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第九章 场的量子化及其状态的描述(详细版)改

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量子场论的基本思想

量子场论的基本思想

量子场论的基本思想量子场论是现代物理学中的基本理论之一，它将量子力学与场论相结合，对自然界的基本粒子与相互作用进行深入研究。

量子场论的基本思想涉及了许多重要的概念和工具，其中包括场的量子化、量子态、相对论性不变性等。

在本文中，我们将从这些方面对量子场论的基本思想进行详细介绍。

场的量子化量子场论认为，粒子不是独立存在的实体，而是场的激发。

场是通过其在空间和时间中分布的数值来描述物理现象的。

在经典场论中，场是连续变化且可以任意取值的，而在量子场论中，场被量子化，变为算符，并且取值是离散的。

量子场论中最重要的一个概念是关于场算符的展开式。

根据海森堡绘景的原理，在给定时刻下，一个任意的场算符可用一组完备的归一化模式函数展开：这里和分别表示湮灭算符和产生算符。

量子态在量子场论中，与粒子数有关的观测量不再是确定性的，而是以概率形式给出。

这意味着，在给定一个态后，我们只能确定某个时刻下粒子数的期望值，而不确定它的具体取值。

系统的量子态可以用各种不同的方式来表示。

其中一种常用的表示方式是利用Fock空间来描述多粒子系统。

Fock空间是封闭叠加规则下各个粒子带电荷守恒，并满足泡利排斥原理所限制的各个态构成的空间。

相对论性不变性作为一项基础理论，量子场论必须满足相对论性不变性。

这意味着理论在洛伦兹变换下形式不变。

为了实现这一点，我们需要引入协变导数、洛伦兹不变积分等数学工具。

相对论性不变性对于处理高能物理过程中产生与湮灭粒子以及粒子之间相互作用非常重要。

它确保了物理规律不依赖于观察者选择参考系。

应用和前景量子场论提供了处理高能物理过程中复杂现象和多体效应所需要的数学工具和框架。

它被广泛应用于粒子物理学、凝聚态物理学、核物理学等领域。

近年来，随着计算机技术和实验技术的发展，我们可以通过数值模拟和实验数据验证量子场论的预言。

此外，在黑洞信息悖论、弦理论等领域，量子场论也发挥着重要作用。

尽管如今我们已经获得了许多关于量子场论的深入认识，但仍有许多待解决问题。

物理学中的量子场论和场量子化

物理学中的量子场论和场量子化

物理学中的量子场论和场量子化量子场论（Quantum Field Theory, QFT）是现代物理学中的一个重要分支，它将量子力学与狭义相对论统一起来，为我们理解和描述微观世界提供了一种有效的理论工具。

场量子化则是量子场论的核心内容之一，它揭示了场的波动性和粒子性，从而为理解基本粒子的性质和相互作用提供了理论基础。

本文将简要介绍量子场论和场量子化的基本概念、原理和方法。

一、量子场论的起源和发展量子场论的起源可以追溯到20世纪初，当时物理学家为了解释光电效应和原子光谱等现象，提出了量子理论。

随后，狭义相对论的提出使得人们对时空观念有了新的认识，从而推动了量子场论的发展。

经过几十年的努力，量子场论逐渐成为了一个完整的理论体系。

量子场论的发展经历了几个阶段：1.自由场论：20世纪30年代，维诺格拉德（Vladimir Fock）和狄拉克（Paul Dirac）等人提出了自由场论的基本概念，即场的薛定谔方程和相对论性狄拉克方程。

这些方程可以描述自由粒子的性质，但无法描述粒子间的相互作用。

2.相互作用场论：为了解决自由场论无法描述粒子间相互作用的问题，海森堡（Werner Heisenberg）和泡利（Wolfgang Pauli）等人提出了相互作用场论的概念。

相互作用场论通过引入相互作用算子，使得场方程可以描述粒子间的相互作用。

3.量子电动力学（QED）：1948年，理查德·费曼（RichardFeynman）、朱利安·施温格（Julian Schwinger）和朝永振一郎（Shin’ichirōTomonaga）等人提出了量子电动力学（QED）的理论框架。

QED成为了第一个成功的量子场论，它准确地描述了电磁相互作用和光子的性质。

4.标准模型：20世纪70年代，格拉肖（Sheldon Glashow）、萨拉姆（Abdus Salam）和温伯格（Steven Weinberg）提出了粒子物理学的标准模型。

量子光学场量子化

量子光学场量子化

量子光学场量子化量子光学是研究光与物质相互作用的量子效应的科学领域，它的发展对于理解和利用光的特性具有重要意义。

而在量子光学中，场量子化是一个重要的概念和方法。

本文将介绍量子光学场量子化的基本原理和相关应用。

一、场量子化的基本原理场量子化是将经典场转化为量子场的过程，它是量子场论的基础。

在量子光学中，我们将电磁场视为一种量子场，通过量子化的方法来描述光的传播和相互作用。

其基本原理可以概括为以下几点：1. 光的传播：在经典光学中，光的传播是由麦克斯韦方程组描述的，而在量子光学中，我们引入了量子化的电磁场算符来描述光的传播。

这样，光的传播就可以用光子的产生和湮灭来表示，从而实现了对光的量子化描述。

2. 光的相互作用：在量子光学中，我们研究的不仅仅是光的传播，还包括光与物质之间的相互作用。

通过场量子化的方法，我们可以得到光与物质相互作用的哈密顿量，并进一步研究光与物质之间的能量交换和信息传递过程。

3. 光的量子态：在场量子化的过程中，我们引入了光子的产生算符和湮灭算符，它们可以用来描述光的量子态。

光的量子态可以是光子数确定的纯态，也可以是光子数不确定的混合态。

通过对光的量子态的研究，我们可以得到光的统计性质和量子纠缠等重要信息。

二、场量子化的应用场量子化的方法在量子光学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 光的操控和调控：通过场量子化的方法，我们可以研究光与物质之间的相互作用，进而实现对光的操控和调控。

例如，通过调整光的频率和强度，我们可以实现光的调制和调幅，从而用于光通信和光存储等领域。

2. 光的量子信息：场量子化的方法为光的量子信息处理提供了理论基础。

通过研究光的量子态和光与物质的相互作用，我们可以实现光的量子态的制备、操作和测量，从而实现光量子计算和光量子通信等应用。

3. 光的非经典性：通过场量子化的方法，我们可以研究光的非经典性现象，例如光的单光子特性和光的量子纠缠等。

这些非经典性现象在量子信息和量子计算等领域具有重要应用。

§9 二次量子化理论

§9 二次量子化理论

(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)

物理学中的量子场论知识点

物理学中的量子场论知识点

物理学中的量子场论知识点作为现代物理学的重要分支，量子场论是描述微观世界中基本粒子与它们的相互作用的理论框架。

本文将围绕量子场论的基本概念、数学表述和应用等方面，介绍一些相关的知识点。

一、基本概念量子场论是在相对论框架下描述基本粒子的理论，它将粒子视为场的激发状态。

在这个理论中，物质和相互作用都通过场来描述和传递。

1. 場的本质在经典物理中，我们将物质视为质点的集合，而在量子场论中，我们将物质视为场的激发。

场是时空中的实物性质，具有振荡和相互作用效应。

2. 量子化量子场论将经典场量子化，引入量子力学的形式体系。

通过对场进行量子化，我们可以描述场的离散能量状态和粒子的量子态。

3. 统计意义量子场论是一个统计理论，它描述了场的激发态所处的概率分布。

通过统计方法，我们可以计算场的激发态的各种性质与行为。

二、数学表述1. 哈密顿量在量子场论中，哈密顿量描述了系统的能量及其随时间的演化。

它是场的能量算符。

2. 场算符场算符是量子场论中最重要的数学工具之一，它用来描述场的量子态和相互作用。

例如，电磁场算符可以描述光子的量子态。

3. 相互作用相互作用是量子场论中的一个核心概念，它描述了场之间的相互作用过程。

相互作用的形式通过拉格朗日量确定，它包含了相互作用强度和耦合常数等参数。

三、应用量子场论在现代物理学中有广泛的应用，例如：1. 微观粒子的描述通过量子场论，我们可以描述和研究各种基本粒子，如夸克、轻子和玻色子等，从而揭示它们的性质和相互作用规律。

2. 粒子物理学量子场论在粒子物理学中起到了关键作用。

例如，在标准模型中，量子场论被用于描述强、电弱和引力相互作用。

3. 相变理论量子场论也被应用于凝聚态物理领域，特别是相变理论。

通过场论方法，我们可以研究物质的相变行为和临界现象。

四、总结量子场论是现代物理学的重要理论框架，它描述了微观世界中的基本粒子和它们的相互作用。

通过量子化的场和相互作用的描述，我们可以研究和理解粒子的性质、粒子物理学和相变理论等方面的现象。

电磁场的量子化及其数态描述

电磁场的量子化及其数态描述

这 里 ， ＋（ ｔ包含 了所有 随 ｅ 变化 的振 幅 ， 一（ ｔ包 含 了所 有 随 ｅ 变化 的振 幅 ． （’ ） ， — （’ ，） ｔ 且 （） ＋：
Ａ（ ～
，
对于限制在一定空间体积内的电磁场 ， （ ， 可展成分立的正交模函数系， Ａ ７ｔ ） 即：
Ａ ７ ｔ ＝∑ ＣＵ（ ）一 （ ，） ｋｋ７ ｅ （） ５
征态 、 算符可分别写为 Ｉ ｋ ＝ ＞、 ｎ
即：
， ｋ Ｉ ＞被称为数态 ， ｎ 也就是光子数算符 ＝
Ｉ ｋ ｎ Ｉｋ ＞＝ ｋ ＞ ｎ ｎ
的本征态 ．
（７ １）
（８ １）
这里 ， 、 为光子数的产生、 湮灭算符 ． ， 则 场模 的真空态（ 谐振子的基态） 可定义为 １ ＞： ０ ０ 由（６ 、 １） １）（８可得基态能量为
ｐ ＝ ￡ ２ ｎ ｅ ０ ＋１ Ｅ ２
［ ］ ， ， ＝
故， 电磁 场 的哈密 顿量 Ｈ为 ：
Ｈ 告 Ｉ￡２ ／ ２ ｖ ＝ （Ｅ＋ｔ ） 。 － ｄ ｏ Ｈ
把（２ 、１） １）（３式代人（４式得哈密顿量 Ｈ为 ： １）
Ｈ：∑ （ ａ ＋１ ） ｋ ／ ２
矗 ｔ＝ ∑ｆ （， ｉ ）
ａ Ｕ ） －ｉ ｅ ￣ ［ｋ 一 （ ＇ ｔ＋
（ ｅ ） ）
ｋ ￣＆ ｔ ／ ｔ ｏ
上 式所选 的归一化 因子使 得振 幅 ａ、 为 无量 纲 的量 ． ｋ
在经典理论中，ｏｒｒ Ｆｕｅ 系数（ ／ 振幅） 为复数 ． 在电磁场的量子化时， 为相互共轭的算符 ， 、 由于光 子是玻色子 ， 以， 所 算符 、 满足玻色对易关系 ［， ］ ， ］ ０ ＝［ ＝ 由于电磁场的能量密度 ｐ 为： ｅ

第九章电荷与真空中的静电场

第九章电荷与真空中的静电场第九章电荷与真空中的静电场9.1 电荷库仑定律⼀、电荷对物质电性质的最早认识：摩擦起电和雷电电荷的基本认识包括：电荷类型：正电荷（丝绸摩擦玻璃棒）负电荷（⽑⽪摩擦橡胶棒）电性⼒：同号相斥、异号相吸电量：物体带电荷数量的多少2.电荷所遵循的基本实验规律：1）电荷是量⼦化的在⾃然界中，电荷总是以基本单元的整数倍出现，近代物理把电荷的这种不连续性称为电荷的量⼦化。

⼀个电⼦或质⼦所带电量既为⼀个基本电量单元，其电量为：e = 1.602 10-19 C（库仑）所有带电体的电量均为：q=ne n=±1, ±2, ±3,2）电荷遵从守恒定律电荷守恒定律是⾃然科学中的基本定律之⼀。

电荷既不能创造，也不会被消灭，它只能从⼀个物体转移到另⼀个物体(如摩擦起电)，或从物体的⼀部分转移到另⼀部分(如静电感应)。

在任何物理过程中，电荷的代数和是恒定不变的。

9.2 电场电场强度⼀、电场电场强度静电场：存在于电荷周围的，可以对其它电荷施加作⽤⼒的物质，称之为电场，⽽由相对于观察者静⽌的电荷激发的电场则称为 “静电场”场的物质性体现在：给电荷施加⼒(动量)，移动电荷做功(能量) 场与实物的共同性：1客观存在；2遵循守恒定律；3不能创⽣场是客观存在的特殊物质，与普通实物⼀样具有能量、质量、动量等，不同的是，场可以与实物共占空间，具有“可侵⼊性”⼆.电场强度— 描述电场各点对电荷作⽤强弱的物理量定义：电场中某点，单位正电荷所受到的电场⼒为该点电场的电场强度，简称场强. 单位：⽅向：某点电场强度E 与该点正电荷受⼒⽅向相同9.3 电通量真空中静电场⾼斯定理1. 电场线电场线（E ）线：描述电场空间分布情况的⼀组曲线规定：电场强度的⽅向：曲线在某点的切线⽅向电场强度的⼤⼩：曲线的疏密程度（通过垂直于电场线单位0q F E =1m V -?⾯积的电场线数）。

2. 电通量定义：通过电场中任⼀⾯积的电场线数⽬称为通过该⾯的电通量匀强电场穿过垂直均匀电场的平⾯的电通量通过⼀均匀电场中任⼀平⾯的电通量⾼斯定理:在真空中，通过任意闭合曲⾯S 的电通量等于该曲⾯内所包围的⾃由电荷的代数和除以真空电容率点电荷置于任⼀闭合曲⾯内：由于电场线的连续性，穿过该曲⾯的电⼒线根数与包围同⼀电荷的球⾯相同，当所有电荷均位于曲⾯外时：与曲⾯相切的电⼒线对曲⾯的通量没有贡献，穿过曲⾯的所有电场线都将穿出曲⾯，⽽电场线穿⼊曲⾯为负，穿出为正真空中的⾼斯定理:在真空中，通过任意闭合曲⾯S的电通量等于该曲⾯内所包围的⾃由电荷的代数和除以真空电容率⾼斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。

量子场论概论

量子场论概论量子场论（Quantum Field Theory）是现代物理学中最基础的理论之一，它描述了宏观世界中的粒子是如何由场产生和相互作用的。

量子场论结合了量子力学和狭义相对论，是粒子物理学研究的核心理论之一。

本文将为读者提供量子场论的概要介绍。

一、量子场的基本概念量子场论的起点是量子力学中的波函数，而在量子场理论中，波函数被替代为场。

场是时空中的实数或复数函数，它的不同取值代表了不同的粒子状态。

量子场满足薛定谔方程或者狄拉克方程，这些方程描述了场随时间和空间的演化规律。

二、量子场的量子化量子场论的目的是将场量子化，即将经典的场变量转化为算符，使之符合量子力学中的对易或反对易关系。

这样，场就成为了多粒子态的产生算符和湮灭算符的叠加。

量子场的运动方程可以通过拉格朗日量推导得到。

三、量子场的相互作用量子场之间的相互作用可以通过相互作用项来实现，相互作用项是拉格朗日量中的一部分。

在相互作用的过程中，场可以相互转化成不同的粒子，这也是量子场论的特殊之处。

通过计算相互作用过程的概率振幅，可以得到不同粒子的散射截面等物理量。

四、量子场论的重整化量子场论中的计算过程中会遇到发散的问题，这些发散可以通过重整化来处理。

重整化是一种数学技巧，通过重新定义物理量的取值，将发散项与物理量的实际观测结果相抵消。

重整化为量子场论提供了可计算的结果。

五、量子场论的应用量子场论在粒子物理学中有广泛的应用。

它被用于描述基本粒子之间的相互作用，如强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用。

量子场论也被用于解释和预测实验结果，揭示物质的微观结构。

六、前沿问题与展望量子场论在理论物理学中仍然存在许多未解决的问题和待探索的领域。

例如，引力场的量子化是理论物理学的一大难题。

量子场论在宇宙学和黑洞物理学等领域也有着重要的应用和深刻的启示。

总结：量子场论是描述粒子之间相互作用的重要理论，它将量子力学和狭义相对论相结合，给出了精确的物理描述。

通过量子场的量子化和相互作用的计算，我们可以得到不同粒子的性质和相互作用过程的概率。

9场的量子化及其状态的描述.


9.2 电磁辐射场的量子化
9.2.1 单模辐射场的量子化 研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作 用，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场 。在开式的真空腔中，电磁场满足以下 c 1 0 0 Maxwell 方程组（ 是真空光速）
E B t H D t E 0 , B 0 B 0 H , D 0 E
ˆ ( z, t ) H y
2 † ˆ a ˆ ) cos kz P(t ) cos kz i (a 0 MV 0V
(9-2-24)
将(9-11)和(9-8)式，电磁场的Hamiltonian算 符为 2 ˆ P 1 1 ˆ 2 ˆ2 † ˆ ˆ ˆa ˆ H M Q ( N ), N a 2M 2 2
(9-5)
2 H y ( z, t ) P(t ) cos kz (1.30) 0 MV
(9-6)
光腔体积内的电磁场能量为
1 2 2 H ( 0 Ex 0 H y )dV (1.31) (9-7) 2
将(9-3)和(9-6)式代入上式，利用驻波条件得
1 1 2 2 2 2 2 H ( M Q sin kz P cos kz )dV V M 1 L 1 2 2 2 2 2 ( M Q sin kz P cos kz )dz dS LS 0 M 1 L 1 2 2 2 2 nπ 2 nπ ( M Q sin z P cos z )dz L 0 L M L 2 1 P 2 2 (M Q ) 2 M
2
另一方面，由Maxwell方程 H 0 E t 和H=(0, Hy, 0)有：
y H z z H y H y z 0 Ex t

量子场论的基础知识

量子场论的基础知识量子场论是近代物理学的重要分支之一，是量子力学的一个特例。

其为研究物质粒子间相互作用和能量传递的方式提供了一种最为自然的框架。

本文将从量子场论的定义、基本理论、实验应用等方面进行介绍，旨在为读者提供有关量子场论方面的一些基础知识。

一、量子场论的定义量子场论是由经典场论发展而来的，其基本思想是将粒子描述为波动，将波动描述为场。

量子场论认为所有物理量的描述都可以归结为各种场的描述，而这些场是由波动方程描述的。

每一个场都对应着一种或多种粒子。

二、量子场论的基本理论1.场的表示在量子场论中，一个场的状态可以通过一个算符表示。

场的本质是以一种独立于空间坐标和时间的形式作为处变量。

这么做的原因是因为在量子力学的框架中，物理量的测量结果是数字而非具体物理实体。

因此，算符表示场的物理实体代表其状态。

2.场的粒子化在量子场论中，每一个场都对应着一种或多种粒子。

在相对论性场论中，粒子有质量和自旋。

场在相互作用时可以将它们依次相互传递，经过长时间的相互作用之后，就会出现稳定的粒子，粒子从其情境中涌现出来。

3.费曼图费曼图是建立在量子场论基础上的，用来表示发生在基本粒子之间的过程。

该图形中的每条线段都代表着一个粒子，端口有一个入口和一个出口，分别代表粒子的初始和最终状态。

费曼图的线段形状以及它们的交叉方式解释了相互作用过程，从而例证了它们的本质机制。

三、实验应用量子场论在许多物理学领域中都有着广泛的应用和实验验证：1.强作用强作用描述了质子原子核中的相互作用力。

量子场论的强相互作用，主要包括由八种缔合子构成的强子。

通过量子场论可以更好地理解及描述强子的性质。

2.电磁作用电场与磁场的相互作用可以通过太阳板及摄影机集中到一起，从而通过如放射性对比等方法定量测量电磁离子的电荷量。

电磁作用的概念及其应用在今天的实验中依然具有非常重要的意义。

3.量子场论及宇宙学量子场论提供了对宇宙学的理解，在宇宙起源及结构形成的问题上也有广泛的应用。

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另一方面，由Maxwell方程 H 0 E t 和H=(0, Hy, 0)有：
y H z z H y H y z 0 Ex t
故
H y ( z , t ) 0 Ex ( z, t )dz
将(9-3)式代入上式，得到
H y ( z , t ) 2 0 M V Q(t ) sin kzdz
一份一份的组成的，每一份能量大小为ћω，我们称
每一份这样的能量单元为一个能量量子（光子）
•粒子数算符即是能量量子数算符，其本征值n对应 能量量子数，本征态|n>对应能量量子数为n的量子 态。当 n=0时，谐振子的能量不为0，即谐振子存在 基态能量
•湮灭（产生）算符每作用于能量本征态|n>一次，能
量量子数n就会减少（增加）一个。因此它代表湮灭 （产生）一个粒子（能量量子）的算符。
根据以上递推公式，有
†
于是 a n n n 1 (n 1) ˆ
(9-17)
1 † 1 † 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 a 0 a 0 , 2 a 1 (a † ) 2 0 1 2 2! 1 † 1 ˆ ˆ 3 a 2 ( a † )3 0 ... 3 3!
于是得到
1 † n ˆ n (a ) 0 (1.22) n!
于是，对于电磁场我们有(n=1, 2, 3…)：
a n n n 1 (n 1) ˆ † a n n 1 nˆ n (a ) 0 n!
n m mn ,
n
n
n 1
ˆ N n a†a n n n ˆ ˆ , n 0,1, 2,... 1 ˆ H n ( n ) n 2
(9-12)、9-2-25
并且存在着如下对易关系
ˆ H , aˆ aˆ

ˆ , a a ˆ H ˆ

ˆ • H 的本征值
(9-13)
ˆ En表示 H 的本征值，|n>表示属于这一本征值的本征 态，则
ˆ n (a a 1 ) n E n ˆ ˆ H n 2
sin kL 0 k nπ L , n 1, 2,...
即有
nπ kn , n 1, 2... (1.25) n c L 2π
n
定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲)
(9-2) Q (t ) 0V 2M A exp[i(t )] (1.26)
ˆˆ ˆ Na † n (n 1)a † n (for n 0)
因此有
ˆ a n An 1 n 1 (for n 1)
ˆ a n Bn 1 n 1 (for n 0)
†
B 其中常系数 n1 和n1 A
根据归一化关系求出
ˆ ˆ n a†a n n n n n An 1
ˆ 可知 H 的本征值谱为
由于粒子数算符的本征值为非负整数，于是
ˆ n a†a n n n N ˆ ˆ H n ( N 1 ) n E n ˆ ˆ n 2 (1.20) E ( n 1 ) n 2 n 0,1,2...
•一维谐振子的能量是以ћω为单位增减的，即能量是
9.1.3 能量本征态 将本征态归一化<n|n>=1，可求出它的一些表 达式。一方面，粒子数算符的本征方程满足
ˆ ˆ N n 1 (n 1) n 1 , N n 1 (n 1) n 1
另一方面，前面已经给出
ˆˆ ˆ Na n (n 1)a n (for n 1)
2
则方程(9-1)可以表达为
(9-3) Ex ( z , t ) 2 M 0V Q(t ) sin kz (1.27)
2
其中V=LS为腔体体积，L为谐振腔的长度 ，S为谐振腔的横截面积，M为归一化因子 （具有质量量纲）
显然广义坐标Q(t)满足如下谐振子方程
(t ) 2Q(t ) 0 Q
1 1 2 2 2 2 2 H ( M Q sin kz P cos kz )dV V M 1 L 1 2 2 2 2 2 0 (M Q sin kz M P cos kz )dz dS LS 1 L 1 2 2 2 2 nπ 2 nπ ( M Q sin z P cos z )dz L 0 L M L 2 1 P 2 2 (M Q ) 2 M
选择Cartesian坐标系，使得单模辐射场沿z轴传播， 电场振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则 E=(Ex, 0, 0)，磁场振动方向在y轴上H=(0, Hy, 0)，假 定电磁场处于两镜腔内，沿x、y轴方向变化可忽略 不计，则腔中单模电磁场的波动方程为
Ex ( z , t ) Ex ( z , t ) 0, 2 2 2 z c t
，
ˆ 即，若En是 H 的本征值，则 En , En 2,
ˆ • 算符 a称为湮灭算符，同理，对算符 a 有 ˆ
ˆ a n a H n a n E a 2 n ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ n ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ha 2 n (a H n a )a n En 2 a 2 n
†
2
ˆ H 的最小本征值
设最低能量本征态为|0>,相应的本征值为E0，则应满足
ˆ a 0 0 ˆ 0 (a a 1 ) 0 1 0 E 0 ˆ ˆ H 0 2 2
所以
1 E 0 2 1 En (n ) , 2 (n 0,1,2)
(9-16) 9-1-17
9.2 电磁辐射场的量子化
9.2.1 单模辐射场的量子化 研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作用 ，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场。 在开式的真空腔中，电磁场满足以下Maxwell 方程组（c 1 0 0 是真空光速）
E B t H D t E 0 , B 0 B 0 H , D 0 E
第9章 场的量子化及其状态的描述
半经典理论：对原子进行量子化处理，而电磁场 仍然是经典场。理论是近似的，适用于无需考虑 场的量子力学行为的场合，可使问题得到简化。 全量子理论：对原子和场都采用量子化处理。理 论是完备的，适用于任何场合，但是当场的量子 力学效应可以忽略不计时，不利于问题简化。能 给自发辐射以理论解释，从而能解释激光场由真 空场到稳定场的建立过程，能研究激光场的相干 性和光子统计性质，等等。
(9-18) 9-1-21
作为代表物理可观测量的厄米算符，粒子数 算符的本征态（也即能量算符的本征态）满 足正交归一和完备性关系，即
n m mn
1 for m n , 0 for m n

n
(9-19) n n 1 (1.23)
因此本征态集合{|n>}可以构成态矢量空间中 的一组基矢，任意量子态可以用它展开。由 于|n>代表粒子数为n的量子态，由基矢{|n>} 构成的表象，称为粒子数表象或占有数表象， 又称作Fock空间表象。
的本征态，其本征值为 En , En 2, 也是 H的本征值。 ˆ 如果把能量 看成为一个简谐振子量子所具有的 能 量，则算符 a的作用是减少一个简谐振子量子，使能 ˆ 量本征值为En的态变为能量本征值为 E 的态。 n
(9-15)
ˆ n ，2 n ….也是 H ˆ a ˆ ˆ 可见，如果|n>为 H 的本征态，则 a
利用(9-4)和(9-5)两式，得到
H y ( z, t )
(9-5)
2 P (t ) cos kz (1.30) 0 MV
(9-6)
光腔体积内的电磁场能量为
1 2 2 H ( 0 Ex 0 H y )dV (1.31) (9-7) 2
将(9-3)和(9-6)式代入上式，利用驻波条件得
因此电磁场的哈密顿量为： P2 1 2 2 H M Q (1.32) 2M 2 这跟质量为M、频率为ω的简谐振子的哈密顿 量相同。把Q(t)看作广义坐标，把P(t)看作广 义动量。 ˆ2 9.2.2 电磁场的量子化
ˆ ˆ 1 P M 2Q 2 H 2 M
2 † ˆ ˆ P (t ) cos kz i (a a ) cos kz 0 MV 0V
(9-2-24)
ˆ H y ( z, t )
将(9-11)和(9-8)式，电磁场的Hamiltonian算 符为 ˆ2 1 ˆ ˆ P M 2Q 2 ( N 1 ), N a† a ˆ ˆ ˆ ˆ H 2M 2 2
ˆˆ 将 Ha 作用到态 n
上，利用（9-13），得：
(9-14)
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ Ha n aH n a n En a n
ˆˆ 将 Ha 作用到态 a n 上，利用（9-13），得： ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Ha 2 n (aH n a)a n En 2 a 2 n
(9-8)
在场的量子化中，把经典的广义坐标－广义动 量共轭对Q和P换成对应的算符，且让它们满 足以下对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ p, p ˆ ˆ [Q, P] i (1.33) Q, Q 0
引入新的算符 ˆ ˆ ( a † )† a
1 ˆ ˆ ˆ a ( M Q iP ) 2 M 1 ˆ ˆ a † ˆ ( M Q iP ) 2 M
ˆ •算符a 称为产生算符

ˆ 粒子数算符 N
ˆ aa N ˆ ˆ
9.1.2 能量本征值（粒子数算符的本征值）
引理1 若粒子数算符的本征值和本征态分别用 n和|n>表示，即有
ˆ n a†a n n n ˆ ˆ N
则必然有n≥0，且当n=0时，有