高考数学一轮复习同步训练(理科) 第62讲《离散型随机变量及其分布列》人教B版必修3

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(方法二)令 Y＝X＋1，则 X＝Y－1，随机变量 Y 的分布列为
Y
0
P
(1－a)2
1
2
2a(1－a)
a2
由二项分布的有关知识可知，Y～B(2，a)，
所以 E(Y)＝2a，D(Y)＝2a(1－a)，
所以 E(X)＝E(Y－1)＝E(Y)－1＝2a－1，
球，故 ξ＝6.
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2．(2020·南宁二中高三月考)已知排球发球考试规则：每位考生最
多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次结束为止．某
考生一次发球成功的概率为 p(0<p<1)，发球次数为 X.若 X 的数学期望
6．签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的六支签，从中任意取 3 支．设 X
为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为( )
A．5
B．5.25
C．5.8
D．4.6
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B 解析：由题意可知，X 可以为 3,4,5,6，P(X＝3)＝C136＝210，P(X ＝4)＝CC3623＝230，P(X＝5)＝CC3624＝130，P(X＝6)＝CC3625＝12.由数学期望的定义可 求得 E(X)＝3×210＋4×230＋5×130＋6×12＝5.25.
＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
解得
p>52或
1 p<2.
由 p∈(0,1)可得 p∈0，12.故选 A.
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考点测试62 离散型随机变量及其分布列高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值为12分，近两年难度有所增大考纲研读1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用一、基础小题1．已知离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 … n Pknk nk n…k n则k 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 由分布列的性质知k ＝1.2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放回5个球”的事件为( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤4答案 C解析 第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球，…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X ＝6.3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23答案 C解析 设失败率为p ，则成功率为2p . ∴X 的分布列为：则“X ＝0” ∴由p ＋2p ＝1，得p ＝13，即P (X ＝0)＝13.故选C ．4．某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同且都大于5，于是他随机拨最后四位数字，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )A ．24B ．20C ．18D ．4答案 A解析 由于后四位数字两两不同，且都大于5，即是6,7,8,9四位数字的不同排列，则有A 44＝24种．5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A ．435 B ．635 C ．1235 D ．36343答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 的值为( )A ．1110B ．155C ．110D ．55答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1，∴55a ＝1，∴a ＝155.7．15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4.8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到1题但答错了，而乙抢到了2题且都答错了； X ＝0，甲没抢到题，乙抢到3题且答错至少2题，或甲抢到2题，但答时1对1错，而乙答错1题；X ＝1时，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题，或甲抢到3题，且1错2对；X ＝2时，甲抢到2题均答对；X ＝3时，甲抢到3题均答对． 二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题9．(2020·沈阳摸底)已知随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．56答案 B解析 由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故方程x 2＋2x ＋ξ＝0只有一个根，则Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.故选B ．10．(2019·绍兴模拟)随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A ．23 B ．34 C ．45 D ．56答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D ．11．(2019·湖南湘西二模)已知甲、乙两台自动车床生产同一种零件，X 表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经考察一段时间，X ，Y 的分布列分别是据此判断( )A ．甲比乙生产的产品质量好B ．乙比甲生产的产品质量好C ．甲与乙生产的产品质量相同D ．无法判断 答案 A解析 E (X )＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E (Y )＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E (Y )>E (X )，故甲比乙生产的产品质量好．12．(2019·济南模拟)已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X <1)＝________.答案 23解析 ∵E (X )＝0，D (X )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，(－1)2×a ＋02×b ＋12×c ＋22×112＝1，又a ，b ，c ∈[0,1]，∴a ＝512，b ＝14，c ＝14，P (X <1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝512＋14＝23.一、高考大题1．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i ＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0＝0，p 8＝1，p i ＝ap i －1＋bp i ＋cp i ＋1(i ＝1,2，…，7)，其中a ＝P (X ＝－1)，b ＝P (X ＝0)，c ＝P (X ＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性． 解 (1)X 的所有可能取值为－1,0,1.P (X ＝－1)＝(1－α)β，P (X ＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P (X ＝1)＝α(1－β)． 所以X 的分布列为X－10 1(2)因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，故0.1(p i＋1－p i)＝0.4(p i－p i－1)，即p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－13p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．2．(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝C k4C3－k3C37(k＝0,1,2,3)．所以随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X ＝1)＝67.所以，事件A发生的概率为67.3．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解 (1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X 的分布列为(2)200，因此只需考虑200≤n ≤500.当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n ＜300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．4．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.5．(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值．故应选n ＝19.二、模拟大题6．(2019·咸阳二模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100(1)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率；(2)记ξ为某家庭的一辆该品牌汽车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．解(1)由题意估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率：P＝40＋10＋10＋20100＝0.8.(2)ξ为某家庭的一辆该品牌汽车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×(1－30%)＝665,950×(1－20%)＝760,950×(1－10%)＝855,950，950×(1＋10%)＝1045,950×(1＋30%)＝1235.P(ξ＝665)＝10100＝0.1，P(ξ＝760)＝10100＝0.1，P(ξ＝855)＝40100＝0.4，P(ξ＝950)＝20100＝0.2，P(ξ＝1045)＝15100＝0.15，P(ξ＝1235)＝5100＝0.05，∴ξ的分布列为ξ66576085595010451235P 0.10.10.40.20.150.05E(ξ)＝665＋1235×0.05＝893.7．(2019·济南模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图1所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中如图2是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，下表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数5 6频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值．解(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的2个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A．因为1个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.(2)由柱状图可知，1个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.由题意，知X可能的取值为20,21,22,23,24，并且P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16，P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32，P(X＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32，P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16.所以X的分布列为X 20 21 22 23 24P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4.(3)解法一：因为m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22×80＋200×0.32＋400×0.16＋6×160＝2848；若m＝23，n＝5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2832.故m，n的值分别为23,5.解法二：因为m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1(单位：元)，则E(Y1)＝1760×0.52＋设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2(单位：元)，则Y2＝6×160＝960，E(Y2)＝1×960＝960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Y1)＋E(Y2)＝1888＋960＝2848.若m＝23，n＝5，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1(单位：元)，则E(Z1)＝1840×0.84＋设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2(单位：元)，则E(Z2)＝800×0.6＋1200×所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Z1)＋E(Z2)＝1872＋960＝2832.故m，n的值分别为23,5.8．(2019·湖南长沙长郡中学一模)随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率进行调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，随机变量Z ＝|a －b |，求Z 的分布列与数学期望；②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？解 (1)调整前y 关于x 的表达式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤3500，(x －3500)×0.03，3500<x ≤5000，45＋(x －5000)×0.1，5000<x ≤8000，调整后y 关于x 的表达式为y ＝⎩⎨⎧0，x ≤5000，(x －5000)×0.03，5000<x ≤8000.(2)①由频数分布表可知从[3000,5000)及[5000,7000)的人群中抽取7人，其中[3000,5000)中占3人，[5000,7000)中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0,2,4，P (Z ＝0)＝P (a ＝2，b ＝2)＝C 23C 24C 47＝1835，P (Z ＝2)＝P (a ＝1，b ＝3)＋P (a ＝3，b ＝1)＝C 13C34＋C 33C 14C 47＝1635， P (Z ＝4)＝P (a ＝0，b ＝4)＝C 03C 44C 47＝135，所以其分布列为所以E(Z)＝0×1835＋2×1635＋4×135＝3635.②由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为1500×3%＋2500×10%＝295元，按调整起征点后应纳个税为2500×3%＝75元，由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，所以小红的实际收入比调整前增加了220元．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练62离散型随机变量的均值与方差理新人教B版3 / 144 / 145 / 14附:χ2=,P(χ2>k) 0.050 0.010k3.841 6.63513.(20xx河北衡水中学三调,理18)某同学在研究性学习中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:月份x 1 2 3 4 5y/万盒 4 4 5 6 6(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程x+,根据表中数据已经正确计算出=0.6,试求出的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数;(2)若某药店现有该制药厂今年2月份生产的甲胶囊4盒和3月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年2月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.7 / 14〚导学号21500787〛创新应用组14.某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点,每个景点有可能去的概率都是,且是否游览某个景点互不影响,设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数.(1)求ξ的分布列、数学期望及其方差;(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)内单调递增”为事件A,求事件A的概率.8 / 149 / 14 〚导学号21500788〛参考答案课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差1.A E(X)=-=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.2.B 由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.3.C∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,∴P(X=1)==3·2-10.4.B 由分布列的性质得x+y=,又E(ξ)=,所以+2x+3y=,解得x=,y=.故D(ξ)=.5.B 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B,故D(X)=4×.6. ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故ξ的分布列为ξ0 1 2PE(ξ)=0×+1×+2×.7. 取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,相应的概率为P(ξ=5)=,P(ξ=6)=,P(ξ=7)=,P(ξ=8)=.则E(ξ)=5×+6×+7×+8×.10 / 148. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0×+1×+2×.9.0.6 3 投篮一次,命中次数ξ的分布列为ξ0 1P0.4 0.6则E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.重复投篮5次,命中的次数η服从二项分布B(5,0.6),则E(η)=np=5×0.6=3.10.解E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.11.解 (1)设抛掷硬币一次正面朝上的概率为p,则p3=,得p=.所以抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为P=.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;P(ξ=2)=;P(ξ=3)=;P(ξ=4)=.所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4pE(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×.12.解 (1)由题意知列联表为喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合计男生45 15 60 女生15 25 40 合计60 40 100χ2=≈14.063>6.635,故有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关.(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,故X的分布列为X0 1 2PE(X)=0×+1×+2×.13.解 (1)(1+2+3+4+5)=3,(4+4+5+6+6)=5.∵回归直线x+过点(),∴=5-0.6×3=3.2,∴6月份生产的甲胶囊的产量数=0.6×6+3.2=6.8(万盒).(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,ξ的分布列为:ξ0 1 2 3P所以E(ξ)=×0+×1+×2+×3=.14.解 (1)依题意,得ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为ξ~B,所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.所以ξ的分布列为:ξ0 1 2 3P所以ξ的数学期望为E(ξ)=3×=1,ξ的方差为D(ξ)=3×.(2)因为f(x)=+1-ξ2的图象的对称轴方程为x=ξ,又函数f(x)=x2-3ξx+1在[2,+∞)内单调递增,所以ξ≤2,即ξ≤.所以事件A的概率P(A)=P=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.。

课时作业(六十二) 第62讲 离散型随机变量及其分布列时间：45分钟 分值：100分基础热身1．10件产品中有3件次品，从中任取两件，可作为随机变量的是( ) A ．取到产品的件数 B ．取到正品的概率 C ．取到次品的件数 D ．取到次品的概率2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )A ．第一枚6点，第二枚2点B ．第一枚5点，第二枚1点C ．第一枚1点，第二枚6点D ．第一枚6点，第二枚1点3．已知随机变量的分布列如下表：则m 的值为( A.115 B.215 C.15 D.4154．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 68C 15的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4) 能力提升5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个6．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝⎛⎭⎫23i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.27197．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a，(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( ) A.19 B.16 C.13 D.148．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是( )A.C 35C 350B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350 D.C 15C 245C 3509．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)(k ＝1,2,3,4)，其中c 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝( )A.23B.34C.45D.5610．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X 的取值集合是________．11．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．12．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，公司要求投保人交x 元，则公司收益X 的分布列是________．13．已知随机变量X若η＝2X －3，则η14．(10分)一批产品共100件，其中20件为二等品，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．15．(13分)袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列；(2)求得分大于6分的概率．难点突破16．(12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列．课时作业(六十二)【基础热身】1．C 解析 A 中件数是2，是定值；B 、D 中的概率也是定值；C 中件数为0,1,2，次品件数可作为随机变量．2．D 解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D .3．C 解析 利用概率之和等于1，得m ＝315＝15.4．C 解析 此题为超几何分布问题，15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便，故P(X ＝4)＝C 47C 68C 1015.【能力提升】5．A 解析 1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个，共有17个． 6．B 解析 根据题意及随机变量分布列的性质得：a·23＋a·⎝⎛⎭⎫232＋a·⎝⎛⎭⎫233＝1，解得a ＝2738.7．C 解析 由分布列的性质，得1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P(X ＝2)＝22×3＝13.8．C 解析 出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是都是合格品，都是合格品的概率是C 345C 350，故有次品的概率是1－C 345C 350.9．D 解析 ∵c ⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1，∴c ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，解得c ＝54，将其代入P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝P(1)＋P(2)＝c ⎝⎛⎭⎫1－13，得P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝56.10．{0,1,2,3} 解析 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}．11．0.3 解析 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是P ＝C 22C 13C 35＝310＝0.3.12.解析 P(X ＝x －a)＝p ，P(X ＝x)＝1－所以X 的分布列为13.解析 由η＝2X －314．解答 X 的可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 280C 2100＝316495；P(X ＝1)＝C 180C 120C 2100＝160495；P(X ＝2)＝C 220C 2100＝19495.所以X 的分布列为15.解答 (1)5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 7＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求得分X 的分布列为(2)P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝1235＋135＝1335.【难点突破】16．解答 (1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A.基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31，事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3，所以P(A)＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，又P(X ＝1)＝C 1531＝531，P(X ＝2)＝C 2531＝1031P(X ＝3)＝C 3531＝1031P(X ＝4)＝C 4531＝531P(X ＝5)＝C 5531＝131故X 的分布列为。