直角坐标系中距离公式31页PPT

3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
2
3
4


4
6
5
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为


4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|27-(-12)|
2
122 +(-5)2
=
13
2
13
1
= .
2
探求一
探求二
探求三
易错辨析
未思索直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的间隔等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的间隔为1,
∴
|- +2|
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探求一
探求二
探求三
易错辨析
探求二点到直线的间隔公式及其运用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的间隔;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y=4x+4 的间隔.
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2 +1
3
=1,解得 k= ,

1



2

两条平行直线间的距离是指夹在两
条平行直线间的公垂线段的长.

求两条平行直线间的
距离可转化为点到直
线的距离
03 两条平行线间的距离公式
在直线1 上任取一点（1 ，1 ），则有1 + 1 + 1＝0，此时，两条平
行直线1，2间的距离也就是点（1，1）到直线2的距离.
＝
1 −0 + 1 −0
2 +2
.
02 点到直线的距离公式
思路二：面积法
求出点的
坐标
求出
||
求出点的坐
标
求出
||
y
S
Ax0 C

x

0,

B

N
利用勾股定理求出
||
等面积法求出
||
l
(0，0)
O
By0 C


,
y
R A 0
x
02 点到直线的距离公式
点（0，0），直线 ： + + ＝0的距离
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
说明：(1) 当A=0或B=0时，公式也成立；
(2) 直线的方程要化成一般式．
02 点到直线的距离公式
例4 求点0 (−1,2)到下列直线的距离：
（1）2 + − 10 = 0
＝（2 − 1，2 − 1），
那么，两点间的距离||可以理解成向量的
长度，即
||＝||＝ · ＝
2 − 1
2
+ 2 − 1 2 .
01 两点间的距离公式

给定圆的方程和点P的坐标，计算点P到圆心的距离，并判断点P在圆内、圆上还是圆外。
利用距离公式求解最值问题
结合函数性质和距离公式，求解与距离相关的最值问题，如点到直线的最短距离等。
思考题挑战
探究距离公式在三维空间中的推广
01
思考在三维空间中如何定义两点间的距离，并尝试推
导出三维空间中的距离公式。
利用距离公式解决实际应用问题
利用勾股定理
在平面直角坐标系中，任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离可以 通过勾股定理来推导，即$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
向量法
将点$A$和点$B$分别看作向量$vec{OA}$和$vec{OB}$，则两点间的距离可以 表示为向量$vec{BA}$的模，即$|vec{BA}|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 。
A、B两点间的距离。
02
判断点与直线的位置关系
通过计算点到直线的距离，判断点在直线上、直线外还是与直线重合。
03
求解平行线间的距离
给定两条平行线的方程，利用距离公式求解两条平行线间的距离。
拓展提高题
利用距离公式解决几何问题
通过构建直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，再利用距离公式求解。
求解点到圆心的距离及判断点与圆的位置关系
三角不等式在求解最短路径、证 明几何定理等方面具有广泛应用
。
04
典型例题分析与解答
计算两点间距离问题
例题1
在平面直角坐标系中，给定 点A(1,2)和点B(4,6)，求AB 的距离。
解题思路
利用距离公式 $d=sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代 入点A和点B的坐标进行计算 。

Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？

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平面直角坐标系中的距离公式
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式概述
03 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式推导
04 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式应用
平面直角坐标系中
04
的距离公式应用
求解点到直线的距离
确定直线方程： y=mx+c
确定点坐标： (x0,y0)
计算直线与点之 间的距离： d=|Ax0+By0+C| /√(A^2+B^2)
应用实例：求解 点(1,2)到直线 y=2x+1的距离
求解点到平面的距离
平面直角坐标系中的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 求解点到平面的距离：将点坐标代入公式，计算距离 应用实例：求解点(2,3)到平面x+y=5的距离 注意事项：确保点不在平面上，否则距离为0
距离公式的几何意义
距离公式的几何意义在于， 它可以帮助我们理解两个点 在平面上的相对位置
平面直角坐标系中的距离公 式是描述两个点之间距离的 公式
距离公式的几何意义还可以 帮助我们理解两个点在空间
中的相对位置
距离公式的几何意义还可以 帮助我们理解两个点在平面
上的运动轨迹
距离公式的应用场景
物理：计算物体间的距离
计算两个平面的交点
计算两个平面之间的距离
平面直角坐标系中
05
的距离公式扩展
向量形式的距离公式
向量形式：向量AB的模长等于向量AC 的模长减去向量BC的模长

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目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
平面直角坐标系中的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 该公式表示点P(x1,y1)与点P(x2,y2)之间的距离 其中，x1、x2、y1、y2分别表示两点的横纵坐标 平方根符号表示取非负数的开方运算
地理学中的应用：确定两点之间的距离，计算地球上任意两地之间的距离 物理学中的应用：计算两点之间的直线距离，研究物体的运动轨迹 计算机科学中的应用：计算两点之间的最短路径，实现地图导航 统计学中的应用：计算样本间的距离，进行聚类分析
题目：求点A(2,3)到原点的距离 题目：求点B(-3,4)到原点的距离 题目：求点C(5,-2)到原点的距离
应用场景：距离公式常用于计算点到直线的距离，中点公式常用于计算两点之间 的中点坐标。
异同点：距离公式中的A、B、C为直线方程系数，而中点公式中的x1、y1、x2、 y2为两点的坐标。
距离公式：适用于 计算两点之间的直 线距离，常用于几 何学、物理学等领 域。
中点公式：适用于 求线段的中点坐标， 常用于解析几何、 线性代数等领域。
两点间的距离公式推导
任意两点间的距离公式推 导
两点间的距离公式与向量 的关系
距离公式的几何意义
两点间的距离 公式
பைடு நூலகம்
两点间的斜率 公式
两点间的中点 公式
两点间的对称 点公式
平面直角坐标系中 的中点公式为： M(x,y)=((x1+x2)/ 2,(y1+y2)/2)
该公式用于求平面直 角坐标系中任意两点 P1(x1,y1)和P2(x2,y2) 的中点M的坐标

之间的距离
求点A(1,2)和点B(3,4)之间的距离 求点C(5,6)和点D(7,8)之间的距离 求点E(9,10)和点F(11,12)之间的距离 求点G(13,14)和点H(15,16)之间的距离 求点I(17,18)和点J(19,20)之间的距离 求点K(21,22)和点L(23,24)之间的距离
确定两点的位置：在平面直角坐标系中，确定两点的坐标 计算距离：使用距离公式计算两点之间的距离 应用举例：例如，计算两点(1,2)和(3,4)之间的距离 应用领域：物理、数学、工程等领域
距离公式：在三维空间中，两点之 间的距离可以通过勾股定理计算
应用：在工程、物理、数学等领域 中，三维空间的距离公式有着广泛 的应用
物理：计算物体间的距离，如重力、 电场、磁场等
数学：计算两点间的距离，如向量、 直线等题
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地理：计算地图上的距离，如经纬 度、距离等
工程：计算工程上的距离，如建筑、 机械等
设两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)
利用勾股定理， 计算两点间的距 离
推导出距离公式： d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
距离公式：在n维空间中，两点之 间的距离可以通过计算向量的模长 来计算
应用：在数据分析、机器学习等领 域，高维空间的距离公式有着广泛 的应用
向量空间：距离公式可以推广到向量空间中，用于计算向量之间的夹角和模长
几何学：距离公式可以推广到几何学中，用于计算两点之间的距离、线段的长度等
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01.
02.
03.
04.
05.
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平面直角坐标 系中的距离公 式用于计算两 点之间的直线

PO x2 y2
例3 已知点A(-1 ,2),B(2 , 7 ),在x轴上 求一点P,使 PA PB ,并求PA 的 值
先画图分析解题方法,看看你能找到几种方法?
例4:证明平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和
思考:本题怎样建立直角坐标系? 各点坐标可以怎样规定? 需要进行哪些代数运算? 解决上述问题的基本步骤包括哪些?
Ax0
By0
2
A
B2
C|
的完善 2.当B=0，即L⊥x轴时
yP
y
Q
P
QL
o
x
o
x
A 0 :| PQ | | 0 • x0 By0 C |
02 B2
此时L：y C
又PQ//y轴 B
|
PQ || y0 (
公式成立
C B
)
|
|
By0 |B|
C
|
L
B 0 :| PQ | | Ax0 0 • y0 C |
yy
P
P(x0,y0) Q L
M
o
>x o
M
>x O o
Q
x
>x
M
M点为任意点，所以 坐标不好求。|PM|、 |MQ|均不好求。
M点在x轴上， |PM|,|MQ|易求一些， 但计算量依然较大；
PM//y轴似乎也不好求， 但角∠MPQ与直线L的倾斜角有关，
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, A、B≠0,倾斜角设为
12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 307
12x 5 0 40