高一三角函数考点

三角函数的图象与性质考纲解读 1.结合y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，进行简单的变换；2.利用y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 在一个周期内的性质，求解简单的三角方程、不等式、周期性等．[基础梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，()π，－1，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )且x ≠k π＋(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数，非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．[三基自测]1．函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案：D3．f (x )＝cos 2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[0,1] C ．[－1,0] D ．[0，π]答案：A4．(必修4·习题1.4B 组改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 __________________． 答案：⎝⎛⎭⎫π8＋k 2π，58π＋k2π，k ∈Z 5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝3cos x －34的最小正周期为__________．答案：2π[考点例题]考点一 有关三角函数的定义域、值域、最值|模型突破角度1 单调性法求三角函数的最值(值域)[例1] 已知函数f (x )＝(cos x －sin x )·sin 2xcos x .(1)求函数f (x )的定义域及最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，求函数f (x )的最值． [解析] (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．因为f (x )＝(cos x －sin x )·2sin x ·cos xcos x＝2sin x cos x －2sin 2x ＝sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π2<x ≤0，所以－3π4<2x ＋π4≤π4.令－3π4<2x ＋π4<－π2，则－π2<x <－3π8；令－π2≤2x ＋π4≤π4，则－3π8≤x ≤0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，－3π8上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－3π8，0上单调递增． 所以当x ＝－3π8时，函数f (x )取得最小值，所以f (x )min ＝－2－1.因为f (0)＝2sin π4－1＝0，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π4－1＝－2，所以f (x )max ＝0. 所以函数f (x )的最大值为0，最小值为－2－1. [模型解法]角度2 换元法求三角函数的最值(值域)[例2] 已知x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，则函数f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716的最小值为__________．[解析] 因为f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716，所以f (x )＝2sin 2x －12sin x ＋cos 2x ＋116＝sin 2x －sin x 2＋1716＝⎝⎛⎭⎫sin x －142＋1. 设t ＝sin x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以12≤t ≤1.又函数y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增， 所以当t ＝12时，y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1取得最小值y min ＝⎝⎛⎭⎫12－142＋1＝1716， 即函数f (x )的最小值为1716.[答案]1716[模型解法][高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：1考点二 三角函数的性质及应用|方法突破命题点1 三角函数的单调性[例3] (1)(2018·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫2π3，π(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(3)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74[解析] (1)因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2， 解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2可得k π＋π3<x <k π＋5π6，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π6. (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. (3)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，k ∈Z ，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.[答案] (1)B (2)B (3)D [方法提升]1．求三角函数单调区间的方法2.[母题变式]1．若本例(2)的条件改为函数f (x )＝m sin ωx (其中ω>0，m >0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是__________．解析：因为ω>0，m >0， 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，所以⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 答案：⎝⎛⎦⎤0，34 2．将本例(3)改为：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 则g (x )的单调递增区间为__________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故所给函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2命题点2 三角函数的奇偶性、对称性、周期性[例4] (1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2(3)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(4)(2018·湘西自治州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] (1)由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.(3)由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.(4)由题意得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x －2π)＝sin 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. [答案] (1)C (2)C (3)B (4)A [方法提升][跟踪训练]3．(2018·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3解析：由已知得f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3为偶函数，由诱导公式可知φ＋π3＝k π.(k ∈Z ) 当k ＝0时，φ＝－π3.答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：已知函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，则其对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9，故选A.答案：A5．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6解析：对于选项A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的最小正周期T ＝2π12＝4π，故不满足①；对于选项B ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 可解得其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，故不符合③；对于选项C ，令y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1，为最大值，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称，且其周期T ＝2π2＝π，具有性质①、②，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，从而当k ＝0时，有函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎝⎛⎭⎫－π6，π3上是增函数，具有性质③，符合题意．对于选项D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的最小正周期T ＝2π12＝4π，故不满足①. 答案：C[真题感悟]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：依题意得，函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝2π2＝π，选C.答案：C2．(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．πD ．2π解析：y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意知：⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，则ω＝2k ＋1，其中k ∈Z .因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤12×2πω，ω≤12.接下来用排除法．若ω＝11，φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，若ω＝9，φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减．答案：B。

高中数学总复习-三角函数第5课 三角函数的图像和性质(一)【考点导读】1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质；2 22. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像；3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】动的最小正周期T _____L_；初相 —-2.三角方程2sin(_ - x)=1的解集为4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x______ - ____ 个单位. 【范例解析】例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx).(I)用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度为一个周期；2’ 2(H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而1.已知简谐运动f(x) 2sin (3X )(2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运3.函数 y Asin( x )( 0,尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为y4si n( x ) 8 4的图象向右平移分析：化为Asin( x )形式.得到•列表，取点，描图:x33588888y11逅1 1 V21故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是:(U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x )4 41的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不4 2变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标4 4伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将4y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到4y 1 - 2 sin(2x -)的图像.1解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得2到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到8解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x2(sin 2x cos —4cos2xs in )4 2sin(2x 4).分析：化为Asin( x )形式.x -)的图像上所有点纵坐标伸长到原来 的2倍(横坐标不变)，得到y 、2sin(2x)的图像，再将y 二sin(2x) 44的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y 1 ,2sin(2x -)的图像. 4例2.已知正弦函数y Asin( x ) (A 0, 0)的图像如右图所示.(1) 求此函数的解析式f 1(x)；(2) 求与fdx)图像关于直线x 8对称的曲线的解析式f 2(x); (3) 作出函数y h(x) f 2(x)的图像的简图.£(x) 一 2sin(gx 4).(2)设函数f 2(x)图像上任一点为M(x,y)，与它关于直线x 8对称的对称点为M (x,y)，f 2(x)2sin (尹 4)y sin(2x —)的图像，然后把y sin(2 分析：识别图像，抓住关键点. 解：(1)由图知，A 伍,Q 2 将x 2， y 2代入，，即 y 2 sin( x ).88 、、2sin (— ).2，解得一，即(6 2) 16，8得 28，解得y y. 16 x,y.代入 f 1(x) 、2sin( x84-)中，得(3) y f i(x)示.点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求【反馈演练】1. 为了得到函数y 2sin（°）,x R的图像，只需把函数y 2sin x，x R的图3 6像上所有的点①向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）；②向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）；③向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐6标不变）；④向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐6标不变）.其中，正确的序号有__③_ .62. 为了得到函数y sin（2x ）的图象，可以将函数y cos2x的图象向右平移___ 个单位长度.—3 —65. 下列函数:其中函数图象的一部分如右图所示的序号有y Asin( x ) b(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式.n __7.如图，函数y 2cos( x )(x R ， >0,0< <-)的图象与y 轴相交于点(0, 3)，且该函数的最小正周期为(1)求和的值;(2)已知点A n ,0，点P 是该函数图象上一点，点23.若函数 f(x) 2sin( x )，x R (其中 0， 2)的最小正周期是， 且 f(0)、3，则3_2 ______ 4.在0,2 内，使sin x5 4盲cosx 成立的x 取值范围为 ________① y sin x —6② y sin 2x③ y cos 4x — 3④ y cos 2x6. 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数解：(1)由图示，这段时间的最大温差是 30 10 20 °C(2)图中从6时到14时的图象是函数yAsin( x )b 的半个周期• •• 1 — 14 6，解得21由图示，A —(30 10)2101 b 2(1030) 2020这时，y 10sin(8x )将x 6,y10代入上式，可取3 4综上，所求的解析式为y 10si n( —x —) 8 420 ( x [6,14])第6题第7题当y 。

第1讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一 三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．－15D.35答案 B解析 因为角α的终边经过点(－1,2)， 所以sin α＝2(－1)2＋22＝25，cos α＝－1(－1)2＋22＝－15， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝15－45＝－35.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝______. 答案 35 45解析 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α ＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45.二级结论 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α知一可求二．跟踪演练1 (1)(2022·山西联考)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°等于( ) A.aa 2＋1 B ．－aa 2＋1C.2a a 2＋1 D ．－2aa 2＋1 答案 C解析 由题可知a >0，sin 10°＝a sin 100°＝a sin(90°＋10°)＝a cos 10°， 又因为sin 210°＋cos 210°＝1， 解得sin 10°＝a a 2＋1，cos 10°＝1a 2＋1， 所以sin 20°＝2sin 10°cos 10° ＝2·a a 2＋1·1a 2＋1＝2aa 2＋1. (2)已知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________. 答案 －15解析 ∵2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)， ∴2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－12，∴sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－15.考点二 三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的步骤例2 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的图象―――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12的图象．(2)(多选)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3C ．2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．2cos ⎝⎛⎭⎫x －7π6 答案 BC解析 根据图象，可得A ＝2，设f (x )的最小正周期为T ， 则34T ＝7π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝3π4， 解得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.将最低点的坐标⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入 f (x )＝2sin(2x ＋φ)中， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝－2， 则7π6＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 解得φ＝2k π－5π3(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2k π－5π3(k ∈Z )． 令k ＝0，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6－π2＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 规律方法 由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2 (1)(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是( ) A.43 B.83 C.163 D ．8 答案 A解析 由题可知，3π4是该函数周期的整数倍，即3π4＝πω×k ，k ∈Z ，解得ω＝4k3，k ∈Z ， 又ω>0，故其最小值为43.(2)(2022·黄山模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到y ＝f (x )的图象，需将函数g (x )＝A cos ωx 的图象至少向右平移( )A.π3个单位长度 B.π4个单位长度 C.π6个单位长度 D.2π3个单位长度 答案 A解析 由图象可知A ＝2，f (x )的最小正周期 T ＝2×⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2πω，解得ω＝2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 解得φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12. ∵g (x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴将g (x )的图象至少向右平移π4＋π12＝π3个单位长度可得f (x )的图象．考点三 三角函数的性质核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．(3)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．例3 (1)(2022·赣州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f (x )在(－m ，m )上单调递增，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎦⎤0，π2 C.⎝⎛⎦⎤0，3π4 D.⎝⎛⎦⎤0，3π2 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π， 则12T ＝2π，即T ＝4π，则ω＝2π4π＝12， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4， 由2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上单调递增， 由(－m ，m )⊆⎣⎡⎦⎤－3π2，π2得0<m ≤π2， 所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π2. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3<T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A ．1 B.32 C.52 D ．3答案 A解析 因为2π3<T <π，所以2π3<2πω<π，解得2<ω<3.因为y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称， 所以b ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＋b ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝k π(k ∈Z )， 又2<ω<3，所以13π4<3π2ω＋π4<19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋π4＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫52×π2＋π4＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A. 规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，然后结合正弦函数y ＝sin x 的性质求f (x )的性质，此时有两种思路：一种是根据y ＝sin x 的性质求出f (x )的性质，然后判断各选项；另一种是由x 的值或范围求得t ＝ωx ＋φ的范围，然后由y ＝sin t 的性质判断各选项．跟踪演练3 (1)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，则( ) A ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 答案 AD解析 因为函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝0，可得4π3＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝－4π3＋k π(k ∈Z )，结合0<φ<π，得φ＝2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 对于A ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，5π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减，故A 正确；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，11π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×7π6＋2π3＝sin 3π＝0，所以x ＝7π6不是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C 不正确；对于D ，因为f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，若直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线， 则由2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，得2x ＋2π3＝2k π＋2π3或2x ＋2π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )， 所以x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z )．当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝32， 则由32＝32－k π(k ∈Z )，解得k ＝0； 当x ＝k π＋π3(k ∈Z )时，f (x )＝－32，方程－32＝32－k π－π3(k ∈Z )无解． 综上所述，直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线，故D 正确． (2)(2022·广州联考)若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减，且在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3，则ω＝________. 答案 －14解析 因为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减， 所以ω<0，π|ω|≥2π3，则－32≤ω<0，又因为函数在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3， 所以－π3ω＋π4＝π3＋k π，k ∈Z ，即ω＝－14－3k ，k ∈Z ，所以ω＝－14.专题强化练一、单项选择题1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，则角θ可以为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3 答案 D解析 ∵角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，∴θ是第四象限角，且cos θ＝12，sin θ＝－32，则θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，结合选项知角θ可以为5π3.2．(2022·惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<3π2，则cos α－sin α等于( )A.55 B ．－55 C.355 D ．－355答案 A解析 由tan α＝sin αcos α＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<3π2，得sin α＝－255，cos α＝－55，所以cos α－sin α＝－55－⎝⎛⎭⎫－255＝55. 3.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32答案 B解析 时针指向9时，分针指向12，当分针转到指向9时，旋转了圆周的34，因此时针旋转了1个小时⎝⎛⎭⎫即2π12的34，所以θ＝2π12×34＝π8， 所以(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin 2θ－cos 2θ ＝－cos 2θ＝－cos π4＝－22.4．(2022·全国甲卷)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( ) A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析 记曲线C 的函数解析式为g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋⎝⎛⎭⎫π2ω＋π3.因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以π2ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝13.故选C.5.(2022·福州质检)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－16，k π＋56，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－16，2k π＋56，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k －16，k ＋56，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的最小正周期T 满足T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，ω＝2π2＝π， ∴f (x )＝sin(πx －φ)，由f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝0， 得π3－φ＝k π，得φ＝π3－k π，k ∈Z ， ∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3， 由2k π－π2≤πx －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k －16≤x ≤2k ＋56，k ∈Z ， 因此，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z . 6．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a >0)的最大值为2，若方程f (x )＝b在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内有三个实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1＋2x 2＋x 3等于( ) A.8π3 B.10π3 C ．4π D.25π6答案 A解析 f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，由题知1＋a 2＝2，且a >0，解得a ＝3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方程f (x )＝b 在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内的实数根，即为在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 的交点的横坐标，如图所示，由f (x )图象的对称性可知，x 1＋x 22＝π6，x 2＋x 32＝7π6， 即x 1＋x 2＝π3，x 2＋x 3＝7π3， 所以x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝8π3. 7.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB ︵上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB ︵的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA.当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s 等于( )A.11－332B.11－432C.9－332D.9－432 答案 B解析 由题意知，△OAB 是等边三角形，所以AB ＝OA ＝2.连接OC (图略)，因为C 是AB 的中点，所以OC ⊥AB ，OC ＝OA 2－AC 2＝ 3.又CD ⊥AB ，所以O ，C ，D 三点共线，所以CD ＝OD －OC ＝2－3， 所以s ＝AB ＋CD 2OA ＝2＋(2－3)22＝11－432. 8．(2022·潍坊模拟)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )，则g 1(t )－g 2(t )的最小值为( )A ．1B.22C.2－12D.2－22答案 D 解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为T ＝2π2＝π， 所以区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4的区间长度是该函数的最小正周期的14， 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )， 所以当区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4关于它的图象的对称轴对称，即对称轴为t ＋t ＋π42＝t ＋π8时，g 1(t )－g 2(t )取得最小值，且此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最值±1，不妨设y 在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最大值g 1(t )＝1，则有sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫t ＋π8＋π3＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋7π12＝1，即2t ＋7π12＝π2＋2k π，k ∈Z ，得t ＝k π－π24，k ∈Z ，所以g 2(t )＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k π－π24＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝22，所以g 1(t )－g 2(t )的最小值为2－22.二、多项选择题9．(2022·武汉质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 在下列区间上单调递增的是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎭⎫－2π3，－π6 D.⎝⎛⎭⎫π3，π答案 BC解析 f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，有x ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6；当k ＝－1时，有x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，只有B ，C 符合．10．(2022·山东联考)已知曲线C 1：y ＝cos 2x ，C 2：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，则下面结论正确的是()A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C 2答案 ACD解析 对于选项A ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故A 正确； 对于选项B ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－5π6≠－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3， 故B 错误；对于选项C ，把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故C 正确； 对于选项D ，把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故D 正确．11．(2022·衡水模拟)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<4，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12，且f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，则下列说法正确的有( )A ．ω＝2B ．φ＝π6C ．直线x ＝13π12是f (x )图象的一条对称轴 D ．点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心答案 ACD解析 由f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12 可知直线x ＝13π12是函数f (x )的图象的一条对称轴，故C 选项正确； 又f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫4π3，0是函数f (x )的图象的一个对称中心， 所以4π3－13π12＝T 4＋kT 2(k ∈Z )， 即T ＝π2k ＋1(k ∈Z )， 又因为T ＝2πω， 所以ω＝4k ＋2(k ∈Z )，因为0<ω<4，所以当k ＝0时，ω＝2符合，故A 选项正确；所以13π12×2＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－13π6(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以当k ＝2时，φ＝－π6符合条件，故B 选项错误； 从而f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， f ⎝⎛⎭⎫7π3＝cos ⎝⎛⎭⎫14π3－π6＝cos 9π2＝0，故点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心，故D 选项正确． 12．(2022·德州联考)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝|cos x |＋3|sin x |，则下列结论不正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 D ．f (x )的最小值为1答案 BC解析 因为x ∈R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，A 正确；f (x )显然是周期函数，因为f (x ＋π)＝|cos(x ＋π)|＋3|sin(x ＋π)|＝|cos x |＋3|sin x |＝f (x )，B 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π3，π2上单调递减，C 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝－cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，设t ＝x ＋π6， 则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以sin t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[1,2]，同理，当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )∈[1,2]，由B 中解答知，π是f (x )的周期，所以f (x )的最小值为1，D 正确．三、填空题13．(2022·黄山模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，则sin x ＝________.答案 5－12解析 由tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，得sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ， 即－cos x －sin x ＝1cos x ，即cos 2x ＝sin x ， 整理得sin 2x ＋sin x －1＝0，而－1≤sin x ≤1，解得sin x ＝5－12. 14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P (8,3cos α)．则sin α＝________.答案 13解析 ∵|OP |＝82＋(3cos α)2＝64＋9cos 2α，∴sin α＝3cos α64＋9cos 2α， cos α＝864＋9cos 2α， ∴sin α·64＋9cos 2α＝3cos α，即sin 2α(64＋9cos 2α)＝9cos 2α，∴sin 2α[64＋9(1－sin 2α)]＝9(1－sin 2α)，即9sin 4α－82sin 2α＋9＝0，解得sin 2α＝9(舍去)或sin 2α＝19， ∵cos α>0 ∴sin α>0，∴sin α＝13. 15．(2022·全国乙卷)记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T .若f (T )＝32，x ＝π9为f (x )的零点，则ω的最小值为________． 答案 3解析 因为T ＝2πω，f ⎝⎛⎭⎫2πω＝32， 所以cos ()2π＋φ＝32，即cos φ＝32.又0<φ<π，所以φ＝π6. 所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为x ＝π9为f (x )的零点， 所以π9ω＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解得ω＝9k ＋3(k ∈Z )． 又ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.16．(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0的最小正整数x 为________．答案 2解析 由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)．点⎝⎛⎭⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6， 所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫－7π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－7π4－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π3＝2cos π3＝1， f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0， 所以⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0， 即[f (x )－1]·f (x )>0，可得f (x )>1或f (x )<0，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6>12或cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎝⎛⎭⎫0，12，不符合题意； 当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝⎛⎭⎫π，7π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0，符合题意． 所以满足题意的最小正整数x 为2.。

三角函数【考点讲解】1..终边相同的角的公式: 终边相同的角相差()0360k k Z ∈练习1. 写出终边在y 轴上的角的集合．练习2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： ⑴ 405°； ⑵ -165°； ⑶ 1563°． 2.角度与弧度的换算 :0180π= L rα=练习1： 把下列各角从角度化为弧度：15°= ；30°= ；45°= ； 60°= ；90°= ；120°= ；180°= ；270°=练习2： 把下列各角从弧度化为角度：．π= ；π2= ；π4= ； π8= ； 2π3= ； π3= ； π6= ； π12= ．练习3．填空：⑴ 若扇形的半径为10cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长l = ，扇形面积S = ．练习4. 已知1°的圆心角所对的弧长为1m ，那么这个圆的半径是 m ． 3.三角函数的概念 :例题1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值．练习1、已知角α的终边上的点P 的座标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值：⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；⑶ 1,2P ⎛ ⎝⎭． 4.各象限角的三角函数值的正负号口诀：一全正二正弦三正切四余弦练习1. 判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º ；（2）-235 º； （3）275π．（4）3π-4{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈{|2,}k k Z ββαπ==+∈练习2．根据条件sin 0θ<且tan 0θ<,确定θ是第几象限的角.． 练习3、已知α为第三象限角，则所在的象限是A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 5.界限角的三角函数值练习1. 求值：5cos1803sin902tan 06sin 270-+-； 练习2.计算：213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π． 练习3．求下列三角函数的值：（1）sin 1485°（2）cos9π4 （3）tan （- 11π6） (09 湖南)4.的值为（ ）A.B. C.D. (12 湖南)14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ．6.sin120的值为 B.1-(14 湖南)6.sin120的值为（） A.2 B.1- C. 2 D. 2-6. 同角三角函数的基本关系式 商数关系 sin tan cos y x ααα== 平方关系 222sin cos 1r αα+==． 例题1. 已知4sin 5α=，且α是第二象限的角, 求cos α和tan α．练习1．已知1cos 2α=，且α是第四象限的角， 求sin α和tan α．练习2．已知3sin 5α=-，且α是第三象限的角， 求cos α和tan α．练习3 已知tan 5α=，求sin 4cos 2sin 3cos αααα--的值．4cos4sinππ2122422(10 湖南)7.化简：()2sin cos a a +=（ ）.A. 1sin 2a +B. 1sin a -C. 1sin 2a -D. 1sin a + 7.三角函数的诱导公式练习1.求下列各三角函数值：(1) 9cos4π； (2) sin 780； (3) 11tan()6π-．练习2 求下列三角函数值：(1) sin(60)-； (2) 19cos()3π-； (3) tan(30)-． 练习3 求下列各三角函数值：(1) 9cos 4π； (2) 8tan 3π； (3) cos870； (4) sin 690． 8.三角函数的图像与性质 ①三角函数的图像sin y x =图像cos y x =图像②.定义域(R)、值域、单调性与最值sin y x =当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．sin y x = 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． cos y x =当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =- cos y x = 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．练习1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）)18sin(π-与)10sin(π-； （2）)523cos(π-与)417cos(π-； （3）85sin π与9cos π2、函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值______________________ 1. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ） A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,11. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ）A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,1公式1 απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαt an )2t an(=+k 公式2：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+）ααπt an t an(=+）公ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-）ααπt an t an(-=-）公αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααt an t an(-=-）③.周期性与奇偶性 周期：奇偶性：sin y x =是奇函数；cos y x =是偶函数1、下列函数中，周期是，又是偶函数的是A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sin2xD ．y=cos2x 2、函数的最小正周期为2，则实数3、函数的最小正周期是____________________．4、函数在其定义域上是A.奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数10、函数的图象①、由函数的图象通过变换得到的图象。

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。

【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。

A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。

正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]． 解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域． 解 依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________． 答案 π2解析 令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析 当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析 画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。