奥数第一讲 巧算分数乘法

第一讲 : 分数的速算与巧算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项概括是密不行分的，本讲要修业生掌握裂项技巧及找寻通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的观点，经过等量代换讲复杂算式变为简单算式。

3、 循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，波及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项概括法通项概括法也要借助于代数，将算式化简，但换元法不过将“形同”的算式用字母取代并参加计算，使计算过程更为简 便，而通项概括法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常有的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即1 形式的，这里我们把较小的数写在前方，即 a b ，那么有a b111 1a b b ()a a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3) n (n1 (n 2) 1 [ n 1 1) (n 1]1) 2 (n 1)(n2)1 1 11n (n 1) (n 2) (n 3)[(n 2)(n1) (n]3 n (n 1)2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，但是只需将 x 提拿出来即可转 化为分子都是 1 的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常有的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a ba b1 1 （ 2） a 2b 2 a 2b 2 a ba b a b a b b a a ba b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对照：裂差型运算的中心环节是 “两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不单有 “两两抵消” 型的，同时还有转变为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。

第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.4、 通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨 一、裂项综合(一)、“裂差”型运算⑴ 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a ::：b ，a xb1 1 ,11、 那么有() a b b 「a ab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：形式的，我们有:n (n 1) (n 2) (n 3)1 1 11 i[-n (n 1) (n 2) (n 3)3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)1(1)1 X2 +2 X3 +3 汉4 +... +(n — 1)xn =—(n _ 1)xn 汇(n +1)31(2)1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... (n —2) (n —1) n (n -2)(n —1)n(n 1)4二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简. 三、循环小数化分数1n (n 1) (n 2)1 n (n 亠 1) (n 2)1 12[n (n 1) 1 (n 1)(n 亠2)] 裂差型裂项的三大关键特征：(1) 分子全部相同，最简单形式为都是 提取岀来即可转化为分子都是 1的运算。

分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。

分数基本运算的常考题型有（1）分数的四则混合运算（2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择（3）复杂分数的化简（4）繁分数的计算分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。

技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。

技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。

此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。

技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。

技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。

技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。

【例1】58的分母扩大到32，要使分数大小不变，分子应该为__________。

【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。

分母扩大：328=4（倍），分子为：45=20。

【答案】20【巩固】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数56看成了58来计算，算出的结果是120，这道算式的正确答案是__________ 。

【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】根据题意可知，被除数为5120758，所以正确的答案为575906。

【答案】90例题精讲知识点拨教学目标分数乘除法速算巧算。

分数乘法的巧算（一）一、拆分因数，使计算简便。

1、拆分分数：一个分数接近单位“1”（小于单位“1”或大于单位“1”）例：1. 计算3334×27 2. 计算2322×17练习1：4850×13 4341×133334×133938×25?2、拆分整数：整数接近分数的分母或接近分母的倍数例： 1. 计算2010 ×1232009 2. 计算93 ×2346练习2：、52 ×37501001 ×1011002199 ×89994365×129二、先分拆分数，然后运用乘法分配律进行简便运算。

1、分母相同的，拆分成一个分数与另一个因数的积的形式，再运用乘法分配律进行计算例：1. 计算34×27 +14×39 2. 计算57×27-27×29'练习3：16×45 + 56×1557×19 —8 ×472、将一个带分数拆分成整数加分数的形式，再运用乘法分配律进行计算" 练习4：2137 × 15 2915 × 56 3429 × 911 2916 × 67作业（一）2728 × 15 1002 × 1001001 35 × 31 + 15 × 7 2623 × 15<作业（二）22311 × 17 3842 × 43 13 × 45 + 23 × 15 3940 × 13 131 × 3865 57 × 9 — 47 ×6作业（四）1738 × 37 103 × 15104 57 × 5 + 47 × 6 2517 × 78}二、乘法分配律的进一步运用 例1：计算527 ×5 + 457 ×923练习1：335 ×25 25 + 37910 ×625 338 ×4+ 558 ×535 1049 ×4 — 249 ×712！例2：计算22×17 + 11×27 + 337 ×211练习2：39×14 + 25×34 + 264 ×313 9×38 + 15×18 — 54 ×35、×149 +234 × 15 + × 59 + 14 × 15 9×35 + 24×15 — 115 ×38>作业（一）（325 + 523 +635 + 613 ）×（3 — 311 ） 1614 ×45 + 1717 ×78 + 1315 ×56625 ×7 + 335 ×1013 22×15 + 11×25 + 335 ×211—作业（二）（449 + 856 + 759 + 716 ）×（3 — 314 ） 1915 ×56 + 1919 ×89 — 2513 ×34425 ×1025 +17910 ×535 39×17 + 25×37 + 267 ×313~作业（三）（1227 — 235 — 325 +1757 ）×（8 — 38 ） 715 ×56 +13 12 ×23 + 2225 ×57758 ×4+ 438 ×535 9×313 + 15×113 — 1013 ×35。

小学奥数教程：分数乘除法速算巧算_全国通用（含答案）分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。

分数基本运算的常考题型有（1）分数的四则混合运算（2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择（3）复杂分数的化简（4）繁分数的计算分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。

技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。

技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。

此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。

技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。

技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。

技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。

【例1】58的分母扩大到32，要使分数大小不变，分子应该为__________。

【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。

分母扩大：328=4（倍），分子为：45=20。

【答案】20【巩固】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数56看成了58来计算，算出的结果是120，这道算式的正确答案是__________ 。

【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】根据题意可知，被除数为5120758，所以正确的答案为575906。

【答案】90例题精讲知识点拨教学目标分数乘除法速算巧算。

第一讲 从分数乘法说起【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。

分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。

1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。

对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。

2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。

进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。

需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。

【典型例题】——乘法分配律的妙用例1．计算：（1）4544×37 （2）2004×200367分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的4544与1只相差1个分数单位，如果把4544写成（1－4544）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。

同样，第（2）题中可以把整数2004写成（2003+1）的和与200367相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。

（1）4544×37 （2）2004×200367=（1－4544）×37 =（2003+1）×200367= 1×37 －4544×37 = 2003×200367+ 1×200367= 36458 =67200367【举一反三】 计算：（1）4443×37 （2）5756×37 （3）5756×56 （4）75×7647例2．计算：（1）72174×2417（2）73151×81分析与解：（1）72174把改写成(72 +174)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。