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工程力学教案理、工科】4-1扭转的概念和实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：1.受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶■-扭转力偶。
其相应力分量称为扭矩。
图4-1攻锂2.变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
假设杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量那么这种受力形式称为纯扭转。
图42桥式起重机的传动轴■■§4-2扭矩扭矩图1.外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩用不是直接给出的，而是通过轴所传递的功=殖——〔KW 〕时有关系60，即率H 和转速n 计算得到的。
如轴在m 作用下匀速转动炉角，那么力偶做功为山=哪，由功率定义dAdN=——=m■—-=vn m dtdt角速度型(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n (单位：转/分，r/min)的关系为①=?曲50。
因此功率N 的单位用千瓦恥=9550—(^'^(4-1a)式中："-传递功率〔千瓦，KW 〕，段-转速〔r/min 〕如果功率单位是马力(PS),由于1KW=1000N ・m/s=1.36PS,式〔4-1a 〕成为=7024—、(4-1b)式中："-传递功率〔马力，PS 〕 槪-转速〔r/min 〕2.扭矩求出外力偶矩用后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。
如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A 截面上扭矩T7-^=0T=mF 称为截面A-A 上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法那么，T 矢量离开马力，从动轮B 、截面为正，指向截面为负。
或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a 所示，主动轮A 输入功率虬 C 、D 输出功率分别为=马力，氏=20马力，轴的转速为ra=300r/mln 。
试画出轴的扭矩图。
Tin 凹(d)A —46S Nm©F7351hJm02Ntn图4-5【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩叫=7024^=1170N'm=m c =7024^-=351N'm=7024^-=468Nm从受力情况看出，轴在BC ，CA ，AD 三段的扭矩各不相等。
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
第四章扭转同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。
(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。
2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。
二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）～（6）。
2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。
通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。
三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时6学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：图4-1**扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。
换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。
2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
杆件的这种变化形式称为扭转变形。
换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算nP T p⨯=02.7 KN ·m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）nP T kW⨯=55.9 KN ·m (7-2)P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法图4-30=∑x M0=-A n T M 左 A n T M =左0=∑x M0=+-B n T M 右 B n T M =右（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则图4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。
《材料力学》课程授课教案课程编号：B03086课程中文名称：材料力学/ Material Mechanics课程总学时/学分： 76/4 （其中理论 60 学时，实验 16 学时）适用专业：过程控制专业、材料成型专业一、课程地位本课程是机械及土木类专业的主要技术基础课，其目的是掌握最基本的杆、杆系、刚架结构的计算原理和方法，了解各类结构的内力分布特征，为机械和土木类工程后续课程如结构力学、弹性力学、机械制造及设计类课程、混凝土结构设计、钢结构等打好力学基础，并培养结构分析与计算方面的能力，该课程须先修完高等数学、工程数学、大学物理、理论力学课程后学习。
二、教材及主要参考资料教材：刘鸿文主编《.材料力学》(I、 II).第四版高等教育出版社 2004年1月主要参考资料：1. 孙训方等编《.材料力学》(I、 II).第四版高等教育出版社2、胡增强编《材料力学学习指导》高等教育出版社3、顾志荣、吴永生编《材料力学学习方法及解题指导》同济大学出版社4、苟文选主编《材料力学导学、导教、导考(上、下册) 》西北工业大学出版社四、课时分配五、考核方式与成绩核定办法1. 考核方式：期末笔试+平时考核2. 成绩核定办法：笔试占70%，平时占30%六、授课方案第一章绪论1. 教学要求了解材料力学的任务，了解杆件变形基本形式。
掌握可变形固体的性质及其基本假设，熟练掌握应力、应变概念，2. 教学重点与难点重点：变形固体的性质及其基本假设、切应变。
难点：切应变概念。
3. 教学策略多媒体加板书讲授、课堂提问、练习，注意受力分析多采用板书讲授为好4. 参考书目：1、胡增强编《材料力学学习指导》高等教育出版社2、顾志荣、吴永生编《材料力学学习方法及解题指导》同济大学出版社3、苟文选主编《材料力学导学、导教、导考(上、下册) 》西北工业大学出版社5. 教学内容：1．1材料力学的任务为保证工程结构或机械的正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。
第四章扭转同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。
(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。
2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。
二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）～（6）。
2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。
通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。
三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时6学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：图4-1**扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。
换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。
2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
杆件的这种变化形式称为扭转变形。
换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算nP T p⨯=02.7 KN ·m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）nP T kW⨯=55.9 KN ·m (7-2)P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法图4-30=∑x M0=-A n T M 左 A n T M =左0=∑x M0=+-B n T M 右 B n T M =右（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则图4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。
作法：轴线（基线）x ——横截面的位置纵坐标——M n的值正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。
例题7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。
主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。
试作出该轴的扭矩图。
图4-5解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。
（2）作扭矩图，见图4-5，b一、圆轴扭转时横截面上的应力1、实心圆轴（1）τ的分布规律(a) (b) 图4-6（2）τ的方向由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算pn I M ρτρ=(7-3)式中M n ---- 横截面上的扭矩；ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为324D I p π=。
（4）τ计算公式的讨论：①对于某一根受扭的圆轴而言，m ax τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，m ax τ一定发生在ρm ax 处（周边上）； ③I p 的意义从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。
设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。
2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算图4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算()()44411.01324ααπ-≈-=D DI p 空式中的Dd =α （3）τ的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。
3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=Ddα时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。
（2） τ的分布规律图4-8（3）τ的计算tr M n 202πτ=（r 0见图4-8） （7-4）三、圆轴扭转时斜截面上的应力横截面上：m ax τ发生在周边各点，σ=0圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。
在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:图4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：αcos ⋅=dA A mb αsin ⋅=dA A bn选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：∑=0nF0cos )sin (sin )cos (=⋅'+⋅⋅⋅+ααταατσαdA dA dA∑=0ξF 0sin )sin (cos )cos (=⋅'+⋅⋅⋅-ααταατταdA dA dA利用ττ'=，整理上两式，得：ατσα2sin -= (a)αττα2cos = (b)据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。
ττταα=⋅===)0(2cos 01800ττταα-=⋅===)90(2cos 027090（2）由（a ）式知：ττσα-=-==)45(2sin 0450τττσα=-⋅-=-==)1()135(2sin 01350即：图4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。
（低碳钢）（ 铸铁 ）图4-11四、圆轴扭转时强度条件()[]ττ≤=pn W M maxmax （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件对于实心圆截面 332.016d d W p ≈=π对于空心圆截面 )1(2.0)1(164343ααπ-≈-=D D W p 空而 []τ：（1）可通过扭转试验测定：τS ---塑性材料 τb ---脆性材料（2）[]][6.05.0στ）（-=例题4-2 已知：主传动轴AB 由45#钢的无缝钢管制成。
外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受M nmax =1.5KN ·m试：校核该轴的强度。
图4-12解：945.0905902=-=-==D t D D d α 1、 按薄壁圆管公式计算τ：[]τππτ<=⨯⨯⨯-⋅⋅==--MPa 50105.210)25.290(21500236220tr M n2、 按空心圆轴公式计算τ：334343m m 1029)945.01(1690)1(16⨯=-⨯=-=παπD W p 空[]ττ<=⨯⨯⨯==-MPa 7.51101029105.1933max空p n W M 校核结果：强度足够。
两种计算方法的误差比较：%4.3%10050507.51=⨯-例题4-3 若将AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即MPa 7.51=τ），试确定实心轴的直径D 1=？并比较空心轴和实心轴的重量。
解：53mm m 053.016105.1107.5113136max ==⇒⨯=⨯⇒=D D W M p n πτ 两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比 则：()2.3859053442222221=-=-=d D D A A ππ空心实心 （用料） ()31.0538590442222122=-=-=D d D A A ππ实心空心（重量） 小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。
图4-13Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角与剪切角的概念图4-14⎪⎩⎪⎨⎧--的角度。
杆表面纵向直线所转过γ截面A转过的角度；扭转角，截面B相对于ϕ 2、圆轴扭转时的变形计算⑴扭转角的计算pn GI lM =ϕ （7-6） πϕ180⋅=p n GI l M（7-7）⑵单位长度扭转角的计算pn GI M l ==ϕθ（7-8）rad （弧度） °（度）Rad/mπϕθ180⋅==p n GI M l（7-9）3、扭转时刚度条件[]θθ≤=pn GI M max max（7-10） []θπθ≤⋅= 180max maxp n GI M（7-11）例题4-4 某轴AB 段是空心轴，内外径之比8.0==Ddα；BC 段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa 、[θ]=1m 、G=80GPa,试设计D 和d 应等于多少？图4-15解：1、作扭矩图2、根据强度条件设计D 、d°/mRad/m°/mAB 段：MPa 80][)1(16114643max =≤-==ταπτD W Mn p 空mm6.491080)8.01(114616364=⨯⨯-⨯⨯≥πDBC 段：MPa 80][167643max =≤==τπτd W Mn p 实36.5mmm 0365.010807641636==⨯⨯⨯≥πd3、根据刚度条件设计D 、d AB 段：m1][180)1(3210801146180449=≤⋅-⨯⨯=⋅=θπαππθD GI Mn p 空61.1mmm 0611.01801)8.01(1080114632449==⋅⨯-⨯⨯⨯⨯≥ππDBC 段：m 1][180=≤⋅=θπθ空p GI Mn118032108076449=⋅⨯⨯ππd48.6mmm 0486.0180110807643249==⋅⨯⨯⨯⨯≥ππd4 结论：D=61.1mm – 刚度条件确定。
d=48.1mm – 刚度条件确定。
Ⅲ 扭转超静定例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。
已知：D=3cm ，d=1.5cm, [τ]=50MPa 、[θ]=2.5m 、G=Pa 10809⨯,试对此轴进行强度和刚度校核。
图4-16解：①截面的几何性质计算： AC 段：488484441045.710325.1103233232m d D I P ---⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=ππππ空CE 段：488441095.71032332m D I P --⨯=⨯⨯==ππ实②求约束反力:解除A 端约束，建立变形协调条件：图4-170=-E A ϕ，即：1025500104030010153001040104022222=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=------实实空实空P P P P A P A EA GI GI GI GI T GI T ϕ将G 、空P I 、实P I 代入上式运算，得 M N 52⋅-=A T再由静力平衡方程解出 M N 252⋅-=E T③强度校核 BC 段： 364343m 1097.4])35.1(1[16)03.0()1(16D -⨯=-⨯=-=παπ空p W50MPa][MPa 9.491097.42486max ==⨯==-ττ 空p n W MDE 段： 3633m 103.516)03.0(16D -⨯=⨯==ππ实p W50MPa ][MPa 5.47103.52486max ==⨯==-ττ 实p n W M④刚度校核 BC 段： m GI M P n 38.21801045.7108024818089max =⨯⨯⨯⨯=⨯=-ππθ空DE 段： m GI M P n 27.21801095.7108025218089max=⨯⨯⨯⨯=⨯=-ππθ实 均 m 27.2][=θⅣ 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。
