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非线性规划问题的求解方法

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非线性规划问题的求解及其应用

非线性规划问题的求解及其应用

非线性规划问题的求解及其应用非线性规划，可以说是一种非常复杂的数学问题。

在实际应用中，许多系统的优化问题，都可以被转化为非线性规划问题。

但是，由于这种问题的复杂性，非线性规划的求解一直是数学界的一个研究热点。

一、非线性规划的基本概念1. 可行域在非线性规划中，可行域指的是满足所有约束条件的点集。

在二维平面上，可行域能够很容易地表示出来，但在多维空间中，可行域的表示就变得非常困难。

2. 目标函数目标函数是一个数学公式，它用来评估在可行域中各个点的“好坏程度”。

一个非线性规划问题的求解，其实就是在可行域内寻找一个能够最大化目标函数值的点。

3. 约束条件约束条件是指规划问题中需要满足的条件。

这些条件包括函数值的范围限制、变量之间相互制约等。

通常来说，非线性规划的约束条件相对于线性规划而言更加复杂。

二、非线性规划的求解方法在非线性规划问题的求解中，有很多种方法可供选择。

下面，我们来介绍其中一些常用的方法。

1. 半定规划半定规划（Semi-definite Programming, SDP）是非线性规划的一个子集，它具有线性规划的一些特性，但可以解决一些非线性问题。

与线性规划不同的是，半定规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

2. 内点法内点法是一种非常流行的求解非线性规划问题的方法。

它是一种基于迭代的算法，可以在多项式时间内求解最优解。

内点法的一个优点是，它能够解决带有大量约束条件的规划问题。

3. 外点法外点法是另一种常用的求解非线性规划问题的方法。

外点法首先将非线性规划问题转化为一组等式和不等式约束条件的问题。

然后，采用一种迭代的方法，不断地拟合目标函数，以求得最优解。

4. 全局优化法全局优化法是非线性规划问题中最难的问题之一。

全局优化法的目标是寻找一个区域内的全局最优解，这个解要在这个区域中所有可能的解中处于最佳位置。

由于非线性规划问题的复杂性，全局优化法通常需要使用一些高级算法来求解。

三、非线性规划的应用非线性规划被广泛地应用于各种领域，下面我们来介绍其中一些应用。

非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化

运筹学中的非线性规划问题-教案

运筹学中的非线性规划问题-教案

教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。

1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。

1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。

1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。

1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。

1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。

1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。

1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。

1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。

1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。

1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。

1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。

二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。

2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。

2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。

2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。

2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。

非线性规划的解法

非线性规划的解法

非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。

由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。

本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。

一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。

梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。

特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。

然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。

当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。

因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。

二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。

牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。

因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。

但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。

此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。

三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。

共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。

基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。

共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。

四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。

第5章 非线性规划

第5章 非线性规划

(水力约束) (水力摩阻系数约束)
KD GC
L (热力约束)
(粘温关系约束)
(工艺要求约束) (管道强度约束)
在目标函数中，f1(TR)、f2(Pd)一般为非线性函数，约束条 件中亦存在不少非线性函数，显然是一个NLP问题。
非线性规划的基本概念和定理
例3：最小二乘问题：该问题大量存在于工业生产和科学 实验的数据处理中。例如原油的粘度可以表示为：
凹函数的几何意义：
对 于 一 元 函 数 f(x) ， 若
函数曲线上任意两点之 间的连线永远不在曲线
的 上 方 ， 则 f(x) 为 凹 函
数(参见右图) 。
非线性规划的基本概念和定理 f(X)
f [X 1 (1 ) X 2 ]
对于二元函数 f(x1,x2)， 若函数曲面上任意两点 之间的连线永远不在曲 面的上方，则f(x1,x2)为 凹函数(参见右图)。
1、一元函数：
①必要条件：f(x)在x*处取得极值的必要条件是f'(x*)＝0；
②充分条件：若f"(x*)＜0，则x*为极大点； 若f"(x*)＞0，则x*为极小点。 2、多元函数： ①必要条件： f(X)在D域内存在极值点X*的必要条件为 * f ( X ) 0 (即f(X)在X*处的所有一阶偏导数等于0)。
非线性规划的基本概念和定理
根据定义，线性函数既是凸函数，又是凹函数。 凸函数的几何意义： 对 于 一 元 函 在曲线的下方， 则 f(x) 为 凸 函 数 ( 参 见 右
图) 。
非线性规划的基本概念和定理 f(X)
f ( X 1 ) (1 ) f ( X 2 )
§5.1 非线性规划的基本概念和定理
一、什么是非线性规划?

非线性规划问题的求解方法研究

非线性规划问题的求解方法研究

非线性规划问题的求解方法研究随着科技的不断发展，各行各业也在不断发展变化。

非线性规划问题的求解方法也成为了当下热门的话题之一。

非线性规划是指优化问题中目标函数或约束条件是非线性的情况，这类问题在实际应用中很常见。

解决非线性规划问题的数学方法又被称为非线性规划算法。

非线性规划算法主要分为两类：确定性算法和随机算法。

确定性算法是通过一系列有规律的计算来达到问题的最优解。

而随机算法则是简单而暴力的方法，通过一些随机序列来优化思路，最终达到问题的最优解。

下面将介绍几类典型的非线性规划算法。

一、传统算法1. 信赖域算法信赖域算法是一种可应用于大规模非线性规划问题的优化方法。

它考虑了简单的限制条件，以期得到最优解。

它是迭代求解算法，通过寻找限制条件来达到最优解。

2. 罚函数算法罚函数算法的思想是将限制条件进行“惩罚”，使其变得更加强烈。

它可以转化为一个无限制最优化问题来求解原问题。

3. 共轭梯度法共轭梯度法是一种求解大规模非线性规划问题的高效算法。

它是迭代法，通过寻找相互垂直的方向来达到最优解。

二、元启发式算法元启发式搜索（也称为群智能）是一种通过模拟自然界的行为以解决优化问题的算法，包括蚁群算法、粒子群算法、遗传算法等。

1. 蚁群算法蚁群算法是一种基于蚂蚁行为的元启发式算法。

它通过模拟蚂蚁寻找食物的方式来优化问题，即将蚂蚁的行为规则应用于优化问题中。

2. 粒子群算法粒子群算法是一种仿照群体行为的元启发式算法。

它通过模拟鸟群、鱼群等集体行为来寻找最优解。

3. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的元启发式算法。

它通过模仿生物进化的过程来寻找最优解。

遗传算法适用于搜索空间大、目标函数复杂的优化问题。

三、其他算法除了传统算法和元启发式算法，还有一些其他的算法也被应用于非线性规划问题中，包括模拟退火算法、蒙特卡罗方法等。

1. 模拟退火算法模拟退火算法是一种随机退火过程，通过在优化问题的解空间中随机地搜索来寻找最优解。

非线性规划 速度计算公式

非线性规划速度计算公式在物理学中，速度是一个非常重要的概念。

它可以用来描述物体在单位时间内移动的距离，是物体运动状态的重要指标。

在实际应用中，我们经常需要计算物体的速度，以便更好地了解物体的运动规律。

在这篇文章中，我们将介绍非线性规划速度计算公式，帮助读者更好地理解和应用速度计算的方法。

首先，让我们来了解一下什么是非线性规划。

非线性规划是指在约束条件下求解非线性目标函数的最优化问题。

在速度计算中，我们常常会遇到非线性的运动规律，比如物体在空气中的运动、弹簧的变形等。

这时，我们就需要使用非线性规划的方法来求解物体的速度。

在非线性规划速度计算中，常见的方法有牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法都是通过迭代计算来逼近最优解，可以很好地应用于速度计算中。

下面，我们将介绍一个常用的非线性规划速度计算公式，帮助读者更好地理解速度计算的方法。

假设一个物体在空气中自由下落，其速度可以用下面的非线性规划公式来描述：\[v(t) = v_{\text{终}} \tanh\left(\frac{gt}{v_{\text{终}}}\right)\]其中，\(v(t)\)表示时间\(t\)时物体的速度，\(v_{\text{终}}\)表示物体的终端速度，\(g\)表示重力加速度。

这个公式描述了物体在空气中自由下落时速度随时间变化的规律。

通过这个公式，我们可以计算出物体在任意时间的速度，从而更好地了解物体的运动状态。

为了使用这个公式进行速度计算，我们首先需要确定物体的终端速度\(v_{\text{终}}\)和重力加速度\(g\)的数值。

通常情况下，地球表面的重力加速度约为\(9.8\, \text{m/s}^2\)，而物体的终端速度可以通过实验或者理论计算得到。

一旦确定了这些参数的数值，我们就可以使用这个公式来计算物体在任意时间的速度了。

举个例子，假设一个物体在空气中自由下落，其终端速度为\(v_{\text{终}} =50\, \text{m/s}\)，重力加速度为\(g = 9.8\, \text{m/s}^2\)。

非线性规划求解

s.t.
1 1
x1 x2
2．输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
i =1 i =1
m
m
1 g i X
其中称 r lng i X 或 r
i =1 i =1
m
m
1 为障碍项， r为障碍因子. g i X
这样问题（1）就转化为求一系列极值问题： min I X , r
X D
0
k

得 X（r ）.
k
k
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0 ，取r1
??xfdx?min定义2对于问题1设若存在使得对一切且都有则称x是fx在d上的局部极小值点局部最优解特别地当时若dx?0??dx????xxxx????xfxf?nrx???????njirxxhxgxd????00局部极小值点局部最优解
数学建模与数学实验
非线性规划
实验目的
1． 直观了解非线性规划的基本内容．
2． 掌握用数学软件求解优化问题．
实验内容
1．非线性规划的基本理论．
2． 用数学软件求解非线性规划． 3． 钢管订购及运输优化模型． 4．实验作业．
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优 x 2 2 2 0 x 1 0 x 2

6-3无约束非线性规划问题的求解


使得 f ( x k k d k ) min f ( x k d k )。

4. 令 x k 1 x k k d k , 令 k : k 1 , 转2。
二、共轭梯度法 1. 共轭方向与正定二次函数 设A为n×n对称正定阵，X和Y是n维欧氏空间En中的两个 向量，若有 XTAY=0， 则称X和Y关于A共轭，或X和Y关于A正交。 n p , p , , p E 设A为n×n对称正定阵，若向量组 1 2 中任 n 意两个向量关于A共轭，即满足条件 piT Ap j 0 (i j; i, j 1,2,, n) ，则称该向量组为A共轭。 定理6-11 设为A为n×n对称正定阵，p1 , p2 ,, pn 为A共轭 的非零向量，则这一向量组线性无关。 证 设有实数k1 , k 2 ,, k n ，使得 k1 p1 k 2 p2 k n pn 0 0 i=1,2,…,n 用 piT A 左乘上式得： ki piT Api ， T 但 pi 0 且A为正定，从而 pi Api 0 故必有 ki 0 (i 1,2,, n) ，从而知 p1 , p2 ,, pn线性无关。
o
d (1)T Ad ( 2) 0,
即等值面上一点处的切 向量与由这一点指向极小点的向量关于A 共轭。
p0 , p1 ,, pk 1 (k n) 定理6-12 设 f ( X )是上面讲的二次正定函数， 为A共轭，则从任一点X 0出发，依次沿 p0 , p1 ,, pk 1 执行一维搜索，即 * min f ( X p ) f ( X k k k k pk )
2 f ( x ) A,
因为A 正定，所以 2 f ( x ) A 0 ,
x

非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义

非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义那天，阳光透过窗户洒在我的书桌上，我翻看着山大刁在筠教授的运筹学讲义，非线性规划这一章节引起了我的兴趣。

思绪如泉水般涌出，我决定以意识流的方式，写下这篇非线性规划方案。

一、问题的提出非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它研究的是在一组约束条件下，如何找到使目标函数取得最优解的问题。

这类问题在实际应用中广泛存在，如生产计划、资源分配、投资决策等。

山大刁在筠教授的讲义中，以一个具体的生产问题为例，引导我们深入探讨非线性规划的方法。

二、方案的构建1.确定目标函数我们要明确目标函数。

在生产问题中，我们通常追求的是最大化利润或最小化成本。

以最大化利润为例，我们可以将目标函数表示为：maxf(x)=p1x1+p2x2++pnxn其中，x1,x2,,xn分别表示各种产品的产量，p1,p2,,pn表示相应产品的单位利润。

2.构建约束条件我们要构建约束条件。

约束条件通常包括资源约束、技术约束、市场约束等。

以资源约束为例，我们可以将其表示为：a11x1+a12x2++a1nxn≤b1a21x1+a22x2++a2nxn≤b2am1x1+am2x2++amnxn≤bm其中，a11,a12,,amn表示各种资源消耗系数，b1,b2,,bm表示各种资源的总量。

3.确定求解方法构建好目标函数和约束条件后，我们需要选择合适的求解方法。

非线性规划问题的求解方法有很多，如拉格朗日乘子法、KKT条件、序列二次规划法等。

在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的方法。

三、方案的实施1.确定初始解在实际操作中，我们通常需要先确定一个初始解。

这个初始解可以是任意一个满足约束条件的解。

我们可以通过观察目标函数和约束条件的图形，或者使用启发式算法来找到一个合适的初始解。

2.迭代求解3.分析结果求解完成后，我们需要对结果进行分析。

我们要检查最优解是否满足所有约束条件。

如果满足，那么我们可以将最优解应用于实际问题中。

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=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');
for k=1:100
x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);
for n=1:100
f1=subs(fx1);
f2=subs(fx2);
f11=subs(fx1x1);
f12=subs(fx1x2);
A
11
f21=subs(fx2x1);
A
14
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
A
15
三.Matlab求解有约束问题
•
A
16
运行输出：
x= 24.0000 12.0000 12.0000
fval =
-3.4560e+03
A
17
（二）非负条件下线性最小二乘lsqnonneg •
A
18
• （三）有约束线性最小二乘lsqlin
最速下降法（负梯度法） Newton法 共轭梯度法 拟Newton法 变尺度法
A
4
二.有约束问题
（一）罚函数法（SUMT） 1、算法思想： 将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题 进行求解.(Sequential Unconstrained Minimization Technique-SUMT） 2、算法类型： 外点法（外惩法） 内点法（内惩法）
else
m(k+1)=c*m(k);
A
12
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
A
13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b ( 0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
A
5
• 3、问题：
A
6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）： •
如何将此算法模块化？
A
7
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) opt
A
8
min f ( x ) ( k ) B ( x )
s.t. x S
， 令 x (k) 为 所 求 极 小 点
（ 3） 如 果 (k) B ( x (k) ) e ， 则 停 止 计 算 ， 得 到 结 果x (k) ，
(k 1) b (k )
（ 4） 否 则 令
， 置 k= k+ 1 ， 返 回 （ 2 ）。
非线性规划问题的求解方法
A
1
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题
Matlab求解有约束非线性规划问题
A
2
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
指寻求 n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。无约 束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这些迭代算法的基本
A
3
思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向,沿这个方向进行一 维寻查,得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代, 直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各 种算法。
f22=subs(fx2x2);
if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));
break;
else
X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';
A
9
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
从 x ( k )出发 ,
求得 x ( k 1)
No
k1 k
kq(x(k1))
yes
停
x(k1) opt
A
10
内点法的matlab程序：
m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);
x1=X(1,1);x2=X(2,1);
end
end
if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)
a(k+1)
b(k+1)
k
f0(k+1)
break;
syms x1 x2 e;
m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;
f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;
fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2'乘lsqnonlin
A
20
求解x,使得下式最小
10
e e ( 2 2 k k x 1 k x 2) 2
k 1
运行输出：
x= 0.2578 0.2578
resnorm = 124.3622
A
21
Thank you for your attention!
A
22