常微分方程自学练习题

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。

② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。

③ x? y 4是齐次方程。

y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。

6. ysiny 是一阶线性微分方程。

（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。

(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。

(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。

dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。

3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。

42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。

45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。

3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。

（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。

（X ）C （C 为任意常数）。

（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。

6 .微分方程y y阶微分方程。

1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。

A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。

9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。

常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。

在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。

本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。

练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。

解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。

假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。

我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。

2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。

解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。

代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。

练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。

解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。

首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。

接下来求非齐次方程的一个特解。

第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

(O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

常微分方程练习题习题一一、单项选择题.1.微分方程yy32coyy5的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某y22C.某dyyd某0D.某dyyd某0 2某某4.用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y 某(a某b某c)e5．Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程y某tany的所有常数解是.某2某某22某某2某某2某某3某2C满足的一阶方程是.2．函数y523．设y1某e某e2某,y2某e某e 某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.d某某dt5．系统的零解的是稳定的.dyydt三、求下列一阶微分方程的通解.dyy4某2y210d某某dyyy2(co某in某)2.d某1.3.(某2y)d某某dy0.四、求下列高阶方程的通解.1.yy1co某2.试用观察法求方程(1ln某)y11y2y0的通解．某某某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.d某A某Cemt，有一解形如：(t)Pemt.dt习题二一、单项选择题1.微分方程dyy2某2的阶数是（）.d某A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意n1个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．当n时，微分方程yP(某)yQ(某)y为伯努利方程．n某2某某22某某2某某2某某某2．在方程某p(t)某q(t)某0中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(某)，y=y2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设某0I，Y1(某),,Yn(某)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(某),,Yn(某)在区间I上线性相关的条件是向量组Y1(某0),,Yn(某0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.某yy(某y)ln2.某y某dyyy2(co某in某)d某3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解.1.y某yy02.yy21co某d某5y4某dt五、求解微分方程组的通解.dy4y5某dtd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设分因子.f(某,y)及f连续,试证方程dyf(某,y)d某0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与某的积yd2ydyp(某)q(某)y0中，p(某)在区间I上连续且恒不为零，2.设在方程试证它的任意两个线d某d某2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程y某某iny的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某yC.某dyyd某0D.某2dyy2d某03.微分方程yP(某)yQ(某)y，当n1时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程y2yy(某22某)e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．函数某c1cotc2int(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．3．设y1某e某e2某,y2某e某e某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.n某某2某某2某某2某某22某5．与初值问题某2某7t某et,某(1)7,某(1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.(某1)y2某y02.22dyyy2(co某in某)d某3.(某4y)y2某3y5四、求下列高阶方程的通解.1.t某2t某2某02.某某2某02某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程y某y某2的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当n1时，微分方程yp(某)yq(某)yn最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.某,C.e某2,某1,某1B.0,某,某2,某3e某2D.e2某,某e某25．用待定系数法求方程y2yy某2e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1.方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．2．若yy1(某),yy2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．23．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.某2某某2某某2某某22某4．已知cot和int是二阶齐次线性方程某a(t)某b(t)某0的两个解，则a(t)．5．如果常系数线性方程组某A某的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.dyyytand某某某dyy某22.d某2某2y3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解1.t某3t某5某02.某''某tant2d某4某5ydt五、求解常微分方程组.dy4y5某dt某ya某3六、判定系统（这里的a）的零解稳定性.3y某ay七、设y(某)在[0,)上连续可微，且有lim[y(某)y(某)]0，试证：limy(某)0.某某。

自考常微分方程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项是一阶微分方程？A. dy/dx + 2y = x^2B. d^2y/dx^2 + y = 0C. dy/dx = 0D. d^3y/dx^3 - y = x答案：A2. 常数变易法主要用于求解什么类型的二阶线性微分方程？A. 欧拉方程B. 伯努利方程C. 线性齐次方程D. 线性非齐次方程答案：D3. 以下哪个解是微分方程y'' - y' - 2y = 0的一个特解？A. y = e^(2x)B. y = e^(-x)C. y = e^(x)D. y = e^(x/2)答案：A4. 微分方程y' = y/x 表示的曲线族是：A. 一系列直线B. 一系列抛物线C. 一系列双曲线D. 一系列椭圆答案：C5. 如果一个函数满足微分方程y'' + y' + y = 0，那么它是：A. 一个奇函数B. 一个偶函数C. 一个周期函数D. 一个非周期函数答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 解微分方程dy/dx = x^2 - y^2，当y(0) = 1时，y(1)的值为_________。

答案：07. 微分方程的通解为y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，其中C1和C2是任意常数，该方程是_________阶线性齐次方程。

答案：一8. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的特征方程为_________。

答案：r^2 - 2r + 1 = 09. 微分方程dy/dx = sin(x) + cos(y)满足初始条件y(0) = 0的解是y =_________。

答案：arccos(cos(x))10. 微分方程y' = y^2的解是y =_________。

答案：C/x + C^2，其中C是任意常数。

三、解答题（共75分）11. （15分）求解微分方程dy/dx - y = e^x，并给出通解。

常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。

常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。

常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。

本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。

练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。

解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。

首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。

解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。

接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。

首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。

最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。

练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。

解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。

解这个二次方程得到重根 $r = 2$。

因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。

练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。

解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。

第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。