常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案

一 填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程

21y dx

dy

-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程

y x dx

dy

/-=的解是( ). 13已知(0)()32

2

2

=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.

14

?????=+=0

)0(22y y

x dx

dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652

=+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ).

16方程5

34

y x y dx dy =++??

? ??的阶数为_______________.

17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组

Y =)(x A dx

dy

的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x

u =??， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-??，

T

)(),(),(1t v t L u t L x

u

k =-??，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数 未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”）

21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：

+??+??+?

+??+??

?

?

y

u

y x e x u y x d u

y x c y

x u

y x b u

y x a y

x

),(),(),(),(2),(2

2

2

2

2

),(),(y x g u y x f =，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y ）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中y

x u y x c y x u

y x b u

y x a 2

2

222),(),(2)

,(?+??+????

称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数a,b,c 作成的判别式△=b 2-ac 在区域Ω中的某点（x 0,y 0）大于零，则称方程在

点（x 0,y 0）是 型的；如果△=0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的；如果△<0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”） 二 单项选择:

1 方程y x dx

dy

+=-31

满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程

1+=y dx

dy ( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).

(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x

e y = 4 方程x e y y x

==-''的一个特解*y 形如( ).

(A)b ae x

= (B)bx axe x

+ (C)c bx ae x

++ (D)c bx axe x

++ 5 )(y f 连续可微是保证方程

)(y f dx

dy

=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

7 方程32

3y dx

dy

=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题 ??=10'x

????01x , ???

?

??-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ). (A) ???? ??-t t u t )( (B) ???? ??-=t e u t )( (C) ???? ??-=e t u t )( (D) ???

?

??-=e e u t )(

9 方程

0cos 2=++x y x dx

dy

是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程

（C)超越方程 (D)二阶线性方程

10 方程032

=+?

?

?

??dx dy dx dy 的通解是( ). (A)x

e

C C 321+ (B) x

e

C x C 321-+ (C)x

e

C C 321-+ (D)x

e

C 32-

11 方程0442=++??

?

??y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).

(A) x

e

x 2,- (B)x

e

2,1- (C)x

e

x 22,- (D)x x

xe e

22,--

12 若y1和y2是方程0)()(2

=++??

?

??y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数）

(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解

(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程

21y dx

dy

-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2

,2[π

π- 14 方程x

e y x y -=2

3'是( ) .

(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程

01

=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c x

y +=1

(D)c x y +=

16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)x

e y = 17 方程x e y y x

+=-''的一个数解x

y 形如( ).

(A) b ae x

+ (B)bx axe x

+ (C)c bx ae x

++ (D)c bx axe x

++ 18 初值问题 ??10'x

?

??? ??-=???

?

11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)???? ??-=t t u t )

( (B)???? ??=-t e u t t )( (C)???? ??-=-t t e t u )( (D) ???

? ??-=--t t t e e u )(

三 求下列方程的解:

1 求下列方程的通解或通积分:

(1)ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +??

?

??-=2

1 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx

(5)3

)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01

)4()

5(=-x t

x 3 解方程:

x y dx

dy

cos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: x y

tg x y dx dy +=

5求方程: 26xy x

y

dx dy -=的通解

6 求0)46()63(3

2

2

2

=+++dy y y x dx xy x 的通解.

7 求解方程: 022244=++x dt x

d dt x d 8 求方程: 014455=-dt

x d t dt x d 的解 9 求方程2

5'5''x y y -=-的通解

10 求下列方程组的通解???????-=+=x dt

dy t

y dt dx

sin 1

11求初值问题?

?

?=--=0)1('y y

x y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解

12 求方程的通解 (1)

2y x y dx dy += (2) x

y x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2

=---dy x y dx x y (三种方法) (4)0452

4

=+??

? ??-??? ??y dx dy dx dy 13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解

14计算方程 t x dt

dx

dt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: x

xe y y y 210'2''=+-

16 试求???=02x

??

?

21x 的基解矩阵

17 试求矩阵???-=12A ??

?

41的特征值和对应的特征向量.

18 试求矩阵?

??-=53

A ???

35的特征值和特征向量 19 解方程组

?

?=???? ??13

''21y y ???

?22 ???

?

??21y y 20、????

????????><==>+∞<<-∞=?+?=???0,0,00/0,,0022

22x x y u y x u u u u y x

21、求解初值问题 ?????

?

?????∈==??∈==>∈?=???R x x t t u

R x t u t R x u u x x a t ,0/,0/0,,222

2

22

（提示：使D ′Alembert 公式）

22、求解初值问题?

?

?

???????≥<==>+∞<<-∞?=???0,,0,00/0,,22

x c c x t u t x u t u x 为常数

23、求解第一初边值问题

??

??

?

????≥====≤≤==><<-?=???0,0/0/0),(0/0,0.,222

2t l x u x u l

x x t u t l x u u t u b x a ? 四 名词解释

1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关 五 证明题

1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续

求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程

)()()(1111t f x t G dt x

d t G dt x d n n n n n =+++-- )()()(2111t f x t G dt

x

d t G dt x d n n n n

n =+++-- 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dt

x

d t G dt x d n n n n n +=+++-- 的解。

3设f (x)在[0；+∞]上连续且lim f (x)=0求证：方程

)(x f y dx

dy

=+的一切解y(x)； 均有lim y (x)=0

4 在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中p(x)、q(x)在（+∞∞-,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w （x ）是（+∞∞-,）上的严格单调函数。

5证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()(2111t f x a dt

x d t c de x d t

n n n n n ++++-- 的解。

6证明：函数组x x

x n e e e λλλ 21,（其中当j i ≠

时j i λλ≠）在任意区间（a ,b ）上线性无关。

7试证：).(sin lim

x x

Nx

N W δ∏∞→-

习题答案

一 填空题: 1、 2

2、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

3、 e x ; xe x

4、 开

5、 1±=y

6、 ydt x x ?=1

7、 c t )(φ,c 为常数列向量 8、 y=x 2+c 9、 初始

10、常微分方程 11、e ?p(x)dx

12、x 2+y 2=c ; c 为任意正常数 13、/

∞

→x ∞

→x

14、???

?

?-

21;21 15、???

????-=--=2

61656665p p y c p x

16、4 17、0

18、c x )(φ；其中c 是确定的n 维常数列向量 19、u(l,t)=g 2(t) ,

)(),(t v t l x

u

=?? 20、多于，少于 21、双曲，抛物，椭圆

二 单项选择

1、D

2、C

3、C

4、D

5、B

6、C

7、A

8、D

9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 三 求下列方程的解

1 (1）解：当1,0≠≠y y 时，分离变量取不定积分，得

?

?+=C dx ny

y dy

1 通积分为 1ny= Ce x （2）解：令y= xu , 则,dx

du

x u dx dy +=代入原方程，得 21u dx du

x

-= 分离变量，取不定积分，得

?

?

+=-nC x

dx

u du 112

（0≠C ） 通积分为：nCx x

y

1arcsin

= （3） 解： 方程两端同乘以 y -5,得

x y dx

dy

y

+=--45

令y -4= z ，则,4y

-5-dx

dz dx dy =代入上式，得 x z dx

dz

=--

41 通解为

4

14+

-=-x Ce z x 原方程通解为

4

1

44

+-=--x Ce y

x

（4） 解： 因为

x

N

x y M ??==??2 ， 所以原方程是全微分方程。 取（x 0,y 0）=（0，0）原方程的通积分为

?

?=-x

y

C dy y xydx 0

22

即 C y y x =-

3

2

3

1 （5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c 3

2 解：设dt dx y =

则方程化为01=-y t dt dx ，积分后得y = ct 即ct dt

dx = 于是x=c 1t 5+c 2t 3+c 3t 2+c 4t+c 5 其中 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5为任意常数

= )]

()()()()([)]()()()(dt x(t)d [21111111n n t x t G dt t x d t G dt t x d t x t G dt t x d t G n n n n n n n n +++++++---- = f 1(t) + f 2(t)

故x 1(t)+x 2(t)为方程)()

()()(1

11t x G dt

t x d t G dt t x d n n n n n +++-- =f1(t)+f2 (t)的解。 3 解： 将变量分离，得到

xdx y dy

cos 2

= 两边积分，即得 c x y

+=-sin 1

因而，通解为

c

x y +-

=sin 1

这里c 是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c ，得到 c = -1 因而，所求特解为

x

y sin 11

-=

4 解：以 u x y = 及 u dx

dy x dx dy += 代入，则原方程变为 tgu u u dx

du

x +=+ 即

x

tgu dx du = 将上式分离变量,即有

x

dx ctgudu = 两边积分,得到

c x n u n +=ιιsin 这里'c 是任意函数,整理后,得到

x e u c ?±='sin

令c e e =±',得到 sinu = cx 5 解: 令z = y -1得

dx dy

y dx dz 2

--= 代入原方程得到

x z x

dx dz +-=6

这是线性方程,求得它的通解为

82

6x x

c z +=

代回原来的变量y , 得到

8

12

6x x c y += 这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。

6 解： 这里M =3x 2+6xy 2 .N = 6x 2y+4y 3 ，这时

xy x

N

xy y M 12.12=??=?? 因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程

2263xy x x

u

+=??

3246y y x y

u

+=?? 由（1）对

x 积分，得到 )(32

2

3

y y x x u ?++=

为了确定)(y ?，将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得

32246)

(6y y x dy

y d y x y u +=+=??? 于是

dy

y d )

(?= 4y 4 积分后可得

)(y ?=y 4 将)(y ?代入（3），得到

u = x 3 + 3x 2y 2 + y 4 因此，方程的通解为

x 3 + 3x 2y 2 + y 4=c 这里c 是任意常数

7 解： 特征方程0122

4

=++λλ即特征根±=λi 是重根，因此方程有四个实值解cost 、tcost 、sint 、tsint

故通解为x = (c 1+c 2t)cost + (c 3+c 4t)sin 其中c 1 ; c 2 ; c 3 ; c 4为任意常数

8 解： 令y dt x d =44 则方程化为：01

=?-y t

dt dy

积分后得y=ct 即ct dt

x

d =44于是 x=c 1t 5 + c 2t 3 + c 3t 2 + c 4t 1 + c 5

其中c 1 ; c 2 … c 5 为任意常数 ，这就是原方程的通解。 9 解 对应齐次方程的特征方程为052

=-λλ， 特征根为5,021==λλ

齐次方程的通解为 y=C 1+C 2e 5x

因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y 1(x)=x （Ax 2 + Bx + C ） 代入原方程，比较系数确定出 A=

31， B=51 ，C=25

2 原方程的通解为

x x x e C C y x

25

2

513123521++++= 10 解： 先解出齐次方程的通解 ???

???y x =C 1????

??-t t sin cos +C 2??

?

???t t cos sin 令非齐次方程特解为

??????y x ~~=C 1(t)??????-t t sin cos +C 2(t)?

?

?

???t t cos sin

)('),('21t C t C 满足

???-t

t

sin cos

??

?t t cos sin ??????)(')('21t C t C =???

?

????0

sin 1t 解得1)(',sin cos )('21==

t C t

t

t C 积分，得 t t C t n t C ==)(,sin 1)(21 通解为

?

???

????+-++??????+??????-=??????t t t n t t t t n t t t C t t C y x cos sin 1sin sin sin 1cos cos sin sin cos 21 11 解： M=max ),(y x f =4 41),min(==M b a h 故解的存在区间为4

1

1≤+x 2) q 0(x)=0 q 1(x)=03

13|3)02(+==-?+x g dg g x x

q2(x)=0+x x g g g g dg g g g ]9

1362633[]91929[32

-+-=-+-?

=42

11

601893+

---x x x x 12 求方程的通解: 1)

2

y x y dx dy += 解: 变形 y x y

y y x dx dy +=+=12(1),将y 看作自变量, x 为未知函数 解齐线性方程

x y

dy dx 1

=, 通解为x = cy 令x = c (y)y ….. (2)微分得,

)()())((y c y dy

y dc dy y y c d dy dx +== 由(1)(2)知

y y

y

y c y c y dy y dc y y x +=+=+)()()(

1)(=dy

y dc ,积分得c y y c ~)(+=故)~(c y x +=y (c ~是任意常数) 2)

x

y x y dx dy tan += 解: 令u x y =则ux y =, 于是

u dx

du

x dx dy +=

则原方程变为u u u dx

du

x tan +=+ 即

x

u

dx du tan =

将上式分离变量有x

dx

udu =

cot 积分得,~1sin 1c

x n u n +=c ~为任意常数。 整理x e u

c

?±=~sin

令0~≠=±c c

e 得)0(sin ≠=c cx u 方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c 为任意常数) 3）0)4()3(2

=---dy x y dx x y (三种方法) 解：法一，这里M=y-3x 2 , N= - (4y-x )= 4-4y

,1,1=??=??x

N

y M 因此此方程是恰当方程 现求 u 使

23x y x

u

-=??（1），y x y u 4-=?? （2） 对（1）中x 积分得)(3

y x yx u φ+-= （3） 对（3）中y 求导

y dy

y d x y u 4)

(-=+=??φ 积分得2

2)(y y -=φ，代入（3）得 2

3

2y x yx u --= 故通解为c y x yx =--2

3

2，c 为任意常数 法二，重新组合得

0432

=+--xdy ydy dx x ydx ，即022

3

=+--xdy dy dx ydx )02(2

3

=--y x xy d

于是通解为c y x xy =--2

3

2其中c 是任意常数。

4） 04)(5)(

24=+-y dx

dy

dx dy 解： 令dx dy p =则422

44

145,045p p y y p p -==+-

对x 求导得 0)2

5

(,)25(25333=---=-=pdx dp p p dx dp p p dx dp p dx dp p P

积分得p

c p p p c

p p x c px p p --=--==--342424145445,)445( 于是方程通解为???

?

???

-=--=42341454145p p y p c p p x （p=0）

13 方程x y y 2sin 34''=+的通解

解： 齐次方程是i y y 2,04,04''2,12±==+=+λλ t c t c y 2sin 2cos 21+= 由于2i 是特征方程单根

故所求特解应具形式 )2sin 2cos (1x b x A x y += 代入原方程 0,4

3

0,34=-=?==-B A B A x x y 2cos 4

3

1-=∴ 故通解为t c t c x x y 2sin 2cos 2cos 4

3

21++-

=，其中c 1c 2为任意常数 14 t x dt

dx

dt x d cos 442=+- 解：特征方程0442

=+-λλ有重根221==λλ 因此对应齐线性方程的通解为t e t c c x

221)(+=，其中c 1,c 2为任意常数。

因为i ±不是特征根，现求形如t B t A x sin cos ~+=的特征解， 代入原方程化简 cost 3B)sint (4A 4B)cost -(3A =++

于是0

34143=+=-B A B A 故 25

425

3

-

==

B A

故通解为t t e t c c x t sin 25

4cos 253)(221-++=其中c 1,c 2为任意常数 15 求下列常系数线性微分方程

对应的齐次方程为010'2''=+-y y y 特征方程为01022

=+-λλ 特征根为

λ i a 31±= a 不是特征根，

故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x 的特解代入原方程得50

1,101-==b a 故原方程通解为x x

e x t c t c e y 221)50

1

101()3sin cos (-++=，

（21,c c 为任意常数） 16 解：因为???=02A

???

21 = ???02 ???20 + ???00 ??

?

01而且后面的两个矩阵是可交换的 得到???=0

2

exp exp At

???20exp ?t ???00 ???01t = ???02t e ??

?

t e 21{E + ???00 ??

?

01t + ??

?00 2

01??? }!22

+t 但是， ???00 2

01???= ???0

??

?00 所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是 ???=01exp 2t e At ??

?

0t 17 解： 特征方程为

1

2

)det(-=

-λλA E

0964

1

2=+-=--λλλ

因此，3=λ是A 的二重特征值.为了寻求对应于3=λ的特征向量,考虑方程组 ???=-11)3(c A E ??

?--11 021=??

????c c 因此, 向量

a c =??

????11

是对应于特征值3=λ的特征向量,其中0≠a 是任意常数. 18 解A 特征方程为5

3)det(--=

-λλE A

0366352=+-=-λλλ

特征根为i 532,1±=λ 对应于1=3+5i 的特征向量??

????=u u u 满足

???--=-55)(1i u E A λ 055=??

?

-i 解得u = a 0≠a 为任意常数

对应于i 532-=λ特征向量??

?

???=u u v 满足??

????i 1

0)(2=-v E A λ 解得??

?

???=1i v β

??

?

???v v β为任意常数 0≠β 19 解:????

??=2123A 的特征方程为13)det(--=-λλA E 0)4)(1(2

2=--=--λλλ λ1=1, λ2=4为特征根,???

?

??-=?=-a a u u E A 10)4(为方程组解a 为任意常数.

???

? ?

?=?=-ββ20)4(2u u E A 为方程组解.

这样???

? ??+????

??-=???? ??ββ2''21a a y y 为方程的解 20、解：?

-∞

+∞

-+∏

=

dx x u y

x x y y x 20

2

00)(0)

(1

),(?

)

arctan(2),()

arctan(

200

00

20

2

)(y

x u u y

x u

u y

x x u

y y x u dx

∏+=

∏+=

+

∏

=

?

-∞

即

21、解：由D ’Alembert 公式

公式为?+-+

-++=at

x at

x d a at x at x t x u ξξ???)(21)]()([21),( 则?-++-++=at

x at x d a

t x u at x at x ξξ21][21),()()(22 =

xt t

a

x

++2

2

2

22、解：由ξξ?ξd x t

t x u e t

)()(2

1),(42

?∞

∞

--

-∏=

ξξd x t

c

e

t

?∞

-

-∏=

4)(22

令

ηξ=-t

x

2 则

η

ηd t t

c t x u t

x e 22),(22

?

∞-

-

∏=

]2

[]

[020

022

2

2

∏+∏

=

+

∏=

?

??-

-

∞

-

-

-

ηηηηηηd c d d c t

x t

x e

e

e

已知误差函数定义ηηd a erf a

e ?

-∏

=

2

2)(，故)]2(1[2),(t

x erf c t x u += 23、解：第一步对方程进行化简，使其不包括b 2u 项。

令u=ve at ，代入方程，有

??

??

?

????≤≤====≤≤==><<-?=+???l x l x v x v l

x x t v t l x v t v ve b e x a ave e at

at at at

0,0/0/0),(0/0,0,222

2? 令a=-b 2,则u=

ve

t b -2

,v 为定解问题

??

??

?

????≥====≤≤==><

2

t l x v x v l

x x t v t l x u t v x a ? 的解。由分离变量法，得

l

x k l a k y x v R t k e ∏∏-=∑∞=sin )(),(1

2

? l x k b l a k t x u d l

k l k t

k l

k e ∏∏=∏=

∑?∞=+-sin

)(),(sin )(21

][0

2

2??ξξξ? 四 名词解释

1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。

2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上 的微分方程称为偏微分方程。

3 形如

)()(y x f dx

dy

?= 的方程，称为变量分离方程，这里)()(y x f ?分别是x , y 的连续函数。

4 形如

n y x Q y x P dx

dy

)()(+= 的方程，称为伯努利方程，这里)(),(x Q x P 为x 的连续函数，1,0≠n 是常数 5 函数f (x , y)称为在R 上关于y 满足Lipschitz 条件，如果存在常数L>0,使得 不等式2121).().(y y L y x f y x f -≤-

对于所有R y x y x ∈),(),,(21都成立, L 称为Lipschitz 常数.

6 定义在区间b t a ≤≤上的函数)(),(),(21t x t x t x k , 如果存在不全为零的常数c 1 , c 2 ,

…. c k 使得恒等式0)()()(2211=+++t x c t x c t x c k k 对于所有[]b a t ,∈都成立,称这些函数是线性相关的.

五 1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中,已知p (x),q (x)在),(+∞-∞上连续,

求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切.

证明：方程0)(')(''=++y x q y x p y ，设)(x y φ=是它的任一非零解。

若p (x),q (x)在),(+∞-∞上连续，假设)(x y φ=在xoy 平面上与轴相切。 则0'',0)('===y x y φ与方程有非零解)(x y φ=矛盾。 故)(x y φ=与x 轴不相切。

2 由已知得)()()(11111t f x t G dt

x

d t G dt x d n n n n n =++--

)()()(22111t f x t G dt

x

d t G dt x d n n n n n =++-- 把x 1(t)+x 2(t)代入方程)()()()(21111t f t f t x G dt x

d t G dt x d n n n n n +=++-- 由左端得

))()()(())()(()())()((211

11t x t x t G dt t x t x d t G dt t x t x d n n n n n +++++-- =

)()()()()()()()()()(211

1111t x t G t x t G dt

t x d t Gn dt t x d t G dt t x d dt t x d n n n n n n n n n n ++++++---- 3 证明 设y = y(x)是方程任一解，满足y (x 0) = y 0 ，该解的表达式为

00

)(0)()(x x x

x x s x x e ds e s f e y x y ---?+

=

取极限

00)(0

)(lim

lim )(lim x x x

x x s x x e ds e s f e

y x y ---?+=

?????=+=--0()(lim 0000)x x x x e e x f ??∞-∞-∞=∞

<0

000)()()()(x x s x x s ds e s f ds e s f 若若 4 证明 设y 1(x),y 2(x)是方程的基本解组,则对任意),(+∞-∞∈x ,它们朗斯基行列式在),(+∞-∞上有定义,

且0)(≠x W .又由刘维尔公式

),(,)()(0)(00

+∞-∞∈=?-x e

x W x W x

x ds s p

)()()(0

)(0x p e

x W x W x x ds s p ?-=

由于 0)(,0)(0≠≠x p x W ,于是对一切),(+∞-∞∈x ,

有0)('>x W 或0)('

5答案略

6证明:已知函数组的wronshi 行列式为

W(x) =

x

n n

x n x n x

n x x x

x x n n n e x e e x e e e e e e λλλλ

λλλλλλλλλ1

1

2

1

1

21212

1

21,,,---

=)

(21x n e

λλλ ++1

111

-n λλ 1

21

-n n

λλ 1

1-n n

n

x x

上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于)(j i λλπ-由题设知)(j i j i ≠≠λλ 由此行列式不

为零.从而0)(≠x W 由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.

7证明：任取),()(0

+∞-∞∈

∞C

x ?，则存在常数A ，使│x │>A, 0)(=x ?，因此

dx x x Nx

)(sin ??∞

∞-∏= ]))0()((sin )0(sin [dx x x Nx dx x Nx A A A A ??---∏+∏???

+∞

→x +∞→x +∞

→x +∞→x

= ])(sin 1sin )

0([dx x Nx dx x Nx A

A A

A

??--∏+∏?? 其中，???

??=≠-=0

),0('0,)

0()()(x x x

x x ???? ???????=≠+-=0),0(''2

1

0,)

0()()(')('2

x x x x x x x ????? 则：=I 1 ?-∏

=

∏∏A

A dx x x

)0(sin )

0(?? ?-=NA

NA dy y y

)0(sin ?

=I 2∏1

?-A A dx x Nx )(sin ψ

=∏1 0]cos )('1cos )([=+-??--A A A

A

Nxdx x N N Nx x ψψ

所以 ??∞

∞-∞∞-==∏dx x x dx x x Nx )()()0()(sin ?δ??

故有w- )(sin x x

Nx

δ=∏

2019年自学考试发展心理学练习题及答案(1)

2019 年自学考试发展心理学练习题及答案(1) 德国生理和实验心理学家普莱尔于19 世纪后半叶创立了儿童心理学。 儿童发展心理学的创立，最根本的目的是要揭示发展的普遍行为模式。而儿童的动作发展模式、语言获得模式、皮亚杰所描述的儿童思维发展阶段等，都是儿童心理发展的普遍模式。儿童动作的发展是在脑和神经中枢、神经、肌肉控制下实行的，所以动作的发展与其身体的发展、大脑和神经系统的发育密切相关。动作的发展遵循以下三个规律： 1、从上到下。儿童最早发展的动作是头部动作，其次是躯干动作，最后是脚的动作。 2、由近及远。 3、由粗到细。儿童先学会大肌肉、大幅度的粗动作，在此基础上逐渐学会小肌肉的精细动作。儿童用手握铅笔自如地一笔一画地写字，往往要到 6-7 岁才能做到。 1、以下不是儿童动作发展所遵循的规律是(D) A.从上到下 B.由近及远 C.由粗到细 D.由前到后2、儿童最早发展的动 作是(A) A. 头部动作B 躯干动作C. 手的动作D. 脚的动作 3、儿童的动作发展是沿着(A) 方向逐步成熟的。 A.抬头-翻身-坐-爬-站-行走B抬头-爬-站-翻身-坐-行走 C.坐-抬头-翻身-爬-站-行走D翻身-抬头-坐-爬-站-行走 4、儿童用手握铅笔自如地一笔一画地写字，往往要到(C) 岁才能做到。

A.3-4 B 4-5 C 6-7 D 7-8 5、儿童心理学的创始人是 （C ） A. 夸美纽斯 B 何林渥斯 C 普莱尔 D 冯特 儿童发展心理学自诞生以后发展出了多种理论派别。 如以格塞尔为代表的成熟论。格塞尔的观点源自于他的双生子爬 楼梯研究。他认为，个体的生理和心理发展，都是按照其基因规定的 顺序有规则、有次序地实行的。他通过基因来指导发展过程的机制定 义为成熟，心理发展是由机体成熟预先决定与表现的。 行为主义的创始人华生，认为心理的本质就是行为，心理学研究 的对象就是可观察到的行为。华生否认遗传在个体成长中的作用，认 为一切行为都是刺激 - 反应的学习过程。他对待儿童心理发展的基本观 点源于洛克的“白板说”。华生提出的研究方法有：观察、条件反射 法、言语报告法、测验法。 精神分析论则着重对“无意识”的探究。弗洛伊德认为，存有于 潜意识中的性本能是心理的基本动力，心理的发展就是“性”的发展， 或称心理性欲的发展。 4、潜伏期 （6-11 岁） 5、青春期 （11、12 岁开始 ） 。 相互作用论者，皮亚杰认为儿童心理的发生发展不是天生结构的 展开，也不完全取决于环境的影响。在他看来，发展受四个因素的共 同影响，这四个因素是：成熟、自然经验、社会经验以及平衡化，其 中第四个是决定性因素。他将儿童的心理发展分为五个阶段： 1、 口唇期 （0-1 岁） 2、 肛门期 （1-3 岁） 3、 性器期 （3-6 岁）

常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程． 二求下列方程的解 １ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 ３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程习题及答案

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。

8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

(完整版)常微分方程的大致知识点

= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族

? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

自学者参考相对论习题

自学者参考相对论习题 8-1 一艘空间飞船以0.99c 的速率飞经地球上空1000 m 高度，向地上的观察者发出持续2×10-6 s 的激光脉冲. 当飞船正好在观察者头顶上垂直于视线飞行时，观察者测得脉冲讯号的持续时间为多少？ 在每一脉冲期间相对于地球飞了多远？ 8-1 62 21014/1?×=?Δ=Δc v t τ s , 4200=Δ=Δt v l m. 8-2 1952年杜宾等人报导，把 π+ 介子加速到相对于实验室的速度为(1- 5)×10-5 c 时，它在自 身静止的参考系内的平均寿命为2.5×10-8 s ，它在实验室参考系内的平均寿命为多少？通过的平均距离为多少？ 8-2 5 105.2?×=Δ=Δτγt s , l = 7.5×103 m. 8-3 在惯性系K 中观测到两事件发生在同一地点，时间先后相差2 s ．在另一相对于K 运动的 惯性系K ′中观测到两事件之间的时间间隔为3 s ．求K ′系相对于K 系的速度和在其中测得两事件之间的空间距离. 8-3 c c t v ?= ?ΔΔ?=3 5 )(12τ , c t v l 5=Δ=. 8-4 在惯性系K 中观测到两事件同时发生，空间距离相隔1 m ．惯性系K ′沿两事件联线的方 向相对于K 运动，在K ′系中观测到两事件之间的距离为3 m ．求K ′系相对于K 系的速度和在其中测得两事件之间的时间间隔。 8-4 c c x x v ?= ?ΔΔ?=3 8 )' (12, 81094.0'?×?=Δt s. 8-5 一质点在惯性系K 中作匀速圆周运动，轨迹方程为x 2 + y 2 = a 2, z = 0, 在以速度V 相对于K 系沿x 方向运动的惯性系K ′中观测，该质点的轨迹若何？ 8-5 质点的轨迹为一椭圆： 1')/1('2 2 2222=+?a y a c v x . 8-6 斜放的直尺以速度V 相对于惯性系K 沿x 方向运动，它的固有长度为l 0， 在与之共动的 惯性系K ′中它与x ′轴的夹角为θ′.试证明：对于K 系的观察者来说，其长度l 和与x 轴的夹角θ分别为 2 2 2 2 2 2 0/1'tan tan ,sin )'cos /1(c V c V l l ?= +?=θθθθ. 8-6 )/1' tan arctan(2 2c v ?=θθ. 8-7 惯性系K ′相对于惯性系K 以速度V 沿x 方向运动，在K ′系观测， 一质点的速度矢量

最新常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业 第3章 一阶线性微分方程组 1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明 3．将下列方程式化为一阶方程组 （1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4．求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续． 5．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组： （1）???????==y t y x t x 2d d d d （2）???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （3）???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7．求解下列方程组： （1）???-=+=x y y y x x 23&& （2）??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8．求解下列方程组： （1）???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d （2）???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y （3）?????+=+=2 e 2t x y y x t && （4）???++=++=t y x y t y x x e 823532&&

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

秋华师《常微分方程》在线作业

秋华师《常微分方程》在线作业

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奥鹏1７春16秋华师《常微分方程》在线作业 一、单选题（共20 道试题，共60 分。） １. 微分方程ｙ''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B．y＊＝acosx C．ｙ*=x(ａsiｎｘ＋bcosx) D．y*＝acｏsx+bｓinx 正确答案: 2. y'''+ｓｉnxy＇-ｘ=cｏsx的通解中应含(）个独立常数。 A. １ B. 2 C．3 D. ４ 正确答案： 3．微分方程xyy''+x（y')^3-y^4-ｙ'＝0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 Ｄ. 2 正确答案： ４．微分方程ｙ'''-ｘ^2ｙ'＇-x^5＝１的通解中应含的独立常数的个数为（)。 A. 3 B. 5 C. 4 D． 2 正确答案： 5. 过点(１,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=ｙ(x)应满足的关系是（）。 A.y'＝2x B. ｙ''＝２ｘ C. y＇＝2x,y(１)=３ Ｄ. ｙ''＝2x,ｙ(1）＝3 正确答案： ６.方程dy/ｄx=3y（2/３)过点(0，0）有（)． A. 无数个解 B. 只有一个解 C．只有两个解 D．只有三个解

正确答案： ７. 方程y'-２y=0的通解是（)。 A. y＝sinx B. y=4e^(２ｘ) C．ｙ=Ce^(2ｘ) Ｄ．ｙ=ｅ^x 正确答案： 8. 下列函数中,是微分方程y＇'-7y'+1２ｙ＝0的解()。 Ａ. y=ｘ^３ B. y=x^2 C. ｙ=e^(3x) D．y=ｅ^（2x) 正确答案： 9．按照微分方程通解定义,ｙ＇'=sinx的通解是()。 A. -sｉnｘ+C1x+C2 Ｂ. －ｓinx+C1+Ｃ2 Ｃ. siｎx+C１ｘ＋C2 D．ｓinx+C１x+C2 正确答案: 10．方程组dY/ｄx＝F(x,Y),ｘ∈R，Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+１ C．n-1 D. n－２ 正确答案: 1１．下列函数中，哪个是微分方程dｙ-２ｘdx=0的解（)。 A. y=2x Ｂ．y=x^2 C. ｙ=-2x D．y=－x 正确答案： １２. 微分方程cosｙdy=ｓｉnxdx的通解是()。 Ａ. sinｘ+cｏsｘ=C B．ｃosｙ-ｓinx=Ｃ C. cosｘ－siny＝C D.cｏｓx+sinｙ=C 正确答案: 13. 微分方程2ydｙ-ｄx=0的通解为（)。 A. y^2-x=C B. ｙ-x＾(１/2)＝C C. y=x+C D. y＝-x+C 正确答案：

电路网络自学习题.

电路原理自习习题电自学院电路电机教研室 上海电力学院 2003.1

1-1 根据图示参考方向，判断各元件是吸收还是发出功率，其功率各为多少？ 图题1-1 1-2 各元件的条件如图所示。 图题1-2 (1)若元件A吸收功率为10 W，求I a；(2)若元件B产生功率为(－10 W)，求U b； (3)若元件C吸收功率为(－10 W)，求I c；(4)求元件D吸收的功率。 1-3 电路如图所示，求各电路中所标出的未知量u、i、R或p的值。 图题1-3 1-7 (1)已知电容元件电压u的波形如图题1-7(b)所示。试求i(t)并绘出波形图。 (2)若已知的是其电流i的波形，如图题1-7(c)所示。设u(0)＝0，试求u(t)(t≥0)并绘出波形图。如果u(0)改为－20 V，则结果如何? ·1·

·2· 图题1-7 1-13 图示各电路中的电源对外部是提供功率还是吸收功率?其功率为多少 ? 图题1-13 1-15 求图示各电路中电压源流过的电流和它发出的功率。 图题1-15 1-18 (1)求图题1-18(a)电路中受控电压源的端电压和它的功率； (2)求图题1-18(b)电路中受控电流源的电流和它的功率； (3)试问(1)、(2)中的受控源是否可以用电阻或独立电源来替代?若能，所替代元件的参数值为多少?并说明如何联接。 图题1-18

1-19 试用虚断路和虚短路的概念求图示两电路中的i1、i2及u o的表达式。 图题1-19 1-22 求图示各电路中的U ab，设端口a、b均为开路。 图题1-22 1-24 电路如图示，求m、n两点间的电压U mn。 图题1-24 图题1-26 1-26 求图题1-26所示电路中的电压u和电流i，并求受控源吸收的功率。 ·3·