下载文档原格式
电动力学期中考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 电场强度的定义式为E=F/q，其中E表示电场强度，F表示电场力，q表示试探电荷。
根据定义式，下列说法正确的是（）。
A. 电场强度与试探电荷的电量成正比B. 电场强度与试探电荷所受的电场力成正比C. 电场强度与试探电荷的电量和电场力无关D. 电场强度与试探电荷所受的电场力成反比答案：C2. 根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力F与它们的电荷量q1和q2的乘积成正比，与它们之间的距离r的平方成反比。
下列说法正确的是（）。
A. 静电力与电荷量的乘积成正比B. 静电力与电荷量成反比C. 静电力与距离的平方成正比D. 静电力与距离的平方成反比答案：D3. 电势差U=W/q，其中U表示电势差，W表示电场力做的功，q表示试探电荷的电量。
根据电势差的定义式，下列说法正确的是（）。
A. 电势差与试探电荷的电量成正比B. 电势差与试探电荷所受的电场力成正比C. 电势差与试探电荷的电量和电场力无关D. 电势差与试探电荷所受的电场力成反比答案：C4. 电容器的电容C=Q/U，其中C表示电容，Q表示电容器所带的电荷量，U表示电容器两极板之间的电势差。
根据电容的定义式，下列说法正确的是（）。
A. 电容与电容器所带的电荷量成正比B. 电容与电容器两极板之间的电势差成正比C. 电容与电容器所带的电荷量和电势差无关D. 电容与电容器所带的电荷量成反比答案：C5. 根据欧姆定律，导体两端的电压U与通过导体的电流I成正比，比例系数为导体的电阻R。
下列说法正确的是（）。
A. 电压与电流成正比B. 电压与电流成反比C. 电压与电阻成正比D. 电压与电阻成反比答案：A6. 根据焦耳定律，电流通过导体产生的热量Q与电流的平方I^2、导体的电阻R和通电时间t成正比。
下列说法正确的是（）。
A. 热量与电流的平方成正比B. 热量与电流的平方成反比C. 热量与电阻成正比D. 热量与电阻成反比答案：A7. 根据基尔霍夫电压定律，电路中任意闭合回路的电压之和为零。
电动力学习题解答若干运算公式的证明ϕψψϕϕψψϕϕψψϕϕψ∇+∇=∇+∇=∇+∇=∇c c c c )()()(f f f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c f f f f f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c )()()(g f g f g f ⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇c c )()(g f f g ⨯∇⋅-⨯∇⋅=c c)()(g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=)()()(g f g f g f ⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=c c c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=)()()(c c g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)()(c c g f f g ⋅∇+⋅∇=（利用公式b a c b a c c b a )()()(⋅+⨯⨯=⋅得）f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cf g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )( ， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x zu u f yu u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du uf zu y u xuu f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）zu A yu A xu A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zu u A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu zu yu x u uA uA uA z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA uA uA z u y u x u uu z y x zyxd /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A zx y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z yu A xu A xu A zu A zu A yu A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
典型试题分析1、 证明题：1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=•∇B证明：由式：()()''0'3'0144dv rx J dv r r x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此 ()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=rdv x J A A dv rx J B ''0''04 4πμπμ式中由 ()0=⨯∇•∇=•∇A B 所以原式得证。
2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.tAE ∂∂--∇=ϕ证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
t B E A B ∂∂-=⨯∇⨯∇=式代入得：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇t A E ，该式表示矢量t A E ∂∂+是无旋场，因此它可以用标势ϕ描述，ϕ-∇=∂∂+tAE 。
因此，在一般情况下电场的表示式为：.tAE ∂∂--∇=ϕ。
即得证。
3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式221cv l l -=。
答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。
如图所示，设物体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘∑。
若物体后端经过1P 点（第一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的物体长度。
物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。
在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。
对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 2222'22211'11,1c vvt x x c v vt x x --=--=，两式相减，计及21t t =，有().*12212'1'2c vx x x x --=-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。
电动力学试题及参考答案一、填空题（每空2分，共32分）1、已知矢径r，则 r = 。
2、已知矢量A 和标量φ，则=⨯∇)(Aφ 。
3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。
4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E= ,B= 。
5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。
6、电磁场的能量密度为 w = 。
7、库仑规范为 。
8、相对论的基本原理为 ， 。
9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 = 。
10、电荷守恒定律的数学表达式为 。
二、判断题（每题2分，共20分）1、由0ερ=⋅∇E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该点散度有贡献。
（ ）2、矢势A沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。
（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。
（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。
（ ）5、只要区域V 内各处的电流密度0=j，该区域内就可引入磁标势。
（ ）6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。
（ ）7、在0=B的区域，其矢势A 也等于零。
（ ）8、E 、D 、B 、H四个物理量均为描述场的基本物理量。
（ ）9、由于A B⨯∇=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。
（ ）10、电磁波的波动方程012222=∂∂-∇E tv E 适用于任何形式的电磁波。
（ ）三、证明题（每题9分，共18分）1、利用算符 的矢量性和微分性，证明0)(=∇⨯⋅∇φr式中r为矢径，φ为任一标量。
2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0ωω-=，求证此平面电磁波的磁场强度为j t z cc E B )sin(0ωω-=四、计算题（每题10分，共30分）1、迅变场中，已知)cos(0t r K A A ω-⋅= , )cos(0t r K ωφφ-⋅= ，求电磁场的E 和B。
电动力学考研真题电动力学是物理学中的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。
在考研中，电动力学的题目通常涉及到电场、电势、电荷分布、电容、电流等方面的知识。
本文将通过对电动力学考研真题的分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握这一知识点。
一、电场和电势电场是电荷所产生的力场，它的强度和方向由电荷的性质和位置决定。
电势是电场的一种描述方式，是单位正电荷在电场中所具有的势能。
在考研真题中，常见的问题包括计算电场强度、电势差和电势能等。
例如，有一均匀带电圆环，半径为R，总电荷量为Q，求其中心点的电势。
根据电势的定义，我们可以将圆环分成无限多个小电荷元，然后计算每个小电荷元对中心点的贡献，最后将所有贡献相加即可得到结果。
二、电荷分布和电场强度电荷分布是电动力学中的重要概念，它描述了电荷在空间中的分布情况。
电场强度则是电荷在空间中所产生的力场的强度。
在考研真题中，常见的问题包括计算电荷分布所产生的电场强度和电势等。
例如，有一均匀带电线段，线段长度为L，总电荷量为Q，求其中点的电场强度。
根据电场强度的定义，我们可以将线段分成无限多个小电荷元，然后计算每个小电荷元对中点的贡献，最后将所有贡献相加即可得到结果。
三、电容和电荷分布电容是电路中的重要元件，用于存储电荷和电能。
电容的大小取决于电容器的几何形状和介质的性质。
在考研真题中，常见的问题包括计算电容的大小和电荷分布等。
例如，有一个平行板电容器，平行板间距为d，面积为A，求其电容。
根据电容的定义，我们可以将电容器看作是两个无限大平行板，然后计算每个平行板对电容的贡献，最后将所有贡献相加即可得到结果。
四、电流和电路电流是电荷在单位时间内通过导体的数量，是电路中的重要物理量。
在考研真题中，常见的问题包括计算电路中的电流和电阻等。
例如，有一个由电阻为R的电阻器和电动势为E的电池组成的电路，求电路中的电流。
根据欧姆定律，我们可以利用电路中的电阻和电动势，计算出电路中的电流。
电动力学习题答案电动力学是物理学中研究电荷、电场、磁场和它们之间相互作用的分支。
以下是一些典型的电动力学习题及其答案。
# 习题一：库仑定律的应用问题：两个点电荷，一个带电为+3μC，另一个为 -5μC，它们之间的距离为 2m。
求它们之间的静电力大小。
解答：根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力 \( F \) 由下式给出：\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]其中 \( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是电荷量，\( r \) 是它们之间的距离。
代入给定的数值：\[ F = 8.9875 \times 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \times\frac{3 \times 10^{-6} C \times (-5 \times 10^{-6} C)}{(2 m)^2} \]\[ F = 37.5 N \]# 习题二：电场强度的计算问题：一个无限大均匀带电平面，电荷面密度为 \( \sigma \)。
求距离平面\( d \) 处的电场强度。
解答：对于无限大均匀带电平面，电场强度 \( E \) 垂直于平面，大小为：\[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \]其中 \( \epsilon_0 \) 是真空电容率。
# 习题三：电势能的计算问题：一个点电荷 \( q \) 位于另一个点电荷 \( Q \) 产生的电场中，两者之间的距离为 \( r \)。
求点电荷 \( q \) 在该电场中的电势能。
解答：点电荷 \( q \) 在由点电荷 \( Q \) 产生的电场中的电势能 \( U \) 为：\[ U = -k \frac{qQ}{r} \]# 习题四：洛伦兹力的计算问题：一个带电粒子，电荷量为 \( q \)，以速度 \( v \) 进入一个垂直于其运动方向的磁场 \( B \) 中。
第四章 电磁波的传播1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。
（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。
（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。
解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ； )cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E则合成波为)]cos())[cos((),(),(2211021t z k t z k t t ωω-+-=+=x E x E x E E)22cos()22cos()(2212121210t z k k t z k k ωωωω---+-+=x E 其中 dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2所以 )cos()cos()(20t d z dk t kz ⋅-⋅-=ωωx E E 用复数表示 )](exp[)cos()(20t kz i t d z dk ωω-⋅-⋅=x E E相速由 t kz ωφ-=确定，k dt dz v p //ω==群速由 t d z dk ⋅-⋅=ωφ'确定，dk d dt dz v g //ω==2. 一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。
解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：2020''E E R =⋅⋅=n S nS ， 201202cos ""cos "E n E n T θθ=⋅⋅=n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得22121"cos cos "cos cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：︒=30"θ，代入上式，得3232+-=R ， 3232+=T 3. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。
电磁学与电动力学一、选择题（本大题共６小题，每题２分，总计12分）1. 电场强度和电位的关系是_c__。
A. 电场强度等于电位的梯度；B. 电场强度等于电位的梯度；C. 电场强度等于电位的梯度的负值；D. 电场强度等于电位的散度。
2. 恒定磁场的散度等于__d__A. 磁荷密度；B. 荷密度与磁导率之比；C. 矢量磁位；D. 零。
3. 下面哪种情况不会在闭和回路中会产生感应电动势？cA.通过导体回路的磁通量发生变化B. 导体回路的面积发生变化C. 通过导体回路的磁通量恒定D. 穿过导体回路的磁感应强度发生变化4. 在分界面上电场强度的切向分量总是__b__A. 不连续的；B. 连续的；C. 不确定的。
5. 波导中的主模是__c___的模式。
A.截止频率最大；B. 波导波长最大；C. 截止波长最大；D. 截止波长最小。
6. 恒定电场的源是a____A.静止的电荷B.恒定电流C. 时变的电荷D. 时变电流二、试写出下列表达式（本大题共4小题，每小题２分，总计８分）1、电荷守恒定律。
2、洛仑兹规范。
3、电磁场能量守恒定律。
4、四维动量表达式。
三、(本大题总计1０分)真空中有一半径为R0的导体球，导体球不接地而带电荷Q，距球心为a (a >R) 处有一点电荷Q，求球外电势。
四、(本大题总计10分)空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。
五、(本大题总计1０分)请推导真空中电磁场波动方程。
六、(本大题总计1０分)两根导线沿半径方向被引到铁环上B.C 两点，电流方向如图所示，求环中心O处的磁感应强度B是多少？七、(本大题总计1０分)三块平行放置的金属板，分别为B、A、C，其面积均为S，AB间距离为X，BC间距离为d，设d极小，金属板可视为无限大平面，忽略边缘效应和A板厚度。
当B，C接地且A导体所带电荷为Q时，试求（1）B，C板上的感应电荷。
（2）空间电场强度和电位分布。
典型试题分析1、 证明题：1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=∙∇B证明：由式：()()''0'3'0144dvrx J dv rr x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=rdvx J A A dvrx J B ''0''04 4πμπμ式中由()0=⨯∇∙∇=∙∇A B 所以原式得证。
2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.tAE ∂∂--∇=ϕ证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
tB E A B ∂∂-=⨯∇⨯∇=式代入得：0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⨯∇t A E ，该式表示矢量tA E ∂∂+是无旋场，因此它可以用标势ϕ描述，ϕ-∇=∂∂+tA E 。
因此，在一般情况下电场的表示式为：.tAE ∂∂--∇=ϕ。
即得证。
3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式2201cv l l -=。
答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。
如图所示，设物体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘∑。
若物体后端经过1P 点（第一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的物体长度。
物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。
在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。
对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 2222'22211'11,1cv vt x x cv vt x x --=--=，两式相减，计及21t t =，有().*12212'1'2cv x x x x --=-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。
由于物体对‘∑静止，所以对测量时刻'2'1t t 和没有任何限制。
由()*式得2201cv l l -=。
4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系.ϕ-∇=E答：由于静电场的无旋性，得：⎰=∙0dl E 设21C C 和为由点点到21P P 的两条不同路径。
21C C 与－合成闭合回路，因此 012=∙-∙⎰⎰C C dlE dlE 即⎰⎰∙=∙21C C dl E dl E 因此，电荷由与路径无关，点时电场对它所作的功点移至21P P 而只和两端点有关。
把单位正电荷由,21P P 点移至电场E 对它所作的功为：,21⎰∙P P dl E 这功定义为点点和21P P 的电势差。
若电场对电荷作了正功，则电势ϕ下降。
由此，()()⎰∙-=-2112P P dl E P P ϕϕ由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。
相距为dl的两点的电势差为.dl E d ∙-=ϕ由于，dl dz zdy ydx xd ∙∇=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕ 因此，电场强度E 等于电势ϕ的负梯度 .ϕ-∇=E5、试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程jA μ-=∇2。
答：已知恒定磁场方程）（10J B μ=⨯∇（在均匀线性介质内），把）代入（1)2(A B ⨯∇=得矢势A 的微分方程 ().J A μ=⨯∇⨯∇由矢量分析公式()().2A A A ∇-∙∇∇=⨯∇⨯∇若取A 满足规范条件0=∙∇A ，得矢势A 的微分方程 ()0.2=∙∇-=∇A J A μ6、试由电场的边值关系证明势的边值关系.11122σϕεϕϕε-=∂∂-∂∂n证：电场的边值关系为：()()()()*.$,01212σ=-∙=-⨯D D nE E n，()*式可写为 ()@12σ=-n n D D 式中n 为由介质1指向介质2的法线。
利用ϕε-∇==E E D及,可用标势将()@表为：.11122σϕεϕϕε-=∂∂-∂∂n势的边值关系即得证。
7、试由静电场方程证明泊松方程ερϕ-=∇2。
答：已知静电场方程为：⎩⎨⎧=∙∇=⨯∇)2.()1(,0ρD E 并知道 )3.(ϕ-∇=E 在均匀各向同性线性介质中，E D ε=，将（3）式代入（2）得 ερϕ-=∇2，ρ为自由电荷密度。
于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。
8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。
答：麦克斯韦方程组 ()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=∙∇∂∂-=⨯∇=∙∇t x E x j x B x B tx B x E x x E 00000)()()(μεμερ表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。
这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到 ()()tx B x E ∂⨯∇∂-=∇)(2－，再把第四个方程对时间求导，得到()()()220tx E t x B ∂∂=∂⨯∇∂με，从上面两个方程消去()()tx B ∂⨯∇∂，得到()()02202=∂∂-∇tx E x E με。
这就是标准的波动方程。
对应的波的速度是.10c =με9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件()()().0;;0121212=-∙=-∙=-⨯B B n D D n E E nδ解：()δδδρ=-=-⋅∴∆=⋅∆-⋅∆=∙⎰⎰n n fVSD D D D n S D n S D n S dVs d D 121212.即：对于磁场B ，把0=⋅⎰s d B S应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：()01212=-⋅-B B n B B n n即：作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ∆，短边边长为'l ∆。
因为⎰=⋅0dl E ，作沿狭长矩形的E 的路径积分。
由于'l ∆比l ∆小得多，当0'→∆l 时，E 沿'l ∆积分为二级小量，忽略沿'l ∆的路径积分，沿界面切线方向积分为：012=∆-∆l E l E t t 即：()*,012--t t E E 。
()*可以用矢量形式表示为：()()@012=⋅-t E E式中t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。
令矩形面法线方向单位矢量为't ，它与界面相切，显然有 ()#'t n t ⨯= 将()()式式代入@#，则()()()$,0'12=⨯⋅-t n E E ，利用混合积公式()()BA C CB A ⨯⋅=⨯⋅，改写()#式为：()[]12'=⨯-⋅n E E t此式对任意't 都成立，因此 ()012=⨯-n E E，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。
10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程022=+∇E k E答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。
在一定的频率下，有HB E D με==,，把时谐电磁波的电场和磁场方程：()()()().,,,iwtiwt ex B t x B e x E t x E --==代入麦氏方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0,0,,B D t D H tB E 消去共同因子iwte -后得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇-=⨯∇=⨯∇.0,0,,H E E iw H H iw E εμ在此注意一点。
在0≠w 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。
取第一式的散度，由于()0=⨯∇⋅∇E ，因而0=⋅∇H ，即得第四式。
同样，由第二式可导出第三式。
在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。
取第一式旋度并用第二式得()Ew E με2=⨯∇⨯∇ 由()()EE E E 22-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，上式变为⎩⎨⎧==+∇.,022μεw k E k E 此为亥姆霍兹方程。
11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。
证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内1=E，而：垂直于导体表面。
故0212,0,0)(E E n E E n=⨯∴=-⨯（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面.0=fσ0,022==∴D E即：导体外。
而：0,0)(10112=∙=∙==-∙E n D n D D n fεσ即：，01=∙∴E n。
导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。
12、设ϕ和A是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数()t x Z ,（赫兹矢量），若令.1,2t ZcA Z ∂∂=∙∇= 证明ϕ 证明：ϕ和A满足洛伦兹规范，故有.012=∂∂+∙∇tc A ϕ代入洛伦兹规范，有：Z∙-∇=ϕ().1t Z c 1A ,01222tZ c A Z t c A ∂∂=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇∙∇=∙∇-∂∂∙+∙∇＝即2、 计算题：1、真空中有一半径为0R 接地导体球，距球心为()0R a a > 处有一点电荷Q ，求空间各点的电势。
解：假设可以用球内一个假想点电荷'Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。
由对称性，'Q 应在OQ 连线上。
关键是能否选择'Q 的大小和位置使得球面上0＝ϕ的条件使得满足？考虑到球面上任一点P 。
边界条件要求.0''=+r Q rQ 式中r 为Q 到P 的距离，的距离。
到为P Q r ''因此对球面上任一点，应有）常数。
（1''=-=QQ rr 由图可看出，只要选'Q 的位置使则,~'OPQ P OQ ∆∆）常数。
（＝20'=aR rr 设'Q距球心为b ，两三角形相似的条件为()3.,2000aR b aR R b ==或由（1）和（2）式求出 )4.(0'Q aR Q -=（3）和（4）式确定假想电荷'Q 的位置和大小。
由Q 和镜象电荷'Q 激发的总电场能够满足在导体面上0＝ϕ的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。
