两个零点，即方程ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2=0在[1,+∞)上有两个根，所以{ℎ(1)≥0m+22>1(m +2)2−8>0，解得2√2−2<m ≤1，所以当2√2−2<m ≤1时，函数y =2x −mf(x)有两个零点．解析：(1)由偶次根式被开方数非负，以及指数函数的单调性和值域，可得所求；(2)由零点的定义和换元法，以及二次函数的图象和性质，可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．本题考查函数的定义域和值域，以及函数零点的求法，考查换元法和指数函数的单调性、二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)原式=(−1)−23(338)−23+(1500)−12−√5−21=(278)−23+(500)12−10(√5+2)+1=49+10√5−10√5−20+1=−1679．(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3．(3)sin(α−3π)cos(2π−α)sin(−α+3π2)cos(−π−α)sin(−π−α)cos(3π+α)=(−sinα)cosα(−cosα)(−cosα)sinα(−cosα)=1．解析：(1)利用指数幂的运算性质，化简所给的式子，可得结果． (2)利用对数的运算性质，化简所给的式子，可得结果． (3)由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．本题主要考查指数幂的运算性质、对数的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵f(0)=−4，∴c =−4；∵f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c ，即f(x +1)=ax 2+(2a +b)x +a +b +c ； 又∵f(x +1)为偶函数，∴2a +b =0；① ∵x =−2是函数f(x)−4的一个零点， ∴f(−2)−4=0，∴4a −2b −8=0；② 由①②解得a =1，b =−2； ∴f(x)=x 2−2x −4；(Ⅱ)f(x)=g(x)在x ∈(1,5)上有解， 即x 2−2x −4=mx +4在x ∈(1,5)上有解； ∴m =x −2−8x；∵m =x −2−8x 在(1,5)上单调递增，∴实数m 的取值范围为(−9,75)； (Ⅲ)ℎ(x)=x 2−2x −4−|mx +4|， 即ℎ(x)={x 2−(m +2)x −8, x ≥−4mx 2+(m −2)x, x <−4m； ①当x ≥−4m 时，ℎ(x)=x 2−(m +2)x −8的对称轴为x =m+22，∵m >0，∴m+22>−4m 总成立；∴ℎ(x)在(−4m ,m+22)上单调递减，在(m+22,+∞)上单调递增；②当x <−4m 时，ℎ(x)=x 2+(m −2)x 的对称轴为x =2−m 2，若2−m 2≥−4m ，即0<m ≤4，ℎ(x)在(−∞,−4m )上单调递减； 若2−m 2<−4m ，即m >4，ℎ(x)在(−∞,2−m 2)上单调递减，在(2−m 2,−4m )上单调递增；综上，当0<m ≤4时，ℎ(x)的单调递减区间为(−∞,m+22)，单调递增区间为(m+22,+∞)； 当m >4时，ℎ(x)的单调递减区间为(−∞,2−m 2)和(−4m ,m+22)；单调递增区间为(2−m 2,−4m )和(m+22,+∞)．解析：(Ⅰ)由f(0)求出c 的值，由f(x +1)为偶函数，且x =−2是函数f(x)−4的一个零点，求出a 、b 的值，即得f(x)；(Ⅱ)方程x 2−2x −4=mx +4在x ∈(1,5)上有解，转化为求m =x −2−8x 在(1,5)上的取值范围；(Ⅲ)求出ℎ(x)的表达式，讨论m的取值，对应函数ℎ(x)的单调性是什么，写出对应的单调区间．本题考查了求函数的解析式以及函数的单调性与奇偶性问题，解题时应用分类讨论思想，是较难的题目．20.答案：解：．依题意T4=π4，∴T=π，则2π2ω=π，∴ω=1，∴f(x)=sin(2x−π6)．(2)∵0≤x≤π2，∴−π6≤2x−π6≤5π6．令−π6≤2x−π6≤π2得0≤x≤π3，令π2≤2x−π6≤5π6得π3≤x≤π2，∴f(x)的单调递增区间为[0,π3]，单调递减区间为[π3,π2]．又f(0)=−12,f(π2)=12,f(π3)=1，∴f(x)max=f(π3)=1,f(x)min=f(0)=−12．解析：本题考查三角恒等变换以及求三角函数最值、单调区间的方法，是中档题．根据已知条件求出ω的值，从而求出函数解析式．(2)根据正弦函数的图像和性质求出函数的单调区间和最值．21.答案：解：(1)∵f(x)是定义在上的偶函数，且x≥0时，，；(2)令x<0，则−x>0，，∵f(x)是定义在上的偶函数，，；在[0,+∞)上为单调减函数且函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(a−1)−f(3−a)<0可化为f(a−1)<f(3−a)，即f(|a−1|)<f(|3−a|)，|a−1|>|3−a|，解得：a>2．解析：本题考查偶函数的性质运用，函数的单调性，属于中档题．(1)根据偶函数的定义求解即可；(2)利用偶函数的性质求解即可；(3)利用函数的奇偶性和单调性求解即可得结果．22.答案：解：f′(x)=a(x−1)−ax(x−1)2=−a(x−1)2=−a(x−1)2，所以当a>0时，f′(x)<0，当a<0时，f′(x)>0，即当a>0时，f(x)在(−1,1)上为单调减函数，当a<0时，f(x)在(−1,1)上为单调增函数．解析：本题考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，要正确求导．求f′(x)，讨论a的取值，从而判断出f′(x)的符号，从而判断出f(x)在(−1,1)上的单调性．23.答案：解：函数，(1)正切函数的定义域满足：，解得：x≠2kπ+ 5π3，k∈z．∴函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ+ 5π3，k∈Z}．最小正周期．(2)由− π 2+kπ < x2 − π 3 < π 2+kπ，k∈z可得：2kπ− π 3 <x<2kπ+ 5π 3，k∈z．∴f(x)的单调增区间(2kπ− π3，2kπ+ 5π 3)，k∈Z．(3)由题意，kπ− π 4 ≤ x2 − π 3 ≤kπ+ π 3，k∈z，可得不等式式−1≤f(x)≤√3的解集为{x，k∈Z}.解析：本题考查正切函数的图象与性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．(1)根据正切函数的定义域满足：求解即可，周期T= π 12=2π．(2)根据正切函数的图象及性质求解即可得到结论．(3)由题意，kπ− π 4 ≤ x2 − π 3 ≤kπ+ π 3，可得不等式−1≤f(x)≤√3的解集{x ，k∈Z}.。
