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O BCD①A 一题多解之五种方法解一道经典数学题江苏海安紫石中学 黄本华一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。
更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。
这就要用到条件∠CBA ＝45°。
但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。
考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。
如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2210AB OA OB =+=，5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在RT OBC ∆中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()222213(55)x x ++=-，解得152x =-（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3），∴1OA =，3OB =，∴2210AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD ==设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x =-+，在152x =-中，222OC OB BC +=2，即()222213(55)x x ++=-）， 解得x 1=﹣（舍去），25x =，②③∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+， 解得12k =，∴直线BC 的解析式为132y x =+． 【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。
B一题多解之五种方法解一道经典数学题一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。
更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。
这就要用到条件∠CBA ＝45°。
但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。
考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。
如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2210AB OA OB =+=，5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在RT OBC ∆中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()222213(55)x x ++=-，解得152x =-（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ，②∵点A （﹣1，0），B （0，3），∴1OA =，3OB =，∴AB =， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x =-+，在152x =-中，222OC OB BC +=2，即()22213x ++=）， 解得x 1=﹣（舍去），25x =，∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，解得12k =，∴直线BC 的解析式为132y x =+． 【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。
李白打油诗数学题
李白打油诗数学题是一首非常有趣的数学问题，它以打油诗的形式描述了一个关于李白买酒和喝酒的场景，并给出了一个数学问题。
具体来说，这首诗描述了李白在街上走，遇到了花和店各三次，且花、店交替遇到。
每次遇到店，他的酒都会加倍；每次遇到花，他都会喝掉一斗酒。
最后，他的酒喝光了。
问题是：他原来有多少酒？
为了解决这个问题，我们可以按照题目中的描述，逐步模拟李白遇到花和店的过程，最终找出他原来有多少酒。
假设李白原来有 x 斗酒
第一次遇到店，他的酒加倍，变成 2x 斗；然后遇到花，喝掉一斗，剩下 2x - 1 斗。
第二次遇到店，酒再次加倍，变成 2(2x - 1) 斗；然后遇到花，喝掉一斗，剩下 2(2x - 1) - 1 斗。
第三次遇到店，酒再次加倍，变成 2[2(2x - 1) - 1] 斗；然后遇到花，喝掉一斗，剩下 2[2(2x - 1) - 1] - 1 斗。
由于第三次遇到花后，李白的酒喝光了，所以我们有方程：2[2(2x - 1) - 1] - 1 = 0
解这个方程，我们得到：
x = 7/8
所以，李白原来有 7/8 斗酒。
两道趣题的多种解法及推广四川省邻水县九龙中学 任贤德例1：传说很久很久以前，有位智慧老人，在他临死之前立下遗嘱，将他唯一的家产17头牛分给三个儿子，长子分21，次子分31，老三分91，不能杀牛分肉，也不能伤害兄弟情谊。
若无法分，就去找他老朋友黄老头。
三兄弟无法分，只好去请教黄老头，老人略一思索，就把自己的一头牛让他们牵走，参与分配，结果长子分得了9头牛（18×21＝9），次子分得了6头牛（18×31＝6），老三分得了6头牛（18×1＝2）。
他们刚好把17头牛分完，剩下的一头还给黄老头，三兄弟既高兴又满意。
这就是有名的黄老头分牛问题，它采用了一种奇特的技巧借一法，巧妙地解决了这一数学问题，令人回味无穷。
我们再看下面的例子。
例2：有一家商店出售啤酒，它有一个规定，即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。
一位顾客从此店买了12瓶啤酒招待客人，问此人最多可从这家商店得到多少瓶啤酒喝？此题的一般解题思路是：喝完12瓶啤酒后，用12个空瓶又可兑换4瓶啤酒，喝完后，再用其中3个瓶子兑换一瓶啤酒，最后只剩下2个空瓶，即最多只能喝12＋4＋1＝17瓶啤酒，并且剩下2个瓶子。
似乎本题的求解到此结束，但是巧妙的方法是再借1个啤酒瓶，合起来共3个啤酒瓶，可兑换一瓶啤酒，喝完后，归还一个啤酒瓶，即最多可得到12＋4＋1＋1＝18瓶啤酒喝，本题也巧妙地采用了借一法的解题方法。
事实上，以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题，它们都属于无限可分的问题。
其解答如下： 解法二（例1）的解答：第一次分配长子分17×21头，次子分17×31头，老三分17×91头而（1―1―31―1）＝1；也就是说还剩下总数的1没参与分配，即还剩下17头第二次分配长子分1817×21头，次子分1817×31头，老三分1817×91头同样剩下参与本次分配数目17的1，本次分配结束就剩下 18172头……这个过程可一直延续下去，直至无穷，这样，每一次分配结束后，都余下上次分牛剩余数目的181没参与分配。
