§3-2_箱形梁的约束扭转解析

Mk GI d
曲率
１ M (形式类似弯曲： ＝ ) EI
Mｋ 代入 u ( z ) 表达式，则纵向位移： 将 t ， s ds s u( z) u0 ( z) ( z ) ( z ) ds
ds t
s 0
t
0
u 0 ( z ) ( z )[ ds
( s ) ds
0
s
s
ds
0

/
ds

薄壁箱梁的约束扭转
（1） 基本假定
众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基 本假定： ①横截面的周边不变形； ②横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的； ③横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的
令纵向位移为 u ( z , s ) ， z 表示沿跨径， 当闭口截面只发生自由扭转时，有
E w ( Z S ) 2 1
Mk
E dz w E ( z) 2 1 ds u（z） M A u( z) vM u ( z ) ( z ) Z u0 y z s ( z ) ( z ) ] w E[u0 (3 24) ( z )是未定的，我们可以利用平衡条件来消去它，因为箱梁 上式中 u 0 截面上只有扭矩 M k ，其引起翘曲正应力 w 自相平衡，既正应力
s s
q
ds
（阴影部分 ，ds为三角形底边， 为高， 1 ds 为三角形面 2 积） Mk q （ 为周边所围面积的2倍）
qMk t
2. 扭矩M k 、扭率 和纵向位移 u 的关 Mk 系 我们假设 z 为梁 轴方向， u 为纵 向位移，v 为箱 dz 边 s 切线方向的 ds 位移：

➢ 箱梁应力汇总及分析： 纵向正应力，剪应力；横向正应力；
对于混凝土桥梁，恒载占大部分，活载比例较小，因此，对 称荷载引起的应力是计算的重点。
1.1 箱梁截面变形的分解
➢ 纵向弯曲：
对称荷载作用；产生纵向弯曲正应力 M，弯曲剪应力 M。
➢ 横向弯曲：
局部荷载作用；产生横向正应力 c。
➢ 扭转：
已切开的截面可利用式
X

Qy bI X
S ydA Qy S X
0
bI X
计算箱梁截面上各点的剪力流q0。由剪力流 q0 与 q1 的作用，在截面切
开处的相对剪切变形为零，即：
ds 0 (a) s
此处 ds 是沿截面周边量取的微分长度，
符号 表示沿周边积分一圈， s
剪应变为： M q
1.1.4 扭转变形
在箱壁较厚或横隔板较密时，可假定箱梁在扭转时截面周边保 持不变形，在设计中就不必考虑扭转变形（即畸变）所引起的 应力状态。但在箱壁较薄，横隔板较稀时，截面就不能满足周 边不变形的假设，在反对称荷载作用下，截面不但扭转而且要 发生畸变。
扭转变形，即畸变（即受扭时截面周边变形），其主要变形特 征是畸变角 。薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截 面的投影仍为矩形。畸变产生翘曲正应力 dW 和畸变剪力 dW ， 同时由于畸变而引起箱形截面各板横向弯曲，在板内产生横向 弯曲应力（dt 如图所示）。
2.2 弯曲剪应力
➢ 开口截面： 由材料力学中的一般梁理论，可直接得出。
➢ 闭口单室截面： 问题---无法确定积分起点； 解决方法---在平面内为超静定结构，必须通过变形协调 条件赘余力剪力流q方可求解。
➢ 闭口多室截面： 每一室设一个切口，每个切口列一个变形协调方程，联合求解

第三章 箱形梁的刚性扭转 自由扭转 刚性扭转 （截面周边不变形） 约束扭转 自由扭转： 自由扭转： 当端面自由无纵向约束，截面可自由凹凸时的扭转， 当端面自由无纵向约束，截面可自由凹凸时的扭转，在扭矩的作 用下，只引起扭转剪应力，而不引起纵向正应力， 用下，只引起扭转剪应力，而不引起纵向正应力，梁在纵向有位移 而没有应变，既各个横截面均相同。 而没有应变，既各个横截面均相同。
上式第二项是由材料力学狭长矩形截面的扭转可知， 上式第二项是由材料力学狭长矩形截面的扭转可知，因为翼缘悬臂 板的厚度相对很小而三次方就更小了，往往忽略此项。 板的厚度相对很小而三次方就更小了，往往忽略此项。 在这里我们可以看出在《桥工》课中， 在这里我们可以看出在《桥工》课中，计算箱梁时只考虑了自由扭 转的抗扭惯性矩，没有考虑约束扭转， 转的抗扭惯性矩，没有考虑约束扭转，这对由多个窄长小箱梁组成 的结构是合适的，对大型箱梁必须考虑约束扭转应力。 的结构是合适的，对大型箱梁必须考虑约束扭转应力。
qi ∫
Mk
q1 1#
q2 2#
q3 3#
对每室写出各自的方程，其一般形式为： 对每室写出各自的方程，其一般形式为： 补充方程（由内外扭矩平衡）： 补充方程（由内外扭矩平衡）：
ds ds ds −[qi−1 ∫ + qi+1 ∫ ] = Gθ′ i Ω i t i−1,i t i+1,i t (i =1,2,3,⋯ n) ⋯ (3 − 9)
G
ρ
s
M0
上式中： 上式中： s u0 是 s = 0 处的纵向位移，为积分常数，即初始位移值，而 ∫ ρds 处的纵向位移，为积分常数，即初始位移值， 0 是 s 表示， 如以此为坐标参数， 扇形面积的两倍以 ω 表示，则 ω = ∫0 ρds ，如以此为坐标参数， 则为扇性坐标，如同以弧长表示的线坐标，及极坐标、 则为扇性坐标，如同以弧长表示的线坐标，及极坐标、球坐标等广 义坐标概念是一样的。 义坐标概念是一样的。

1.1.4 扭转变形
在箱壁较厚或横隔板较密时，可假定箱梁在扭转时截面周边保 持不变形，在设计中就不必考虑扭转变形（即畸变）所引起的 应力状态。但在箱壁较薄，横隔板较稀时，截面就不能满足周 边不变形的假设，在反对称荷载作用下，截面不但扭转而且要 发生畸变。
扭转变形，即畸变（即受扭时截面周边变形），其主要变形特 征是畸变角 。薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截 面的投影仍为矩形。畸变产生翘曲正应力 dW 和畸变剪力 dW ， 同时由于畸变而引起箱形截面各板横向弯曲，在板内产生横向 弯曲应力（dt 如图所示）。
一般梁理论中，开口截面弯曲剪应力计算公式为：
X
Qy bI X
S ydA Qy S X
0
bI X
式中：b——计算剪应力处的梁宽；
S X
S ydA 是由截面的自由表面（剪应力等于零处）积分至所求
0
剪应力处的面积矩（或静矩）。
2.2.2 闭口单室截面
图a所示箱梁，在截面的任一点切开。假设一未知剪力流 q1，对
1.1 箱梁截面变形的分解
➢ 纵向弯曲：
对称荷载作用；产生纵向弯曲正应力 M，弯曲剪应力 M。
➢ 横向弯曲：
局部荷载作用；产生横向正应力 c。
➢ 扭转：
反对称荷载的作用下的刚性转动，分为自由扭转与约束扭
转；产生自由扭转剪应力

W
，翘曲正应力

K
，约束扭转剪应力

。
W
➢ 扭转变形：
即畸变，反对称荷载的作用下的扭转变形；产生翘曲正应 力 dW ， 畸变剪应力 dW，横向弯曲应力 。 dt
➢ 箱梁截面变形的分解： 箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移，可分成四种基本状