【全国百强校】陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.7正切函数

第二课时 正弦函数的性质教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx 在R 上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题： 正弦函数的定义域是什么？ 正弦函数的值域是什么？ 它的最值情况如何？ 它的正负值区间如何分？ ƒ(x)＝0的解集是多少？ 师生一起归纳得出：定义域：y=sinx 的定义域为R值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1]3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋2π,k ∈Z 时 ymax ＝1当且仅当时x ＝2k π－2π, k ∈Z 时 ymin ＝－12︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜04．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明 结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π 5.奇偶性sin(－x)＝－sinx (x ∈R)是奇函数 6．单调性增区间为[－2π＋2k π， 2π＋2k π]（k ∈Z ），其值从－1增至1；减区间为[2π＋2k π， 23π＋2k π]（k ∈Z ），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】例题讲评例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。

解：（略，见教材P26）2．课堂练习教材P27的练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

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§6 正切函数 课前导引
问题导入
【问题】 如何理解正切函数的定义域为{x|x≠kπ+
2
π
，k ∈Z }，值域为R ？ 思路分析：当x 小于kπ+2π(k ∈Z )且无限接近于kπ+2
π
(k ∈Z )时，tanx 无限增大，可以比任
意给定的正数都大，我们把这种情况记作tanx→+∞，读作tanx 趋向于正无穷大；而当x 大于kπ-
2π(k ∈Z )且无限接近于kπ-2
π
(k ∈Z )时，tanx 无限减小，可以比任意给定的负数都小，我们把这种情况记作tanx→-∞，读作tanx 趋向于负无穷大.上述情况我们有时就简记为： 当x→kπ+
2π(k ∈Z )时，tanx→+∞；当x→kπ-2
π
(k ∈Z )时，tanx→-∞. 知识预览
注意：正切函数y=tanx ，x ∈(kπ-2，kπ+2
)(k ∈Z )是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调函数.。

§1-7.2 正切函数的图像与性质（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

§7 正切函数一、教学目标1.知识与技能（1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；.（2）能画出x y tan =的图像；（3）掌握正切函数的基本性质.2.过程与方法通过正切函数的完整学习，进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法，并比较不同函数之间的相同点和不同点.3.情感、态度与价值观在正弦函数、余弦函数学习的基础上，通过正切函数的学习，进一步培养学生自主探索的学习习惯和分析问题、解决问题的能力.二、教材分析教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式，利用正切线画出正切函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图像.根据图像，研究正切函数的性质.在此基础上，继续利用正切函数的图像，得到正切函数的诱导公式.诱导公式的推导，可以通过单位圆的对称性或函数图像来进行.对于正弦函数、余弦函数的诱导公式，教材是利用单位圆的对称性进行推导的，不过在习题中，要求学生“运用正弦（余弦）函数图像总结正弦（余弦）函数的性质及诱导公式”，让学生从函数图像的角度分析理解诱导公式.对正弦函数、余弦函数诱导公式的学习，为本节的学习作好了知识和方法的铺垫.三、重点和难点本节的重点：正切函数的图像和性质.本节的难点：画正切函数的图像，探索正切函数的诱导公式.四、教学方法与手段教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳教学手段：多媒体辅助教学.五、教学过程（一）创设情境，揭示课题教师引出课题前面我们学习了正弦函数y ＝sinx 、余弦函数y ＝cosx 的图像与性质，今天我们一起来研究正切函数与性质.首先看正切函数的定义：在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量， 以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数.（二）探究新知下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。

第课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
[核心必知]
．正切函数
()定义：如果角α满足：α∈，α≠＋π(∈)，那么，角α的终边与单位圆交于点(，)，，
α＝记作，的正切函数α我们把它叫作角，的函数α是角比值，根据函数的定义.唯一确定比值其中α∈，α≠＋π，∈.
．
＝)与正弦、余弦函数的关系：()
它们统称为三
，为函数值的函数比值以，为自变量角三角函数：正弦、余弦、正切都是以()角函数．
()正切值在各象限内的符号如图．
．正切线
单位圆与轴正半轴交于点，过点作轴的垂线，与角α的终边或其反向延长线交于点.则称线
．
不存在的正切线α角，时的终边在轴上α的正切线．当角α段为角
续表
[问题思考]
．你能描述正切曲线的特征吗？
提示：正切曲线是被互相平行的直线＝π＋(∈)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，
它没有对称轴，只有对称中心．
．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？
提示：不是．正切函数定义域是{≠π＋，∈}，正切曲线在每一个开区间(π－，π＋)(∈)
上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．
．函数＝的周期是吗？
提示：不是．＝的周期仍为π.
讲一讲
．已知α＝，利用三角函数的定义求α和α.。

§7正切函数7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式●三维目标 1．知识与技能理解正切函数的定义，了解正切线的概念，会画正切函数的图像．理解正切函数的性质，并能掌握正切函数的诱导公式．2．过程与方法通过正切函数的学习，培养学生运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生类比推理问题的能力，从而形成从具体到抽象、从感性到理性的思维过程．●重点难点重点：正切函数的图像及性质的应用，正切函数的诱导公式． 难点：正切函数性质的应用．(教师用书独具)●教学建议正切函数的图像和性质的教学关键是：(1)用几何法作正切曲线，也就是用单位圆中的正切线画出正切曲线，并把握正切曲线的特征：沿y 轴的上、下两个方向无限伸展，并被无穷多条与x 轴垂直的直线x ＝k π＋π2(k∈Z )隔开的无穷多条曲线所组成的．这些直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )成为正切曲线的渐近线，在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左向右看是上升的．(2)应使学生通过观察正切线、正切曲线得到正切函数的各种性质，包括能看出它的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性，培养学生使用函数图像研究函数性质的能力．●教学流程创设问题情境：你能根据正、余弦函数的定义，给出正切函数的定义吗？⇒引导学生得出正切函数的定义、图像、性质及诱导公式．⇒通过例1及变式训练，使学生进一步理解正切函数的定义．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用诱导公式进行化简或求值．⇒通过例3及互动探究，使学生掌握利用图像研究三角函数的性质．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.结合我们在初中对正切知识的学习以及正弦、余弦函数的定义，你能给出正切函数的定义吗？【提示】 能．1．在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．与正弦函数、余弦函数的关系 tan α＝sin αcos α(α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z )．AT 为角图1－7－1前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？【提示】∵tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2)，∴口诀对正切函数依然适用.(1)已知点P (－2a,3a )(a ≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ；(2)已知P (x ，－32)是角α终边上的一点，且tan α＝－3，求x 的值． 【思路探究】 (1)直接利用正切函数的定义求解；(2)根据正切函数的定义列出关于x 的方程，求解即可．【自主解答】 (1)由于a ≠0，∴tan θ＝3a －2a＝－32.(2)由于tan α＝－32x＝－3， 可解得x ＝12.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba.2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．若角θ的终边经过点A (－45，m )，且tan θ＝34，则m ＝________.【解析】 由正切函数的定义得，m －45＝34，解得m ＝－35.【答案】 －35求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°). 【思路探究】 利用诱导公式将负角、大角的三角函数值化为锐角的三角函数值． 【自主解答】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.1．熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．2．无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．(1)化简tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)；(2)若a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)，求a 2＋a ＋1的值．【解】 (1)tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)＝tan (－α)tan (α－90°)tan αtan αtan (90°＋α)tan (－α)＝(－tan α)(－cot α)tan αtan α(－cot α)(－tan α)＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1.(2)a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)＝(－cos α)sin 2αtan α·tan α(－cos 3α)＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·(－cos 3α) ＝－cos 3αsin 2αsin 2α(－cos 3α)＝1， ∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．【思路探究】 画y ＝tan x 图像→y ＝|tan x |图像→研究性质 【自主解答】 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x －π2＋k π<x <k π(k ∈Z ).其图像如图：由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为[k π，π2＋k π)(k ∈Z )，单调递减区间为(－π2＋k π，k π)(k ∈Z )，周期为π.。

正切函数的图像与性质教学设计一、教学内容分析本节课是北师大版高中数学必修④中第一章三角函数第七节正切函数的第二课时。

正切函数又是本章的重难点内容，在高考中占有一定的分量，它是在函数的基础上，对函数类型的拓广。

通过本节课的学习，可以让学生理解正切函数的概念，从而进一步深化对正切函数的图像与性质的认识与理解，为后期的学习奠定基础，并进一步形成数学思想。

同时，通过函数图像的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。

通过对正弦、余弦函数的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。

因此，学生已具备了探索发现研究正切函数的初步认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。

调动学生学习的积极性，主动性。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从正弦的图像与性质出发，从中类比学习正切函数的图像与性质，体会引入图像必要性，学会看图说话。

在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。

让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标1、知识目标正确认识正切函数的图像，并通过图像归纳出其性质加以掌握灵活运用。

2、能力目标让学生亲身经历数学研究的过程，培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。

3、情感目标通过学生自主探究小组合作交流的过程体验探索的乐趣，增强团队意识，增强对数学学科的兴趣。

五、教学重点与难点重点：正切函数的图像与性质难点：（1）利用正切线画图（2）整体思考解题六、教学过程设计（一）复习回顾引入新课（1）正切函数是怎么定义的？（2）在单位圆中如何画出正切线？（3）正切函数的周期是什么？最小正周期呢？思考：能否类比于正弦函数，画出正切函数的图像呢？（二）新课讲解学习新知作图步骤1：把单位圆分成n等分2：作出最小正周期的正切线3：平移正切线，用平滑的曲线链接通过类比观察图像并由图说话归纳正切函数的性质（三）课堂练习，强化训练作业布置巩固新知课本40页练习题1,2,3，4§7.2 正切函数的图像与性质一、复习引入二、正切图像与性质三、题型分析四、小结。

北师大版高二数学必修四《正切函数》说课稿一、教材分析《正切函数》是北师大版高二数学必修四教材的一部分，属于高中数学的选修内容。

本单元主要介绍正切函数的定义、性质和应用。

通过学习本单元，旨在让学生理解正切函数的概念、掌握其性质，培养解决实际问题的能力。

二、教学目标1.知识与技能：–掌握正切函数的概念与定义；–熟练运用正切函数的性质进行数学运算；–理解正切函数的图像特征，能够根据图像解决相关问题。

2.过程与方法：–引导学生自主探究，培养独立思考和解决问题的能力；–引导学生运用数学工具和技巧进行论证和求解问题；–激发学生对数学的兴趣和探索欲望。

3.情感态度与价值观：–培养学生的数学思想、逻辑思维能力和创新精神；–培养学生的合作意识，培养学生的团队精神。

三、教学重点1.正切函数的概念和定义；2.正切函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等；3.正切函数的图像特征和应用。

四、教学内容和教学步骤1. 正切函数的概念和定义•引导学生回顾余切函数的概念和定义，进而引入正切函数的概念；•展示正切函数的符号表示和定义式，说明其定义范围和定义域。

2. 正切函数的性质2.1 正切函数的奇偶性•定义奇函数和偶函数的概念；•引导学生观察正切函数的图像特征，推导出正切函数的奇偶性质。

2.2 正切函数的周期性•提问学生正切函数的周期是否存在，并引导学生进行思考；•展示正切函数的周期性公式，解释其周期的由来。

2.3 正切函数的单调性•定义函数的单调性，并引入正切函数的单调性的概念；•利用导数的概念和性质，讨论正切函数在其定义域上的单调性。

3. 正切函数的图像特征和应用3.1 正切函数的图像特征•使用数学软件展示正切函数的图像，引导学生观察图像的特征；•引导学生分析正切函数图像的渐近线和拐点，并解释其数学意义。

3.2 正切函数的应用•通过具体实例，引导学生应用正切函数解决实际问题；•引导学生理解正切函数在几何图形、物体运动、电流等领域的应用。

§7 正切函数[学习目标] 1.能依据正、余弦函数的定义类比得正切函数的定义.2.了解正切函数图像的画法，能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.3.能依据正弦、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式．[学问链接]1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 2．如何作正切函数的图像？答 类似于正、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z ，两线分别为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π－π2(k ∈Z )． 3．依据相关诱导公式，你能推断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？ 答 由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．依据相关诱导公式，你能推断正切函数具有奇偶性吗？答 从正切函数的图像来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数． [预习导引] 1．正切函数的定义在直角坐标系中(如图所示)，假如角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .依据函数的定义，比值ba 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x 的性质与图像见下表：⎧⎫π3.正切函数的诱导公式 tan(x ＋k π)＝tan_x (k ∈Z )； tan(2π＋x )＝tan_x ； tan(－x )＝－tan_x ； tan(2π－x )＝－tan_x ； tan(π－x )＝－tan_x ； tan(π＋x )＝tan_x .要点一 正切函数的定义域例1 求函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域． 解 依据题意，得⎩⎨⎧tan x ≥1，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠π2＋k π，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π.所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法 求定义域时，要留意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．跟踪演练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π， 所以函数定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 要点二 正切函数的单调性及应用例2 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小． 解 (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 明显－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3 <tan 1.规律方法 正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，接受整体代入法，但要留意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内． 跟踪演练2 (1)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 解 (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，令－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，则－π8＋k π2<x <3π8＋k π2，k ∈Z ，从而函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z ，故函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z .(2)tan 65π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝tan π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π7 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫－π7＝tan π7， ∵－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝⎛⎭⎫－137π. 要点三 正切函数图像与性质的综合应用 例3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集； (3)作出函数y ＝f (x )在一个周期内的简图． 解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π＋23π， 故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . (2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤3， 得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .(3)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3.令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图像与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3.从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．规律方法 对于形如y ＝tan(ωx ＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的争辩，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．假如ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解． 跟踪演练3 画出函数y ＝|tan x |的图像，并依据图像推断其单调区间、奇偶性、周期性． 解 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z ).其图像如图．由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )， 周期为π.要点四 正切函数的诱导公式应用例4 求证：tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·(－sin α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－sin α)·(－sin α)sin ⎣⎡⎦⎤ －⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的机敏应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开头，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消退其差异，简言之，即化异为同．跟踪演练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32π⎝⎛⎭⎫cos 32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得 2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.1.正切函数的图像正切函数有很多多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.一、基础达标1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0)B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0D ．(π，0)答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π3－π12，k π3＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的全部函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的全部函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.π4答案 A解析 由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图像关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，明显⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像也没有对称轴，故D 错误．故选B. 7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．二、力量提升8．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像是( )答案 D解析 当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. ∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]．12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与创新13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解 由于当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y＝tan x 没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图像如图所示：观看图像可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]内有3个交点．。

三角函数复习（第二课时）一、教学目标：1.知识与技能：（1）能正确进行三角函数图像之间的变换；（2）由三角函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的简图或数量特征，求解A、ω、ϕ的值。

2.过程与方法：学生通过对三角函数的图像、性质的综合应用，提高函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用能力。

3．情感态度、价值观通过本节的复习，使学生对三角函数的图象、性质有一个全面的认识，培养学生逻辑推理能力及探究精神。

二、重点、难点重点是：三角函数图像之间的变换难点是：灵活应用三角函数图像及性质解决相关问题三、教材分析：本章从生活中的实例出发，揭示周期现象的特征。

从实例出发，将锐角推广到任意角并引入了度量角的新方法——弧度制。

在此基础上，借助于几何直观——单位圆将锐角三角函数推广到任意角的三角函数；利用单位圆研究了正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式、图像及其性质；函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的图像以及三角函数的简单应用。

本节重点是给出图像求y＝Asin(ωx＋ϕ)的解析式及进行三角函数图像之间变换。

四、教学方法与手段：运用“整体化”教学思想，引导学生生从“整体”到“局部”再到“整体”逐步认识三角函数之间的变换。

五、教学过程（一）、问题引入：问题1 三角函数的性质：运用三角函数的性质主要研究函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性例1 已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2，T ＝π，且f(x)满足对于任意x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋x .(1)求ω，φ的值； (2)写出函数的单调增区间；(3)写出函数的对称轴方程及对称中心的坐标． 分析：(1)∵f (x )的周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2. 又f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋x ，∴f (x )关于x ＝π12对称．∴2·π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．(3)由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 得函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )． 由2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )， ∴函数f (x )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0.总结：求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)中的(ωx ＋φ)当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．注意：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时一定不能漏掉函数自身的定义域．反馈练习1：设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8， (1) 求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3) 画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像． 分析：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，(k ∈Z )． (3)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4知，故函数y问题2 三角函数的图像变换：三角函数的图像变换主要包括平移变换、伸缩变换、对称变换等．例2 已知函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54，(x ∈R )， (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用五点法作出它的简图；(3)该函数的图像可由y ＝sin x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 分析：(1)y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的振幅为A ＝12，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6.(2)令x 1＝2x ＋π6，则y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54＝12sin x 1＋54，列出下表，并描出如下图像：X 12π-π65π12 2π3 11π12x 1 0π2π3π22πy ＝sin x 1 0 1 0 -1 0y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5454 74 54 34 54总结：由y＝sin x的图像利用图像变换作函数y＝A sin（ωx＋φ）＋K A>0，ω>0，x ∈R 的图像，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图像沿x 轴的伸缩量不同.练习反馈2：1．如图所示，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 分析： (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. ∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sinx 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．问题3 三角函数的综合应用 例3 求证：sin θ＋cos θ－1cos θ－sin θ＋1＝sin θ－cos θ＋1sin θ＋cos θ＋1.证明：∵左＝(sin θ＋cos θ－1)(sin θ＋cos θ＋1)(cos θ－sin θ＋1)(sin θ＋cos θ＋1)＝(sinθ＋cosθ)2－1(cosθ－sinθ＋1)(sinθ＋cosθ＋1)＝2sinθcosθ(cosθ－sinθ＋1)(sinθ＋cosθ＋1)＝2sinθcosθ(sinθ－cosθ＋1) [1－(sinθ－cosθ)2](sinθ＋cosθ＋1)＝2sinθcosθ(sinθ－cosθ＋1)2sinθcosθ(sinθ＋cosθ＋1)＝sinθ－cosθ＋1sinθ＋cosθ＋1＝右．∴原等式成立．（三）、小结：1．通过本节学习，系统掌握三角函数有关知识，并能灵活应用其进行三角函数式的化简、求值、证明，及其三角函数图像的变换及由图确定解析式的方法；2．数学思想方法：整体考虑、数形结合等思想方法的运用。