2019-2020上海市崇明区初三数学一模(试卷+参考答案)

2020年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题） 1．下列各组图形一定相似的是( ) A ．两个菱形B ．两个矩形C ．两个直角梯形D ．两个正方形2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么B ∠的余切值为( ) A ．34B ．43 C ．35D ．453．抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--4．已知c 为非零向量，3a c =，2b c =-，那么下列结论中错误的是( ) A ．//a bB ．3||||2a b =C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反5．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M6．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且//DE BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是( )A ．AD ANAN AE=B ．DN BMNE CM=C ．DN AEBM EC=D ．DN NEMC BM=二、填空题（本大题共12题）7．已知23x y =，那么x y x+= ． 8．已知线段8AB cm =，点C 在线段AB 上，且2AC BC AB =，那么线段AC 的长 cm ． 9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50︒和60︒，那么另一个三角形的最大角为 度．10．小杰沿坡比为1:2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 11．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．12．如果将抛物线221y x x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 ．13．已知：二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是 ．x⋯ 1- 0 1 2 ⋯ y⋯343⋯14．正五边形的中心角的度数是 ．15．两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为 ． 16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 ．17．如图，在ABC ∆中，AC AB >，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF ．若四边形DCFE 和BDE ∆的面积都为3，则ABC ∆的面积为 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，则A A '= ．三、解答题（本大题共7题） 19．计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒+︒︒+-︒︒．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点O ，设AD a =，AB b =．（1）试用a 、b 的式子表示向量AO ；（2）在图中作出向量DO 在a 、b 方向上的分向量，并写出结论．21．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，联结BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O 的半径； （2）求OF 的长度．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC 、CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当150∠=︒时BCD台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？23．如图，ABC⊥，垂∆中，AD BC⊥，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DF BE足为F，且AE DF EF CD=，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）EAF DCF∠=∠；（2）AF BD AC DF=．24．如图，抛物线与x轴相交于点(3,0)B，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛A-、点(1,0)物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求ACB∠的正切值；（3）当AOE∆相似时，求点D的坐标．∆与ABC25．如图，在ABCBC=，点D为BC边上的一个动点（点D不与==，16AB AC∆中，10点B、点C重合）．以D为顶点作ADE B⊥∠=∠，射线DE交AC边于点E，过点A作AF AD 交射线DE于点F．（1）求证：AB CE BD CD=；（2）当DF平分ADC∠时，求AE的长；（3）当AEF∆是等腰三角形时，求BD的长．参考答案一、选择题（本大题共6题） 1．下列各组图形一定相似的是( ) A ．两个菱形B ．两个矩形C ．两个直角梯形D ．两个正方形【解答】解：A ．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；B ．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C ．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D ．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D ．2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么B ∠的余切值为( ) A ．34B ．43 C ．35D ．45【解答】解：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，63cot 84BC B AC ∴===， 故选：A ．3．抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--【解答】解：23(1)2y x =-++，∴顶点为(1,2)-，故选：C ．4．已知c 为非零向量，3a c =，2b c =-，那么下列结论中错误的是( ) A ．//a bB ．3||||2a b =C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【解答】解：3a c =，2b c =-，∴32a b =-，∴//a b ，3||||2a b =，a 与b 发方向相反， A ∴，B ，D 正确，故选：C ．5．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M【解答】解：连结BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于Q 点． 故选：B ．6．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且//DE BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是( )A ．AD ANAN AE=B ．DN BMNE CM=C ．DN AEBM EC=D ．DN NEMC BM=【解答】解：//DE BC ，ADN ABM ∴∆∆∽，ANE AMC ∆∆∽， ∴DN AN BM AM =，NE ANMC AM =， ∴DN NEBM MC =， 即DN BMNE CM=， 故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知23x y =，那么x y x +【解答】解：23x y =， 23x y ∴=， ∴253223y yx y x y ++==． 故答案为：52． 8．已知线段8AB cm =，点C 在线段AB 上，且2AC BC AB =，那么线段AC 的长 4- cm ．【解答】解：2AC BC AB =，∴点C 是线段AB 的黄金分割点，ACBC >，84)AC cm ∴===-， 故答案为：4-．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50︒和60︒，那么另一个三角形的最大角为 70 度．【解答】解：三角形的两个内角分别为50︒和60︒， ∴这个三角形的第三个内角为180506070︒-︒-︒=︒，根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为70︒． 故答案为70．10．小杰沿坡比为1:2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 50 米． 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x 米， 坡比为1:2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x 米，由勾股定理得，222(2.4)130x x +=，解得，50x =，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50．11．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 54 m ．【解答】解：设这栋楼的高度为hm ，在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为90m ， ∴1.8390h=，解得54()h m =． 故答案为：54．12．如果将抛物线221y x x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 (1,1) ． 【解答】解：2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线221y x x =+-的顶点坐标为(1,2)--，∴把点(1,2)--先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为(1,1)，即新抛物线的顶点坐标为(1,1)． 故答案为：(1,1)．13．已知：二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是 (3,0) ．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++经过(0,3)、(2,3)两点，∴对称轴0212x +==； 点(1,0)-关于对称轴对称点为(3,0)，因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是(3,0)． 故答案为：(3,0)．14．正五边形的中心角的度数是 72︒ ． 【解答】解：正五边形的中心角为：360725︒=︒． 故答案为：72︒．15．两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为 2 ． 【解答】解：设大圆的半径为R ，小圆的半径为r ，则有 :1:3r R =；又4R r +=， 解，得3R =，1r =，∴当它们内切时，圆心距312=-=．故答案为：2．16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 6 ．【解答】解：在梯形BCED 中，作AG BC ⊥于G ，交DE 于F ，如图所示：//DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽， ∴426AF AF DE AG AF BC ===+， 解得：4AF =，426AG AF GF ∴=+=+=．故答案为：6．17．如图，在ABC ∆中，AC AB >，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF ．若四边形DCFE 和BDE ∆的面积都为3，则ABC ∆的面积为 10 ．【解答】解：BD AB =，BE 是ABC ∠的平分线，AE DE ∴=，BDE ∴∆的面积与ABE ∆的面积均为3，又点F 是AC 的中点，EF ∴是ACD ∆的中位线，2EF CD ∴=，//EF DC ，AEF ADC ∴∆∆∽，4ACD AEF S S ∆∆∴=，四边形CDEF 的面积为3，ACD ∴∆的面积为4，ABC ∴∆的面积为33410++=．故答案为：10．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，则A A '= 2825或425 ．【解答】解：如图，作DF AB ⊥于F ，连接AA '．在Rt ACB ∆中，226BC AB AC =-=， DAF BAC ∠=∠，90AFD C ∠=∠=︒，AFD ACB ∴∆∆∽， ∴DF AD AF BC AB AC ==， ∴46108DF AF ==， 125DF ∴=，165AF =， A E AB '⊥，90AEA ∴∠'=︒，由翻折不变性可知：45AED ∠=︒，125EF DF ∴==， 121628555AE A E ∴='=+=， 2825AA ∴'=， 如图，作DF AB ⊥于F ，当EA AB '⊥时，同法可得16124555AE =-=，4225AA AE '==．2825425三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒+︒︒+-︒︒． 【解答】解：原式22332233(3)()1222+⨯=+-⨯ 1332=+-532=+． 20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点O ，设AD a =，AB b =．（1）试用a 、b 的式子表示向量AO ；（2）在图中作出向量DO 在a 、b 方向上的分向量，并写出结论．【解答】解：（1）//AD BC ，2BC AD =， ∴12AO AD OC BC == ∴13OA AC =，即13OA AC = AD a =，AB b =，BC 与AD 同向，∴2BC a =2AC AB BC b a =+=+∴1233AO b a =+． （2）如图所示：即为向量DO 在a 、b 方向上的分向量分别为13a -、13b ．21．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，联结BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O 的半径；（2）求OF 的长度．【解答】解：（1）连接OB ，设O 的半径为x ，则2OE x =-，OA BD ⊥， 142BE ED BD ∴===， 在Rt OEB ∆中，222OB OE BE =+，即222(2)4x x =-+， 解得，5x =，即O 的半径为5；（2）在Rt CEB ∆中，22228445BC CE BE =+=+=， OF BC ⊥，1252BF BC ∴==， 225OF OB BF ∴=-=．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC 、CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当150BCD ∠=︒时台灯光线最佳．求此时连杆端点D 离桌面l 的高度比原来降低了多少厘米？【解答】解：（1）如图2中，作BO DE ⊥于O ．90OEA BOE BAE ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，90OBA ∴∠=︒，1509060DBO ∴∠=︒-︒=︒，sin 60203()OD BD cm ∴=︒=，(2035)DE OD OE OD AB cm ∴=+=+=+；（2）过C 作CG BH ⊥，CK DE ⊥，由题意得，20BC CD m ==，CG KH =，∴在Rt CGB ∆中，3sin 202CGCGCBH BC ∠===103CG cm ∴=，103KH cm ∴=，906030BCG ∠=︒-︒=︒，150903030DCK ∴∠=︒-︒-︒=︒，在Rt DCK ∆中，1sin 202DK DK DCK DC ∠===， 10DK cm ∴=， (2035)(15103)10310∴+-+=-，答：比原来降低了(10310)-厘米．23．如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，E 是AD 边上一点，联结BE ，过点D 作DF BE ⊥，垂足为F ，且AE DF EF CD =，联结AF 、CF ，CF 与边AD 交于点O ． 求证：（1）EAF DCF ∠=∠；（2）AF BD AC DF =．【解答】证明：（1）AD BC ⊥，DF BE ⊥，90ADB DFE ∴∠=∠=︒，90DBE DEB ∴∠+∠=︒，90DBE BDF ∠+∠=︒，BED BDF ∴∠=∠，AEF CDF ∴∠=∠，AE DF EF CD =，∴AE EFCD DF=，又AEF CDF∠=∠，AEF CDF∴∆∆∽，EAF DCF∴∠=∠；（2）AEF CDF∆∆∽，EFA DFC∴∠=∠，90AFO EFD∴∠=∠=︒，90DFB∠=︒，BFD AFC∴∠=∠，EAF DCF∠=∠，AOF COD∠=∠，AOF COD∴∆∆∽，∴AO OF OC OD=，∴AO OCOF OD=，又ACF EDF∠=∠，AOC FOD∴∆∆∽，ACF EDF∴∠=∠，90 DBE BED FDE BED∠+∠=∠+∠=︒，DBE EDF∴∠=∠，ACF DBE∴∠=∠，又BFD AFO∠=∠，BFD CFA∴∆∆∽，∴AF ACDF BD=，即AF BD AC DF=．24．如图，抛物线与x轴相交于点(3,0)A-、点(1,0)B，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求ACB∠的正切值；（3）当AOE∆与ABC∆相似时，求点D的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：2y ax bx c =++，将点(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C 分别代入得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线解析式为：223y x x =--+．由于223(1)4y x x x =--+=-++，所以该抛物线的顶点坐标是(1,4)-；（2）如图1，过点B 作BH AC ⊥于点H ，90AOC ∠=︒，3OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，32AC =． 90BHA ∠=︒，90HAB HBA ∴∠+∠=︒．45HAB HBA ∴∠=∠=︒．在直角AHB ∆中，222AH BH AB +=，4AB =． 22AH BH ∴==．32222CH ∴=-=．90BHC ∠=︒，2222BH ACB CH ∴∠===；（3）如图2，过点D 作DK x ⊥轴于点K ，设2(,23)D x x x --+，则(,0)K x ．并由题意知点D 位于第二象限． 223DK x x ∴=--+，OK x =-．BAC ∠是公共角，∴当AOE ∆与ABC ∆相似时，有2种情况： ①AOD ABC ∠=∠．tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=．∴2233x x x --+=-，解得11132x -=21132x +=（舍去） 113(2D -∴31332-．②AOD ACB∠=∠．tan tan2AOD ACB∴∠=∠=．∴2232x xx--+=-，解得13x=-，23x=（舍去）(3D∴-，23)．综上所述，当AOE∆与ABC∆相似时，求点D的坐标是113(2-，3133)2-或(3-，23)．25．如图，在ABC∆中，10AB AC==，16BC=，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作ADE B∠=∠，射线DE交AC边于点E，过点A作AF AD⊥交射线DE于点F．（1）求证：AB CE BD CD=；（2）当DF平分ADC∠时，求AE的长；（3）当AEF∆是等腰三角形时，求BD的长．【解答】（1）证明：AB AC=，B C∴∠=∠，ADC BAD B∠=∠+∠，ADE B∠=∠，BAD CDE∴∠=∠，又B C∠=∠，BAD CDE∴∆∆∽，∴AB BDCD CE=，即AB CE BD CD=；（2）解：DF平分ADC∠，ADE CDE∴∠=∠，CDE BAD∠=∠，ADE BAD∴∠=∠，//DF AB∴，∴AE BD AC BC=，BAD ADE B ∠=∠=∠，BAD C ∴∠=∠，又B B ∠=∠，BDA BAC ∴∆∆∽， ∴BD BA BA BC =，即101016BD = 解得，254BD =， ∴2541016AE =， 解得，12532AE =； （3）解：作AH BC ⊥于H ，AB AC =，AH BC ⊥，182BH HC BC ∴===，由勾股定理得，6AH ===， 3tan 4AH B BH ∴==， 3tan 4AF ADF AD ∴∠==， 设3AF x =，则4AD x =，由勾股定理得，5DF x ==， BAD CDE ∆∆∽， ∴AD AB DE CD=， 当点F 在DE 的延长线上，FA FE =时，532DE x x x =-=， ∴1042x CD x=， 解得，5CD =，11BD BC CD ∴=-=，当EA EF =时， 2.5DE EF x ==， ∴1042.5x CD x=， 解得，254CD =，394BD BC CD ∴=-=； 当3AE AF x ==时，75DE x =， ∴10475x CD x =， 解得，72CD =， 252BD BC CD ∴=-=； 当点F 在线段DE 上时，AFE ∠为钝角， ∴只有3FA FE x ==，则8DE x =， ∴1048x CD x=， 解得，2016CD =>，不合题意， AEF ∴∆是等腰三角形时，BD 的长为11或394或252．。

上海市崇明县2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（）元．A．+4 B．﹣9 C．﹣4 D．+92．下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）3．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（）A．B．C．D．4．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC 的度数为（）A．125°B．75°C．65°D．55°5．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形7．已知关于x的不等式组217x ax-<⎧⎨-≥⎩至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（）A．4个B．5个C．6个D．7个8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°9．平面上直线a 、c 与b 相交(数据如图)，当直线c 绕点O 旋转某一角度时与a 平行，则旋转的最小度数是( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°10．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y=（x+2）2﹣5 B ．y=（x+2）2+5 C ．y=（x ﹣2）2﹣5 D ．y=（x ﹣2）2+511．已知二次函数2()y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足13x -剟时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为（ ）A ．1或5B ．5-或3C ．3-或1D ．3-或512．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将»BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2233π-B ．2233π-C ．233π-D ．233π- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：2cos60°－38+(5－π)°=____________.14．已知，如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，若EG ＝3，则AC ＝ ．15．如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离是_____海里（不近似计算）．16．若2x+y=2，则4x+1+2y 的值是_______．17．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 18．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）若两个不重合的二次函数图象关于y 轴对称，则称这两个二次函数为“关于y 轴对称的二次函数”.（1）请写出两个“关于y 轴对称的二次函数”；（2）已知两个二次函数21y ax bx c =++和22y mx nx p =++是“关于y 轴对称的二次函数”，求函数12y y +的顶点坐标（用含,,a b c 的式子表示）.20．（6分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.21．（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；22．（8分）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角顶点在BC 边上，BP＝1．①特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则PAPD＝．②类比探究：如图2，将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转．在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半径为1，点E是⊙A上一动点，CF⊥CE交AD于点F．请直接写出当△AEB为直角三角形时ECFC的值．23．（8分）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为¶AB，P是半径OB上一动点，Q是¶AB上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求¶BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1．sin∠A=45，点D是BC的中点，点P是AB上一动点（不与点B重合），延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC．（1）求证；四边形PBEC是平行四边形；（2）填空：①当AP的值为时，四边形PBEC是矩形；②当AP的值为时，四边形PBEC是菱形．25．（10分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？26．（12分）如图，已知△ABC，请用尺规作图，使得圆心到△ABC各边距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．27．（12分）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数.【详解】收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元【点睛】本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键.2．B【解析】【分析】根据三视图的定义即可解答．【详解】正方体的三视图都是正方形，故（1）不符合题意；圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故（2）符合题意；圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故（3）符合题意；三棱锥主视图是、左视图是，俯视图是三角形，故（4）不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.3．A【解析】试题分析：由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，综上所知这个几何体是圆柱．故选A．考点：由三视图判断几何体．4．D【解析】【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．【详解】延长CB，延长CB，∵AD∥CB,∴∠1=∠ADE=145，∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.5．A【解析】∵∆=12-4×1×（-2）=9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.6．C【解析】由题意得，180°(n-2)=120°n ,解得n=6.故选C.7．A【解析】【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．【详解】解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a的取值范围是5＜a＜10，∴a的整数解有4个，故选：A．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．D【解析】【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．9．C【解析】【分析】先根据平角的定义求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠1＝180°﹣100°＝80°，a ∥c ，∴∠α＝180°﹣80°﹣60°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．10．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．11．D【解析】【分析】由解析式可知该函数在x h =时取得最小值0，抛物线开口向上，当x h >时，y 随x 的增大而增大；当x h<时，y 随x 的增大而减小；根据13x -≤≤时，函数的最小值为4可分如下三种情况：①若13h x <-≤≤，1x =-时，y 取得最小值4；②若-1＜h ＜3时，当x=h 时，y 取得最小值为0，不是4；③若13x h -≤≤<，当x=3时，y 取得最小值4，分别列出关于h 的方程求解即可．【详解】解：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x h <时，y 随x 的增大而减小，并且抛物线开口向上， ∴①若13h x <-≤≤，当1x =-时，y 取得最小值4，可得：24(1)h =--4，解得3h =-或1h =（舍去）；②若-1＜h ＜3时，当x=h 时，y 取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去；③若-1≤x≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值4，可得：24(3)h =-，解得：h=5或h=1（舍）．综上所述，h 的值为-3或5，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 12．B【解析】【分析】阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：由旋转可知AD=BD ，∵∠ACB=90°∴CD=BD ，∵CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=∠CBD=60°，∴，∴阴影部分的面积×2÷2−2602360π⨯23π. 故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与扇形面积的计算.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】解：原式=12212⨯-+=1－2+1=1．故答案为1．14．1【解析】试题分析：根据DE∥FG∥BC可得△ADE∽△AFG∽ABC，根据题意可得EG：AC=DF：AB=2:6=1:3，根据EG=3，则AC=1．考点：三角形相似的应用．15．63【解析】试题分析：过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．解：过S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=1．Rt△BCS中，BS=1，∠SBC=60°，∴33（海里）．即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是3海里．故答案为：316．1【解析】分析：将原式化简成2(2x+y)+1，然后利用整体代入的思想进行求解得出答案．详解：原式=2(2x+y)+1=2×2+1=1．点睛：本题主要考查的是整体思想求解，属于基础题型．找到整体是解题的关键．17．150o【解析】【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ，65180n ππ⨯∴=， 解得：150n =故答案为150o ．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积18．13【解析】【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形， 所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是3193==， 故答案为13． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比=几何概率．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）任意写出两个符合题意的答案，如：2243,43y x x y x x =-+=++；（2）21222y y ax c +=+，顶点坐标为()0,2c【解析】【分析】（1）根据关于y 轴对称的二次函数的特点，只要两个函数的顶点坐标根据y 轴对称即可；（2）根据函数的特点得出a=m ，-2b a -2n m =0，224444ac b mp n a m--= ，进一步得出m=a ，n=-b ，p=c ，从而得到y 1+y 2=2ax 2+2c ，根据关系式即可得到顶点坐标．【详解】解：（1）答案不唯一，如2243,43y x x y x x =-+=++；（2）∵y 1=ax 2+bx+c 和y 2=mx 2+nx+p 是“关于y 轴对称的二次函数”，即a=m ，-2b a -2n m =0，224444ac b mp n a m--=， 整理得m=a ，n=-b ，p=c ，则y 1+y 2=ax 2+bx+c+ax 2-bx+c=2ax 2+2c ，∴函数y 1+y 2的顶点坐标为（0，2c ）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键．20．（1）3，补图详见解析；（2）712 【解析】【分析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，故该班团员人数为：325%12÷=（人）， 则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.（2）画树形图如下：由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为712P =. 【点睛】 此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键21． (1)1;(2)16 【解析】【分析】 （1）设口袋中黄球的个数为x 个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为12和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x 个， 根据题意得：21212x =++ 解得：x =1经检验：x =1是原分式方程的解∴口袋中黄球的个数为1个 （2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况∴两次摸出都是红球的概率为：21126=. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．22． (1) ①特殊情形：12；②类比探究: 12PE PF = 是定值，理由见解析;(2) EC 4FC =或314+ 【解析】【分析】（1）证明Rt ABP Rt CDP V V ∽，即可求解；（2）点E 与点B 重合时，四边形EBFA 为矩形，即可求解；（3）分AEB 90∠︒＝时、EAB 90∠︒＝时，两种情况分别求解即可．【详解】解：（1）APB DPC 90DPC PDC 90Q ＝，＝∠∠∠∠+︒+︒，APB PDC ∠∠∴＝，Rt ABP Rt CDP ∴V V∽，21512PA ABPD CP∴===-，故答案为12；（2）点E与点B重合时，四边形EBFA为矩形，则PE1PF2=为定值；（3）①当AEB90∠︒＝时，如图3，过点E、F分别作直线BC的垂线交于点G，H，由（1）知：ECB CFHα＝＝∠∠，AB2AE1ABE30∠︒＝，＝，则＝，EB ABcos303︒则＝＝，3cos602GB EB︒==，同理32EG=，322cos cos2GCECFH ABαα+====.则FH2cos cosFCαα==，则314ECFC=+；②当EAB90∠︒＝时，如图4，GB EA1EG FH AB2＝＝，＝＝＝，则BE GC 3＝，EC ==，EG 2tan tanGC 3EGC α∠===，则cos α=FH cos 4FC α==， 则4EC FC= ，故EC 4FC =或14+ ． 【点睛】本题考查的圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形的基本知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．23．（1）90︒；（2）103π；（3）25100π- 【解析】【分析】（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；（2）先判断出∠POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt △B'OP 中，OP 2+210) ＝2( 10 - O P ) ，解得OP ＝10- ，最后用面积的和差即可得出结论．【详解】解：（1）∵P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ ＝90°，PQ ＝=，故答案为：90°， ；（2）解：如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP ＝12OB ＝12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ ＝90°在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP ＝OP 12=OQ ， ∴∠QOP ＝60°，∴l BQ 6010101803ππ=⨯= ； （3）由折叠的性质可得，,102''===BP B P AB AB ， 在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210)- ＝2( 10 - O P ) ,解得OP ＝10210-，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S △AOP ＝290110210(10210)2510021003602ππ⨯-⨯⨯⨯-=-+.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键． 24．证明见解析；（2）①9；②12.5.【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；（2）①若四边形PBEC 是矩形，则∠APC=90°，求得AP 即可；②若四边形PBEC 是菱形，则CP=PB ，求得AP 即可．【详解】∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD ．∵DE=PD ，∴四边形PBEC 是平行四边形；（2）①当∠APC=90°时，四边形PBEC 是矩形．∵AC=1．sin ∠A=45，∴PC=12，由勾股定理得：AP=9，∴当AP 的值为9时，四边形PBEC 是矩形； ②在△ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=1．sin ∠A=45，所以设BC=4x ，AB=5x ，则（4x ）2+12=（5x ）2，解得：x=5，∴AB=5x=2．当PC=PB 时，四边形PBEC 是菱形，此时点P 为AB 的中点，所以AP=12.5，∴当AP 的值为12.5时，四边形PBEC 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、矩形的判定，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．25．（1）120，补图见解析；（2）96；（3）960人.【解析】【分析】（1）由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可；（2）求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；（3）求出达标占的百分比，乘以1200即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：24÷20%=120（人），则“优秀”人数为120﹣（24+36）=60（人），“一般”占的百分比为36120×100%=30%，补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：36+60=96（人），则达标的人数为96人；（3）根据题意得：96120×1200=960（人），则全校达标的学生有960人．故答案为（1）120；（2）96人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26．见解析【解析】【分析】分别作∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点O满足条件．【详解】解：如图，点O为所作．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．27．（1）2400个， 10天；（2）1人．【解析】【分析】（1）设原计划每天生产零件x 个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程240002400030030x x +=+，解出x 即为原计划每天生产的零件个数，再代入24000x即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y 人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000，解得y 的值即为原计划安排的工人人数． 【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x 个，由题意得，240002400030030x x +=+， 解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．（2）设原计划安排的工人人数为y 人，由题意得，[5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=1．经检验，y=1是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为1人．【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．。

2019年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.若2x=3y，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据比例的基本性质改写即可.【详解】∵2x=3y，∴x∴y=3:2.故选B.【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）.2.在Rt△ABC中，如果，那么表示的()A. 正弦B. 正切C. 余弦D. 余切【答案】D【解析】【分析】根据余切的定义求解可得．【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故选：D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．3.已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A. a＞0，b＞0B. a＜0，b＞0C. a＞0，b＜0D. a＜0，b＜0【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a、b的符号．【详解】如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，又因为对称轴在y轴左侧，故＜0，因为a＞0，所以b ＞0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴确定．4.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（）A. ∠B＝∠DB. ∠C＝∠AEDC. =D. =【答案】C【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】∠BAD =∠CAE∴A∴B∴D都可判定∴选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.故选：C.【点睛】考查相似三角形的判断方法，掌握相似三角形常用的判定方法是解题的关键.5.已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（∴A. ∴B. ∴C. ∴D. ∴【答案】D【解析】【分析】模长为1的向量称为单位向量，它的方向是不确定的，所以只有D选项符合题意.【详解】∵向量和都是单位向量，但它们的方向不确定，∴A、B、C不正确，D正确.故选D.【点睛】本题考查了单位向量的意义，同时也考查了向量的相等与和差计算，掌握单位向量的意义是解答本题的关键.6.如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交【答案】C【解析】【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离．【详解】解：∵r＞1，∴2＜3＋r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R ＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：____.【答案】【解析】【分析】依据向量的加法计算即可.【详解】==【点睛】此题考查向量的加减，掌握向量加减的法则是解答此题的关键.8.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1∴c=4，那么b∴∴ ∴【答案】2.【解析】∵b是a、c的比例中项，∴b²=ac，即b²=4，∴b=±2(负数舍去).故答案是：2.本题主要考查了线段的比例中项的定义，如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项注意线段不能为负.属于基础题.应熟练掌握.9.在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么____.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】如图：过点A作AB⊥y轴于点B，∵A（4，3），∴OB=3，AB=4，∴由勾股定理可知：OA=5，∴cosα=，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．10.如果一个正六边形的半径为，那么这个正六边形的周长为______.【答案】12.【解析】【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【详解】∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2，正六边形的周长=6a=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．11.如果两个相似三角形的周长比为，那么面积比是．【答案】16：81【解析】试题分析：相似三角形面积比等于相似比的平方周长比==面积比的平方=．考点：相似三角形的性质．12.已知线段的长为厘米，点是线段的黄金分割点，且，那么线段的长为____厘米.【答案】【分析】根据黄金比值是，列式计算即可．【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=AB=（5-5）cm，故答案为：5-5．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．13.已知抛物线，那么这条抛物线的顶点坐标为_____.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【详解】∵y=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标是（1，-4）故答案为：（1，-4）．【点睛】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．14.已知二次函数，那么它的图像在对称轴的_____部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）.【答案】右侧【解析】【分析】根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．【详解】∵二次函数y=-x2-2中，a=-1＜0，抛物线开口向下，∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．故答案为：右侧．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断抛物线的增减性．15.已知△ABC中，，，，为△ABC的重心，那么___.【答案】【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．【详解】如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD=AB=5，∵G为△ABC的重心，∴CG=CD=，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点、分别在边、上，已知，△ABC 的高，则正方形的DEFG边长为____.【答案】2.【解析】【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，所以AM=3-x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到，然后根据比例的性质求出x即可．【详解】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，∴AM=AH-MH=3-x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，∴x=2，∴正方形DEFG的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．17.已知Rt△ABC中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有唯一的公共点，那么的半径的取值范围为____.【答案】或【解析】【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d ＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【详解】根据勾股定理求得BC==6，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8，故半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8，故答案为：r=4.8或6＜r≤8．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．18.如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点.例如，如图的四边形ABCD中，点在边CD上，连结、，，则点为直角点.若点、分别为矩形ABCD边、CD上的直角点，且，，则线段的长为____.【答案】或【解析】【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【详解】作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB=90°，∴∠AFD+∠BFC=90°，∵∠AFD+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠BFC，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCB，∴，即，∴FC=2或3，∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE=FC，∴当FC=2时，AE=2，EH=1，∴EF2=FH2+EH2=（）2+12=7，∴EF=，当FC=3时，此时点E与点H重合，即EF=BC=，综上，EF=或．故答案为：或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】分别把cos45°=，tan30°=，cos30°=，cot30°=，sin60°=，代入原式计算即可．【详解】原式=()2-+=-+=【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设，，求向量(用向量、表示）．【答案】（1）2（2）【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．试题解析：（1）由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，．又DE=BC且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，．又AC=6且DE=BC，得AE=AC，AD=AB．，．=．考点：平面向量21.已知：如图，AO是的半径，AC为的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF-EF=r-2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；（2）由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=可得答案．【详解】（1）∵O是圆心，且点F为的中点，∴OF⊥AC，∵AC=8，∴AE=4，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF-EF=r-2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+（r-2）2，解得：r=5，即AO=5；（2）如图：∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE==．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．22.安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面的圆心O，的半径为米，AO与屋面AB的夹角为，与铅垂线OD的夹角为，，垂足为B，，垂足为D，米．求支架BF的长；求屋面AB的坡度（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）的坡度为，【解析】【分析】（1）在Rt△ABO中，根据tan∠OAB==tan32°，求出OB的长度，继而可求得BF；（2）根据∠AOD=40°，OD⊥AD，可得∠OAD=50°，继而可求得∠CAD的度数，以及AB的坡度．【详解】解：，，，，，，的半径为，；，，，，的坡度为，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．23.如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，联结DG并延长交AE于点F，∠BGD=∠BAD=∠C．（1）求证：；（2）如果∠BAC=90°，求证：AG⊥BE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由△BDG∽△BEC，可得，即可推出结论；（2）由△BAD∽△BCA，推出∠BDA=∠BAC=90°，由∠BAD=∠BGD，推出A，B，D，G四点共圆，推出∠AGB=∠ADB=90°.【详解】（1）证明：∵∠DBG=∠CBE，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴，∴BD•BC=BG•BE；（2）∵∠ABD=∠CBA，∠BAD=∠C，∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA=∠BAC=90°，∵∠BAD=∠BGD，∴A，B，D，G四点共圆，∴∠AGB=∠ADB=90°，∴AG⊥BE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a、b都是常数，且a<0）的图像与x轴交于点、，顶点为点C.（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，利用勾股定理可得出BC 的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，再利用余切的定义即可求出∠CBD的余切值；（3）设直线PB与y轴交于点M，由∠PBA=∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的长，进而可得出点M 的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．【详解】（1）将A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+6，∵y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，∴点C的坐标为（2，8）；、（2）当x=2时，y=-x+3=2，∴点D的坐标为（2，2），过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．∵抛物线的顶点坐标为（2，8），∴点F的坐标为（2，0），∵点B的坐标为（6，0），∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC==4，BD==2，∴sin∠BCF==，即=，∴DE=，∴BE==，∴cot∠CBD===；（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．∵∠PBA=∠CBD，∴cot∠PBA=，即，∴OM=，∴点M的坐标为（0，）或（0，-），设直线BP的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（6，0），M（0，）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直线BP的解析式为y=-x+，同理，当点M的坐标为（0，-）时，直线BP的解析式为y=-x+，联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，解得：，或，，∴点P的坐标为（-，）或（-，-）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出∠CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标．25.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC 交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x.（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由.【答案】（1）；（2）（）；（3）能，或【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD=3，通过证明△ABD∽△GBP，可得BG=BP=x，即可得DG的长度；（2）根据相似三角形的性质可得FD=BD-BF=3-x，DE=x-，根据三角形面积公式可求y与x之间的函数关系式；（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长．【详解】（1）∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，∴BD=CD=3，在Rt△ABD中，AD==4，∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，∴△ABD∽△GBP，∴，∴BG=BP=x，∴DG=BG-BD=x-3；（2）∵PF∥AC，∴△BFP∽△BCA，∴，即，∴BF=x，∴FD=BD-BF=3-x，∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90°，∴△DEG∽△DBA，∴，∴，∴DE=x-，∴S△DEF=y=×DF×DE=×（3-x）×（x-）=-x2+x-（＜x＜）；（3）若EF⊥PG时，∵EF⊥PG，ED⊥FG，∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，∴∠EFD=∠DEG，且∠EDF=∠EDG，∴△EFD∽△GDE，∴，∴ED2=FD×DG，∴（x-）2=（3-x）（x-3），∴5×57x2-1138x+225×5=0，∴x=（不合题意舍去），x=；若EF⊥PF，∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，∴△EDF∽△CDA，∴，∴，∴x=，综上所述：当BP为或时，△PEF为直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．。

上海市崇明县2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列计算正确的是（ ） A ．a 4+a 5=a 9 B ．（2a 2b 3）2=4a 4b 6C ．﹣2a （a+3）=﹣2a 2+6aD ．（2a ﹣b ）2=4a 2﹣b 22．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为6，则GE+FH 的最大值为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．123．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．25°D ．30°4．如图，已知11(,)3A y ，2(3,)B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)3B ．4(,0)3C ．8(,0)3D ．10(,0)35．小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤3a b 2=． 你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个6．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣2x的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a7．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为40km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是( )A．甲的速度是10km/h B．乙的速度是20km/hC．乙出发13h后与甲相遇D．甲比乙晚到B地2h8．某班选举班干部，全班有1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，1．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令1,,0,ii ja ji j第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选⎧=⎨⎩其中i＝1，2，…，1；j＝1，2，…，1．则a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a1，1a1，2表示的实际意义是（）A．同意第1号或者第2号同学当选的人数B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数D．不同意第1号和第2号同学当选的人数9．如果关于x的不等式组2030x ax b-≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x=、3x=，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(,)a b共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（）A．30和20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.511．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外离D．内含12．如图，直线y=x+3交x 轴于A 点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M 、N 恰落在直线y=x+3上，若N 点在第二象限内，则tan ∠AON 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是_____．14．甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是_____． 15．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．16．已知同一个反比例函数图象上的两点()111P x ,y 、()222P x ,y ，若21x x 2=+，且21111y y 2=+，则这个反比例函数的解析式为______．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、y 轴上，∠APO ＝30°．先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到线段PC ，连接BC ．若点A 的坐标为（﹣1，0），则线段BC 的长为_____．18．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M 、N 、K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ．若∠MKN ＝40°，则∠P 的度数为___三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=x 2平移，使平移后的抛物线经过点A （–3，0）、B （1，0）．(1)求平移后的抛物线的表达式．(2)设平移后的抛物线交y 轴于点C ，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P ，当BP 与CP 之和最小时，P 点坐标是多少？(3)若y=x 2与平移后的抛物线对称轴交于D 点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M ，使得以M 、O 、D 为顶点的三角形△BOD 相似？若存在，求点M 坐标；若不存在，说明理由．20．（6分） “食品安全”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（4）若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．21．（6分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，CD 是AB 边的中线，DE BC ⊥于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果30A ∠=o ①如图1，DCB ∠=o②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60o ，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且()090A αα∠=<<o o，连结DP ，将线段DP 绕点逆时针旋转2α得到线段DF ，连结BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者的数量关系（不需证明） 22．（8分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．被随机抽取的学生共有多少名？在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？23．（8分）已知：如图.D 是ABC V 的边AB 上一点，//CN AB ，DN 交AC 于点M ，MA MC =. （1）求证：CD AN =；（2）若2AMD MCD ∠=∠，试判断四边形ADCN 的形状，并说明理由.24．（10分）（2016湖南省株洲市）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？25．（10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，若2OA OB OC OD====AB，求证：四边形ABCD 是正方形26．（12分）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元．（1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？27．（12分）数学兴趣小组为了研究中小学男生身高y（cm）和年龄x（岁）的关系，从某市官网上得到了该市2017年统计的中小学男生各年龄组的平均身高，见下表：如图已经在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，并发现前5个点大致位于直线AB上，后7个点大致位于直线CD上．年龄组x7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17男生平均身高y115.2 118.3 122.2 126.5 129.6 135.6 140.4 146.1 154.8 162.9 168.2（1）该市男学生的平均身高从岁开始增加特别迅速．（2）求直线AB所对应的函数表达式．（3）直接写出直线CD所对应的函数表达式，假设17岁后该市男生身高增长速度大致符合直线CD所对应的函数关系，请你预测该市18岁男生年龄组的平均身高大约是多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；故选：B．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．B【解析】【分析】首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．【详解】解：如图，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为6，∴AB=OA=OB=6，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=3，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．故选：B．【点睛】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键. 3．C【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．4．D【解析】【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 【详解】Q 把11(,)3Ay ，2(3,)B y 代入反比例函数1y x= ，得：13y =，213y =，11(,3),(3,)33A B ∴，Q 在ABP ∆中，由三角形的三边关系定理得：AP BP AB -<，∴延长AB 交x 轴于P'，当P 在P'点时，PA PB AB -=，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y kx b =+，把A ，B 的坐标代入得：133133k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：101,3k b =-=， 1215x ->∴直线AB 的解析式是103y x =-+， 当0y =时，103x =，即10(,0)3P ，故选D. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 5．D 【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a ＜1． ∵对称轴x b 12a 3=-=-，∴2b a 3=-＜1．∴ab ＞1．故①正确． ②如图，当x=1时，y ＜1，即a+b+c ＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞1，∴2a ﹣2b+2c ＞1，即3b ﹣2b+2c ＞1．∴b+2c ＞1．故③正确． ④如图，当x=﹣1时，y ＞1，即a ﹣b+c ＞1， ∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞1．∵b ＜1，∴c ﹣b ＞1．∴（a ﹣b+c ）+（c ﹣b ）+2c ＞1，即a ﹣2b+4c ＞1．故④正确． ⑤如图，对称轴b 12a 3=-=-，则3a b 2=．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ． 6．A 【解析】解：∵2y x =-，∴反比例函数2y x=-的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵点A （2，a ）、B （3，b ）在反比例函数2y x=-的图象上，∴a ＜b ＜0，故选A ．7．B 【解析】由图可知，甲用4小时走完全程40km ，可得速度为10km/h ； 乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为40km/h ． 故选B 8．B 【解析】 【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加． 【详解】第1，2，3，……，1名同学是否同意第1号同学当选依次由a 1，1，a 2，1，a 3，1，…，a 1，1来确定， 是否同意第2号同学当选依次由a 1，2，a 2，2，a 3，2，…，a 1，2来确定，∴a 1，1a 1，2+a 2，1a 2，2+a 3，1a 3，2+…+a 1，1a 1，2表示的实际意义是同时同意第1号和第2号同学当选的人数， 故选B ． 【点睛】本题考查了推理应用题，题目比较新颖，是基础题． 9．D 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜2a ≤2、3≤3b＜4，求出2＜a≤4、9≤b ＜12，即可得出答案． 【详解】解不等式2x−a≥0，得：x≥2a，解不等式3x−b≤0，得：x≤3b ， ∵不等式组的整数解仅有x ＝2、x ＝3， 则1＜2a ≤2、3≤3b＜4， 解得：2＜a≤4、9≤b ＜12， 则a ＝3时，b ＝9、10、11； 当a ＝4时，b ＝9、10、11；所以适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有6个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a 、b 的值． 10．C 【解析】 【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得． 【详解】将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30， 所以该组数据的众数为30、中位数为=22.5，故选：C ． 【点睛】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 11．A 【解析】试题分析：∵⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距O 1O 2=4cm ，5﹣3＜4＜5+3， ∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O 1与⊙O 2相交． 故选A ．考点：圆与圆的位置关系． 12．A 【解析】 【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，∵N在直线y=x+3上，∴设N的坐标是（x，x+3），则DN=x+3，OD=-x，y=x+3，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-4，∴A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，∴3×4=5OC，OC=，∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，∴∠MNO=45°，∴sin45°=，∴ON=，在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，即（x+3）2+（-x）2=()2，解得：x1=-，x2=，∵N在第二象限，∴x只能是-，x+3=，即ND=，OD=，tan∠AON=．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2 5【解析】【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是25．故答案为：25． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=.m n14．13【解析】列举出所有情况，看甲排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率． 根据题意，列出甲、乙、丙三个同学排成一排拍照的所有可能： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况， 只有2种甲在中间，所以甲排在中间的概率是26=13． 故答案为13； 点睛：本题主要考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是列举出同等可能的所有情况． 15．xy （x ﹣1）1 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式=xy （x 1-1x+1）=xy （x-1）1． 故答案为：xy （x-1）1 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16．y=4x【解析】解：设这个反比例函数的表达式为y=kx．∵P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是同一个反比例函数图象上的两点，∴x 1y 1=x 2y 2=k ，∴11y =121x k y ，=2211112x k y y =+Q ．，∴21y ﹣11y =12，∴21x x k k -=12，∴21x x k -=12，∴k=2（x 2﹣x 1）．∵x 2=x 1+2，∴x 2﹣x 1=2，∴k=2×2=4，∴这个反比例函数的解析式为：y=4x．故答案为y=4x． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形． 17．2【解析】 【分析】只要证明△PBC 是等腰直角三角形即可解决问题. 【详解】解：∵∠APO ＝∠BPO ＝30°， ∴∠APB ＝60°，∵PA ＝PC ＝PB ，∠APC ＝30°， ∴∠BPC ＝90°，∴△PBC 是等腰直角三角形， ∵OA ＝1，∠APO ＝30°， ∴PA ＝2OA ＝2， ∴BC ＝PC ＝2，故答案为2．【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC 是等腰直角三角形． 18．100° 【解析】 【分析】由条件可证明△AMK ≌△BKN ，再结合外角的性质可求得∠A ＝∠MKN ，再利用三角形内角和可求得∠P ． 【详解】 解：∵PA ＝PB ， ∴∠A ＝∠B ，在△AMK 和△BKN 中，AM BK A B AK BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMK ≌△BKN （SAS ）， ∴∠AMK ＝∠BKN ，∵∠A+∠AMK ＝∠MKN+∠BKN ，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为100°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=x2+2x﹣3；（2）点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．【解析】【分析】（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1）．由题意可知平后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，从而可求得a的值，于是可求得平移后抛物线的表达式；（2）先根据平移后抛物线解析式求得其对称轴，从而得出点C关于对称轴的对称点C′坐标，连接BC′，与对称轴交点即为所求点P，再求得直线BC′解析式，联立方程组求解可得；（3）先求得点D的坐标，由点O、B、E、D的坐标可求得OB、OE、DE、BD的长，从而可得到△EDO为等腰三角直角三角形，从而可得到∠MDO=∠BOD=135°，故此当DM ODDO OB=或DM OBDO OD=时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．由比例式可求得MD的长，于是可求得点M的坐标．【详解】（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x﹣1），∵由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，∴平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，∴平移后抛物线的二次项系数为1，即a=1，∴平移后抛物线的表达式为y=（x+3）（x﹣1），整理得：y=x2+2x﹣3；（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），如图1，连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，则1 {1y xx=-=-，解得12 xy=-⎧⎨=-⎩，所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）如图2，由2{1y xx==-得11xy=-=⎧⎨⎩，即D（﹣1，1），则DE=OD=1，∴△DOE为等腰直角三角形，∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，2，∵BO=1，∴5∵∠BOD=135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD=∠ODM=135°，∴当DM ODDO OB=或DM OBDO OD=时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，①若DM ODDO OB=，则212=，解得DM=2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若DM OBDO OD=，则22=，解得DM=1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平移的性质、翻折的性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定，证得∠ODM=∠BOD=135°是解题的关键．20．（1）60，90°；（2）补图见解析；（3）300；（4）2 3 .【解析】分析：（1）根据了解很少的人数除以了解很少的人数所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以“了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例，即可求出达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（4）根据题意列出表格，再根据概率公式即可得出答案．详解：（1）60；90°.（2）补全的条形统计图如图所示.（3）对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”的学生所占比例为1551603+=，由样本估计总体，该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1 9003003⨯=.（4）列表法如表所示，所有等可能的情况一共12种，其中选中1个男生和1个女生的情况有8种，所以恰好选中1个男生和1个女生的概率是82123P ==. 点睛：本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，根据题意求出总人数是解题的关键；注意运用概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）①60；②CP BF =．理由见解析；（2）2tan BF BP DE α-=⋅，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合30A ∠=o ，只要证明CDB ∆是等边三角形即可； ②根据全等三角形的判定推出DCP DBF ∆≅∆，根据全等的性质得出CP BF =，（2）如图2，求出DC DB AD ==，DE AC P ，求出2FDB CDP PDB α∠=∠=+∠，DP DF =，根据全等三角形的判定得出DCP DBF ∆≅∆，求出CP BF =，推出BF BP BC -=，解直角三角形求出tan CE DE α=即可．【详解】解：（1）①∵30A ∠=o ，90ACB ∠=o ， ∴60B ∠=o ， ∵AD DB =， ∴CD AD DB ==， ∴CDB ∆是等边三角形， ∴60DCB ∠=o ． 故答案为60.②如图1，结论：CP BF =．理由如下：∵90ACB ∠=o ，D 是AB 的中点，DE BC ⊥，A α∠=， ∴DC DB AD ==，DE AC P ，∴A ACD α∠=∠=，EDB A α∠=∠=，2BC CE =， ∴2BDC A ACD α∠=∠+∠=， ∵2PDF α∠=，∴2FDB CDP PDB α∠=∠=-∠，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP DF =， 在DCP ∆和DBF ∆中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DCP DBF ∆≅∆， ∴CP BF =．（2）结论：2tan BF BP DE α-=⋅．理由：∵90ACB ∠=o ，D 是AB 的中点，DE BC ⊥，A α∠=， ∴DC DB AD ==，DE AC P ，∴A ACD α∠=∠=，EDB A α∠=∠=，2BC CE =， ∴2BDC A ACD α∠=∠+∠=， ∵2PDF α∠=，∴2FDB CDP PDB α∠=∠=+∠，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP DF =， 在DCP ∆和DBF ∆中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DCP DBF ∆≅∆，∴CP BF =，而CP BC BP =+，∴BF BP BC -=，在Rt CDE ∆中，90DEC ∠=o ， ∴tan DE DCE CE∠=， ∴tan CE DE α=，∴22tan BC CE DE α==，即2tan BF BP DE α-=．【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出DCP DBF ∆≅∆是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．22．（1）被随机抽取的学生共有50人；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角为72°，（3）参与了4项或5项活动的学生共有720人．【解析】分析：（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．详解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%=50（人）；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角=1050×360°=72°， 活动数为5项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12=6，如图所示：（3）参与了4项或5项活动的学生共有12+650×2000=720（人）． 点睛：本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）四边形ADCN是矩形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平行得出∠DAM＝∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD＝CN，推出四边形ADCN 是平行四边形即可；（2）根据∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC求出∠MCD＝∠MDC，推出MD＝MC，求出MD＝MN＝MA＝MC，推出AC＝DN，根据矩形的判定得出即可．【详解】证明：（1）∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，∵在△AMD和△CMN中，∠DAM＝∠NCMMA＝MC∠DMA＝∠NMC，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；（2）解：四边形ADCN是矩形，理由如下：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由（1）知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．24．（1）孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）不可能；（3）他的测试成绩应该至少为1分．【解析】试题分析：（1）分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案；（2）利用测试成绩占80%，平时成绩占20%，进而得出答案；（3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值．试题解析：（1）设孔明同学测试成绩为x 分，平时成绩为y 分，依题意得：185{80%20%91x y x y +=+=，解之得：90{95x y ==．答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）由题意可得：80﹣70×80%=24，24÷20%=120＞100，故不可能． （3）设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%=20，设测试成绩为a 分，根据题意可得：20+80%a≥80，解得：a≥1．答：他的测试成绩应该至少为1分．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．25．详见解析.【解析】【分析】四边形ABCD 是正方形，利用已知条件先证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明四边形ABCD 是矩形，再根据对角线垂直的矩形是正方形即可证明四边形ABCD 是正方形．【详解】证明：在四边形ABCD 中，OA=OC,OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OA=OB=OC=OD ，又∵AC=AO+OC,BD=OB+DO ，∴AC=BD ，∴平行四边形是矩形，在△AOB 中，AO AB =，BO AB = 222221122AO BO AB AB AB +=+= ∴△AOB 是直角三角形，即AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的运用和勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强．26．（1）一个足球需要50元，一个篮球需要80元；（2）1个.【解析】【分析】（1）设购买一个足球需要x 元，则购买一个排球也需要x 元，购买一个篮球y 元，根据购买2个足球和3个篮球共需340元，4个排球和5个篮球共需600元，可得出方程组，解出即可；【详解】（1）设购买一个足球需要x 元，则购买一个排球也需要x 元，购买一个篮球y 元， 由题意得：， 解得：．答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；（2）设该中学购买篮球m 个，由题意得：80m+50（100﹣m ）≤6000，解得：m≤1，∵m 是整数，∴m 最大可取1．答：这所中学最多可以购买篮球1个．【点睛】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系及不等关系，难度一般．27．（1）11；（2）y ＝3.6x+90；（3）该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm 左右．【解析】【分析】（1）根据统计图仔细观察即可得出结果（2）先设函数表达式，选取两个点带入求值即可（3）先设函数表达式，选取两个点带入求值，把x 18＝带入预测即可.【详解】解：（1）由统计图可得，该市男学生的平均身高从 11 岁开始增加特别迅速，故答案为：11；（2）设直线AB 所对应的函数表达式y kx b ＝，。

上海市崇明县2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm22．估计26的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间3．2-的相反数是（）A．2-B．2 C．12D．12-4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．菱形C．平行四边形D．正五边形5．如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=1447．我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）8 9 10户数 2 6 2则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．方差是4 B．极差是2 C．平均数是9 D．众数是98．许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿应为（ ）A ．1915.15×108B ．19.155×1010C ．1.9155×1011D ．1.9155×10129．如图，在平行线l 1、l 2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线l 1、l 2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°10．﹣2018的绝对值是（ ）A ．±2018B ．﹣2018C ．﹣12018D ．201811．在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（ ）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差12．如图，点A 是反比例函数y=k x的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．6D ．﹣6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．圆锥的底面半径为4cm ，高为5cm ，则它的表面积为______ cm 1．14．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________．15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，它的最小边的长是2cm ，则它的最大边的长是_____cm ． 16．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.17．如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n 个图形的周长是___．18．分解因式：244m m ++＝___________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．20．（6分）计算：（12）﹣2﹣327+（﹣2）0+|2﹣8| 21．（6分）先化简，再求值：22111m m m ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭，其中m ＝2. 22．（8分）如图，在直角三角形ABC 中，（1）过点A 作AB 的垂线与∠B 的平分线相交于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠A=30°，AB=2，则△ABD 的面积为 ．23．（8分）如图，已知一次函数y 1=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，与坐标轴交于M 、N 两点．且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出y 1＞y 1时x 的取值范围．24．（10分）某地一路段修建，甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做5天，再由甲、乙两队合作9天，共完成这项工程的三分之一．（1）求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？（2）若甲队的工作效率提高20%，乙队工作效率提高50%，甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2.5万元，现由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分，在完成此项工程的工程款不超过190万元的条件下要求尽早完成此项工程，则甲、乙两队至多要合作多少天？25．（10分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下．成绩/分120﹣111 110﹣101 100﹣91 90以下成绩等级 A B C D请根据以上信息解答下列问题：（1）这次统计共抽取了名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有多少人？（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A等级学生数可提高40%，B等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生可达多少人？26．（12分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：()1这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______； ()2将条形统计图补充完整；()3该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名.27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 C 分别在x 轴和 y 轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以 OA ，OC 为邻边作矩形 OABC ， 动点 M ，N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点 A 、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作NP ⊥BC ，交 OB 于点 P ，连接 MP ．（1）直接写出点 B 的坐标为 ，直线 OB 的函数表达式为 ;（2）记△OMP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式()06t <<；并求 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则AB BD DF DC设DF=xcm，得到：68 = x6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．2．D【解析】【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36252636＜＜5266＜＜，故选择D.【点睛】本题考查了二次根式的相关定义.3．B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.4．B【解析】【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别判断各选项即可解答.【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.5．B【解析】【分析】俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可．【详解】由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，得拿掉第一排的小正方形，拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是，故选B．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形．6．D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．7．A【解析】分析：根据极差=最大值-最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，以及方差公式S 2=1n [（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，分别进行计算可得答案．详解：极差：10-8=2，平均数：（8×2+9×6+10×2）÷10=9， 众数为9，方差：S 2=110[（8-9）2×2+（9-9）2×6+（10-9）2×2]=0.4， 故选A ．点睛：此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法．8．C【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】用科学记数法表示1915.5亿应为1.9155×1011， 故选C ．【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.9．A【解析】【分析】如图，过点C 作CD ∥a ，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C 作CD ∥a ，则∠1=∠ACD ，∵a ∥b ，∴CD ∥b ，∴∠2=∠DCB ，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．10．D【解析】分析：根据绝对值的定义解答即可，数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.-=．详解：﹣2018的绝对值是2018，即20182018故选D．点睛：本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.11．B【解析】【分析】【详解】解：11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．故选B．【点睛】本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键．12．D【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．16)π【解析】【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长,则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径的平方+底面周长×母线长÷1. 【详解】底面半径为4cm,则底面周长=8πcm,底面面积=16πcm 1;由勾股定理得,母线长,圆锥的侧面面积2182π⨯,∴它的表面积 )cm 1=()16π cm 1 ,故答案为:()16π. 【点睛】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(1)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.14．2x =或x=-1【解析】【分析】由点A 的坐标及AB 的长度可得出点B 的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．【详解】∵点A 的坐标为（-2，0），线段AB 的长为8，∴点B 的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，∴抛物线的对称轴为直线x=262-+=2或x=2102--=-1． 故答案为x=2或x=-1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x 轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．15．1．【解析】【分析】根据在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，三角形内角和等于180°可得∠A ，∠B ，∠C 的度数，它的最小边的长是2cm，从而可以求得最大边的长．【详解】∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∵最小边的长是2cm，∴a=2.∴c=2a=1cm.故答案为：1.【点睛】考查含30度角的直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键. 16．1.【解析】试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=1（尺）．故答案为1．考点：平面展开最短路径问题17．2n+1【解析】观察摆放的一系列图形，可得到依次的周长分别是3，4，5，6，7，…，从中得到规律，根据规律写出第n个图形的周长．解：由已知一系列图形观察图形依次的周长分别是：（1）2+1=3，（2）2+2=4，（3）2+3=5，（4）2+4=6，（5）2+5=7，…，所以第n个图形的周长为：2+n．故答案为2+n ．此题考查的是图形数字的变化类问题，关键是通过观察分析得出规律，根据规律求解．18．()22m +【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：244m m ++=()22m +，故答案为()22m +.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．13【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝26＝13． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．20．2【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+1+22﹣2＝22．【点睛】本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要掌握这些知识点．21．1m m-+，原式23=-. 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值.【详解】原式()()21111m m m m m mm -⋅=-+-+， 当m ＝2时，原式23=-. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.22．（1）见解析（2）233 【解析】【分析】（1）分别作∠ABC 的平分线和过点A 作AB 的垂线，它们的交点为D 点；（2）利用角平分线定义得到∠ABD=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=3AB=23，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：（1）如图，点D 为所作；（2）∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．∵BD 为角平分线，∴∠ABD=30°．∵DA⊥AB，∴∠DAB=90°．在Rt△ABD中，AD=33AB=233，∴△ABD的面积=12×2×233=233．故答案为23．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形面积公式．23．（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4【解析】试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y1=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣1，m）B（n，﹣1）代入反比例函数y1=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣1，4）、B（4，﹣1）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；,（1）在一次函数y1=﹣x+1中，当x=0时，y=1，即N（0，1）；当y=0时，x=1，即M（1，0）∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6；（3）根据图象可得，当y1＞y1时，x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜4考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积24．（1）甲、乙两队合作完成这项工程需要36天；（2）甲、乙两队至多要合作7天【解析】【分析】（1）设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天，根据条件：甲队先做5天，再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的，列方程求解即可；（2）设甲、乙两队最多合作元天，先求出甲、乙两队合作一天完成工程的多少，再根据完成此项工程的工程款不超过190万元，列出不等式，求解即可得出答案．【详解】（1）设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天根据题意得，，解得x=36，经检验x=36是分式方程的解，答：甲、乙两队合作完成这项工程需要36天，（2）设甲、乙需要合作y天，根据题意得，，解得y≤7答：甲、乙两队至多要合作7天．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25．（1）1人；补图见解析；（2）10人；（3）610名.【解析】【分析】（1）用总人数乘以A 所占的百分比，即可得到总人数；再用总人数乘以A 等级人数所占比例可得其人数，继而根据各等级人数之和等于总人数可得D 等级人数，据此可补全条形图；（2）用总人数乘以（A 的百分比+B 的百分比），即可解答；（3）先计算出提高后A ，B 所占的百分比，再乘以总人数，即可解答．【详解】解：（1）本次调查抽取的总人数为15÷108360=1（人）， 则A 等级人数为1×72360=10（人），D 等级人数为1﹣（10+15+5）=20（人）， 补全直方图如下：故答案为1．（2）估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有1000×101550=10（人）； （3）∵A 级学生数可提高40%，B 级学生数可提高10%，∴B 级学生所占的百分比为：30%×（1+10%）=33%，A 级学生所占的百分比为：20%×（1+40%）=28%， ∴1000×（33%+28%）=610（人），∴估计经过训练后九年级数学成绩在B 以上（含B 级）的学生可达610名．【点睛】考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26．（1）100，108°；（2）答案见解析；（3）600人.【解析】【分析】（1）先利用QQ 计算出宗人数，再用百分比计算度数；（2）按照扇形图补充条形图；（3）利用微信沟通所占百分比计算总人数.【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%=100人.喜欢用QQ 沟通所占比例为：30310010=， ∴QQ 的扇形圆心角的度数为：360°×310=108°. （2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人 喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：40100×100%=40%. ∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人 .【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．27．（1）(6,4)，23y x =；（2）21(3)3(06)3S t t =--+<<，1，1． 【解析】【分析】（1）根据四边形OABC 为矩形即可求出点B 坐标，设直线OB 解析式为y kx =，将B (6,4)代入即可求直线OB 的解析式；（2）由题意可得6OM t =-，由（1）可得点P 的坐标为2,3t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 表达出△OMP 的面积即可，利用二次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）∵OA=6，OC=4， 四边形OABC 为矩形，∴AB=OC=4， ∴点B (6,4)，设直线OB 解析式为y kx =，将B (6,4)代入得46k =，解得23k =， ∴23y x =， 故答案为：(6,4)；23y x =（2）由题可知，CN AM t ==，6OM t ∴=-由(1)可知，点P 的坐标为2,3t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1223OMP S OM t ∴=⨯⨯V ， 12(6)23t t =⨯-⨯ 21t 2t 3=-+ 21(3)3(06)3t t =--+<< ∴当3t =时，S 有最大值1．【点睛】本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式．。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √3B. πC. -2/3D. 2√2答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。

C选项-2/3是一个分数，因此是有理数。

2. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^3 - 3x + 4C. y = x^2 + 3x - 2D. y = 2x - 1答案：A解析：二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0。

A选项符合二次函数的一般形式。

3. 若等腰三角形底边长为8，腰长为10，则该三角形的周长为（）A. 16B. 24C. 26D. 28答案：D解析：等腰三角形的两腰相等，因此周长为底边长加上两腰长，即8 + 10 + 10 = 28。

4. 下列各式中，等式成立的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2答案：B解析：平方差公式是(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2，因此B选项正确。

5. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2或3B. 1或4C. 2或4D. 1或3答案：A解析：根据一元二次方程的解法，将方程因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 若sinθ = 1/2，且θ在第二象限，则cosθ的值为______。

答案：-√3/2解析：在第二象限，正弦值为正，余弦值为负。

根据三角函数的关系，cosθ =√(1 - sin^2θ) = √(1 - (1/2)^2) = √(1 - 1/4) = √(3/4) = √3/2。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3πC ．2π-12D ．12【答案】A【解析】先根据勾股定理得到2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD ，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴2，∴S 扇形ABD =2302=3606ππ⨯，又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6π， 故选A.【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.2．在函数y x 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≤1且x≠0C ．x≥0且x≠1D ．x≠0且x≠1【答案】C【解析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．【详解】由题意得：x≥2且x ﹣2≠2．解得：x≥2且x≠2．故x 的取值范围是x≥2且x≠2．故选C ．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．3．方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为212 xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩的是()A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8【答案】D【解析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣1．故选D．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4．计算：()()223311aa a---的结果是( )A．()21ax-B．31a-．C．11a-D．31a+【答案】B【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()23-31aa-=()23-11aa-（）=31a-故选；B【点睛】本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．5．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM的长为（）A．32B．2 C．52D．3【答案】C【解析】延长BC 到E 使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝12DE＝12AB，再利用勾股定理进行计算即可解答.【详解】解：延长BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，∵BC＝3，AD＝1，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝12DE＝12AB，∵AC⊥BC，∴AB＝22AC BC＝224+3=5，∴CM＝52，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.6．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）A．（3 ，1）B．（3 ，2）C．（2 ，3）D．（1 ，3）【答案】D【解析】解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．【详解】由图知A 点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O ，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．故选D ．7．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，-1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤- 或 2a ≥B ．10a -≤< 或 02a <≤C ．10a -≤< 或112a <≤D ．122a ≤≤ 【答案】B【解析】试题解析：如图所示：分两种情况进行讨论：当0a >时，抛物线2y ax =经过点()1,2A 时，2,a =抛物线的开口最小，a 取得最大值2.抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：0 2.a <≤当0a <时，抛物线2y ax =经过点()1,1B -时，1,a =-抛物线的开口最小，a 取得最小值 1.-抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：10.a -≤<故选B.点睛：二次函数()20,y ax bx c a =++≠ 二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小， 0,a >开口向上，0,a <开口向下. a 的绝对值越大，开口越小. 8．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x=（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论：①ΔADB ΔADC S S =；②当0＜x ＜3时，12y y <；③如图，当x=3时，EF=83； ④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确； ∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x=，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83，选项③正确； 当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．9．如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A ＝60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为( )A ．2RB ．3RC ．2RD ．3R【答案】D 【解析】延长BO 交圆于D ，连接CD ，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R ，根据锐角三角函数的定义得BC=3R.【详解】解：延长BO 交⊙O 于D ，连接CD ，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R ，∴DC=R ，∴3，故选D.【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B ﹣E ﹣D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（ ）A ．监测点AB ．监测点BC ．监测点CD ．监测点D【答案】C 【解析】试题解析：A 、由监测点A 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减少再增大．故选项A 错误； B 、由监测点B 监测P 时，函数值y 随t 的增大而增大，故选项B 错误；C 、由监测点C 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大，然后再减小，选项C 正确；D 、由监测点D 监测P 时，函数值y 随t 的增大而减小，选项D 错误．故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1），那么m 的值为_____．【答案】2【解析】把点（2，1）代入y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3，即可求出m 的值.【详解】∵抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1），∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式. 12．关于x 的分式方程211x a x +=+的解为负数，则a 的取值范围是_________. 【答案】12a a >≠且【解析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a 的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1解得:a ＞1且a≠2,故答案为: a ＞1且a≠2【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x 的值再进行分析13．若2a ﹣b=5，a ﹣2b=4，则a ﹣b 的值为________.【答案】1．【解析】试题分析：把这两个方程相加可得1a-1b=9，两边同时除以1可得a-b=1．考点：整体思想．14．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______． 【答案】3.【解析】连接OA 、OB ，根据正六边形的性质求出∠AOB ，得出等边三角形OAB ，求出OA 、AM 的长，根据勾股定理求出即可．【详解】连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵正六边形ABCDEF ，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF ，∴∠AOB=60°，OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AB ⊥OM ，∴AM=BM=1，在△OAM 中，由勾股定理得：315．分解因式：x 2－9＝_ ▲ ．【答案】 (x ＋3)(x －3)【解析】x 2-9=（x+3）（x-3），故答案为（x+3）（x-3）.16．因式分解：223x 6xy 3y -+- =【答案】﹣3（x ﹣y ）1【解析】解：﹣3x 1+6xy ﹣3y 1=﹣3（x 1+y 1﹣1xy ）=﹣3（x ﹣y ）1．故答案为：﹣3（x ﹣y ）1．点睛：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．17．已知α ，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=﹣1，则m 的值是____．【答案】3.【解析】可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解. 【详解】得α+β=-2m-3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△>0，得（2m+3）2-4×m 2=12m+9>0，所以m ＞4-3，所以m=-1舍去，综上m=3. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键.18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、AD 分别是边AC 、BC 上的高，CD=2，AC=6，那么CE=________．【答案】43【解析】∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD=2， ∵BE 、AD 分别是边AC 、BC 上的高， ∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCE ，∴AC CD BC CE=， ∴624CE=， ∴CE=43， 故答案为43. 三、解答题（本题包括8个小题）19．在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B 、两种玩具，其中A 类玩具的金价比B 玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同.求A B 、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B 、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？【答案】（1）A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）至少购进A 类玩具40个.【解析】（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元，根据用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个，结合“玩具点将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答.【详解】解：（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元 由题意得9007503x x=+， 解得15x =，经检验15x =是原方程的解.所以15318+=（元）答：A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个由题意得：()12101001080a a +-≥解得40a ≥.答：至少购进A 类玩具40个.【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系，准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力.20．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】解：（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.21．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。

2019年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．若2x＝3y，则的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切3．已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜04．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝5．已知向量和都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A．B．C．D．6．如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．化简：＝．8．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝．9．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．10．如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为．11．如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是．12．已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm．（结果保留根号）13．已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，那么这条抛物线的顶点坐标为．14．已知二次函数y＝﹣x2﹣2，那么它的图象在对称轴的部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）．15．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．16．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC ＝6，△ABC的高AH＝3，则正方形DEFG的边长为．17．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点，那么⊙C的半径R的取值范围为．18．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F 分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot30°•sin60°．20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，求向量（用向量、表示）．21．（10分）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC＝8，EF＝2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．22．（10分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈，tan32°≈，tan40°≈）23．（12分）如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，∠BGD＝∠BAD＝∠C．（1）求证：BD•BC＝BG•BE；（2）如果∠BAC＝90°，求证：AG⊥BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a、b都是常数，且a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线y＝﹣x+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA＝∠CBD时，求点P的坐标．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．2019年上海市崇明区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．若2x＝3y，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解．【解答】解：∵2x＝3y，∴＝3，则＝．故选：B．【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项的积等于两内项的积．2．在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切【分析】根据余切的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴cot A＝，故选：D．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．3．已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0【分析】根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a、b的符号．【解答】解：如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，又因为对称轴在y轴左侧，故﹣＜0，因为a＞0，所以b＞0，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴确定．4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．已知向量和都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据向量和都是单位向量，可知||＝||＝1，由此即可判断．【解答】解：A、向量和都是单位向量，但方向不一定相同，则不一定成立，故本选项错误．B、向量和都是单位向量，但方向不一定相同，则不一定成立，故本选项错误．C、向量和都是单位向量，但方向不一定相同，则不一定成立，故本选项错误．D、向量和都是单位向量，则||＝||＝1，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键．6．如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离．【解答】解：∵r＞1，∴2＜3+r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．化简：＝+．【分析】平面向量的加减计算法则与实数的加减计算法则相同．【解答】解：原式＝﹣+＝+．故答案是：+．【点评】考查了平面向量，解答此类题目时，直接去括号，然后计算加减法即可．8．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝2．【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即b2＝4，∴b＝±2（负数舍去）．故答案是：2．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．9．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴由勾股定理可知：OA＝5，∴cosα＝＝，故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．10．如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为12．【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【解答】解：∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝2，正六边形的周长＝6a＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．11．如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是16：81．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积比为16：81，故答案为：16：81．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．12．已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝5﹣5cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金比值是列式计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝（5﹣5）cm，故答案为：5﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．13．已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，那么这条抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣4∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）故填空答案：（1，﹣4）．【点评】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．14．已知二次函数y＝﹣x2﹣2，那么它的图象在对称轴的右侧部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）．【分析】根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2中，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．故答案为：右侧．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断抛物线的增减性．15．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD＝AB＝5，∵G为△ABC的重心，∴CG＝CD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC ＝6，△ABC的高AH＝3，则正方形DEFG的边长为2．【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，所以AM＝3﹣x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求出x即可．【解答】解：高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，∴AM＝AH﹣MH＝3﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝2，∴正方形DEFG的边长为2．答：正方形DEFG的边长和面积分别为2．故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．17．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点，那么⊙C的半径R的取值范围为r＝4.8或6＜r≤8．【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：根据勾股定理求得BC＝＝6，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8．故半径r的取值范围是r＝4.8或6＜r≤8．故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．18．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F 分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为或．【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出＝，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴＝，即＝，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF＝．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝，综上，EF＝或．故答案为：或．【点评】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot30°•sin60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+×＝﹣+＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝BC，∴＝＝．又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．又DE∥BC，DE＝BC，∴＝＝（﹣）．【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．21．（10分）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC＝8，EF＝2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．【分析】（1）由垂径定理得出AE＝4，设圆的半径为r，知OE＝OF﹣EF＝r﹣2，根据OA2＝AE2+OE2求解可得；（2）由∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°知∠AOE＝∠ACD，从而根据sin∠ACD＝sin∠AOE＝可得答案．【解答】解：（1）∵O是圆心，且点F为的中点，∴OF⊥AC，∵AC＝8，∴AE＝4，设圆的半径为r，即OA＝OF＝r，则OE＝OF﹣EF＝r﹣2，由OA2＝AE2+OE2得r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，即AO＝5；（2）∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°，∴∠AOE＝∠ACD，则sin∠ACD＝sin∠AOE＝＝．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．22．（10分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈，tan32°≈，tan40°≈）【分析】（1）然后在Rt△ABO中，根据tan∠OAB＝＝tan32°，求出OB的长度，继而可求得BF；（2）根据∠AOD＝40°，OD⊥AD，可得∠OAD＝50°，继而可求得∠CAD的度数，以及AB 的坡度．【解答】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，∴tan∠OAB＝＝tan32°，∵AB＝2m，∴≈，∴OB＝1.24m，∵⊙O的半径为0.2m，∴BF＝1.04m；（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，∴∠OAD＝50°，∵∠OAC＝32°∴∠CAD＝18°，∴AB的坡度为tan18°＝，【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．23．（12分）如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，∠BGD＝∠BAD＝∠C．（1）求证：BD•BC＝BG•BE；（2）如果∠BAC＝90°，求证：AG⊥BE．【分析】（1）由△BDG∽△BEC，可得＝，即可推出结论；（2）由△BAD∽△BCA，推出∠BDA＝∠BAC＝90°，由∠BAD＝∠BGD，推出A，B，D，G四点共圆，推出∠AGB＝∠ADB＝90°；【解答】（1）证明：∵∠DBG＝∠CBE，∠BGD＝∠C，∴△BDG∽△BEC，∴＝，∴BD•BC＝BG•BE；（2）∵∠ABD＝∠CBA，∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA＝∠BAC＝90°，∵∠BAD＝∠BGD，∴A，B，D，G四点共圆，∴∠AGB＝∠ADB＝90°，∴AG⊥BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a、b都是常数，且a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线y＝﹣x+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA＝∠CBD时，求点P的坐标．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，利用勾股定理可得出BC的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，再利用余切的定义即可求出∠CBD的余切值；（3）设直线PB与y轴交于点M，由∠PBA＝∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的长，进而可得出点M的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+6．∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点C的坐标为（2，8）．（2）当x＝2时，y＝﹣x+3＝2，∴点D的坐标为（2，2）．过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．∵抛物线的顶点坐标为（2，8），∴点F的坐标为（2，0）．∵点B的坐标为（6，0），∴CF＝8，CD＝6，DF＝2，BF＝4，BC＝＝4，BD＝＝2．∴sin∠BCF＝＝，即＝，∴DE＝，∴BE＝＝，∴cot∠CBD＝＝＝．（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．∵∠PBA＝∠CBD，∴cot∠PBA＝＝，即＝，∴OM＝，∴点M的坐标为（0，）或（0，﹣）．设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（6，0），M（0，）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+．同理，当点M的坐标为（0，﹣）时，直线BP的解析式为y＝x﹣．联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，解得：，或，，∴点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出∠CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD＝3，通过证明△ABD∽△GBP，可得BG＝BP＝x，即可得DG的长度；（2）根据相似三角形的性质可得FD＝BD﹣BF＝3﹣x，DE＝x﹣，根据三角形面积公式可求y与x之间的函数关系式；（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝4，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠BPG＝90°，∴△ABD∽△GBP∴∴BG＝BP＝x，∴DG＝BG﹣BD＝x﹣3（2）∵PF∥AC∴△BFP∽△BCA∴即∴BF＝x，∴FD＝BD﹣BF＝3﹣x，∵∠DGE+∠DEG＝∠DGE+∠ABD，∴∠ABD＝∠DEG，∠ADG＝∠ADB＝90°∴△DEG∽△DBA∴∴＝∴DE＝x﹣∴S＝y＝×DF×DE＝×（3﹣x）×（x﹣）＝﹣x2+x﹣（△DEF＜x＜）（3）若EF⊥PG时，∵EF⊥PG，ED⊥FG，∴∠FED+∠DEG＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，∴∠EFD＝∠DEG，且∠EDF＝∠EDG，∴△EFD∽△GDE∴∴ED2＝FD×DG∴（x﹣）2＝（3﹣x）（x﹣3）∴5×57x2﹣1138x+225×5＝0∴x＝（不合题意舍去），x＝若EF⊥PF，∴∠PFB+∠EFD＝90°，且∠PFB＝∠ACB，∠ACB+∠DAC＝90°∴∠EFD＝∠DAC，且∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△EDF∽△CDA∴∴＝∴x＝综上所述：当BP为或时，△PEF为直角三角形．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．。