矢量——把握成功的方向

电学中的方向规则——不懂的话会迷失方向的•地理有东南西北方位，确定了方位才不会迷路。

电学中的方向问题十分重要，如果方向不明确，那你会四处碰壁的，无法理清各种纷繁复杂的关系。

我们先做一个实验:改变电池极性，电流计指针偏转方向发生改变，这表明其指针受力方向与电流方向有关。

电流方向改变指针偏转方向改变•电工中的方向问题是如何产生的？由于电荷由两种不同的极性组成：正电荷、负电荷，并且异性相吸，同性相斥，这就带来了电荷受力方向、运动方向的问题，电荷不同方向也就不同，需要对此进行明确，这就是电压、电流、电场有方向的原因。

磁场的性质和电场相似，也有两个极，也是异性相吸，同性相斥，通电导体在其中受力方向或运动导体切割磁力线产生感生电动势的方向均与磁场的极性有关，这就必须明确磁场的方向。

•1.电压方向：规定由高电位指向低电位或者由正极指向负极。

有两种表示方法：第一种箭头表示法，箭头由高电位指向低电位；第二种下标表示法，Uab表示电压是由a点指向b点，同箭头方向一致；如下图所示。

我们常用水压比喻电压，水流方向就是由高到低，水压由高位指向低位。

•2.电流方向：规定为正电荷移动方向就是电流的方向。

有两种表示方法：第一种箭头表示方法，箭头指向就是电流方向；第二种下标表示，如下图通过电阻R的电流方向Iab，指电流方向由a流向b，与箭头方向一致；对于导体由于实际导电的载流子是自由电子，它与电流方向是相反的，这是人们最初定义的，当时对导体导电的性质还没有认识的情况下规定的。

这个我们知道就行，它并不影响我们的研究。

• 3.电动势方向：规定为由低电位指向高电位，用箭头表示法，箭头指向高电位方向；其指向正好与电压方向相反，因为电源的功能是将低电位的正电荷移动到高电位，因此由低电位指向高电位。

•4.电场方向：规定电场方向就是电场中正电荷的受力方向，平行板电场或两个异种电荷由高电位极板指向低电位极板。

这一点和电压方向是一致的，实际上它们的机理是相同的，都是电荷在电场中受力运动，只不过一个是在空间内，一个是在导体内。

静力学一一、一周内容概述这周的主要内容是复习静力学,包括三种基本力和受力分析;我们把重点掌握三种基本力的概念,大小,方向以及存在的条件,熟练掌握对物体的受力分析的方法,这是我们高中力学里面的基础;二、重难点知识讲解一力1、概念：力是物体对物体的作用;1同时存在受力物体和施力物体;2力学中的研究对象是受力物体;2、作用效果：使物体发生形变或改变物体的运动状态即使物体产物加速度;1即使很小的力作用在物体上,也会使物体发生形变,只不过有时形变很小,不能直接观察到这一点对于理解弹力很有帮助;2力是使物体运动状态发生改变的原因,而不是维持物体运动状态的原因;3物体的运动状态的改变指速度的大小、方向之一或同时发生变化;3、矢量性：既有大小又有方向;1大小：弹簧秤称量,单位是牛顿N;2方向：力作用的方向;3力的图示法表示力的三要素——大小、方向、作用点;注意：物理量有两类,矢量和标量;标量只有大小没有方向;两类物理量的最主要的区别是它们的运算法则,标量的运算法则是代数加减法,而矢量的运算法则是平行四边形定则;力的矢量性是力概念的一大难点;4、分类1按性质分,可分为万有引力重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力等;2按效果分,可分为压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力等;3按作用方式分,可分为场力和接触力;万有引力重力、电磁力均属于场力,弹力、摩擦力均属于接触力;4按研究对象分,可分为外力和内力;5、关于力的基本特性在研究与力相关的物理现象时,应该把握住力概念的如下基本特性;1物质性：由于力是物体对物体的作用,所以力概念是不能脱离物体而独立存在的,任意一个力必然与两个物体密切相关,一个是其施力物体,另一个是其受力物体;把握住力的物质性特征,就可以通过对形象的物体的研究而达到了解抽象的力的概念之目的;2矢量性：作为量化力的概念的物理量,力不仅有大小,而且有方向,在相关的运算中所遵从的是平行四边形定则,也就是说,力是矢量;把握住力的矢量性特征,就应该在定量研究力时特别注意到力的方向所产生的影响,就能够自觉地运用相应的处理矢量的“几何方法”;3瞬时性：力作用于物体必将产生一定的效果,物理学之所以十分注重对力的概念的研究,从某种意义上说就是由于物理学十分关注力的作用效果;而所谓的力的瞬时性特征,指的是力与其作用效果是在同一瞬间产生的;把握住力的瞬时性特性,应可以在对力概念的研究中,把力与其作用效果建立起联系,在通常情况下,了解表现强烈的“力的作用效果”往往要比直接了解抽象的力更为容易;4独立性：力的作用效果是表现在受力物体上的,“形状变化”或“速度变化”;而对于某一个确定的受力物体而言,它除了受到某个力的作用外,可能还会受到其它力的作用,力的独立性特征指的是某个力的作用效果与其它力是否存在毫无关系,只由该力的三要素来决定;把握住力的独立性特征,就可以采用分解的手段,把产生不同效果的不同分力分解开分别进行研究;5相互性：力的作用总是相互的,物体A施力于物体B的同时,物体B也必将施力于物体A;而两个物体间相互作用的这一对力总是满足大小相等,方向相互,作用线共线,分别作用于两个物体上,同时产生,同种性质等关系;把握住力的相互性特征,就可以灵活地从施力物出发去了解受力物的受力情况;二三种基本力1、重力由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力;注意：①地球上的物体都受到重力作用,不管质量大小,也不论有无生命;凡是由分子、原子构成的物体皆受重力作用;②重力是由于地球的吸引而产生的,但重力大小不一定等于地球对物体的吸引力,重力一般小于地球对于物体的吸引力．在好多情况下都认为物体所受的重力与地球对物体的吸引力大小相等,原因是两者误差很小;③重力是非接触力,同一物体在空中运动与静止时所受重力相等;④重力的施力物体是地球;1重力的大小重力与质量的关系：G=mg,g是自由落体加速度,通常取g=kg注意：①g会随地球上的纬度的改变而改变,纬度越高,g值越大,两极最大,赤道最小;导致同一物体在不同纬度处所受重力不同;②g值会随海拔高度改变;在同一纬度处,高度越大,g值越小;致使同一物体受重力随高度增加而减小;2重心概念：一个物体的各部分都受到重力的作用,从效果上看,我们可以认为各部分所受重力的作用都集中于一点,这一点叫做物体的重心;引入重心的概念后,研究具体的物体时,可以把整个物体各部分的重力用作用于重心的一个力来表示,于是原来的一个物体就可以用一个有质量的点质点来表示;如图所示;注意：①重心并不是实际存在的一个特殊点,不是地球只吸引的那一点;②如果物体的形状、质量分布发生变化——重心的位置将发生变化;2重心的确定①质量分布均匀的物体,重心位置只跟物体的形状有关;若物体的形状是中心对称的,对称中心就是重心;如：我们用的直尺、铅球、魔方等实心物体,以及篮球、排球等空心物体,它们的重心都在几何中心,如图所示;而轴对称的碗、碟等,它们的重心在中垂线上;它们的重心可用二力平衡的方法找到,用一个手指将碟子挑起静止,即可找到其重心;②质量分布不均匀物体的重心,重心位置除跟物体的形状有关外,还跟物体的质量分布情况有关;如：起重机重心位置随吊升货物的多少和位置变化而变化;注意：①物体重心的位置,可以在物体上,也可在物体外,例如一个平板的重心在板上,而一个铁环的重心就不在环上;②重心的位置与物体所在的位置及放置状态和运动状态无关;但一个物体内质量分布发生变化时,其重心的位置也发生变化;如一个充气的篮球,其重心在几何中心处,若将篮球内充入一半体积的水,则球含水的重心将下移;3薄板重心的确定薄板形物体的重心可用悬挂法确定,如图所示,先在A点把板悬挂起来,物体静止时,物体所受的重力与悬绳的拉力在同一竖直线上,所以物体的重心一定在通过A点的竖直线AB上;然后在C点把物体悬挂起来,同理知,物体的重心一定在通过C点的竖直线CD上,AB和CD的交点O,就是薄板的重心位置;2、弹力1概念：发生形变的物体,由于要恢复原状,对跟它接触的物体产生的力;2大小：与形变大小有关系,形变越大,弹力越大;3方向：弹力的方向就是物体恢复原状趋势的方向;①接触；②要有弹性形变;5弹力的方向的判断方法①步骤：明确产生弹力的物体→找出使该物体发生形变的外力方向→确定该物体产生的弹力方向;②常见支持物的弹力方向a．判断弹簧的弹力方向要注意看弹簧处于压缩还是伸长;b．绳子产生的弹力沿绳的收缩方向;c．平面产生或受力的弹力压力或支持力垂直于平面；曲面产生或受到或产生的弹力垂直于曲面该处的切面；一个点产生或受到的弹力垂直于跟它接触的平面或曲面的切线,其方向均指向被压或被支持的物体;d．与施力物体的形变方向相反;6大小：①由于弹力是被动力,所以一般情况下应根据物体的运动状态,利用平衡条件或牛顿定律来求解;②弹簧弹力可由胡克定律来求解;胡克定律：在弹性限度内,弹簧弹力的大小和弹簧的形变量成正比,即f=kx;注意：①公式中x为弹簧的形变量,即弹簧伸长后的长度减去弹簧的原长,或弹簧的原长减去弹簧缩短后的长度,切不可把X认为是弹簧的长度;②K为弹簧的劲度系数,它只是与弹簧本身因素有关,单位是牛/米N/m胡克定律的适用范围是在弹簧的弹性限度内,弹簧产生的弹力与弹簧的形变量成正比,其中,形变量是指弹簧形变时的长度与弹簧自由长度的差值;3、摩擦力1静摩擦力：一个物体在另一个物体表面上有相对运动趋势时所受到的力叫做静摩擦力;①产生条件：a.接触面是粗糙的；b.两个物体互相接触且相互间有挤压；c.物体间有相对运动的趋势;a.方向：跟接触面相切,并且跟物体相对运动趋势方向相反;所谓的相对,是以施加摩擦力的施力物体为参考系的;b.相对运动趋势的方向的判定：假设接触面光滑没有摩擦力,看物体的相对运动方向,由此判定相对运动趋势的方向③大小：a.最大静摩擦力：静摩擦力存在最大值,称为最大静摩擦力;它等于使物体刚要运动所需要的最小外力;b.静摩擦力的大小不是一个定值,静摩擦力随实际情况而变,大小在零和最大静摩擦力Fm之间;其数值可由物体的运动状态确定;2滑动摩擦力：a.定义：一个物体在另一个物体表面上相对滑动时,要受到另一个物体阻碍它相对滑动的力,此力就为滑动摩擦力;b.产生条件：①接触面粗糙②两个物体互相接触且相互间有挤压③物体间有相对运动;c.大小与方向：①方向：总是跟接触面相切,并且跟物体与相对运动方向相反;所谓相对,仍是以施加摩擦力的施力物体为参考系的;②大小：滑动摩擦力f的大小跟正压力成正比,即f=μN;μ为动摩擦因数：与接触面的材料、粗糙程度有关;接触面的粗糙程度及接触面间的弹力有关;③滑动摩擦力的大小比最大静摩擦力f max略小;通常的计算中可以认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力;三受力分析1、三种常见力的产生条件及方向特征：力学范围内的三种常见力指的是重力、弹力和摩擦力;这三种常见的产生条件及方向特征如下表所示：2、物体受力情况的分析1物体受力情况分析的理解：把某个特定的物体在某个特定的物理环境中所受到的力一个不漏,一个不重地找出来,并画出定性的受力示意图;2物体受力情况分析的方法：为了不使被研究对象所受到的力与所施出的力混淆起来,通常需要采用“隔离法”,把所研究的对象从所处的物理环境中隔离出来；为了不使被研究对象所受到的力在分析过程中发生遗漏或重复,通常需要按照某种顺序逐一进行受力情况分析,而相对合理的顺序则是按重力、弹力,摩擦力的次序来进行;3物体受力情况分析的依据：在具体的受力分析过程中,判断物体是否受到某个力的依据通常有如下三个;①根据力的产生条件来判断；②根据力的作用效果来判断；③根据力的基本特性来判断;3、步骤正确地对物体进行受力分析,是解决力学问题的前提和关键,一般方法如下：1首先要明确研究对象这是分析所有物理问题的第一步工作,并将它从周围的物体中隔离出来,明确研究对象就是要明确对哪个物体或者哪几个物体组成的系统进行受力分析,分析时应注意以下三点：①力学的研究对象是受力物体,只分析研究对象受到的力,不分析研究对象对其它物体的作用力;②不要把作用在其它物体上的力,错误在认为是通过“力的传递”作用在研究对象上,即只要画直接作用在研究对象上的力;③如果研究对象是由几个物体组成的系统,只应考虑系统外的物体对系统内物体的作用力,而不应考虑内物体之间的相互作用力,即只考虑外力而不考虑内力因为我们要研究的是系统整体的运动状态,而内力对系统整体的运动状态无影响;2其次,要养成按一定顺序进行分析的习惯,其目的在避免丢力;一般按照：“重力→已知外力→弹力→摩擦力→其它场力电场力、磁场力等”的顺序进行受力分析;这是因为只要是地球上的物体就肯定会受到重力的作用,已知外力是外界主动施加的,这两种力都是能肯定是否存在的,而这两种重力又是非接触力,易忘记,所以放在第一位;弹力是一种被动力,一般要随着其它力的变化而变化,所以弹力的分析必须放在重力和已知外力之后;摩擦力存在的条件之一是存在弹力,所以摩擦力的分析必须放在弹力之后;其它场力,只有存在电磁场时才可能受到,所以放在最后分析;3在分析接触力如弹力、摩擦力时,必须找全周围与研究对象接触的所有的物体,其目的也是为了避免丢力,一般来说,有几个接触物体就可能有几个接触力,然后再具体判断每一个接触力是否存在;4遇到某力存在与否或其方向难以确定时,通常可采用以下两种方法来分析：①利用平衡条件或牛顿第二定律;可先假设该力存在,也可以假设该力不存在,再结合已知条件分析其是否满足平衡条件或牛顿第二定律;②利用牛顿第三定律;在对多个物体构成的系统中的每一个对象进行受力分析时,弹力和摩擦力是否存在、方向如何往往是一件比较棘手的事情,此时可先分析较简单受力较少的物体受力,再利用牛顿第三定律甲对乙有某种性质的作用力,乙对甲一定也有某种性质的作用力分析较复杂受力较多物体的受力;5画出受力图后要进行检验,看是否有多余的力,检验的主要依据有：①力的概念;看各力是否有施力物体,没有施力物体的力是不存在的;②看物体的运动状态和受力分析的结果是否吻合;③各力产生的条件等;四典型例题例1、下列关于物体受静摩擦力作用的叙述中,正确的是A．静摩擦力的方向一定与物体的运动方向相反B．静摩擦力不可能与物体运动方向相同C．静摩擦力的方向可能与物体的运动方向垂直D．静止物体所受静摩擦力一定为0解析：静摩擦力可以是动力也可以是阻力,故A、B错,静摩擦力的方向一般由相对运动趋势的方向来判断,但在相对运动趋势难以确定时,就应根据物体的运动情况间接判断;比如,处在水平转盘上的物体随盘一起匀速转动,受到的重力和支持力平衡,那么提供向心力的力必然是静摩擦力;答案：C注意：在物体的受力分析中,摩擦力的分析是难点,我们除了从摩擦力产生条件的角度来分析以外,还应注意从物体所处的运动状态来分析;虽然很多情况下,运动的物体受滑动摩擦力,静止的物体受静摩擦力,但是静止的物体也可以受滑动摩擦力,运动的物体也可以受静摩擦力,静摩擦力既可以是动力,也可以是阻力,滑动摩擦力也一样,对此,我们切不可以偏概全;例2、重100N的木块放在水平桌面上,它与水平桌面间的动摩擦因数为μ=,它与桌面之间最大静摩擦力为30N;水平拉力F作用在木块上,当力F的大小由零逐渐增大到28N时,木块所受的摩擦力大小为__________；当力F的大小由35N减小到28N时,木块所受摩擦力的大小为_________;答：28N,25N解析：木块静止,当所施水平力F从零开始增大,当拉力小于最大静摩擦力时,木块保持静止;水平方向木块所受拉力F与静摩擦力f静相平衡,所以有：f静=F1=28N当拉力从35N减小时,由于初始它大于木块的最大静摩擦力,木块沿桌面滑动,这样木块受到的是滑动摩擦力;f滑=μN=μmg=×100N=25N当拉力从35N减小到28N时,木块沿桌面滑动,其所受摩擦力为f滑=25N;例3、如图,两木块的质量分别为m1、m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1、k2,上面木块压在上面弹簧上但不拴接,整个系统处于平衡状态,现缓慢向上提上面的木块直到它离开上面弹簧,在这个过程中,下面木块移动的距离是解析：本题主要考查胡克定律;两木块都处于平衡状态,由平衡条件可知,下面弹簧弹力为：F2=m1+m2g,下面弹簧的压缩量为,缓慢上提上面的木块,当它离开上面的木块时,下面弹簧的弹力：=m2g,相应的压缩量为,所以下面木块向上移动的距离为;答案：C注意：该题关键在于弹簧所处状态,在分析这类问题时,应特别注意隐含的两种可能：压缩形变和伸长形变,应特别注意这种多解性;例4、如图甲所示,在水平桌面上放一木块,用从零开始逐渐增大的水平拉力F拉木块直到沿桌面运动,在此过程中,木块所受到的摩擦力F f的大小随拉力F的大小变化的图象是图乙中的解析：当拉力F=O时,桌面与木块间没有摩擦,F f=0；当木块受到水平拉力F较小时,木块仍保持静止,但有相对桌面向右运动的趋势,桌面对木块产生向左的静摩擦力；随着F的不断增大,桌面对木块的静摩擦力也随着增大,直到F足够大时,木块开始滑动,此时静摩擦力达到最大值F max；木块滑动后,桌面对木块的滑动摩擦力F f=μF N=μmg,F f小于F max且大小保持不变．故正确选项应为D．注意：本题常见错误是认为开始时摩擦力随外力F的增大而增大,当F增大到等于滑动摩擦力μmg时,物体开始运动,此后保持μmg不变而错选C．例5、小车向右做初速为零的匀加速运动,质量为m的物体恰好沿车后壁匀速下滑.求物体下滑过程中所受摩擦力和弹力的大小,并分析物体所受摩擦力的方向和物体速度方向的关系.解析：竖直方向:f=mg；水平方向:N=ma物体受的滑动摩擦力始终和小车的后壁平行,方向竖直向上,而物体的运动轨迹为抛物线,相对于地面的速度方向不断改变竖直分速度大小保持不变,水平分速度逐渐增大,所以摩擦力方向和运动方向间的夹角可能取90°和180°间的任意值.例6、用与竖直方向成α=30°斜向右上方,大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止.求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f.解析：从分析木块受力知,重力为G,竖直向下,推力F与竖直成30°斜向右上方,墙对木块的弹力大小跟F 的水平分力平衡,所以N=F/2,墙对木块的摩擦力是静摩擦力,其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：当时,f=0；当时,,方向竖直向下；当时,,方向竖直向上.静力学二一、一周内容概述这周的主要内容是复习力的合成和分解,掌握用力的平行四边形法则对物体的受力情况进行分析,掌握力的正交分解法,掌握验证平行四边形实验的步骤和技巧;二、重难点知识讲解一分力和合力1、合力与分力、力的合成1合力与分力的概念：一个力产生的效果跟几个力共同作用产生的效果相同,这个力就叫那几个力的合力．而那几个力就叫做这个力的分力．2合力与分力的关系：①合力与分力之间是一种等效替代的关系．一个物体同时受到几个力的作用时,如果用另一个力来代替这几个力而作用效果不变,这个力就叫那几个力的合力,但必须要明确合力是虚设的等效力,并非是真实存在的力,合力没有性质可言．也找不到施力物体,合力与它的几个分力可以等效替代,但不能共存,否则就添加了力．②一个力可以有多个分力,即一个力的作用效果可以与多个力的作用效果相同．当然,多个力的作用效果也可以用一个力来代替．3力的合成：①概念：求几个力的合力叫力的合成．②力的合成的本质：力的合成就是找一个力去代替几个已知的力,而不改变其作用效果．2、共点力1概念：几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于同一点,这几个力叫共点力．2一个具体的物体,所受的各个力的作用点并非完全在同一个点上,若这个物体的形状、大小对所研究的问题没有影响,我们就认为物体所受到的力就是共点力．如图1所示,我们可以认为拉力F、摩擦力F f及支持力F N 都与重力G作用于同一点O．又如图2所示,棒受到的力也是共点力．二力的分解和合成1、力的平行四边形定则1内容：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形,那么,合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来．这叫做力的平行四边形定则．2根据力的平行四边形定则可得出以下结论：①共点的两个大小一定的力F1和F2的合力F的大小,与它们的夹角θ有关．θ越大,合力越小；θ越小,合力越大．当θ=0°时,F最大．F=F1＋F2．当θ=180°时,F最小．F=|F1－F2|．合力的取值范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2．②合力可能比分力大,也可能比分力小,也可能等于某一分力．2、多个力的合成先任选两个力合成求合力,然后把这个合力跟第三个力再合成求三个力的合力．以此类推,以后大多数都采用正交分解法求合力．3、力的分解的概念1分力：几个力共同作用产生的效果跟原来一个力作用产生的效果相同,这几个力就叫做原来那个力的分力．2力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解．注意：力的分解就是找几个力来代替原来的一个力,而不改变其作用效果．合力与分力间是等效替代的关系．4、力的分解的方法1力的分解法则——力的平行四边形定则．力的分解是力的合成的逆运算,同样遵守平行四边形定则．即把已知力作为平行四边形的对角线,那么与已知力共点的两条邻边就表示已知力的两个分力的大小和方向．注意：一个力可以分解为无数多对分力．如图1所示,要确定一个力的两个分力,一定要有定解的条件．2分力有唯一定解的条件：①已知两分力的方向且不在同一直线上．如图2所处开始示,要求把已知力分解成沿OA、OB方向的两个分力,可以从F的箭头处开始作OA、0B的平行线,画出力的平行四边形,即可得两分力F1、F2．②已知一个分力的大小和方向．如图3所示,已知一个分力为F1,则先连接合力F和分力F1的箭头,即为平行四边形的另一邻边,作出平行四边形,可得另一分力F2．5、一个已知力的实际分力的确定方法1基本步骤：①先根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．②再根据两个实际分力方向画出平行四边形．③最后根据平行四边形知识求出两分力的大小和方向．2基本方法：①作图法：先确定一个标度,作出力F的图示,以F为对角线再按题中的已知条件,作出平行四边形,与之共点的一对邻边就表示两个分力的大小和方向,其中分力大小先用直尺量得长度,再按标度求出,方向用量角器量出．②计算法：以已知力为对角线作出平行四边形示意图,再按平面几何知识如直角三角形的勾股定理、任意三角形的余弦定理、正弦定理等,求出两分力的大小和方向．6、力的正交分解法当物体受力较多时,常常把物体受力沿互相垂直的两个方向分解,根据=0,=0列方程求解．7、力矢量三角形定则分析力最小的规律1当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时,另一个分力F2的最小条件是：两个分力垂直,如图a;最小的F2=Fsinα;2当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时,另一个分力F2最小的条件是：所求分力F2与合力F 垂直,如图b;最小的F2=F1sinα;3当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时,另一个分力F2最小的条件是：已知大小的分力F1与合力F 同方向;最小的F2=|F－F1|;三验证力的平行四边形定则本实验的目的是验证两个共点力合成时,遵守平行四边形定则．若有两个共点力共同作用的效果与第三个力单独作用的效果相同时,第三个力就是这两个共点力的合力．这三个力应满足如下的几何关系：以两个共点力为邻边作平行四边形,则此两边所夹的对角线就是第三个力对应的矢量线．为验证此定则,可用橡皮条的伸长表明力的等效性．先用两个弹簧秤拉线绳,使橡皮条伸长,绳的结点到达O点,记录两个弹簧秤示数F1和F2及两个力的方向；只用一只弹簧秤重新将结点拉到O点,记录此时弹簧秤示数F及方向．以F1、F2为邻边作平行四边形及对角线OF′,按同一标度,画出第三个力OF,在同一图中,比较OF′和OF情况．若OF′和OF长度及方向相差很小,则表示OF′所表示的力F′和F的实验误差允许的范围内相等．平行四边形定则得证．注意：1基本测量工具及其使用①弹簧秤测两个分力的大小和等效合力的大小②量角器测量由平行四边形定则作图得到的合力F与用一个弹簧秤直接拉出的合力F′的夹角θ。

《机械运动》速度矢量，方向也重要在我们日常生活和科学研究中，机械运动是一个无处不在的现象。

从飞驰的汽车到飞翔的鸟儿，从转动的风扇到运行的卫星，物体的运动无时无刻不在我们身边发生。

而在描述机械运动时，速度是一个至关重要的概念。

我们通常所说的速度，不仅仅是指物体移动的快慢，还包括其运动的方向。

这就是速度矢量的本质，而其中方向的重要性往往容易被忽视。

让我们先来理解一下什么是速度矢量。

简单来说，速度矢量是一个既有大小又有方向的量。

速度的大小表示物体运动的快慢，而方向则表示物体运动的路径走向。

如果只考虑速度的大小，我们得到的是速率。

比如说，一个人以每秒 5 米的速率跑步，这并没有告诉我们他是朝着哪个方向跑的。

但如果说他以每秒 5 米的速度向正东方向跑，这就完整地描述了他的运动状态。

为什么方向在速度矢量中如此重要呢？想象一下，你在一个繁忙的十字路口，一辆车以很快的速度行驶过来。

如果我们不知道车的行驶方向，就无法准确判断它是否会对我们造成威胁，也无法有效地采取避让措施。

同样的道理，在许多实际的机械运动场景中，方向的明确对于准确描述和预测物体的运动轨迹至关重要。

比如在航空领域，飞机的飞行速度矢量直接关系到它的航线规划和飞行安全。

如果只知道飞机的飞行速度大小，而不知道其方向，那么飞机可能会偏离预定航线，甚至引发严重的飞行事故。

再比如，在航海中，船只的速度矢量对于导航和避免碰撞也起着关键作用。

了解船只的速度方向，可以帮助船员准确地驶向目的地，并及时避开其他船只或障碍物。

在物理学的研究中，速度矢量的方向同样不可或缺。

牛顿第二定律告诉我们，物体所受的合力等于质量乘以加速度。

而加速度也是一个矢量，它的方向与合力的方向相同。

当我们分析物体的运动状态变化时，必须同时考虑速度矢量的大小和方向的改变。

例如，一个做匀速圆周运动的物体，其速度大小不变，但方向不断变化，因此它具有向心加速度。

在工程领域，速度矢量的概念也被广泛应用。

例如，在机械设计中，了解零部件运动的速度矢量可以帮助工程师优化设计，减少磨损和提高效率。

矢量设计理念矢量设计是一种基于矢量图形技术的设计理念，主要应用于图标、标志、插画等平面设计领域。

相比于位图设计，矢量设计具有许多优点和创作灵活性，以下是几种矢量设计的核心理念。

首先，矢量设计具有无限的扩展性和可编辑性。

矢量图形是由数学公式计算得出的线条和曲线组成的，因此可以无限放大或缩小而不失真。

这使得矢量设计在不同尺寸和媒介中都能保持清晰的图像质量。

另外，矢量图形也可以随时进行修改和编辑，使得设计师能够随时调整线条、颜色和形状等细节，从而更好地满足客户需求。

其次，矢量设计注重简洁和清晰。

由于矢量图形是由简单的线条和形状组成的，因此可以通过减少冗余和精简图形元素，达到简单而清晰的效果。

这种简洁的特点使得矢量图形在小尺寸和简单图形的情况下表现出色。

同时，简洁的设计也符合现代平面设计趋势，迎合了人们对简单而具有力量感的视觉风格的喜爱。

此外，矢量设计强调平面感和构图。

矢量图形只能使用纯色进行填充，没有渐变和纹理等效果。

因此，设计师必须通过线条和形状的布局和组合，来表现出平面感和立体感。

这需要设计师具备良好的构图能力和空间把握能力。

矢量设计的构图也可以运用一些设计原则如对称、韵律、比例等，使设计作品更加有吸引力和专业感。

最后，矢量设计追求独特性和个性化。

矢量图形可以通过改变线条的形状、粗细、透明度和颜色等属性，来体现不同的风格和表现效果。

设计师可以根据作品的需求和风格，运用不同的线条和形状处理方式，创造出独特而个性化的作品。

这种个性化的设计风格也能够辨识度更高，并且有助于设计师树立个人品牌和建立专业声誉。

总之，矢量设计作为一种设计理念，在图标、标志、插画等平面设计领域具有广泛的应用。

通过无限的扩展性和可编辑性、简洁和清晰、平面感和构图、独特性和个性化等特点，矢量设计能够满足不同媒介和大小尺寸的设计需求，同时也能够提高设计师的创作灵活性和设计效果。

矢量具有大小和方向的物理量矢量是物理学中的重要概念，它具有大小和方向的特点。

矢量在物理学中广泛应用于力学、电磁学、流体力学等领域，对于描述和分析复杂的物理现象有着重要的意义。

本文将以力学领域为例，探讨矢量的特性及其应用。

一、矢量的定义与运算矢量是指在空间中具有大小和方向的物理量。

在直角坐标系下，矢量可以用坐标表示为一个有序数对(x, y, z)，其中x、y、z分别表示在x、y、z轴上的投影。

1. 矢量的大小矢量的大小表示为矢量的模，通常用符号|A|表示。

对于(x, y, z)的矢量A来说，其大小计算公式为|A| = √(x^2 + y^2 + z^2)。

矢量的大小是一个标量，它表示了矢量的长度或大小。

2. 矢量的方向矢量的方向指的是矢量所指向的直线或轴。

在直角坐标系下，矢量的方向可以用与坐标轴之间的夹角来表示。

该夹角通常用符号θ表示。

3. 矢量的运算矢量之间的运算包括加法、减法和数乘。

（1）矢量的加法矢量的加法满足三角形法则。

即将两个矢量的起点置于同一点，然后依次将它们相连，连接的结果即为两个矢量的和。

用符号表示为 A + B = C。

在直角坐标系下，两个矢量A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)的和C(x₃, y₃, z₃)的坐标可以表示为 x₃ = x₁ + x₂，y₃ = y₁ + y₂，z₃= z₁ + z₂。

（2）矢量的减法矢量的减法也可以通过三角形法则实现。

即将减去的矢量B反向，然后进行矢量的加法运算。

用符号表示为A - B = C。

在直角坐标系下，两个矢量A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)的差C(x₃, y₃, z₃)的坐标可以表示为 x₃ = x₁ - x₂，y₃ = y₁ - y₂，z₃ = z₁ - z₂。

（3）矢量的数乘矢量的数乘是指将矢量乘以一个标量。

用符号表示为 kA，其中k为标量。

对于矢量A(x, y, z)和标量k来说，数乘的结果为kA(kx, ky, kz)。

天津大学电子信息工程学院二零一四年目录一、标量场和矢量场 (1)二、矢量的通量散度 (6)三、矢量的环流旋度 (9)四、标量场的梯度 (12)五、亥姆霍兹定理 (15)小结 (16)习题 (18)附录1 电磁场与电磁波主要物理量符号和单位 (20)附录2 重要的矢量公式 (24)一、标量场和矢量场物理量场的概念是指，在空间区域的每一点，都有该物理量确定的值与之对应。

即物理量数值的无穷集合表示一种场。

如果此物理量为标量（一个仅用数值就可以表示的物理量，如温度），这种场就称为标量场，如温度场、密度场、电位场等。

如果此物理量为矢量（需要用数值及方向表示的物理量，如速度），这种场就称为矢量场，如速度场、力场、电磁场等。

仅与空间有关的场，称为静态场；与空间、时间都相关的场，称为动态场。

矢量：可以用一段有向线段来表示，如图1-1所示，记为A ，A 为A 的模。

线段长度表示模的大小，箭头是A 的方向。

单位矢量：用来表示矢量的方向 ，记为A ，其模为1，即：//A A A A A ==A AA = （1-1）三种常用的坐标系：()()(),,,,,,x y zz ϕϕθϕθϕ⎧ ⎪⎪⎨⎪⎪ ⎩直角坐标系 x,y,z; 正交坐标系圆柱坐标系r,,z;r 球坐标系r,,;rA图1-1 矢量表示圆柱坐标系、球坐标系对应的自变量与三个矢量方向关系，分别如图1-2、图1-3所示。

图1-2 圆柱坐标系参量示意图图1-3 球坐标系参量示意图位置矢量：从坐标原点指向空间位置点的矢量，记为r 。

对直角坐标系有r xx yy zz =++。

r 与空间位置点(),,x y z 有着一一对应的关系，即空间位置点(),,x y z 可以用位置矢量r 表示。

三维空间的矢量场可以分解为三个分量场， ()()()()x y z F r x F r y F r z F r = + + 。

其中()()()x y z F r F r F r 、、为标量场。

矢量相关物理知识点总结矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。

在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。

在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。

一、矢量的基本概念1. 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。

在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。

2. 矢量的性质矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。

矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。

起点是矢量的起始位置，通常用A表示。

3. 矢量的分解矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。

矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。

二、矢量的运算1. 矢量的加法矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。

在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。

2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。

在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。

3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。

数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。

4. 矢量的向量积矢量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的正弦值，并且方向垂直于这两个矢量所在的平面。

向量积的结果是一个矢量。

三、矢量的坐标表示1. 矢量的坐标分量矢量在笛卡尔坐标系中可以表示为一个有序实数对(x,y)，其中x表示矢量在x轴上的分量，y表示矢量在y轴上的分量。