高考数学总复习第十章统计与统计案例概率第6节几何概型教案文含解析北师大版

高考数学总复习第十章统计与统计案例概率第6节几何

概型教案文含解析北师大版

第6节 几何概型

最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.

知 识 梳 理

1.几何概型的定义

向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积

G 的面积

，则称这种模型为几何概

型.

2.几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3.几何概型的概率公式

P (A )＝

构成事件A 的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是1

10.( )

(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(必修3P153B2改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝3

8，P (B )

＝28，P (C )＝26，P (D )＝1

3，所以P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B ). 答案 A

3.(必修3P150讲解引申改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________.

解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S

4＝

30

200，∴S ＝0.6. 答案 0.6

4.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710

B.58

C.38

D.310

解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5

8.

答案 B

5.(2018·渭南模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.1

8

B.16

C.127

D.38

解析 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.

这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p ＝127

.

答案 C

6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )

A.p 1＝p 2

B.p 1＝p 3

C.p 2＝p 3

D.p 1＝p 2＋p 3

解析 不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）2

2

－S 1＝π－2.区域Ⅱ的面积为

S 2＝π·⎝ ⎛⎭

⎪⎫222

－S 3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2

π＋2

，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3.

答案 A

考点一 与长度(角度)有关的几何概型

【例1】 (1)(2019·宜春期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a ，使得关于x 的方程x 2

＋2＝a 有实数根的概率为( ) A.2

3

B.25

C.35

D.34

(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵

，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.

解析 (1)若方程x 2

＋2＝a 有实根，可知a －2≥0，即a ≥2，那么p ＝4－24－（－1）＝25.

(2)连接AC ，如图所示tan∠CAB ＝CB AB

＝

1

3＝33

，所以∠CAB ＝π

6，满足条件的事件是直线

AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交时，即直线AP

与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率p ＝

∠CAB ∠

DAB ＝π

6π2

＝1

3

.

答案 (1)B (2)1

3

规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.

2.(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求p ＝12.

(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比. 【训练1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13

B.12

C.23

D.34

(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在π

6角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA

落在∠yOT 内的概率为________.

解析 (1)如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p ＝10＋1040＝1

2

.