第一讲 平行线的构造与应用

平行线的性质及应用平行线是几何学中的重要概念，它在许多数学问题和实际应用中起到了重要的作用。

本文将探讨平行线的性质以及其在几何学和实际生活中的应用。

一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线的对应角是相等的：当两条平行线被一条横截线所交叉时，同位角(对应角)是相等的。

这个性质被称为同位角性质。

2. 平行线的内错角是互补的：当两条平行线被一条横截线所交叉时，内错角(相邻内角)之和等于180度。

这个性质被称为内错角性质。

3. 平行线的外错角是相等的：当两条平行线被一条横截线所交叉时，外错角(相邻外角)是相等的。

这个性质被称为外错角性质。

这些基本性质使得平行线成为几何学中一个重要的对象。

通过这些性质，我们可以解决许多几何问题。

二、平行线的应用1. 三角形的判定平行线的性质可以用来判定三角形之间的关系。

例如，当一条直线与两条平行线相交时，我们可以通过内错角性质得到两个内角是互补的，从而判定这个三角形是直角三角形。

2. 平行四边形的性质平行线的性质在研究平行四边形时也起到了重要的作用。

平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

通过平行线的性质，我们可以证明平行四边形的对边相等、对角线等分等一系列性质。

3. 实际应用平行线不仅在几何学中有重要应用，在实际生活中也扮演着重要角色。

以下是几个实际应用的例子：a) 建筑设计：在建筑设计中，平行线的概念用来确定墙壁和地板的平行关系，确保建筑结构的稳定和美观。

b) 路网规划：在城市规划中，平行线可以用来规划并确定道路的位置和方向，使交通更加便利和高效。

c) 测量和绘图：在测量和绘图中，平行线用于确保准确和精确的测量和绘制。

例如，在制作地图时，通过描绘平行线网格，可以更好地表示地理信息。

总结：平行线在几何学和实际应用中都具有重要地位。

通过了解平行线的定义与性质，我们可以解决许多几何问题，并应用于实际生活中的建筑设计、道路规划以及测量绘图等领域。

目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .word 资料下载可编辑专业技术资料 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为 ．9.如图，若AB ∥CD ， ∠BEF =70°，求∠B +∠F +∠C 的度数.10．已知，直线AB ∥CD ．(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .。

第1讲-平行线的构造一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则∠1=∠2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则∠2=∠3．（3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则∠3+∠4=180︒． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若∠1=∠2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若∠2=∠3，则a//b ．（3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若∠3+∠4=180︒，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则∠1=∠2+∠32．如图5，若a//b ，则∠1+∠2+∠3=360︒图4 图5【例1】下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．(c )b a c ba ba 4321 a b213 ab213【例2】 （1）如图2-1，一个含有30︒角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．155︒B ．135︒C ．125︒D ．115︒ （2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB ∠=50︒，MG 平分BMF ∠，交CD 于G ，MGN ∠的度数为__________．图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180︒．【解析】（1）D ；（2）65︒；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B ∠1=∠，C ∠2=∠（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC ∠1+∠+∠2=180︒．（平角的定义） 所以B BAC C ∠+∠+∠=180︒（等量代换）．即三角形三个内角的和等于180︒． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A ∠1=∠（两直线平行，内错角相等），B ∠2=∠（两直线平行，同位角相等）． 又∵BCA ∠+∠1+∠2=180︒， ∴BCA A B ∠+∠+∠=180︒，即三角形三个内角的和等于180︒．【例3】（1）根据图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）， ∴AB//CD （ ）；②∵B BED ∠=∠（已知）， ∴AB//CD （ ）；③∵B CEB ∠+∠=180︒（已知）， ∴AB//CD （ ）．l21C BA21D C EB AA C DB FEFEAM BC NG D12（2）已知：如图所示，ABC ADC ∠=∠，BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠，AED EDC ∠=∠．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠（已知） ∴EDC ∠=__________ADC ∠，FBA ∠=__________ABC ∠（ ）， 又∵ADC ABC ∠=∠（已知），∴∠__________FBA =∠（等量代换）． 又∵AED EDC ∠=∠（已知），∴∠__________=∠__________（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行.【例4】如图，已知EF BC ⊥，C ∠1=∠，∠2+∠3=180︒．证明：AD BC ⊥．【解析】C ∠1=∠，（已知）∴GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） ∴CAD ∠=∠2．（两直线平行，内错角相等） 又∠2+∠3=180︒，（已知） ∴CAD ∠3+=∠180︒．（等量代换） ∴AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴ADC EFC ∠=∠．（两直线平行，同位角相等）EF BC ⊥，（已知） ADC ∴∠=90︒，∴AD BC ⊥．A C D BF EABCDEFG123请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________． （2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________． （3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE ∠=∠，又∵MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠，∴GMF BMF CNE HNM 11∠=∠=∠=∠22，∴MG//NH ，从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE ∠+∠=180︒，又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，∴GMF HNE AMF CNE 11∠+∠=∠+∠=90︒22，∴MON GMF HNE ∠=180︒-∠-∠=90︒，∴MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．A C G EB M H N D F OA C GE B M H N DF A CG E B M HND F（1）如图6-1，已知直线a//b ，∠1=40︒，∠2=60︒，则∠3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，∠1=120︒，=∠2100︒，则∠3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE ∠=120︒，ECD ∠=25︒，则E ∠=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100︒；（2）40︒；（3）85︒． 【例7】（1）如图7-1，AB//CD ，BAF EAF 1∠=∠3，FCD ECF 1∠=∠3，AEC ∠=128︒，则AFC ∠的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP ∠和CDP ∠的平分线相交于点E ，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于点F ，BFD ∠=54︒，则BPD ∠=________，BED ∠=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58︒；（2）144︒；108︒． 【例8】（1）如图8-1，AB//CD ，A ∠=32︒，C ∠=70︒，则F ∠=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E ∠=37︒，C ∠=20︒，则EAB ∠的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38︒；（2）57︒．EF A B PCDFD CBEAEDCB Al 1l2321321baEDC BA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A 、PB ，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角。