在数轴上表示无理数

17.1(6)勾股定理--在数轴上表示无理数一．【知识要点】1.在数轴上表示无理数二．【经典例题】1.如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）-+A．15-C．5--B．15-D．152.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是.3.如图甲，把一个边长为2的大正方形分成四个同样大小的小正方形，再连接大正方形的四边中点，得到了一个新的正方形（图中阴影部分），求：（1）图甲中阴影部分的面积是多少？（2）图甲中阴影部分正方形的边长是多少？（3）如图乙，在数轴上以1个单位长度的线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，求点A所表示的数是多少？三．【题库】【A】1、如图，在数轴上点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3-D. 5-【B 】1．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．+1 B ．﹣1 C ．﹣+1 D ．﹣﹣12.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A. 5+1B. 5-1C. -5+1D. -5-13．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．+1B ．﹣1C ．﹣+1D ．﹣﹣14.如图以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O 为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A ，则点A 表示的数为________5.如图所示，是老师在讲解“实数”是所画的图，即“以数轴的单位长度1为边长作一个正方形，然后以O 为圆心、以正方形的对角线的长为半径画弧，交数轴于点A ，作这样的图是用来说明（ ）A ．无理数是存在的B ．实数是存在的C ．有理数可以在数轴上表示出来D ．无理数可以在数轴上表示出来6.如图以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径，交数轴于点A ，则点A 表示的数是_________【C 】1．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()2,3-，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A 4-和3-之间B 3和4之间C 5-和4-之间D 4和5之间2.如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．﹣1+B．C．﹣1+D．【D】。

6．3无理数可以在数轴上表示出来吗？——实数背景材料：自从学习了实数的知识，小贝有一种体会——实数的内容简直是太丰富了！别的不说，光是“实数与数轴上的点是一一对应的”这一句话，就让小贝琢磨了好几天，她几乎花了这几天中所有的业余时间来消化理解这个结论．今天晚上写完作业后，小贝找出纸笔、计算器和绘图工具，她准备亲自动手，将一些无理数表示在数轴上．首先，小贝搜罗来六个无理数：π；2π-；2；3；5；512-，接着画出一条数轴，然后就开始研究怎样在数轴上表示出这些数．根据小贝的设想，先在原点上方画一个直径是1个单位长度的圆，使圆与数轴接触的点恰好是原点0，因为圆的直径是1，所以圆的周长是π，将圆从原点沿数轴向右滚动一周，那么现在圆与数轴接触的点到原点的距离就是π，这样就可以在数轴上表示出π来了．可是设想毕竟是设想，真到了实践的时候却出了问题：在原点处画的圆是“死的”，动不了！这可咋办？小贝充分发扬了不怕麻烦勤动手的优良习惯，索性用卡纸做出一个直径是1个单位长度的圆形纸片，这下好了，将圆形纸片在数轴上滚动一周，记下了此时圆与数轴的接触点，满意地在那里标记上“π”．下一个数是2π-，有了圆形纸片，标记这个数就好办多了，因为2π-是负数，且它的绝对值是π的一半，所以这次纸片滚动的方向是向左的，滚动半周就可以了． 接下来是2．记得学习平方根的时候老师讲过，作一个边长为1的正方形，那么正方形的对角线长度就是2．心动不如行动，小贝很快就把2作出来了．这时小贝发现，以上面的π和2为基础，可以表示出很多与它们有关的无理数：如－π，－2，21+，π－2等等，但是，3；5；512-这样的无理数该怎样表示呢？小贝苦思冥想，还是没有找到方法，只好暂时求助于计算器了．通过计算器计算得到3≈1.732；5≈2.236；512-≈0.618，最后在数轴上把这三个数一一表示出来．π－π24321－2－12－1－2125－12532－1－2120π－π243知识解读：一、实数的概念及分类通过前面两节的学习，我们知道很多数经过开平方或开立方后所得的结果都是无限不循环小数，因而它们不属于有理数．我们把无限不循环小数称为无理数．例如：2、(32)2+-、π等．有理数和无理数合在一起统称为实数．像有理数一样，无理数也有正负之分．例如3π、5、37是正无理数，－3、3-π是负无理数．所以实数也可以细分为：实数的性质：（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）．（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．在数轴上，右边的实数大于左边的实数．（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数不能开偶次方．（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 二、实数的运算在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用． 实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．例如：2的相反数是－2；－π的相反数是π；12-＝21-；π-＝π；0＝0；33的倒数是33．当数从有理数扩充到实数以后，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和性质等同样适用．例如：(32)2+-＝3223+-=；3323+＝53；2（223-）－23＝2263-．三、实数的比较大小在比较实数大小的时候，要注意方法的运用．1．代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．2．数轴法：数轴右边的数比左边的数大．用数轴法比较实数的大小，先将实数表示在数轴上，再根据数的位置直接判断大小．3．特殊值法：例如，当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．1x ＜x ＜x 2B ．1x ＜x 2＜xC ．x 2＜x ＜1xD ．x ＜x 2＜1x因为0＜x ＜1，故可取x ＝0.5，则x 2＝0.25，1x ＝2，由0.25＜0.5＜2，可得x 2＜x ＜1x，故选C ．4．分类讨论法：若a 是整数，那么a 2__________a ．（请选符号＞，≥，＜，≤填空)因为对于a ，题目并未明确给出是正整数还是负整数，取值具有不确定性，因此需要分类讨论：当a是负整数时，得a 2＞a ；当a 是0或1时，得a 2＝a a a =2；当a 是大于1的整数时，得a 2＞a ，综上可知，当a 是整数时，a 2≥a ．5．作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．例如，已知2005200620072008a ⨯=-⨯，2005200720062008b ⨯=-⨯，2005200820062007c ⨯=-⨯，则a ，b ，c 的大小关系是_______________． ∵a b -20052006200520072005200720052006()20072008200620082006200820072008⨯⨯⨯⨯=---=-⨯⨯⨯⨯200520072006()0200820062007=->，所以a b >，同理可得,b c >所以a b c >>．6．作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a b b <⇔<．例如，比较78和910的大小，78÷910＝7072＜1，∴78＜910．7．倒数法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．例如，比较34，56，78的大小，41133=，61155=，81177=，易得：468357>>，所以：357468<<．8．乘方法：例如，比较35和53的大小，先将两个数平方，得到45和75，∵45＜75，∴35＜53．9．同一法：将分数化为同分子或同分母的分数，再比较大小．例如，比较5个分数23，58，1523，1017，1219的大小，先找出分子的最小公倍数60，再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于：6090，6096，6092，60102，6095，∴60102＜6096＜6095＜6092＜6090，即1017＜58＜1219＜1523＜23．此外，比较数的大小时，还常常采用传递的原理（若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ）帮助解题． 四、实数与数轴的关系我们知道，所有的有理数都可以表示在数轴上．结合小贝的一系列实践操作，不难发现以下结论：数轴上任意一点表示的数，不是有理数就是无理数．数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，所以“实数与数轴上的点是一一对应的”．相关链接：（一）“无理数”的由来在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人的创造所破坏．唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼．——【德】汉克尔公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处．毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽．不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达．芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．从有理数到实数，是数的发展史上一次巨大的飞跃，这一次飞跃经历了曲折而漫长的过程，这是科学家们努力探索的结果．在学习中，要学习这种勇于探索，积极创新的精神，为造福于社会而努力学习．用电子计算机计算π与2的值（二）超越数e在我们中学阶段，接触到的无理数最多的是含有根号的无理数，就连神秘的黄金分割数，也可以用512的形式表示出来．再有就是我们很熟悉（小学阶段就已经学过）的无理数“π”了．与众多的含根号的无理数相比，π显得有点孤独．其实，除了这些无理数外，还有一些可能不为你所知的无理数呢．下面为读者介绍的是在数学中的另一个常数e ．e 是自然对数的底数，有些著作上称它为欧拉数，因为数学家欧拉（1707－1783）研究过它．用e 表示这个数，是欧拉在1728年一篇未发表的手稿《遗作》中引入的，1731年他在给哥德巴赫的信中用过e 表示自然对数的底后，e 便一直沿用至今．毕达哥拉斯（约公元前580－前500）古希腊哲学家、数学家、天文学家发展到1737年，欧拉已经证明了e 及e 2是无理数．到了1873年，巴黎大学的爱尔米德教授（1822－1901）就证明了e 是超越数．而e 就具有下列性质：11111xx e x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x 为正数）．当x 取1，000，000时，便可求得e ＝2.71828．e 也可以定义为极限值：e ＝lim 11xx x ⎛⎫+ ⎪→∞⎝⎭．若利用牛顿所发明的幂级数，则可得：11122!3!4!e =++++…，这将能得到更精确的近似值：e ＝2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312．．．．因为圆周率的定义直观，易于理解，所以π几乎是家喻户晓的一个数，知道π的人多数能背诵到3.14．e 则不同，在高等数学中大放异彩的常数e ，在现实中往往却不被人所知．它们时而出现在街角，时而见诸报端，只要你留意，生活中处处皆是数学．在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2，718，281，828，这当然是取e 的前十位数字．顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14，159，265，这是与圆周率π有关的一个数字了．阅读思考：问题1．（1983年，河北省初中数学竞赛试题）22π29 3.140.614140.10010001000017-，，，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3问题2．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |－|c －b |的结果是( )abcA ．a ＋cB ．－a －2b ＋cC ．a ＋2b －cD ．－a －c问题3．有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）是无理数输出y是有理数取算术平方根输入xA ．8B ．22C ．23D ．32问题4．若a 、b 为实数，且22111a a ab a -+-+=+，求3a b -+的相反数．问题5．下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数； ②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数； ④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．问题6．已知数14的小数部分是b ，求4321237620b b b b +++-． 问题7．（1995年第6届希望杯全国数学邀请赛试题）设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[π]3=，则123100______⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．参考答案：问题1．解：π20.1001000100001-，，是无理数．选D ．【规律】（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环．（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327都是有理数）．问题2．解：从图中可知c ＜0，a ＜0，b ＞0，c ＜b ，|a |＜|b |，a ＋b ＞0，c －b ＜0， 所以|a ＋b |＝a ＋b ，|c －b |＝b －c ，所以|a ＋b |－|c －b |＝（a ＋b ）－（b －c ）＝a ＋b －b ＋c ＝a ＋c ． 因此选A ．【启示】这是一道数形结合的题目，解题的关键在于认真观察图形，只有认真细致地观察才能准确地找出数轴上所给定的点表示的实数的取值范围，以及各实数之间的大小关系，从而准确地去掉绝对值符号．问题3．解：输入64，64的算数平方根是8，8是有理数，所以取8的算数平方根，得22，22是无理数，输出，得y ＝22，因此选B ．问题4．解：依题意，a 2＝1，即a ＝±1（舍去负值），故a ＝1，代入得b ＝12，代入3a b -+得3．问题5．解：设a b ，是有理数，αβ，是无理数．①若a b α+=，则b a α=-，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的， 故a α+是无理数．①正确．②当0a =时，0a α=是有理数，②不正确．③当22αβ==-，时，0αβ+=是有理数，故③不正确． ④当2αβ==时，2αβ=是有理数，故④不正确．问题6．解：∵91416<<，即3144<<，∴14的整数部分是3．设143b =+，两边同时平方得21496b b =++， ∴265b b +=．∴4321237620b b b b +++-()()43222636620b b b b b =+⋅+++-()()2226620b b b b =+++-25520=+- 10=．问题7．解：∵1231⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 456782⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， [][]91011153⎡⎤⎡⎤=====⎣⎦⎣⎦， []1617244⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦， ……8182999⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 10010⎡⎤=⎣⎦． ∴原式1325374951161371581791910625=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=．。

在数轴上找表示无理数的点教学目标学生能在数轴上找到表示π这样的无理数的点。

教学过程1、引入问题我们知道，实数可以分成有理数和无理数。

如：在实数5395,,,,,25119π--中，5395,,,,325119--π是无理数。

我们还知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。

无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？2、探索解决问题的方法活动1：在数轴上找表示无理数π的点直径为1个单位长度的圆其周长为π。

画一条数轴，把一个用软铁丝做成的直径为1的圆放在原点，从原点处剪开把铁丝向右拉直，铁丝的另一端落在数轴上的位置就是π所对应的位置，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。

想一想：怎样在数轴上找到表示无理数,,,3210ππππ-的点？ 设计意图：通过直径为1个单位长度的圆的周长剪开后从坐标原点拉出的方法，让学生知道无理数π可以在数轴上表示，同时与π有关的许多数都可以在数轴上表示。

活动2：前面学习过用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，如图：大正方形的边长为2在数轴上，以原点为一个顶点，一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2。

以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示2-。

试一试：-设计意图：通过具体操作，让学生知道无理数2也可以在数轴上表示。

同时与2有关的许多数都可以在数轴上表示。

3、总结通过本课的学习，我们知道了如何在数轴上表示π，2及与他们相关的无理数。

事实上，类似于以上做法，我们可以把每一个无理数在数轴上表示出来。

另外，我们在探索过程中或者借助了圆的周长，或者借助了正方形的周长、对角线与面积的关系，请同学们注意这种化归思想，从而培养自己的创新能力。

七年级无理数的概念与运算无理数是指既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。

它们是无限不循环小数的一种特殊形式。

在七年级数学中，我们将学习无理数的概念和运算。

一、无理数的概念无理数是指不能写成两个整数的比值的实数，也不是有限小数或循环小数的实数。

无理数的表示一般用根号形式表示，如√2，√5等。

无理数可以是正数也可以是负数。

二、无理数的运算2.1 无理数的加减运算无理数的加减运算与有理数的加减运算类似，只需要将无理数的根号部分进行合并即可。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2.2 无理数的乘法运算无理数的乘法运算也是将根号部分进行合并。

例如，√2 × √3 = √6。

2.3 无理数的除法运算无理数的除法运算需要用到有理化的方法，将无理数分母的根号部分有理化。

例如，√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6/3 = (√6)/3。

三、无理数的应用无理数在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在几何中，无理数常用于描述无法精确表示的长度，如正方形的对角线长度等。

在物理学中，无理数也常用于科学计算中，例如计算圆的面积、体积等。

四、无理数的性质4.1 无理数与有理数的关系无理数和有理数是实数的两个主要子集，它们之间没有交集。

无理数和有理数的并集构成了实数的全体。

4.2 无理数的无穷性和稀疏性无理数存在无限多个，并且无理数的任意两个数之间都存在有理数。

这个性质被称为无理数的无穷性和稀疏性。

4.3 无理数的数轴表示无理数可以在数轴上表示，位于有理数之间。

例如，√2位于1和2之间，√3位于1和2之间。

五、无理数的近似值无理数通常无法精确表示，但可以使用有理数来近似表示。

例如，我们通常将√2近似为1.414，将√3近似为1.732。

六、总结无理数是既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。

我们学习了无理数的概念和运算方法，包括加减运算、乘法运算和除法运算。

带根号的无理数在数轴上的表示问题
人教版数学八年级教科书上册第83页中有这样一段话：“以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示－2 (为什么？)”，勾股定理在人教版数学八年级下册第十八章才讲，如果学生真的问起“为什么？”，老师如何回答?（老师不可能在这里证明勾股定理吧），2好办，可用面积为1的两个小正方形拼成一个面积为2的大正方形，此时大正方形的边长为2，学生可以理解，3在数轴上如何表示？，5呢？，6呢？。

针对这个问题，
可事先进行数学活动（人教版数学八年级教科书上册第89页）：（1）让学生画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，由学生用直尺量出斜边的长（斜边的长为5），老师引
导学生找出关系式：32+42=52，（2）让学生画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是6和8，由学生用直尺量出斜边的长（斜边的长为10），老师引导学生找出关系式：62+82=102，（3）让学生画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是5和12，由学生用直尺量出斜边的长（斜边的长为13），由学生分析讨论找出关系式：52+122=132。

从而得出结论：任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方。

从而可以利用这个结论在数轴上作出表示无理数2，3，5，6，┉的点。

聚焦无理数与数轴上点的问题山东于秀坤学习了实数，我们知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，对于一个有理数可以比较容易用数轴上的点表示，对于无理数又如何用数轴上的点表示呢？一些同学感到有些困难，下面就让我们一起来探究这方面的问题.一、用数轴上的点表示无理数利用数轴上点表示无理数，一般的方法是利用直角三角形的斜边积累来表示.主要涉及勾股定理的应用.例1用数轴上的点表示2和-2.解：如图1，以原点为一个顶点，以单位长度为边长画一个正方形OABC，以原点O为圆心，正方形对角线OB为半径画弧，与正半轴的交E点就表示2，与负半轴的交点F就表示-2.图1理由：因为在Rt△OAB中，OB2=0A2+AB2=1+1=2，所以OB=2，又OE=OB，所以OE=2，所以点E表示2.同样点F表示-2.例2 用数轴上的点表示3和-3.解：如图2，以单位长1为边作等腰直角三角形OAB，根据勾股定理得OB=2，再以B为直角顶点作Rt△OBC，使BC=1，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2=3.所以OC=3.图2以O为圆心，OC长为半径，画弧交数轴的正半轴于点F，负半轴于点E，则点F表示的数为3，点E表示的数为-3.例3 用数轴上的点表示π.解：如图3，将直径为单位长度1的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点原点到点O′，从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示无理数π.实际上，圆的周长为OO′=1×π=π.如果圆向左滚动一周，则与负半轴的交点表示-π.图3其它的无理数都可探究方法用数轴上的点表示.你可以试一试：在数轴上表示：5，13.二、写出数轴上的点所表示的无理数例4 如图4，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1，BC⊥OB，BC=1，且E、O、A、D在同一数轴上，OC=OE=OD.试说出点D、E各表示的是什么数？图4解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，由勾股定理得OB=5，在Rt△OBC中，OB=5，BC=1，由勾股定理，得OC2=OB2+BC2=6，所以OC=6，所以OD=OE=OC=6，所以点D表示的数是6，点E表示的数是-6.。

有理数与无理数的关系有理数和无理数是数学中的两个重要概念。

它们之间存在紧密的联系和区别。

在本文中，我们将探讨有理数与无理数的关系，以及它们在数轴上的表现形式。

一、有理数与无理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比例的数。

例如，分数1/2、小数0.75等都属于有理数。

有理数的特点是可以用整数的比值表示，或是有限小数、无限循环小数。

无理数则是不能用两个整数的比例来表示的数。

无理数通常以无限不循环小数的形式出现，而且不能化成简单的分数或整数。

例如，π (pi) 和√2 (根号2) 都是无理数。

二、有理数与无理数的区别有理数和无理数的最大区别是可以用分数表示的整数特性。

有理数可以精确地表示为两个整数的比值，而无理数则无法用有限的整数比例来表示。

此外，有理数的小数形式要么有限，要么是无限循环小数，而无理数的小数形式则是无限不循环的。

另一个区别是有理数可以进行四则运算，并且运算结果也是有理数。

但是，无理数与有理数进行运算的结果通常是无理数。

例如，将一个有理数与一个无理数相加，结果仍然是无理数。

三、有理数与无理数的连接尽管有理数和无理数之间存在着明显的区别，但它们在数轴上是相互连接的。

数轴是一个水平直线，用来表示各种实数。

有理数和无理数都可以在数轴上找到对应的位置。

有理数可以精确地表示为两个整数之间的比率，因此它们在数轴上的位置是可以准确标识的。

例如，数轴上的整数点和分数点都是有理数的位置。

无理数则无法用简单的比值来表示，但它们仍然存在于数轴上的特定位置。

例如，根号2 (√2) 在数轴上处于一个无限不循环的位置，但我们可以用近似值来表示它的位置。

在数轴上，有理数和无理数之间存在着无数个实数。

这些实数包括所有的有理数和无理数。

有理数和无理数的连接展示了实数全集的完整性。

四、实际应用有理数和无理数在实际生活中都有广泛的应用。

有理数常被用于计算和精确度要求较高的场合，例如工程测量和金融交易等。

无理数则在几何学和物理学等领域中扮演重要角色，例如圆的周长和对角线长度等。

有理数与无理数有理数和无理数是数学中常见的两个概念。

它们在数轴上处于不同的位置，具有不同的性质和特点。

本文将深入探讨有理数与无理数的定义、性质以及它们之间的关系。

一、有理数的定义与性质有理数是可以用两个整数的比值来表示的数。

在数轴上，有理数可以表示为有限或无限循环小数，或者可以写成分数的形式。

有理数包括整数、正数、负数和零。

第一个性质是有理数的加法封闭性。

对于任意两个有理数a和b，它们的和a+b也是有理数。

例如，2和3是有理数，它们的和5也是有理数。

第二个性质是有理数的乘法封闭性。

对于任意两个有理数a和b，它们的乘积a*b也是有理数。

例如，2和3是有理数，它们的乘积6也是有理数。

有理数还满足加法和乘法的交换律、结合律和分配律。

这些性质使得有理数在数学运算中具有良好的性质和规律，方便进行各种运算。

二、无理数的定义与性质无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

无理数不能写成有限小数或无限循环小数的形式，也不能表示为分数。

无理数在数轴上处于有理数之间的位置。

最常见的无理数是圆周率π和自然对数的底数e。

这些无理数的小数表示是无限不循环的。

例如，π≈3.1415926...和e≈2.7182818...。

无理数具有一些特殊的性质。

首先，无理数和有理数的和仍然是无理数。

例如，π和2的和π+2是无理数。

其次，无理数和有理数的乘积也是无理数。

例如，e和3的乘积e*3是无理数。

三、有理数与无理数的关系在数轴上，有理数和无理数构成了实数的完整集合。

每个实数都是有理数或无理数。

事实上，无理数的存在使得数轴上的任意两个有理数之间都存在无限多个无理数。

有理数和无理数之间的关系可以通过无理数的不可度量性来描述。

例如，无理数π无法用有限多个有理数来逼近，无论多接近也无法完全等于π。

这是因为π是一个无限不循环的小数，不存在有理数与之相等。

在实际应用中，有理数和无理数都有广泛的应用。

有理数常用于计算和测量，可以准确地表示分数和比例关系。

数轴上的数与点的关系数轴是一种用于表示实数的图形工具，它是一个直线，上面标有数值，可以帮助我们直观地理解数与点之间的关系。

在数轴上，每个点对应一个实数，而每个实数也对应数轴上的一个点。

本文将探讨数轴上的数与点之间的关系。

一、数轴的基本概念数轴是由一个直线上连续无间隔的点组成的。

我们可以将数轴分为两个部分：正半轴和负半轴。

数轴的正方向是向右的，负方向是向左的。

在数轴上，零点位于原点，同时它也是正半轴和负半轴的分界点。

二、数轴上的整数整数是我们最常用的数，它们可以在数轴上找到特定的位置。

正整数位于数轴的右侧，负整数位于数轴的左侧。

例如，数轴上的点1表示正整数1，数轴上的点-1则表示负整数-1。

通过观察数轴上的整数点，我们可以直观地了解整数之间的大小关系。

三、数轴上的分数分数是数轴上另一种常见的数。

理解分数在数轴上的位置有助于我们比较分数的大小。

假设我们需要在数轴上表示1/2这个分数，可以将1/2从零点开始向右移动一半的距离。

同样道理，1/4可以向右移动1/4的距离。

通过这种方式，我们可以准确地表示各种分数在数轴上的位置。

四、数轴上的小数小数是数轴上的另一种表示形式。

小数可以通过将整数部分和小数部分组合而成。

例如，数轴上的点0.5表示小数0.5，点-0.5则表示小数-0.5。

当我们需要在数轴上表示一个小数时，可以根据小数点的位置来确定其在数轴上的具体位置。

五、数轴上的无理数无理数是不能被表示为两个整数的比值的数，例如π和根号2等。

虽然无理数无法被准确地表示为分数或小数，但它们仍然可以在数轴上找到相应的位置。

我们可以使用估算的方法，将无理数约等于一个分数或小数，然后将其在数轴上表示出来。

六、数轴上的点与数的关系在数轴上，每个点都对应着一个实数。

既可以通过给定的实数来确定相应的点，也可以通过给定的点来确定相应的实数。

数和点之间存在着一一对应的关系。

数轴上的点向左移动可以表示减去一个数，向右移动则表示加上一个数。

数轴知识点归纳总结一、数轴的基本概念（一）数轴的引入数轴是数学中一个用来表示实数的有序集合的概念。

它通常是一条直线，上面标有从负无穷到正无穷的实数，并且按照大小顺序排列。

（二）数轴的标记在数轴上，我们通常将0点作为起始点，向左右两侧分别表示负数和正数。

而整数通常标记在数轴上，小数也可以标记出来。

（三）数轴上的点在数轴上，每一个点都有其唯一对应的实数，而每一个实数也都在数轴上有一个唯一的点与之对应。

二、数轴的运算（一）数轴上的相反数在数轴上，每一个实数都有其相反数，即表示与之相反方向的另一个实数。

在数轴上，一个数与其相反数关于0点对称。

（二）数轴上的加法在数轴上，相邻两个数之间的距离即为它们的差值。

因此，两个数相加时，可以通过在数轴上进行移动来表示。

例如，要表示3+4，可以从3点向右移动4个单位，即到达7点。

（三）数轴上的减法在数轴上，两个实数相减，可以理解为求这两个数之间的距离。

例如，5-3可以理解为从5点向左移动3个单位，即到达2点。

（四）数轴上的乘法和除法数轴上的乘法和除法一般通过正负号和距离进行理解。

例如，-3×2可以理解为向左移动3个单位两次；而6÷3可以理解为向右移动6个单位分成3段。

三、数轴上的绝对值绝对值是一个数与0之间的距离，通常用符号“| |”表示。

在数轴上，一个数的绝对值就是它到0点的距离。

例如，|-3|的绝对值就是3。

四、数轴上的有理数与无理数（一）有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它包括整数、分数、小数等。

在数轴上，有理数通常可以表示为数轴上的一点。

（二）无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它通常包括无穷不循环小数等。

在数轴上，无理数通常可以表示为数轴上的一点，但无法用有限的标记法表示。

五、数轴上的比较在数轴上，两个数的大小可以通过它们在数轴上的位置关系进行比较。

即数轴上向右移动表示增大，向左移动表示减小。

六、数轴上的集合运算在数轴上，可以进行并集、交集、补集等各种集合运算。

教学设计新课题目17.1 勾股定理 (3)利用勾股定理在数轴上表示无理数教学（学习）目标知识与技能目标利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段.过程与方法目标经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．情感、态度和价值观目标体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.建立自信心。

重点利用勾股定理在数轴上寻找表示2 , 3 ,5…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为无理数的线段．教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规．教学方法分组讨论法、讲练结合法教学方式实验课演示课电教课多媒体课√√回顾旧知导入新课一、温顾而知新1.勾股定理的内容是什么？2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90°①已知ɑ， b 则c=②已知ɑ， c 则b=③已知b， c 则ɑ=二、导入新课实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数：你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）三、探究新知1、议一议我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出2、13所对应的点吗？教师可指导学生寻找象2，3，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为2，13这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为13，所以只需画出长为13的线段即可．我们不妨先来画出长为2的线段．2、画一画、议一议在数轴上画出表示2的点.作法：①在数轴上找到点A,使OA=1②、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=1③、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。

17.1勾股定理（第3课时）教学目标：知识与技能：1. 利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点。

过程与方法：1. 经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决实际问题的能力。

2. 在勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神。

3. 在解决实际问题的过程中，学会与他人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意思。

情感态度与价值观：1. 在用勾股定理的，在数轴上寻找表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，增强自信心。

2. 在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度，以及进行质疑和独立思考的习惯。

教学重点、难点：重点：在数数数轴上寻找表示√2，√3，√5，这样的表示无理数的点。

难点：利用勾股定理，寻找直角三角形中长度为无理数的线段。

教学准备：教学助手课件，学生平板40台，智能手机一部。

教学方法：本节课基于宁夏教育资源公共服务平台中的资源，借助授课助手里的互动课堂软件，进行师生互动，优化课堂，实现信息化教育教学的目的。

整堂课采取三段式教学法,即尝试法加演示法加任务驱动法.设置了问题、例题和测试,学生自己尝试回答问题,分析理解定义,完成例题,教师通过几何画板演示得出结论,结合小组长和老师布置的任务,学生自己完成测试.教学过程：一、复习导入复习勾股定理的内容，探究勾股定理的综合应用。

教师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，能用勾股定理证明这一结论吗？学生：思考并独立完成，教师巡视指导，并总结。

在教师的指导下学生在练习本上完成证明，用平板拍照提交，小组内互相批改纠错。

先画出图形，在写出已知，求证如下：已知：如图，在RT∆A BC和RT∆A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,AC=A′C′求证:∆ABC≅∆A′B′C′证明: 在RT∆ABC和RT∆A' B' C'中, ∠C=∠C'=90°,根据勾股定理，得BC=√AB2−AC2,B′C′=√A′B′2−A′C′2又AB=A' B',AC=A' C'∴BC=B′C′∆ABC≅∆A' B' C'(SSS)教师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示√13所对应的点吗？设计意图：上节课我们利用勾股定理解决了生活中的不少问题。

第四课时《数轴上表示无理数的点〈〉一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，•发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，•并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 2．在解决实际问题的过程中，•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点：点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学内容：利用勾股定理，在数轴上找到表示无理数的点六、教学时间:4月22日七、教学时数：1课时八、课型：新授课九、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们，……可以当直角三角形师生行为：学生小组交流讨论……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．，所以只需画出长1的直角三角形的斜边．生：设，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，•则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．•2，3的直角三角形的斜边．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA=3.2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A点表示男孩头顶的位置，C、B•点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：②学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示17的点．解：17是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点如下图：设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用． 师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视． 此活动中，教师应重点关注： （1）生能否积极主动地思考问题；（2，另外两个角直边为整数的直角三角形． 例 5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

在数轴上表示无理数
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
本节课，老师就带大家一起学习怎样在数轴上表示无理数。

首先，我们知道正方形的边长为1时，。

表示出来。

第一步作一个边长为1的正方形。

第二步将它的对角线长在数轴上画出来。

那么怎样在数轴上表示π呢？
我们知道π是圆周率。

怎样才会出现π呢？当圆的直径为1的时候，圆周长就等于π。

我们要在数轴上表示π，其实就需要我们将圆周长在数轴上表达出来就好了。

将圆在数轴上滚动一周，圆周长就在数轴上表达出来了。

小结：
事实上:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.
实数与数轴上的点一一对应。

七年级数学下册数轴上的无理数综合练习题一、简答题1. 请简要解释什么是无理数？2. 无理数与有理数有什么区别？3. 请列举出至少三个无理数的例子。

4. 如果将无理数表示在数轴上，你认为它们会在数轴上的哪些位置？二、计算题1. 计算：√5 × √52. 计算：√8 + √23. 计算：√27 - √124. 计算：√16 ÷ √45. 计算：√(3 + √5) × √(3 - √5)6. 计算：(√7 + √2) × (√7 - √2)7. 计算：√3 + 2√3 - √38. 下面的哪个数是无理数？请将其简化为最简形式。

a) √16b) √25c) √68d) √819. 计算：(√7 + √6)²10. 计算：(5 + √12)(5 - √12)三、应用题1. 在数轴上，标记出下列无理数的位置：a) √2b) √5c) √7d) √102. 数轴上的点A的坐标为√6，点B的坐标为√11，请判断点A与点B的位置关系，并解释你的答案。

3. 一个地下室里装有一个水槽，该水槽的长度是√13米。

现在需要在水槽的一端铺设一块长为2√3米的木板，与另一端铺设一块长为√7米的木板，是否能够正好铺满整个水槽的长度？如果不行，请解释原因。

4. 请列举出至少三种现实生活中应用无理数的例子，并解释其中的原理。

四、证明题1. 请证明：无理数的平方仍然是无理数。

2. 请证明：√3 + √7 是无理数。

以上为七年级数学下册数轴上的无理数综合练习题，希望能帮助到你。

如有任何问题，请随时向我提问。